双线性变换法

§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的 设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失 真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值 （多对一）的映射关系。双线性变换法就是从 克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面 的单值映射关系。 其缩射是原的单s理1平值是面的先向，将z可s平平以面面很进进好行行的单压克值缩服映至频射s1率。平响由面应于，的这再混种将叠映压 失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的
根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和 数字频率ω之间的变换关系为
c tan( )
2
(5.26)
它表示 是单值的一一对应的映射关系
关键频点的对应关系：
Ω
ω
∞
π
0
0
-∞
-π
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§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠
于数字滤波器的低频特性
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§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率
（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一 个特定频率Ωc=2fc严格对应，即
c
ctan( 1cT ) 2
ctan(c )
2
此时有
c
cctg
(c
2
)
这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定 的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可 以较准确地控制截止频率的位置。
s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
j.c
tan(
)
2
j.c tan(1T ) 2
j
(4.25)
即s平面的虚轴的确与z平面的单位圆相对应(j ej)
其次，将s=+j代入(5.24)式，有
z c s (c ) j c s (c ) j
此时z的模为
(c ) 2 2
z
10
(c ) 2 2
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一、变化原理
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的 一种变换方法，其变换原理为：
1、首先把整个s平面压缩变换到某一s1平面的一条横条内（从-π/T 到 π/T）；
2、利用z=es1T 将s1平面内的横条变换到整个z平面上去。
这种映射显然是单值映射，有效地克服了混叠失真
常用选择c的方法和依据、准则主要有：
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1、选择c，使得模拟滤波器和数字滤波器在低频端 有较确切的对应关系，即在低频端有＝1
因为当1＝ / T 较小时，有
tan(1T ) 1T
2
2
根据(5.21)式可知，此时
1
c 1T 2
c
2 T
即当c=2/T时，可保证模拟滤波器低频特性近似
实际上，为了设计上的灵活性，如为了使模拟滤波 器的某一特定频率与数字滤波器的任一频率有对应 关系（由于非线性映射，使得模拟频率和数字频率 不再是线性对应关系），可引入待定常数c，通过c 的选择来实现不同的频率对应关系。
加入常数c之后的双线性变换公式为
c tan(1T ) 2
(5.21)
s
cth(
这种非线性关系可带来的问题有：
1、线性相位的模拟滤波器经过这种非线性变换后，得 到的数字滤波器是非线性相位的。
2、这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必
须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应应
近似等于某一常数，否则变换后所产生的数字滤
波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会
有畸变，换句话说，经过这种非线性变换设计出
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
讨论：
当 0,有 z 1; s平面左半平面映射到z平面单位圆内
当
0,有
z
1;
s平面右半平面映射到z平面单位圆外
当 0,有 z 1; s平面虚轴映射到z平面单位圆上
所以，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得 的数字滤波器也一定是稳定的
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缺点：有可能存在严重的非线性失真，这一点是由 tan函数所决定的，tan(.)函数在0附近有较好的线性 近似，但随着Ω的增加，Ω和ω之间便存在着严重的 非线性关系，如下图8所示。
Ω/c
Ω=ctan(ω/2)
-π
π
ω
根据前面的讨论，当c=2/T时，能保证在低频端ω和Ω有
效的近似线性关系。
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但随着Ω的增大，Ω和ω之间存在严重的非线性关系
s1T 2
)
c
1 1
e s1T e s1T
(5.22)
及
s
c
1 1
z z
1 1
(5.23)
z cs
(5.24)
5
cs
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二、变换常数c的选择
前面提到，常数c的选择（改变）为模拟滤波器到 数字滤波器频率的映射提供了一定的灵活性，通 过常数c的不同选择可以起到灵活调节数字滤波器 频带的作用。
jΩ
jΩ1
jIm(z)
π/T
σ
σ1
-π/T
Re(z)
S 平面
S1平面
Z平面
2
图7 双线性变换的映射关系
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(1) s平面
s1平面：
将s平面整个虚轴j压缩至s1平面虚轴j上的
(-/T，/T)这一段内，压缩关系为：
＝tan(1T ) 通过上式就将(-2，)
(5.17)
8
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
三、双线性变换法优缺点分析
双线性变换法的主要优点是避免了频率响应的 混叠现象。
关于这一点，通过前面的图7和（5.17）式和 （5.21）式就可以清楚的看到。 下面再具体说明一下双线性变换法的有效性 （正确性）
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§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
首先将z=ej代入(5.23)式，可得
e 2 e 2
(5.18)
(2) 将 s1 平面映射到 z 平面 (映射关系如下 )
z es1T
(5.19)
结合(1)、(2)两步变换，可得双线性变换法中由 s 平 面 z 平面的单值映射为
s
1 1
z 1 z 1
,反之，z
1 1s s(5源自20)4以上就是双线性变换的原理及映射公式。
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1(-/T，/T)
其中+ /T，- -/T，0 0
(5.17)式按指数形式展开可另写为：
1T
1T
j
ej 2
1T
e j 2
1T
3
e j 2 e j 2
§将这5一.4压双缩变线换性延拓变至换整个法s平（面频和域s1平逼面有近法）
s1T
s1T
s
e2
s1T
e 2
s1T
th(
s1T 2
)
1 1
e s1T e s1T
的数字滤波器不能很好的反映出原模拟滤波器幅