数字信号处理-第3章
数字信号处理 第三章 图像信号分析基础讲解
对于连续图像，定义阈值面积函数A(F)为具有灰 度级F的所有轮廓线所包围的面积。对于数字图 像，任一灰度级F的面积函数A(F)即大于或等于 灰度值F的像素点的个数。
曝光过强（过弱）会导致大片白色（黑色），丢失 明暗、对比度、纹理等细节信息，即使采用插值 算法，也难以准确恢复。此时将在直方图的一端 或两端产生尖峰。
3.1.5 灰度直方图
直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或 频数）的统计结果，它只反映该图像中不同灰度 值出现的次数（或频数），而未反映某一灰度值 像素所在位置。也就是说，它只包含了该图像中 某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在
的卷积。 水印、验证码
三、减法运算
将多幅图像的对应点相减得到新图像。 可去除图像中不需要的加性图案。 可用于运动检测。 可以用来计算物体边界位置的梯度。 新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度
直方图的卷积。
四、乘除法运算
乘法运算可以用来去除原始图像中的一部 分：首先构造一副掩膜图像，在需要保留 区域，图像灰度值为1，而在被去除区域， 图像灰度值为0；然后将掩膜图像乘原始 图像。
显然， 若a 1,b 0,图象像素不发生变化； 若a 1,b 0,图象所有灰度值上移或下移； 若a 1，输出图象对比度增强； 若0 a 1,输出图象对比度减小； 若a 0,暗区域变亮，亮区域变暗，图象求补。
三、非线性点运算
s
s
s
O
r
O
r
O
r
s
s
s
O
r
O
数字信号处理(第三版)(高西全)第3章
。后面要讨论的频域采样理论将会
加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱
完全由其离散傅里叶级数系数 X ( k ) 确定，因此，X(k) 实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的频谱特性，这就
是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
现在解释DFT［R4(n)］4=4δ(k)。根据DFT第二种物 理解释可知，DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期
i 为整数 i 为整数
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
所以，在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1 由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。 【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
3 3 j 2π 4
X (k )
x ( n )W
n0
kn 4
e
n0
kn
1 e 1 e
j2 π k 2π 4
j
k
4 0
k 0 k 1, 2, 3
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
设变换区间N=8，则
X (k )
7
x ( n )W 8 sin ( sin (
式中，a、b为常数，取N=max［N1, N2］, 则y(n)的N点
DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］N=aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1
X (k ) X ( z )
ze
j 2π N k
k 0,1, , N 1
(3.1.3)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
数字信号处理第三版第3章.ppt
x2 (n) N•DFT X 2 (k )
y(n) x1(n) x2 (n) Y (k) DFT[ y(n)]
1 N 1
N l0
X1(l) X 2 ((n L))N RN (n)
1 N1 N l0
X 2 (l) X1((n L))N RN (n)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系图解说明
z e WNk
j 2 k
e N
j
2 k
N
2 k
N
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT与Z变换和DTFT关系举例说明
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• DFT的隐含周期性
N 1
1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲 是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。 毕业后在军队中教授数学。
1795年他到巴黎高等师范教书。 1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。 1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。 1822年当选为科学院秘书，发表《热的分析理论》一文。在文中首次提出 并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅 里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。 为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计 算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1y和Tukey两 人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不 释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。
，求它的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
数字信号处理知识点整理Chapter3.
第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。
3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。
数字信号处理课件第3章 DFT 变换
18
二． DFT的隐含周期性
在第一节中，DFT和IDFT只定义了X(k)和x(n)在变换区间 上的N个值。如果使DFT中k的取值域为[-∞，∞]，就会发现 X(k)是以N为周期的，即 X(k + mN) = X(k) 称X(k)的这一特性为DFT的隐含周期性。
物理意义：X(k)为 X (e j ) 在区间 [0, 2 ] 上的N点等间隔采样。 X (e j ) 以2π为周期，X(k)以N为周期。
3
x ( n) X ( k )
解答两个疑问
１．用DFT干什么？ 用数字计算机来计算信号的傅里叶变换。具有重要 的理论意义和应用价值，是本课程学习的一大重点。
x ( n ) X ( e j )
２．为什么不用DTFT计算信号的傅里叶变换？ DTFT计算得到的频谱是连续的，无法用有限个数 字存储器存储。因此DTFT是理论上的频谱分析方法， 可以用来对离散信号和系统的频谱特征进行理论分 析，指导具体的数字信号处理系统（如数字滤波器） 的设计，但不具有可实际应用性。
1
2
3
四．循环卷积定理
1、循环卷积的定义 2、循环卷积的求解 3、循环卷积定理 4、循环卷积与线性卷积 5、实际问题
24
1、循环卷积的定义
x1 (n) N1点；x2 (n) N 2点；Ｎ max( N1 , N 2 ).
x1 (n) N x2 ( n)
m 0
x (m) x ((n m))
30
x1 (n), x2 (n)如图，求y (n) x1 (n) 例：
解:
x1m
6 x2 ( n )
6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5
17
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
数字信号处理ppt课件
(Digital Signal Processing)
1
第3章 离散傅里叶变换快速算法(FFT)
内容提要
问题的提出 解决问题的思路与方法 基2时间抽取FFT算法 基2频率抽取FFT算法 FFT算法的实际应用——
实序列的DFT计算，IDFT的快速计算方法
2
学习要求
1. 掌握基2时间抽取和基2频率抽取FFT算法的 基本思想和方法 。
x[0]
x[2]
W20
x[1]
x[3] W20
X1[0]
2点DFT X1[1] 1 X2[0]
2点DFT X2[1] 1
W40
1
W41
1
X [0] X [1] X [2] X [3]
14
4点基2时间抽取FFT算法流图
x[0]
x[2]
W40
x[1]
x[3]
W40
X1[0]
X1[1] 1
X2[0]
xx[[24]] xx[[42]] xx[[66]XX111[11[]1]
1 X4X1点21[20[]D0W] FW80T40
2点DFT XX121[21[]1W] W82411
1
1
xx[[11]]
XX212[10[]0]
xx[[35]] xx[[53]] xx[[77]]
2. 了解基4时间抽取FFT算法的基本原理 。 3. 掌握实序列FFT计算，以及由N点序列FFT计
算2N点序列FFT的方法 。 4. 掌握利用FFT计算IDFT的过程，以及IFFT实
现的原理 。
3
重点和难点
本章的重点是基2时间抽取FFT算法的基本原理， FFT蝶形运算流图
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)
数字信号处理课后第三章习题答案
1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)
n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )
n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0
数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答
数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等，实现信号的变换。
1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散时间信号。
时域抽样的原理是，将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样，每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。
时域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续时间信号为x(t)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Ts（采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs * T，其中T为采样时长。
为Ts。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样点。
5.将N个采样点按照时域顺序排列，即可得到离散时间信号。
1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散频谱信号。
频域抽样的原理是，将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样，每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。
频域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续频谱信号为X(f)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Δf（采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs / Δf，其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。
为Δf。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样频率点。
5.将N个采样频率点按照频域顺序排列，即可得到离散频谱信号。
1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本，使得信号的长度变长。
零填充的原理是，通过增加信号的长度，可以在时域和频域上提高信号的分辨率，从而更精确地观察信号的特征。
零填充可以通过以下步骤进行实现：1.假设原始信号为x(n)，长度为N。
2.计算需要填充的长度L，L > 0。
数字信号处理第三章3.3
X k DFT xn
H k DFT hn
Y k X k H k
y n IDFT Y k xm h n m N R N n
m 0
N 1
hm x n m N R N n
简化的计算方法是：把序列 xn 顺时针分布 在N等分的圆周上，而序列 hn 按时间轴与 xn 相反方向分布在另一个同心圆上，每 当两个圆停留在一定相对位置上，两个序 列相乘取和，即得到卷积序列中的一个值， 依次在不同位置上相乘、取和，就得到全 部卷积结果。因此循环卷积也叫圆周卷积。
m
r2,1 n x 2 (m)x1 m n
m
互相关函数式与线性卷积表达式之间关系是：
r1, 2 n x1 (m)x 2 m n
m
x1 n l x 2 l
l
l nm
g l x2 l
N 1
2 nk X i k xn sin n 0 N
N 1
2. 实序列的离散傅里叶变换，在区间 0 n N 1
内，对于
N 2
点呈对称分布。 X k 是偶对称，
是奇对称[注意：认为 X N X 0 ]。 argX k
m 0
N 1
证明：
IDFT Y k
1
N 1
N k 0 1 N 1 N 1 xm W mk H k W nk N N m 0 N k 0
1 N 1 mk nk xm H k W N W N m 0 N k 0
n 0 n 0
N 1 2 2 xn cos nk j xn sin nk n 0 n 0 N N N 1
数字信号处理答案第三章
= = =
0 0 1 j 2πn e 10 , n = 1, 2, . . . , k. 2
3.3
(a) X1 (z ) = = = = The ROC is (b)
1 3 ∞ 0
1 1 ( )n z −n − 1 ( )n z −n + 3 2 n=−∞ n=0 1
1 −1 1− 3 z
+ +
1 ( )n z n − 1 2 n=0 1 − 1, 1− 1 2z −1 2 z)
∞
1
1−1 −1 3zFra bibliotek(1 −
5 6 1 −1 )(1 3z
< |z | < 2. X2 (z ) = = = 1 ( )n z −n − 2n z −n 3 n=0 n=0 1 1−
1 −1 3z ∞ ∞
nan cosw0 nz −n nan ejw0 n + e−jw0 n −n z 2 60
© 2007 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher. For the exclusive use of adopters of the book Digital Signal Processing, Fourth Edition, by John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis. ISBN 0-13-187374-1.
数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答桉第3和4章
1
N 1
X (k) 2
n0
N k0
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
7）
(1) 长度为N的共轭对称序列xep(n)与反共轭对称序列
xop(n):
xep(n) xep(N n)
xop (n) xop (N n)
序列x(n)的共轭对称分量与共轭反对称分量：
xep (n)
所以
~xN (n)
x(n rN )
r
即 ~xN (n) 是x(n)的周期延拓序列， 由DFT与DFS的关系
可得出
xN (n) IDFT[ X (k)] ~xN (n)RN (n) x(n rN )RN (n) r
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
xN(n)=IDFT［X(k)］为x(n)的周期延拓序列（以N为延拓周期） 的主值序列。 以后这一结论可以直接引用。
DFT[x(n m)N RN (n)] WNkm X (k)
5) 频域循环移位性质
DFT[WNnm x(n)] X ((k m)) N RN (k)
第３章
6） 循环卷积：
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
L1
yc (n) h(m)x((n m))L RL (n)＝h(n) L x(n)
（1）在h(n)的尾部加L－N个零点， 在x(n)的尾部加L－M
（2）计算L点的H(k)=FFT［h(n)］和L点的X(k)=FFT ［x(n)］;
（3） 计算Y(k)=H(k)X(k) （4） 计算Y(n)=IFFT［Y(k)］， n=0，1，2，3，…，L-1。 但当h(n)和x(n)中任一个的长度很长或者无限长时， 需用 书上介绍的重叠相加法和重叠保留法。
数字信号处理第三章习题答案
解 （1） 已知F＝50Hz （2） （3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变, 应该使记录时间 扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）.
解
、
和
(a)、(b)、(c)所示。
分别如题3解图
x1(n) (a)
x2(n) (b)
y (n)
(a)
(b)
(c) (c)
5.如果X(k)=DFT[ x(n)], 证明DFT的初值定 理 证明 由IDFT定义式
可知
14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0, n<0, 8≤n y(n)=0, n<0, 20 ≤ n
对每个序列作20点DFT, 即
X (k)=DFT [x(n)],
Y(k)=DFT [y(n)],
如果
F(k)=X(k)▪Y(k),
k=0,1,…,19 k=0,1,…,19 k=0,1,…,19
f(n)=IDFT [F(k)], k=0,1,…,19
试问在哪些点上f(n)=x(n)*y(n)?为什么？
解 如前所述, 记
,而
fl(n)长度为27,f(n)长度为20.前面已推出二者的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上, 才满足f(n)=fl(n)7
21-47
41-67
1-7
21-27
8-20
7-19 当从0开始时候
15.用微处理器对实数序列作谱分析, 要求谱分辨率F≤50Hz, 信号最高频率为1kHz, 试确定以下各参数；
教材第三章习题解答
《数字信号处理》朱金秀第三章习题及参考答案
第三章习题答案 3.1 （1）非周期（2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ=，1s sf T = （1）0153,2f ωπ==；0.3s T =，05f π= （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，0503f =（3）0,0.55f πω==；0.3s T =，013f =（4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，0356f =（5） ()()()(){}0.20.210.20.20.20.2(0.2)(0.2)1cos(0.2)()2130.6cos(0.2)() 1.8()0.6()211.80.6()0.6()2110.910.610.6j n j n n n j n j n n nj n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n ee ππππππωπωπππ-+-----+=+⎡⎤⎡⎤-=-•+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-•-+-⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w)% 计算DTFT% [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w)3.4 (1) 7()10.3j j X e eωω-=- （2）20.51()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωωωω---=---（3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ωωω--=⨯⨯-（4）112210.920.9()(10.9)10.9(10.9)j j j j j j e e X e e e e ωωωωωω-----⨯-⨯=-=---3.5(1) 23456()642246j j j j j j j X e e e e e e e ωωωωωωω------=++++++（2）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++++++ （3）234567()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++---- （4）235678()642246j j j j j j j j X e e e e e e e e ωωωωωωωω-------=+++----3.6 00()()11()211j j j A X e ae ae ωωωωω---+⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦3.7 N=5，()5611()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+--N=25，()252611()11j j j j j j e e eX e e e ωωωωωω----=+-- N=100，()10010111()11j j j j j j e ee X e e e ωωωωωω----=+-- N=5，》n = -5:5; x =ones(1,11); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/11* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度N=25,>> n = -25:25; x =ones(1,51); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/51* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率相位部分弧度-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81以pi 为单位的频率幅度部分幅值N=100,>> n = -100:100; x =ones(1,201); % x(n)k = -500:499; w = (pi/500)*k; % [-pi, pi] X =1/201* x*exp(-j*pi/500*n'*k); % DTFT magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('幅度部分'); ylabel('幅值') subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); gridxlabel('以pi 为单位的频率'); title('相位部分'); ylabel('弧度')-1-0.500.5100.51以pi 为单位的频率幅度部分幅值-1-0.500.51-4-2024以pi 为单位的频率相位部分弧度随着N 的增大，DTFT 的幅度特性主瓣越尖锐，旁瓣越小，越接近于1)(=n x 的DTFT 特性。
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3.1 离散傅里叶变换的定义
结论
采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对 它进行时域采样而不丢失任何信息； DFT 变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号 （有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失 任何信息。由于时域上的采样，使我们能够采用数字技 术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不 仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用 数字技术处理成为可能。 DFT就是频域数字处理中最有成效的一例。
3.1 离散傅里叶变换的定义
由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对 X(e 采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。
数字信号处理－离散傅立叶变换
j
)
在[0，2
]区间上的 7
3.1 离散傅里叶变换的定义
3、DFT的隐含周期性
k (k mN) W W , N 由于 N
k,m,N均为整数
数字信号处理－离散傅立叶变换
Hale Waihona Puke 113.2 离散傅里叶变换的基本性质
性质1 线性
DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k)
其中，a,b为任意常数
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
性质 对称定理 1 X(n) x(-k) N 时间序列具有频谱序列 形状，则DFT是原时间序 列的倒置形状
第三章 离散傅立叶变换
由于数字信号处理器只 能处理离散信号，所以 还需要将离散时间序列 进行频域离散化 即：要找到依赖于离散时
间变量到依赖于离散频 率变量之间的一种映射 关系。
数字信号处理－离散傅立叶变换
这就是DFT的作用
1
时 域
结论
总之，一个域的离散就必然造 成另一个域的周期延拓，而一 频 个域的非周期与另一个域的连 域 续是相对应的。 连续周期－非周期离散 连续非周期－非周期连续
当N为偶数时，将n换成N/2 -n, 则 N N N * x ep ( - n) x ep ( n), 0 n 1 2 2 2 N N N * x op ( - n) x op ( +n), 0 n 1 2 2 2
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
（2）若 其中
x(n )=x ep (n) x op (n), 1 x ep (n)= [x(n)+x* (N-n)] 2 1 x op (n)= [x(n) - x * (N-n)] 2 1 DFT[x ep (n)]= DFT[x(n)+x * (N-n)] 2 1 = [X(k)+X* (k)] 2 =Re[X(k)] 1 DFT[x op (n)]= DFT[x(n) - x * (N-n)] 2 1 = [X(k)-X * (k)] 2 =jIm[X(k)]
N 1
f ( n) IDFT[ F ( k )] y( m) x((n m))N RN ( n)
m0
m 0 N 1
记做
x(n) y(n)
数字信号处理－离散傅立叶变换
频域循环卷积 F(K)
1 1 X(k) Y(k) Y(k) X(k) N N
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
n 11 1 8 3 ((11))8 3 n 2 (1) 8 6 ((2))8 6
~ x (11) x(3), ~ x (2) x(6)
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.1 离散傅里叶变换的定义
4、DFT与ZT、FT、DFS的关系
DFT与ZT和FT之间的关系:
F(k) = DFT[ f(n) ]=
w
mk N x(k)
频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性
IDFT[ X((k+l))NRN(k) ]=
w x(n)
nl N
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
性质3 循环（圆周）卷积
若 F(k) = X(k)Y(k) 则： f (n) IDFT[ F (k )] x(m) y((n m)) N RN (n)
离散非周期－周期连续
数字信号处理－离散傅立叶变换
离散周期－周期离散
2
3.1 离散傅里叶变换的定义
1、DFT的定义
设x（n）是一个长度为M的有限长序列，则定义x（n）的 N点傅立叶变换
N 1 kn X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WN n 0
0 k N 1
X (k ) X ( z ) z e j 2N k ,0 k N 1 X (k ) X (e j )
k 2N
,0 k N 1
DFT与DFS之间的关系:
~ X ( k ) X ( k ) RN ( k ) ~ X ( k ) X ((k ))N
4
WN
1 1 1 1
1
1 WN 2 WN
1
1 WN 4 WN
( N 1) WN
2 ( N 1) WN
数字信号处理－离散傅立叶变换
3.1 离散傅里叶变换的定义
•傅立叶逆变换为
1 N 1 kn x ( n ) IDFT [ X ( k )] X ( k ) W N N k 0 1 N 1 * kn * x ( n ) IDFT [ X ( k )] X ( k ) W N N k 0 0 n N 1 0 n N 1
所以， 其中
X(k)=DFT[x(n)]=X R (k) jX I (k) X R (k) Re[X(k)] DFT[x ep (n)] jX I (k)=j Im[X(k)]=DFT[x op (n)]
z =e
j
2 k N
, 0 k N -1
或
X(k)=X(e j ) | 2 k ， 0 k N 1
N
结论：序列x（n）的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样； j 或者说，X(k)为x(n)的傅立叶变换 X(e ) 在区间[0，2 ]上的N点等 间隔采样。这就是DFT的物理意义。 数字信号处理－离散傅立叶变换 6
x((n+m))NRN(n)表示对移位的周期序列 x((n+m))N 取主值序列
所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。 f(n) 实际上可看作序 列 x(n) 排列在一个N等分圆周上，并向左旋转 m 位。
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
序列循环移位后的DFT为
对于任何有限长序列x(n)，均可表示为
x(n) x ep (n) x op (n), 其中
0 n N -1
1 * x ep (n) [x(n)+x (N-n)] 2 1 x op (n) [x(n) - x* (N-n)] 2
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
所以X(k)满足：
( k mN ) n X(k+mN)= x(n)WN n=0 kn = x(n)WN X(k) n=0 N-1
N-1
同理可证明， x(n+mN)=x(n)
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.1 离散傅里叶变换的定义
x (n) 是周期为 N=8 的序列， 例： ~ 求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。
注意 循环卷积与线性卷积关系
（1）离散频域的有限长序列卷积（循环卷积）与连续 频域的卷积（线性卷积）有很大的区别，这是由于FT 在-∞到∞讨论问题，而DFT仅能在[0,N-1]区间上讨论问 题，更重要的是有限长序列的卷积本质上是周期序列的 线性卷积； （2）手工计算圆周卷积的法则依然是”翻、移、乘、 加”，只是序列的翻转是在圆周上进行的； （3）有限长序列的圆周卷积与线性卷积相等的条件是 L≥N+M-1
0 n N -1
则
则
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
X(k) DFT[x(n)] X ep (k) X op (k) 其中 X ep (k) DFT[x r (n)], X op (k) DFT[ jx i (n)], X(k)的共轭对称分量 X(k)的共轭反对称分量
x(0) x(1) , x x ( N 1 ) X (0) X (1) X X ( N 1 )
X WN x
WNN 1 2 ( N 1) WN ( N 1)( N 1) WN 1
N 1
由于
( N k ) n nN kn WN WN WN e
kn kn kn WN e j 2nWN WN
*
( N k ) n ] X *(N k) 因此， DFT[x*(n)] [ x ( n)WN n 0
N 1
X * ((N k )) N RN ( k )
数字信号处理－离散傅立叶变换
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
有限长共轭对称序列 x ep (n) 和共轭反对称序列 x op (n)
x ep (n) x * ep (N n), x op (n) x * op (N n), 0 n N 1 0 n N 1
(1) 若 其中 x(n) x r (n) jx i (n) 1 x r (n) Re[x(n)] [x(n) x * (n)] 2 1 jx i (n) jIm[x(n)] [x(n) x * (n)] 2 1 DFT[x r (n)] DFT[x(n ) x * (n)] 2 1 = [X(k)+X* (N-k)] 2 =X ep (k) 1 DFT[jx i (n)] DFT[x(n )-x * (n)] 2 1 = [X(k) - X* (N-k)] 2 =X op (k)