双线性变换法
数字信号处理第六章6 双线性变换法
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
2012-10-11
1
1 1 c
数字信号处理
s1T
j
1T 2
e e
2 s1T 2
e e
s1T 2
s1T 2
e
s1 T 2
e
1 e 1 e
s1T s1T
1 z 1 z
1 1
z e
s1T
s
1 z 1 z
1 1
z
1 s 1 s
数字信号处理
2012-10-11
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
2012-10-11
数字信号处理
6、模拟滤波器的数字化方法
H (z) H a (s) 1 z Ha c 1 1 z
频率有对应关系，引入系数 c
c tg 1T 2
1 z 1 z
1 1
s c
z
c s cs
2012-10-11
数字信号处理
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系：
1T 1T 1 c tg c 2 2
s1T
双线性变换法
第一步，将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟
滤波器的频率指标{wk} wk 2tan(Wk )
T2 第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s) 第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
2、双线性变换法的设计方法
w 2 tan(W)
T2
设计模拟
双线性变换
Wp,Ws
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满
足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与
脉冲响应不变法设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
w p , w s Ap=0.3945dB As= 15.0000dB
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
[,]
[πT/,πT/]
w' p/T
w
p/T
Ww'T
W
模拟频率与数字 频率的关系为：
w 2 tan(W)
T2
W2arctan(wT)
2
1、双线性变换法的基本原理
s域到z域的映射关系
w
2
W
tan( )
T2
jw
j2 T
tanW( )
2
j2 T
sinW( )
2
计算双线性变换的简便算法
计算双线性变换的简便算法
双线性变换是一种简单而有效的图像缩放技术，它在许多领域中都得到了应用，已被广泛用于图像处理，模拟技术，多媒体等。
它的基本原理就是，在将一幅图像的尺寸缩放时，维持图像中每一个像素点的相对位置不变，以保持图像整体的结构稳定。
双线性变换是采用四点插值方法来进行双线性插值，原图像上的所有像素点都
会被拆分成四个小一点，称为方块点（标杆点），每个标杆点背后的灰度值就是要插值的结果。
在做双线性变换插值时，将被放大的图像上的每一点像素都向它背后的四个标杆点中选取四个像素值，然后用它们的灰度值的加权平均值（居中插值）来得到新像素的颜色值。
由于此算法比较简便，效率也比较高，它比双三次插值计算速度更快，为了满
足多媒体应用的要求，双线性变换算法主要应用在视频处理，它可以精确缩放图像，从而更好地节省计算资源，帮助提高多媒体应用的性能和用户体验。
双线性变换算法是一种高效而可靠的图像处理和数据建模技术，可实现图像的
精准缩放处理，节省空间和计算资源，优化用户体验。
这种技术作为一种图像处理算法，目前已经得到广泛的应用，能有效满足移动互联网的多媒体要求，进一步拓展活跃用户流量，增强用户留存和提升营销成效。
双线性变换法的原理
双线性变换法的原理
双线性变换法是一种通过将问题转化成一对线性方程组求解的方法，常用于解决二元二次方程或二元二次函数的问题。
其原理可以归纳如下：
1. 假设我们要解决一个二元二次方程或二元二次函数的问题，形式为ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0（或f(x, y) = 0）。
2. 首先，对于该方程的每一项，我们引入一个新的变量u和v，并将该项表示为一个新的线性方程。
例如，对于ax²，我们将
其表示为au²。
3. 在引入新的变量后，我们得到了一组新的线性方程，形式为Aui + Bvi + Ci + Di + Ei + F = 0，其中i表示第i个线性方程。
4. 接下来，我们要构造一组满足上述线性方程的两个二次式，即f(u, v) = 0。
这里，我们选择f(u, v) = Au² + Buv + Cv² + Du
+ Ev + F。
5. 由于方程组中的每一个线性方程都对应一个二次式，我们可以得到关于u和v的二元二次方程。
我们需要求解这个二元二次方程，从而得到u和v的值。
6. 一旦找到了u和v的值，我们可以将其代入到原方程中，得到x和y的值，从而解决了原始的二元二次方程或二元二次函数问题。
双线性变换法的核心思想是通过引入新的变量，将一个二次式转化为一组线性方程，从而将原问题转化为一对线性方程组，利用线性方程组的解法来求解原问题。
这种方法的优势在于可以利用线性方程组求解的方法解决二次方程或二次函数的问题，而线性方程组求解的方法已经非常成熟和广泛应用。
用双线性变换法设计滤波器
用双线性变换法设计滤波器双线性变换法（bilinear transformation）是一种在频率域中设计数字滤波器的方法。
它将连续时间域的滤波器设计问题转换为离散时间域中的滤波器设计问题，通过对非线性的差分方程进行线性变换，从而得到数字滤波器的解。
这种方法的基本思想是利用双线性变换将连续时间域的滤波器转换为离散时间域的滤波器。
为了理解双线性变换法的原理和过程，我们需要从一些基本概念开始。
1. 连续时间域滤波器设计：连续时间域的滤波器常用传递函数或者差分方程进行描述。
传递函数形式是s域（Laplace变换域）的函数，差分方程形式是z域（Z变换域）的函数。
2.离散时间域滤波器设计：离散时间域的滤波器常用差分方程进行描述，形式是z域（Z变换域）的函数。
在滤波器设计中，我们希望将连续时间域的滤波器转换为离散时间域的滤波器，以在实际中应用。
双线性变换法就是一种实现这一转换的方法。
具体来说，双线性变换法通过将s域中的传递函数或者差分方程进行线性变换，得到z域中对应的离散时间域的传递函数或者差分方程。
这一变换可以通过以下步骤实现：1.预变换：将连续时间域的传递函数或者差分方程转换为z域的表达式。
在预变换中，我们通常将s域中的传递函数或者差分方程进行预处理，以适应z域中变换的需求。
2.双线性变换：将预处理后的s域表达式进行双线性变换，得到z域中的离散时间域传递函数或者差分方程。
在双线性变换中，我们通过将s域中的变量s替换为z域的变量z来实现。
这样一来，我们就得到了离散时间域的滤波器表达式。
3.后处理：对双线性变换得到的离散时间域表达式进行后处理，以满足具体的滤波器设计需求。
后处理可能包括对滤波器进行归一化、进行频率响应调整等操作。
通过以上步骤，我们可以将连续时间域的滤波器设计转换为离散时间域的滤波器设计，从而实现在实际中应用滤波器的目的。
需要注意的是，双线性变换法虽然是一种常用的滤波器设计方法，但也存在一些限制和问题。
双线性变换法
双线性变换法双线性变换法(bilinear transofrmation method)是一种通过变换以分析和解决非线性系统的复杂方法。
它最初由Collins，Mitroff和Zinnes提出，其主要特点是将非线性系统转化为线性系统来进行分析。
它把一个非线性系统映射到一个线性系统可以使一些复杂的非线性图像变成简单的线性图像，从而形成简单的表达式来解决复杂的问题。
一、双线性变换法定义双线性变换法是指通过线性常数和相关系数，将一维和多维数据变换为更简单的线性形式，以模拟复杂的非线性系统的运算的一种变换方法。
二、双线性变换法的应用（1）控制论领域。
双线性变换可以将复杂的非线性系统转变为简单的线性系统，使得这些复杂的系统容易控制。
（2）视觉领域。
双线性变换可以解决计算机视觉中的误差传播问题，将非线性的图像识别问题转变为简单的线性问题来处理；另外，在图像处理领域用双线性变换可以实现图像的变换，从而实现复杂的图像变换；（3）机器学习领域。
双线性变换可以将非线性的机器学习问题变换为线性的问题，让算法可以更加简单有效地解决复杂的机器学习问题。
三、双线性变换法的局限性（1）双线性变换法还有一些困难。
例如，当非线性系统出现很多两个变量或多个变量间有联系时，双线性变换也会受到很大影响。
（2）双线性变换法也会遇到数值不稳定的问题，在遇到非线性系统的情况下，很多变量的变化对结果的影响会变得很大，因此会产生数值不稳定的现象。
（3）双线性变换只是一种模拟，它并不能完全模拟出非线性系统的真实行为，因此很多时候双线性变换的结果可能不太准确。
双线性变换法是一种实用性很强的方法，它可以帮助我们更准确地分析和解决非线性系统问题，它也应用于控制论、视觉和机器学习等领域，但由于它有一些限制，如数值不稳定性和无法完全模拟非线性系统，因此我们需要更加谨慎地运用双线性变换法来真正发挥它的优势。
双线性变换法公式
双线性变换法（Bilinear Interpolation）是在图像处理中常用的一种插值方法。
公式如下：
f(x,y) = (1-x)(1-y)f(0,0) + (1-x)yf(0,1) + x(1-y)f(1,0) + xyf(1,1)
其中x,y 为目标像素坐标在原图像坐标系中的坐标值，f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1) 分别表示目标像素周围4 个像素点的灰度值。
双线性变换法是一种通过线性变换来求解目标像素点灰度值的方法。
它通过对图像进行缩放或旋转时，对于输出图像中缺失的像素点进行插值，来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
双线性变换法是一种非常高效的插值方法，其计算量与像素点数量无关。
另外，它还具有较高的精度和较低的计算复杂度。
它在图像处理、图像识别、图像分析、图像压缩等领域有着广泛的应用。
双线性变换法是一种双线性插值法，它基于线性插值法，通过对目标像素周围4个像素点的灰度值进行线性变换来求出目标像素点的灰度值。
其优点是插值效果好，像素质量高，图像变形较小。
双线性变换法在图像缩放、旋转、矫正等操作中都有着广泛的应用。
它在图像处理中常用来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
此外还可以用于从低分辨率的图像中重建高
分辨率图像，并且在视频处理中也有着广泛的应用。
双线性变换.
讨论其映射关系
当 z e j （单位圆时）
s
j 2 T
1 e j 1 e j
2 T
e j j / 2
j2
e j / 2
e j / 2
e1 j / 2
2
e j / 2
e j / 2
j 2 tan j
T2
即 s平面的虚轴与z平面的单位圆相互映射，有
j e j
p 2 tan1 pT / 2
2 tan 10.2 64.284o
64.284 o
180 o
0.375
rad
此时对应的AF实际截止频率
f p
p
/ 2T
0.375 2
2000
375Hz
400Hz
双线性变换法设计数字滤波器的一般步骤：
(1)确定数字滤波器的性能要求及各数字临界频率k 。 (2)由双线性变换法的变换关系将 k 变换为模拟域临
100.1 p 1 100.1s 1 p / s
一般系数 1
H z 0.421 1 z
z 0.1584
(2)预畸后 令 T 2 代入，得 H s p 0.7265
s p s 0.7265
p tan p / 2 0.7265
Hz
H a ss
2 T
1 1
z 1 z 1
1 1
0.7265
z 1 z 1
0.7265
p pT p / fs
2 400 0.4 rad 72o
2000
则
p
2 T
tan
p
/2
4000tan 36o 2906rad / s
925
f p 2906 / 2 462 .5Hz
双线性变换法
—计算机控制系统—
显然，s平面的虚轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图 3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。
图3-6 后向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
—计算机控制系统—
图3-7 梯形规则数值积分
—计算机控制系统—
对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得
D(z) C(z) 1 R(z) 2 z 1 T z 1
T
—计算机控制系统—
(3-8) (3-9) (3-10)
—计算机控制系统—
代入式（3-9）得
C(k) C(k 1) Tr(k)
对上式进行z变换，经整理为
D(z) C(z) Tz R(z) z 1
(3-11)
比较式（3-11）与式（3-8），得s和z的置换公式为
s z 1 Tz
(3-12)
推广而言，后向差分的离散化公式为
D(z)
D(s)
|s
z
1
Tz
因为
s z 1
Tz
则
z 1 1 1 Ts
2 2 1 Ts
当 s j 时，可得
z1 1 22
—计算机控制系统—
(3-13)
四、双线性变换法（Tustin变换法）
1、离散化公式
图3-7中曲线r(t)以下的积分面积
所以，采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定。
—计算机控制系统—
前向差分法的特点总结如下：
1、直接代换，具有串联性，变换 方便；
2、整个s左半平面映射到z平面z=1 以左的区域，故D(s)与D(z)不具有 相同的稳定性；
3 、 因 为 D(s)|s=0=D(z)|z=1 ， 故 稳 态 增益维持不变；
双线性变换法
z1 e(0.1 j0.995)T 0.493 j0.759
z2 e(0.1 j0.995)T 0.493 j0.759
根据公式（3-20），得
D(z)
k(z 1)2
z2 0.985z 0.819
—计算机控制系统—
由 D(s) s0 D(z) z1 可得
处
的d幅
值2 arDc(tazn)等T
T
2
于
图3-9 双线性变换的频率畸变
—计算机控制系统—
由图3-9可见，双线性变换将s域0~∞频段均压缩到z域的有限区间0~π ， 在系统校正装置的设计过程中，当D(z)用取代D(s)时，如果要保证在某 个特征频率ω 1处离散后，D( j1 D(e j1T ) ，则必需进行频率预修正。进 行预修正的步骤如下：
4、当采样周期T较小时，等效精 度较好。
三、后向差分法
设模拟控制器传递函数为
图3-5 前向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
D(s) C(s) 1 R(s) s
转换成微分方程
dc(t) r(t) dt
以一阶后向差分近似微分，得
dc(t) C(kT) c(k 1)T
dt
—计算机控制系统—
显然，s平面的虚轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图 3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。
图3-6 后向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
—计算机控制系统—
图3-7 梯形规则数值积分
—计算机控制系统—
对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得
D(z) C(z) 1 R(z) 2 z 1 T z 1
第—三计算章机控1-制--系-3统—
双线性变换法公式
双线性变换法公式
B(u,v) = ∑(i=1 to n) ∑(j=1 to m) a(i,j)u(i)v(j)
其中B(u,v)是变换的结果，u和v分别是V和W中的向量，n和m分别是V和W的维数，a(i,j)是双线性变换的系数。
下面以一个具体的例子来说明双线性变换法的应用。
假设我们有两个向量空间V和W，分别由基向量{e1,e2}和{f1,f2}生成。
双线性变换B：VxW---->U定义如下：
B(e1,f1)=a11,B(e1,f2)=a12
B(e2,f1)=a21,B(e2,f2)=a22
我们希望计算B(u,v)的值，其中u=δ1e1+δ2e2，v=ε1f1+ε2f2
根据双线性变换的公式，我们有：
B(u,v)=B(δ1e1+δ2e2,ε1f1+ε2f2)
=δ1ε1B(e1,f1)+δ1ε2B(e1,f2)+δ2ε1B(e2,f1)+δ2ε2B(e2,f2) =δ1ε1a11+δ1ε2a12+δ2ε1a21+δ2ε2a22
通过这个公式，我们可以计算出B(u,v)的值，其中a11，a12，a21，a22是双线性变换的系数。
这就是双线性变换法的基本思想。
总之，双线性变换法是代数数学中一种重要的解题方法，通过使用双线性变换的公式和性质，可以把复杂的问题转化为简单的计算过程，从而求解出问题的答案。
在实际应用中，双线性变换法具有广泛的应用领域，并且被广泛地运用到各种数学问题的求解中。
6.3-双线性变换法
设计思想 设计方法 频率预畸变
典型例题1一Fra bibliotek设计思想1、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域 的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响 应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来 设计高通和带阻滤波器。
原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系
，
二、“双线性变换法”设计方法
① 通过正切变换： 将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的 ② 通过Z变换： 内。
将Ω 1映射到Z平面的单位圆上。
③ 将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面 的映射关系：
4
④ 将S1平面按 z
e
s1T
映射到Z平面得到：
2 1 z s T 1 z 1
1
或
2 s z T 2 s T
5
三、双线性变换的频率对应关系 双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了 模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即： 可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关 系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这
2 tg ( ) T 2
频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原 型Ha(s) 确定 函数： ；最后求得数字系统
7
脉冲响应不变法的映射过程图示
2
2、双线性变换法的改进： 为避免频率的“混叠效应” ，分两步完成S平面到Z平面 的映射。
， ； ① 将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域 T T ② 通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。
双线性变换的映射过程图示
3
3、双线性变换法的基本思路： 从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 逼近模拟滤波器的频率响应 ,进而求得H(z)。
数字信号处理-双线性变换法
(2)2 cosh1(s/c) 5.5338 0.50885
1
1 =
cosh1
1 101.51
cosh1(tan0.15 /tan.2)
=
3.016 = cosh1(1.0196/0.65) 1.0207
cosh1
3.0783
取 N=4，与脉冲不变法相同。
= 1 + 1+ 2 =1.9652+2.205=4.1702
这样模拟滤波器的设计指标为
通带截止频率p =0.65，通带最大衰减p ≤1dB； 阻带边缘频率s =1.019，阻带最小衰减பைடு நூலகம்s ≥15dB； 1 ）求 N 、 c 10lg|H (jp)|2 ≥ 1 ， lg|H (jp)|2 ≥ 0.1，
|H (j 2 tan(0.1))|2 ≥ 10-0.1 ； 10lg|H (js)|2 ≥ 15 ， |H (j 2 tan(0.15))|2 ≥10-1.5。 lg|H (js)| 2 ≥ 1.5，
j j/2 j/2) (e e 2 2 j2 = 1 =j tan 2 T T j /2 j /2 +e ) 2 (e
2 + j = j tan 2 T
比较(6.4-8)等式两边，得到
(6.4-8)
=0
2 = tan 2 T
(6.4-9)
由(6.4-8)看到双线性变换法的映射关系使s平面的虚轴 映射为z平面的单位圆。 而(6.4-9)式频率正切变换关系 实现了频率压缩，使模拟域从~的变化，压缩为 数字域频率 从 ~ 变化。
函数H(z)。
与脉冲不变法一样，设计过程中除了的第一步求数字临 界频率{k}时，要用到取样间隔T或取样频率 fs 以外， 最后的结果与其它各步骤中T 或 f s的取值无关。所以为
双线性变换法
H
1 a
(s)
s3
1 2s2
2s
1
Ha
(s)
(s
/
c
)3
2(s
/
1 c
)2
2(s
/
c
)
1
又s
z2
2z cos0
z2 1
1
H
(z)
Ha (s)
s
z
2
2
z cos z 2 1
0
1
习题3.12
cos( c wc )
解：
cos( c
2 wc
)
2
c 2fc , wc 2fc / f s
u 1
z 1 1 z 1
抽样周期 T 2，试用双线性变换法将它转变
为数字系统函数 H z
解：由变换公式
s
c
1 1
z 1 z 1
及
c
2 ，T
T
2，可得
s
1 1
z 1 z 1
H
z
Ha
s
s
1 1
z z
1 1
1
1
z 1 z 1
2
1
1 1
z 1 z 1
1
1 z 1 2 3 z2
习题3.6
c
cT
阶巴特沃思数字低通滤波器，边界频率fc 1kHz
解：A2 () H ( j) 2
1
1 ( j )2*3
j1
H
a
(
s)
H
a
(
s)
1
1 s
6
其极点为Sk
j 1 2k 1
e 2 6 ,k
1,2,....6
清华大学数字信号处理课件--第六章7双线性变换法
c c ctg
c
2
特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地 控制截止频率位置
3、逼近情况
1）s c
1 z 1 z
1 1
c
1 e 1 e
j j
jc tg
2
j
s平面虚轴
2） z
cs cs
z平面单位圆
z (c )
2 2 2
0
0
缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
1
1 1 c
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
6、模拟滤波器的数字化方法
H ( z) H a (s) 1 z 1 Ha c 1 1 z
c j c j
(c )
2
s平面
0
z 1 z 1 z 1
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
左半平面
0 0
右半平面
虚轴
4、优缺点
优点：避免了频率响应的混迭现象
c tg
2
s 平面与 z 平面为单值变换
0 0
1 1
i 1, 2,..., m
可分解成并联的低阶子系统
双线性变换法公式
双线性变换法公式
z=x*B*y^T
其中，^T表示矩阵的转置运算符。
x和y是输入向量，z是输出向量。
*表示矩阵的乘法运算符。
1.将输入向量x和y表示为列矩阵形式：
x = [x1, x2, ..., xn]^T
y = [y1, y2, ..., ym]^T
2.将输出向量z表示为列矩阵形式：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
3. 对于输出向量z的每一个元素zi，都可以通过如下的内积运算来
进行计算：
zi = x^T * Bi * y
其中，Bi是B的第i行。
4. 将所有的zi组合起来形成输出向量z：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
双线性变换法的优点是可以灵活地定义不同的变换。
通过选择不同的
双线性变换矩阵B，可以实现各种不同的变换操作，如旋转、缩放、平移等。
这使得双线性变换法在图形学中被广泛应用，可以用来实现图像的几
何变换、纹理映射、颜色合成等功能。
然而，双线性变换法也存在一些限制。
由于双线性变换法只能处理线性变换，无法处理非线性变换。
此外，双线性变换矩阵B的大小会直接影响计算的复杂性，特别是在高维空间中，矩阵的大小可能会非常庞大，导致计算量很大。
因此，在实际应用中，需要根据具体的情况来选择合适的变换方法。
总之，双线性变换法是一种通过对输入空间和输出空间中的向量进行适当的线性变换来实现其中一种特定的变换的方法。
通过选择不同的双线性变换矩阵，可以实现各种不同的变换操作，具有广泛的应用前景。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的 设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失 真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值 （多对一）的映射关系。双线性变换法就是从 克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面 的单值映射关系。 其缩射是原的单s理1平值是面的先向，将z可s平平以面面很进进好行行的单压克值缩服映至频射s1率。平响由面应于，的这再混种将叠映压 失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的
根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和 数字频率ω之间的变换关系为
c tan( )
2
(5.26)
它表示 是单值的一一对应的映射关系
关键频点的对应关系：
Ω
ω
∞
π
0
0
-∞
-π
12
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠
于数字滤波器的低频特性
7
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率
（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一 个特定频率Ωc=2fc严格对应，即
c
ctan( 1cT ) 2
ctan(c )
2
此时有
c
cctg
(c
2
)
这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定 的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可 以较准确地控制截止频率的位置。
s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
j.c
tan(
)
2
j.c tan(1T ) 2
j
(4.25)
即s平面的虚轴的确与z平面的单位圆相对应(j ej)
其次，将s=+j代入(5.24)式，有
z c s (c ) j c s (c ) j
此时z的模为
(c ) 2 2
z
10
(c ) 2 2
1
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
一、变化原理
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的 一种变换方法，其变换原理为：
1、首先把整个s平面压缩变换到某一s1平面的一条横条内（从-π/T 到 π/T）；
2、利用z=es1T 将s1平面内的横条变换到整个z平面上去。
这种映射显然是单值映射，有效地克服了混叠失真
常用选择c的方法和依据、准则主要有：
6
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
1、选择c，使得模拟滤波器和数字滤波器在低频端 有较确切的对应关系，即在低频端有＝1
因为当1＝ / T 较小时，有
tan(1T ) 1T
2
2
根据(5.21)式可知，此时
1
c 1T 2
c
2 T
即当c=2/T时，可保证模拟滤波器低频特性近似
实际上，为了设计上的灵活性，如为了使模拟滤波 器的某一特定频率与数字滤波器的任一频率有对应 关系（由于非线性映射，使得模拟频率和数字频率 不再是线性对应关系），可引入待定常数c，通过c 的选择来实现不同的频率对应关系。
加入常数c之后的双线性变换公式为
c tan(1T ) 2
(5.21)
s
cth(
这种非线性关系可带来的问题有：
1、线性相位的模拟滤波器经过这种非线性变换后，得 到的数字滤波器是非线性相位的。
2、这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必
须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应应
近似等于某一常数，否则变换后所产生的数字滤
波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会
有畸变，换句话说，经过这种非线性变换设计出
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
讨论：
当 0,有 z 1; s平面左半平面映射到z平面单位圆内
当
0,有
z
1;
s平面右半平面映射到z平面单位圆外
当 0,有 z 1; s平面虚轴映射到z平面单位圆上
所以，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得 的数字滤波器也一定是稳定的
11
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
缺点：有可能存在严重的非线性失真，这一点是由 tan函数所决定的，tan(.)函数在0附近有较好的线性 近似，但随着Ω的增加，Ω和ω之间便存在着严重的 非线性关系，如下图8所示。
Ω/c
Ω=ctan(ω/2)
-π
π
ω
根据前面的讨论，当c=2/T时，能保证在低频端ω和Ω有
效的近似线性关系。
13
但随着Ω的增大，Ω和ω之间存在严重的非线性关系
s1T 2
)
c
1 1
e s1T e s1T
(5.22)
及
s
c
1 1
z z
1 1
(5.23)
z cs
(5.24)
5
cs
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
二、变换常数c的选择
前面提到，常数c的选择（改变）为模拟滤波器到 数字滤波器频率的映射提供了一定的灵活性，通 过常数c的不同选择可以起到灵活调节数字滤波器 频带的作用。
jΩ
jΩ1
jIm(z)
π/T
σ
σ1
-π/T
Re(z)
S 平面
S1平面
Z平面
2
图7 双线性变换的映射关系
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
(1) s平面
s1平面：
将s平面整个虚轴j压缩至s1平面虚轴j上的
(-/T，/T)这一段内，压缩关系为：
＝tan(1T ) 通过上式就将(-2，)
(5.17)
8
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
三、双线性变换法优缺点分析
双线性变换法的主要优点是避免了频率响应的 混叠现象。
关于这一点，通过前面的图7和（5.17）式和 （5.21）式就可以清楚的看到。 下面再具体说明一下双线性变换法的有效性 （正确性）
9
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
首先将z=ej代入(5.23)式，可得
e 2 e 2
(5.18)
(2) 将 s1 平面映射到 z 平面 (映射关系如下 )
z es1T
(5.19)
结合(1)、(2)两步变换，可得双线性变换法中由 s 平 面 z 平面的单值映射为
s
1 1
z 1 z 1
,反之，z
1 1s s(5源自20)4以上就是双线性变换的原理及映射公式。
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
1(-/T，/T)
其中+ /T，- -/T，0 0
(5.17)式按指数形式展开可另写为：
1T
1T
j
ej 2
1T
e j 2
1T
3
e j 2 e j 2
§将这5一.4压双缩变线换性延拓变至换整个法s平（面频和域s1平逼面有近法）
s1T
s1T
s
e2
s1T
e 2
s1T
th(
s1T 2
)
1 1
e s1T e s1T
的数字滤波器不能很好的反映出原模拟滤波器幅