经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式 （1）均值不等式

设12,,0n a a a >L 是实数

其中0,1,2,i a i n >=L .当且仅当12n a a a ===L 时，等号成立. （2）柯西不等式

设1212,,,,,n n a a a b b b L L 是实数，则

当且仅当0(1,2,,)i b i n ==L 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==L 时，等号成立. （3）排序不等式

设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L 为两个数组，12n c c c L ，，

，是12n b b b L ，,，的任一排列，则

当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式

对于两个数组：12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L ，有 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. 二 相关证明

（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 而

根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 即得

同理，根据“乱序和≥反序和”，可得 综合即证

（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12n

a a a n

+++≤

L

证明：构造两个数列：

其中

c =因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和：．．

总是两数组的反序和．．．．．．．．．

.于是由“乱序和≥反序和”，总有 于是 即 即证

（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”：

12n a a a n +++≤

L 证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ，

12n a a a n +++≤L 222121212n n n

a a a a a a a a a n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫⇔≤

⎪⎪⎝⎭⎝⎭

L L L .

由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证.

（4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”

1212111+n

n

a a a n n

a a a +++≤

++L L

证明：

1212111+n

n

a a a n n

a a a +++≤

++L L

1212121211

1111+1n n n n a a a a a a a a a a a a n n n ⎛⎫++⋅+⋅++⋅ ⎪+++⎛⎫ ⎪⇔≥= ⎪

⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭L L L . 不妨设12n a a a ≥≥≥L ，则11

111

n n a a a -≥≥≥L ，由切比晓夫不等式，上式成立.即证.

（5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式

证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≤≤≤L 由切比晓夫不等式，有

11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫

≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

L L L . 由均值不等式，有

1212n n a a a n b b b n +++≤

+++≤

L L 所以

两边平方，即得()()()2222

22211221212n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++L L L .即证. （6）补充“调和—几何平均不等式”的证明

证明：

12n a a a n +++≤L 中的i a 换成1i a ，

12

111

n a a a n

+++

≤

L .

两边取倒数，即得

12111+n

n

a a a ≤++L