北师大版九年级上册数学正方形的性质

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数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正方形的基本概念、性质和判定方法，以及它在日常生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对正方形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级上册第一章第三节的正方形的性质和判定。教学内容主要包括以下方面：
1.正方形的定义：通过前一节矩形和菱形的性质，引导学生探究正方形的定义，即四条边相等且四个角都是直角的矩形。
2.正方形的性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等，且均为直角；
2.教学难点
-正方形性质的推导：学生需要理解并推导出正方形的各种性质，如对角线相等、垂直、平分等，这需要较强的逻辑推理能力。
-正方形判定的灵活应用：学生需要能够根据不同情况灵活应用判定方法，这对于部分学生来说可能存在难度。
-解决实际问题中的正方形应用：将正方形的性质和计算方法应用于实际问题，如求解正方形边长或面积，需要学生具备一定的数学建模能力。
（3）对角线互相垂直、平分且相等；

《正方形的性质与判定》第2课时示范课教学设计【数学九年级上册北师大】

《正方形的性质与判定》教学设计第2课时一、教学目标1.理解并掌握正方形的判定定理，并会用正方形的判定定理进行证明和计算；2.经历正方形判定定理及中点四边形的探索过程，进一步发展合情推理能力.3.能够用综合法证明正方形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.二、教学重难点重点：理解并掌握正方形的判定定理，会用正方形的判定定理进行证明和计算.难点：探究证明正方形的判定定理，探究并证明中点四边形.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：先提出问题让学生观察，然后再动画演示.问题：观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？预设答案：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.追问：正方形具有哪些性质呢？预设答案：正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.【想一想】你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？预设答案：追问：怎样判定一个四边形是正方形呢？【操作】如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形.你知道这样做的道理吗？【合作探究】教师活动：研究正方形的判定方法，准备了两个探究活动，活动1是从矩形的基础上探究，活动2是从菱形的基础上探究，最后得出正方形的4种判定方法.活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.满足怎样条件的矩形是正方形？预设答案：【猜想1】当矩形的一组邻边相等时，会变成一个正方形.【猜想2】当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方形. 【证明】猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD 是矩形，AB =BC . 求证：四边形ABCD 是正方形.证明：∵四边形ABCD 是矩形∵∵A =90°，四边形ABCD 是平行四边形又∵ AB =BC ，∵四边形ABCD 是正方形.猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ∵BD .求证：四边形ABCD 是正方形.证明：∵四边形ABCD 是矩形∵OA =OC =OB =OD ，∵BAD =90°. 又∵ AC ∵BD ，∵∵AOB ∵ ∵AOD （SAS ）. ∵AB = AD .∵四边形ABCD 是正方形.（正方形的定义）.DAB C【归纳】正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∵四边形ABCD是正方形.正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC∵BD，∵四边形ABCD是正方形.活动 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.满足怎样条件的菱形是正方形？预设答案：【猜想3】当菱形的有一个角是直角时，会变成一个正方形.【猜想4】当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形. 【证明】猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形，∵A =90°. 求证：四边形ABCD 是正方形.证明：∵四边形ABCD 是菱形∵AB =BC ，四边形ABCD 是平行四边形又∵ ∵A =90°，∵四边形ABCD 是正方形.猜想4：对角线相等的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =BD .求证：四边形ABCD 是正方形.证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∵OA =OC ，OB =OD ，AC ∵BD . 又∵ AC =BD ，∵OA =OC =OB =OD ，∵AOB =∵BOC = ∵COD =∵AOD =90°.∵∵AOB 、∵AOD 、∵BOC 、∵COD 都DAB C是等腰直角三角形.∵∵BAD=90°∵四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.【归纳】正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是菱形，∵A=90°，∵四边形ABCD是正方形.定理4：对角线相等的菱形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC=BD，∵四边形ABCD是正方形.【典型例题】思考：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？预设答案：猜想：正方形你能尝试证明吗？【证明】已知：如图，点A1，B1，C1，D1 分别是正方形ABCD各边的中点.求证：四边形A1B1C1D1 为正方形.证明：连接AC，BD，∵A1，B1分别是AB和BC边中点，∴A1B1∥AC且A1B1=12 AC，同理可证C1D1∥AC且C1D1 =12 AC，A1D1∥BD且A1D1 =12 BD，B1C1∥BD且B1C1 =12 BD.∴四边形A1B1C1D1 为平行四边形.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC = BD（正方形的对角线相等）AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴A1B1= A1D1 =B1C1= C1D1，∠1 = 90°.∴四边形A1B1C1D1 是菱形，∠2 = 90°.∴四边形A1B1C1D1 为正方形.归纳：以正方形的四边中点为顶点可以组成一个正方形.【议一议】教师活动：做一做环节从任意的四边形和正方形角度探究了中点四边形，议一议主要从矩形和菱形的角度探究，得出猜想并证明，最后得出决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.问题1：菱形的中点四边形会是什么形状？预设答案：猜想：菱形的中点四边形是矩形.问题2：矩形的中点四边形会是什么形状？预设答案：猜想：矩形的中点四边形是菱形.请尝试证明这两个猜想？【证明】已知：如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1 = 90°. ∴四边形PFQO 为矩形.∴∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）归纳：以菱形的四边中点为顶点可以组成一个矩形.已知：如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为菱形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC且EF = 12AC，同理可证HG∥AC且HG =12 AC，EH∥BD且EH=12BD，FG∥BD且FG=12BD.∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF =EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）归纳：以矩形的四边中点为顶点可以组成一个菱形.追问：决定中点四边形形状的关键因素是什么？预设答案：决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应H分别在它的四条边上，且AE= BF = CG = DH. 四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？答案：1.证明: 在正方形ABCD中，BE＝DF，易证∵CEB∵∵AEB∵∵AFD∵∵CFD，即CE＝AE＝AF＝FC，∵四边形AECF是菱形．2. 解：四边形EFGH是正方形.∵在正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH，易证∵AEH∵∵DHG∵∵CGF∵∵BFE，即EH＝HG＝GF＝FE，且∵AHE＝∵DGH．∵∵DGH＋∵DHG＝90°，∵∵EHG＝180°－(∵AHE＋∵DHG)＝90°，∵四边形EFGH是正方形.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第25页。

新北师大版初三上册数学(九年级) 第一章：3、《正方形的判定》课件

解： ∵ DE∥AC，DF∥AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等

北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》教案

《3正方形的性质与判定》教案
教学目标：
1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2、能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论．
3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
教学重点：
掌握正方形的性质和判定，以及证明．
教学难点：
运用综合法证明．
教学刚才：
提问：1．正方形有哪些性质？
2．判定一个四边形是正方形有哪些方法？
正方形性质：
1．具有平行四边形所有性质
2．具有菱形的所有性质
3．具有矩形的所有性质
正方形的判定：
先证矩形，再证有一组邻边相等
先证菱形，再证有一个角是直角
你能证明所得出的结论吗？
议一议
1．依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明．
2．依次连接平行四边形四边中点呢？
3．依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系？
课堂小结：
当平行四边形的一个角为直角、一组邻边相等时、图形为正方形．正方形既是平行四边形的特例，又是矩形和菱形的特例．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．它既是中心对称图形，又是被对称图形．正方形除具有平行四边形的一切性质外，还具有如下性质：四个角都是直角；四条边都相等；两条对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．判定一个四边形是正方形的思路．
第1页共1页。

北师大版初三数学上册正方形性质及判定教案

北师大版初三数学上册正方形性质及判定教案一、教学内容本节课选自北师大版初三数学上册，主要讲述正方形的性质及判定。

涉及教材的第四章第二节，内容包括：正方形的定义、性质、判定方法以及应用。

二、教学目标1. 让学生掌握正方形的定义和性质，能够运用性质解决实际问题。

2. 使学生掌握正方形的判定方法，能够判断一个四边形是否为正方形。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点教学难点：正方形的判定方法。

教学重点：正方形的性质及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、正方形模型。

2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体课件展示一组正方形的图片，引导学生观察正方形的特点，激发学生的学习兴趣。

2. 知识讲解（1）正方形的定义：四边相等且四角均为直角的矩形。

（2）正方形的性质：四边相等、四角均为直角、对角线相等、对角线互相垂直平分。

（3）正方形的判定方法：①四边相等且四角均为直角；②对角线互相垂直平分且相等；③一组邻边相等且垂直。

3. 例题讲解（1）判断题：判断下列图形是否为正方形。

（2）解答题：证明一个四边形是正方形。

4. 随堂练习（1）判断题：判断下列图形是否为正方形。

（2）解答题：已知四边形ABCD中，AD=CD，AB=BC，∠DAB=∠ADC=90°，证明：四边形ABCD是正方形。

5. 小结归纳正方形的性质和判定方法，强调正方形在实际生活中的应用。

六、板书设计1. 正方形的定义2. 正方形的性质3. 正方形的判定方法4. 例题解析七、作业设计1. 作业题目（1）判断题：判断下列图形是否为正方形。

（2）解答题：已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是正方形。

2. 答案（1）判断题：图形①、③、⑤是正方形，图形②、④、⑥不是正方形。

（2）解答题：见教材P92。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对正方形的性质和判定方法掌握程度如何，教学中是否存在需要改进的地方。

1.3正方形的性质与判定课件+2025学年北师大版数学九年级上册

解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下：
A
D
（1）∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都
相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
B
E F
C
又∵CE = CF.
∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF.
正方形的性质
正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
初中数学北师大版九年级上册
第一章特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第2课时正方形的判定
创设情境，导入新课
正方形的定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.
正方形的性质
正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
初中数学北师大版九年级上册
第一章特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质
矩形变正方形
一组邻边相等
菱形变正方形
一个角是90°
探究新知，经历过程
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特
殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
3 2.5 2
2
2.5
3
你能总结出正方形的定义吗？
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，
F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间
有怎样的关系？请说明理由.
（2）延长 BE 交 DF 于点 M.
A
D
∵△BCE ≌ △DCF.

北师大版初三数学上册正方形性质及判定精品教案

北师大版初三数学上册正方形性质及判定精品教案一、教学内容本节课我们将学习北师大版初三数学上册第八章“多边形性质”中“正方形性质及判定”。

具体内容包括正方形定义、性质、判定方法以及应用。

我们将详细探讨教材第8.3节内容，理解正方形作为特殊矩形和菱形性质，并学会运用这些性质解决实际问题。

二、教学目标1. 知识目标：通过本节课学习，使学生掌握正方形定义、性质及判定方法，能够运用这些知识解决相关问题。

2. 能力目标：培养学生观察、分析、归纳问题能力，提高学生逻辑思维能力和空间想象能力。

3. 情感目标：激发学生学习数学兴趣，培养学生合作意识和团队精神。

三、教学难点与重点1. 教学难点：正方形性质及判定方法应用。

2. 教学重点：正方形定义、性质及判定方法掌握。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型。

2. 学具：直尺、圆规、量角器、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一组生活中常见正方形物品（如魔方、瓷砖等），引导学生观察正方形特征，提出问题：“正方形有哪些特殊性质？”2. 自主探究：学生通过观察、测量正方形模型，发现正方形性质，如四条边相等、四个角相等、对角线互相垂直等。

3. 例题讲解：讲解教材中例题，引导学生运用正方形性质解决问题，强调解题思路和方法。

4. 随堂练习：设计有针对性练习题，让学生巩固正方形性质及判定方法，及时反馈并纠正错误。

5. 小组讨论：分组讨论教材中思考题，培养学生合作意识和解决问题能力。

六、板书设计1. 正方形定义：四边相等、四角相等矩形。

2. 正方形性质：（1）四条边相等；（2）四个角相等，都是直角；（3）对角线互相垂直、平分；（4）对角线相等；（5）内切圆与外接圆半径相等。

3. 正方形判定方法：（1）有一组邻边相等且一个角为直角矩形；（2）有一组邻边相等且对角线互相垂直矩形；（3）对角线相等且互相垂直四边形；（4）有一组邻边相等、对角线互相垂直且相等四边形。

1.3第1课时正方形的性质-北师大版九年级数学上册习题课件

(2)如图 2，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM.理由：在图 2 中，延长 EM 交 DA
2．正方的形是延轴对长称图线形，于它的对H称.轴∵有(四边) 形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形，∴∠ADE＝∠
10．【易错题】已知正方形ABCD中，点E为直线BC上一点，若AE＝2BE，则∠DAE＝__________度．
1．正方形具有而矩形不具有的性质是( )
11．如图，正方形OABC的边OA和OC都在坐标轴上，将正方形OABC绕点O旋转到OA′B′C′，这时点A′的坐标为(2,3)，则点B′的坐标为__________.
∴∠FAE＋∠AED＝90°，注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
知识点1 正方形的定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
第一章特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
知识点2 正方形的性质 (1)定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (2) 定理 2 ：正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． (3)对称性：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴．
90°，∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝ AE2＋AF2＝ 2AE＝5 2.
第一章特殊平行四边形
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正方形的判定(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)

正方形的判定（4种题型）【知识梳理】一．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【考点剖析】题型一：正方形判定定理的理解例1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）满足下列条件的四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形B．对角线互相垂直的菱形C．对角线相等的矩形D．对角线互相垂直平分的四边形【答案】A【分析】根据正方形的判定方法即可求解．【详解】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项正确，符合题意；B选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故B选项错误，不符合题意；C选项，对角线相等的菱形是正方形，故C选项错误，不符合题意；D选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故D选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键．【变式】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交O ，添加下列条件不能判定矩形ABCD 是正方形的是（）A ．AB BC =B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．12∠=∠【答案】B 【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断．【详解】解：A 、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；B 、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；C 、正确．∵四边形ABCD 是矩形，∴OD OB =，OC OA =，∵AC BD ⊥，∴AD AB =，∴矩形ABCD 为正方形，故不符合题意；D 、正确，∵12∠=∠，AB CD ，∴2ACD ∠=∠，∴1ACD ∠=∠，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．题型二：添加一个条件使四边形是正方形例2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，D 是ABC 内一点，AD BC ⊥，E 、F 、G 、H 分别是AB BD CD AC 、、、的中点，添加下列哪个条件，能使得四边形EFGH 成为正方形（）A ．BD CD =B ．BD CD ⊥C ．AD BC = D ．AB AC =【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可证EF GH =，EH FG =，推出四边形EFGH 是平行四边形，再根据AD BC ⊥证明EF FG ⊥，可得四边形EFGH 是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形可得选项C 为正确答案．【详解】解： E 、F 、G 、H 分别是AB BD CD AC 、、、的中点，∴ EF 是ABD △的中位线，CH 是ADC △的中位线，FG 是DBC △的中位线，EH 是ABC 的中位线， ∴12EF AD =，EF AD ∥，12GH AD =，GH AD ∥，12FG BC =，FG BC ∥，12EH BC =，EH BC ∥， ∴EF GH =，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，EF AD ∥，FG BC ∥，AD BC ⊥，∴EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形，当AD BC =时，1122EF AD BC FG ===，可得四边形EFGH 是正方形．故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法，以及中位线的性质，即平行于三角形的第三条边，且等于第三边长度的一半．【变式】．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个以A ∠为内角的菱形吗？石雨的折法如下：第一步，折出A ∠的平分线，交BC 于点D ，第二步，折出AD 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点E 、F ，把纸片展平，第三步，折出DE 、DF ，得到四边形AEDF ，(1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF 是菱形；(2)ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据要求画出图形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据正方形与菱形的关系即可得知ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，有一个角为直角的菱形为正方形．【详解】（1）解：图形如图所示：理由：∵AD 是BAC ∠ 的平分线，∴BAD CAD ∠=∠，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴EA ED =，∴EAD EDA ∠=∠，∴EDA CAD ∠=∠，∴ED AF ∥．同理AE FD ∥，∴四边形 AEDF 是平行四边形，又EA ED =，∴四边形 AEDF 是菱形．（2）ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，理由如下：∵四边形 AEDF 是菱形，90BAC ∠=︒，∴四边形AEDF 是正方形．【点睛】本题考查作图——复杂作图，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型三：证明四边形是正方形例3.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．【分析】先判断出AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，进而求出∠AFD ＝∠AEB ＝75°，进而判断出△AEB ≌△AFD ，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°，∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．【变式1】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形CEDF是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【变式2】如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形．【分析】可通过证明△AEH，△DHG，△CGF，△BFE全等，先得出四边形EFGH是菱形，再证明四边形EFGH 中一个内角为90°，从而得出四边形EFGH是正方形的结论【解答】解：四边形EFGH是正方形．证明：∵AE＝BF＝CG＝GH，∴AH＝DG＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD．∴四边形EFGH是菱形．∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，∴∠EHA+∠GHD＝90°．∴∠EHG＝90°．∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定和性质、正方形的性质和判定，熟练掌握应用全等三角形的性质是解题的关键．题型四：根据正方形的判定与性质求线段长例4.如图所示△ABC中，∠C＝90A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形；（2）利用三角形面积求法得出EC的长．【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，∴四边形FCED是矩形，又∵∠A，∠B的平分线交于D点，∴DF＝DE＝DN，∴矩形FCED是正方形；（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB＝10，∵四边形CEDF为正方形，∴DF＝DE＝DN，∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，故EC＝＝2．【点评】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出DF＝DE是解题关键．【变式】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形；（2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a．【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，∴FC＝FD，∴∠D＝∠FCD＝45°，∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，又∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）∵FG垂直平分CD，∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，∵BG∥AD，∴∠G＝∠EFD，在△CEG和△DEF中，，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，又∵正方形ABCF中，BC＝AF，∴AF+FD＝BC+CG，∴AD＝BG＝a．【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．题型五：中点四边形例5（2023·陕西西安·校考二模）已知四边形ABCD 为菱形，点E 、F 、G 、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E 、F 、G 、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】C【分析】连接AC BD 、，根据三角形中位线定理得到1122HG EF BD FG EH AC ====，，根据菱形的性质得到AC BD ⊥，即可判断四边形EFGH 为矩形．【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E 、F 、G 、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C ．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的性质是解题的关键．【变式】（2023·山东临沂·统考一模）四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交点O ，点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD ，四边形MNPQ 可能不是平行四边形；②若AC BD =，则四边形MNPQ 一定是菱形；③若AC BD ⊥，则四边形MNPQ 一定是矩形；④若四边形ABCD 是菱形，则四边形MNPQ 也是菱形．所有正确推断的序号是_____________．【答案】②③【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．【详解】解：点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥且12MN AC =，PQ AC ∥且12PQ AC =，MN PQ ∴∥且MN PQ =，MNPQ ∴是平行四边形，故①错误；点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，∴12MN AC =，12PN BD =，AC BD =，MN PN ∴=，MNPQ 是平行四边形，∴四边形MNPQ 是菱形，故②正确；点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥，MQ BD ∥，AC BD ⊥，MN MQ ∴⊥，90QMN ∴∠=︒，MNPQ 是平行四边形，∴MNPQ 是矩形，故③正确；若要四边形MNPQ 是菱形，需满足AC BD =,当四边形ABCD 是菱形，AC 不一定等于BD ，故④错误；综上，正确的有：②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【过关检测】一、单选题 A ．AC BD =B ．【答案】B 【分析】已知四边形ABCD 是矩形，要使它成为正方形只有两种方法：（1）一组邻边相等；（2）对角线互相垂直，据此求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴当AC BD ⊥或当AD AB =或AB BC =或BC CD =或AD CD =时，四边形ABCD 是正方形；故选：B.【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练地掌握正方形的判定方法是解题的关键．（1）一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．2．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）下列命题正确的是（）A．对角线垂直的四边形是菱形B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形C．顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半【答案】D【分析】利用平行四边形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面积计算方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；B、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；C、顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是对角线相等且互相垂直的四边形，故原命题错误，不符合题意；D、对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面积计算方法等知识．【答案】B【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键．A ．①③B ．①②【答案】C 【分析】①根据正方形的性质和中位线定理可以解决问题；②利用①中结论可以证明OM MP ≠，可以解决问题；③利用①③中的结论，确定四边形EFNB 的面积与OMP 的面积比，正方形ABCD 面积与OMP 的面积比，可以解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线∴45ABO ADB CBD BDC ∠=∠=∠=∠=︒，90BAD BCD ∠=∠=︒∴ABD △、BCD △是等腰直角三角形∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴EF BD ∥，12EF BD =，CE CF =∵90ECF ∠=︒,CE CF =∴CEF △是等腰直角三角形∵AP EF ⊥，EF BD ∥∴90AOD AOB ∠=∠=︒又∴45ABO ADB ∠=∠=︒∴ABO 、ADO △是等腰直角三角形∴AO BO =，AO DO =∴BO DO =∴AOB AOD △≌△∴AO BD ⊥又∵OP BD ⊥∴A 、O 、P 三点共线 ∴12PE PF EF ==又∵M ，N 分别为BO ，DO 的中点∴F O P M MB ON P ND E =====连接PC ，如图，∵FD CF =，ON ND =∴NF 是CDO 的中位线，∴NF AC ∥∵90DNF ∠=︒，45FDB ∠=︒∴DNF △是等腰直角三角形∴NF ND ON ==∵90ONF NOP OPF ∠=∠=∠=︒∴四边形FNOP 是矩形∵NF ON =∴四边形FNOP 是正方形∴OM OP =∴OMP 是等腰直角三角形∴图中的三角形都是等腰直角三角形故①正确；∵OMP 是等腰直角三角形∵45FDB ∠=︒∴MP BC ∥∴四边形MPEB 是平行四边形，在Rt OMP △中，MP OM ＞即BE BM ＞∵BE BM ≠∴四边形MPEB 不是菱形故②错误；∵OM BM ON ==，SBEPM BM OP =⨯，1S 2OMP OM OP =⨯⨯，S ONFP ON OP =⨯ ∴S S 2S BEPM ONFP OMP == ∴S S S S 5S BEPM OMP OMP ONFP EFNB =++=正方形四边形 ∵11S 2222AOB OB OA OM OP =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 即1S 44S 2AOB OMP OM OP =⨯⨯⨯= 又∵S 4S AOB ABCD =正方形 ∴S 16S OMP ABCD =正方形5S S 16ABCD EFNB =正方形四边形故③错误；故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题【答案】【分析】四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=，如图所示，过点E作EH AD⊥于H，交BC于Q，AE与BC交于点P，可证(SAS)BCG QEC△≌△，(SAS)EQP ABP△≌△，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=∴1122BG AG AB===，∴在Rt BCG中，52CG===，如图所示，过点E作EH AD⊥于H，交BC于Q，AE与BC交于点P，∵四边形CEFG为正方形，∴CE CG=，∵12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，在,BCG QEC△△中，1390EQC B CE CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)BCG QEC △≌△，∴EQ BC ==CQ GB ==，即Q 为BC 中点，同理，可证(SAS)EQP ABP △≌△，∴1122QP BP BQ ====，12EP AP AE ==∴在Rt ABP 中，AP ====，∴22AE AP ===，故答案为：．【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON OM ⊥，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是5，则AB 的长为______．【答案】【分析】如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，证明()ASA EOM FON ≌，则EOM FON S S =，5OEDF MOND S S ==四边形，即25OE =，解得OE =，根据2AB OE =，计算求解即可．【详解】解：如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，∴OE OF =，90EOF EOM MOF ∠=︒=∠+∠，∵90MON FON MOF ∠=︒=∠+∠，∴EOM FON ∠=∠，∵EOM FON ∠=∠，OE OF =，90OEM OFM ∠=∠=︒，∴()ASA EOM FON ≌， ∴EOM FON SS =，∴5OEDF MOND S S ==四边形，即25OE =，解得OE =OE =，∴2AB OE ==故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（2023·四川凉山·统考一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，,E F 分别是,AD AB 边上一点，且AE BF =，连接,BE CF 交于点P ，则线段DP 的最小值为___________1【分析】如图所示，线段DP 中，点P 运动的路径是以BC 中点为圆心，12BC 为半径的半圆，分类讨论，①当E F 、在线段AD AB 、上时；②当E F 、在线段AD AB 、延长线上时；图形结合，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，线段DP 中，点P 运动的路径是以BC 中点为圆心，12BC 为半径的半圆，①当E F 、在线段AD AB 、上时，如图所示，∴当BE CF ⊥时，DP 的值最小，∵正方形ABCD 的边长为2，∴如图所示，由此，对角线的长为AC BD ===∴1122DP AB ===②当E F 、在线段AD AB 、延长线上时，如图所示，∴当BE CF ⊥时，即点,,O P D 在一条直线，DP 的值最小，如图所示，连接OP ，∵BE CF ⊥，∴90BPC ∠=︒， ∵112122OB OP OC BC ====⨯=，2CD AB ==，∴在Rt OCD △中，OD =∴1DP OD OP =−=；综上所示，DP 1，1． 8．（2023·安徽安庆·校考一模）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E 为AB 边上一点，将BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处．当AEF △为直角三角形时，AE =___________．【答案】2或5/5或2【分析】分90,90,90AEF AFE FAE ∠=︒∠=︒∠=︒三种情形计算．【详解】解：当90AFE ∠=︒时，连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6AD =，∴90ABC CFE ∠=∠=︒，10AC ==，6AD BC ==，∵90AFE ∠=︒，∴180AFE CFE ∠+∠=︒，∴,,A F C 三点共线，根据折叠的性质，得6,CF BC EF EB ===，∴4AF AC CF =−=，设AE x =，则8EF EB x ==−，根据勾股定理，得()22284x x =−+，解得5x =，故5AE =；当90AEF ∠=︒时，∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6AD =，∴90ABC CFE ∠=∠=︒，6AD BC ==，∵90AFE ∠=︒，∴四边形BCFE 是矩形，根据折叠的性质，得6,CF BC EF EB ===，∴四边形BCFE 是正方形，∴6CF BC EF EB ====，∴862AE AB BE =−=−=，故2AE =；当90=︒∠FAE 时，∵CD CF ＞，∴F 点不可能落到AD 上，故90=︒∠FAE 不成立，故2AE =或5AE =，故答案为：2或5．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．9．（2023·福建·模拟预测）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AC 、AE 是两条对角线，则∠CAE 的度数为_________°．【答案】45【分析】连接AG 、GE 、EC ，易知四边形ACEG 为正方形，根据正方形的性质即可求解．【详解】解：连接AG 、GE 、EC ，如图所示：∵八边形ABCDEFGH 是正八边形∴AB BC CD DE EF FG GH HA=======，(82)1801358ABC BCD CDE DEF EFG FGH GHA HAB −︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠==︒∴ABC CDE EFG GHA ∆≅∆≅∆≅∆∴AC CE EG GA ===∴四边形ACEG 是菱形又1(180135)22.52BAC BCA ∠=∠=︒−︒=︒，1(180135)22.52HAG HGA ∠=∠=︒−︒=︒∴13522.522.590CAG BAH BAC HAG ∠=∠−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴四边形ACEG 为正方形，∵AE 是正方形的对角线，∴∠CAE=119022CAG ∠=⨯︒=45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．二、解答题 10．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，CD 为角平分线，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．求证：四边形DECF 是正方形．【答案】见解析【分析】先证明四边形DECF 是矩形，再由角平分线的性质得出DE DF =，即可得出结论．【详解】CD 是角平分线，DE AC ⊥，DF BC ⊥，DE DF ∴=，90CED CFD ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，∴四边形DECF 是矩形，又DE DF =，∴四边形DECF 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定方法、矩形的判定方法、角平分线的性质；熟练掌握正方形的判定方法，11．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）已知，如图，矩形ABCD 中，6AD =，7DC =，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，2AH =，连接CF ．(1)如图1，若2DG =，求证四边形EFGH 为正方形；(2)如图2，若4DG =，求△FCG 的面积；(3)当DG 为何值时，△FCG 的面积最小．【答案】(1)见解析(2)3(3)当DG =△FCG 的面积最小为7【分析】（1）由于四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，那么90D A ∠=∠=︒，HG HE =，而2AH DG ==，易证AHE DGH ≌，从而有DHG HEA ∠=∠，等量代换可得90AHE DHG ∠+∠=︒，易证四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ，由于AB CD ，可得AEG MGE ∠=∠，同理有HEG FGE ∠=∠，利用等式性质有AEH MGF ∠=∠，再结合90A M ∠=∠=︒，HE FG =，可证AHE MFG △△≌，从而有2FM HA ==（即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2)，进而可求三角形面积；（3）先设DG x =，由第（2）小题得，7FCG S x ∆=−，在AHE 中，7AE AB ≤=，利用勾股定理可得253HE ≤，在Rt DHG 中，再利用勾股定理可得21653x +≤，进而可求x ≤，从而可得当x GCF ∆的面积最小．【详解】（1）四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，90D A ∴∠=∠=︒，HG HE =，又2AH DG ==，()Rt Rt HL AHE DGH ∴≌，DHG HEA ∴∠=∠， 90AHE HEA ∠+∠=︒，90AHE DHG ∴∠+∠=︒，90EHG ∴∠=︒，∴四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ， ∥AB CD ，AEG MGE ∴∠=∠，HE GF ∥，HEG FGE ∴∠=∠，∴∠=∠AEH MGF ，在AHE 和MFG 中，90A M ∠=∠=︒，HE FG =，AHE MFG ∴≌，2∴==FM HA ，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2，因此()11274322FCG S FM GC =⨯⨯=⨯⨯−=；（3）设DG x =，则由第（2）小题得，7FCG S x ∆=−，在AHE ∆中，7AE AB ≤=，253HE ∴≤，21653x ∴+≤，x ∴FCG S ∆∴的最小值为7DG∴当DG =FCG ∆的面积最小为(7．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，点E ，F 在AC 上，且AE CF =，连接BE DF ，．(1)求证：BOE DOF ≌；(2)连接BF DE ，，若AB AD =，线段OE 满足什么条件时，四边形BEDF 为正方形．【答案】(1)证明见解析(2)当OE OD =时，四边形BEDF 为正方形，理由见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得到OD OB OA OC ==，，再证明OE OF =即可利用SAS 证明BOE DOF ≌；（2）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ，相交于点O ，∴OD OB OA OC ==，，∵AE CF =，∴OA AE OC CF −=−，即OE OF =，又∵DOF BOE ∠=∠，∴()SAS BOE DOF ≌△△；（2）解：当OE OD =时，四边形BEDF 为正方形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD OD OB OA OC ==⊥，，，∵AE CF =，∴OA AE OC CF −=−，即OE OF =，又∵OE OD =，∴OE OD OF OB ===，∴EF 与BD 互相垂直平分且相等，∴四边形BEDF 为正方形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键． (1)求证：①EFB EBF ∠=∠②矩形DEFG 是正方形；(2)求AG AE +的值．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①过E 作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N 利用正方形的性质和角平分线的性质得到()SAS ADE ABE ≌，EM EN =进而得到DE BE =，再证明四边形ANEM 是矩形，又四边形DEFG 是矩形和全等三角形的判定证明()ASA EMD ENF ≌，得到EF BE =，利用等腰三角形的性质可证得结论；②根据正方形的判定可得结论；（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明()SAS ADG CDE ≌△△得到AG CE =，进而得到AG AE AC +=即可求解．【详解】（1）证明：过E 作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N ，则90EMA EMD ENF ENB ∠=∠=∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45EAD EAB ∠=∠=︒，AD AB =，又AE AE =，∴()SAS ADE ABE ≌，EM EN =，∴DE BE =，∵90EMA ENA DAB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ANEM 是矩形，又四边形DEFG 是矩形，∴90MEN DEF ∠=∠=︒，∴90DEM FEN MEF ∠=∠=︒−∠，又90EMD ENF ∠=∠=︒，EM EN =，∴()ASA EMD ENF ≌，则DE EF =，∴EF BE =，则EFB EBF ∠=∠；②∵四边形DEFG 是矩形，DE EF =，∴四边形DEFG 是正方形；（2）解：∵四边形DEFG 是正方形，四边形ABCD 是正方形，∴DG DE =，DC DA =，90GDE ADC ∠=∠=︒，∴ADG CDE ∠=∠，∴()SAS ADG CDE ≌△△，∴AG CE =，∴AG AE CE AE AC +=+===【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答的关键．14．（2023·山东聊城·统考三模）如图，已知四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．(1)求证：矩形DEFG 是正方形；(2)求证：CG 平分DCF ∠．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）过点E 分别作EM BC ⊥于点M ，EN CD ⊥于点N ，先证出四边形EMCN 为正方形，根据正方形的性质可得EM EN =，90MEN ∠=︒，再根据矩形的性质可得90DEF ∠=︒，从而可得DEN FEM ∠=∠，然后根据ASA 定理证出DEN FEM ≅，根据全等三角形的性质可得ED EF =，最后根据正方形的判定即可得证；（2）先根据正方形的性质可得,DE DG AD CD ==，ADE CDG ∠=∠，再根据SAS 定理可得ADE CDG ≅，根据全等三角形的性质可得45DCG DAE ∠=∠=︒，由此即可得证．【详解】（1）证明：如图，过点E 分别作EM BC ⊥于点M ，EN CD ⊥于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ∠=︒，45ECN ∠=︒，∴90EMC ENC BCD ∠=∠=∠=︒，∴NE NC =，∴四边形EMCN 为正方形，∴EM EN =，90MEN ∠=︒，∵四边形DEFG 是矩形，∴90DEF ∠=︒，∴90DEN NEF FEM NEF ∠+∠=∠+∠=︒，DEN FEM ∴∠=∠，在DEN 和FEM △中，90DNE FME EN EM DEN FEM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA DEN FEM ≅，∴ED EF =，∴矩形DEFG 为正方形．（2）证明：∵矩形DEFG 为正方形，DE DG ∴=，90EDC CDG EDG ∠+∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADE EDC ADC ∠+∠=∠=︒，45DAE =︒∠，∴ADE CDG ∠=∠，在ADE V 和CDG 中，AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ADE CDG ≅，∴45DCG DAE ∠=∠=︒，∵90DCF ∠=︒，∴CG 平分DCF ∠．【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．(2)应用（1）中的结论解决问题：如图2，中山公园有一块菱形场地，其面积为19200m地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为________m．+【答案】(1)a b(2)48【分析】（1）连接CE ，利用等积法解答即可；（2）如解析图，设菱形CDEF 的两条对角线分别为2,2CE a DF b ==，根据菱形的性质可求出2009600a b ab +=⎧⎨=⎩，然后判定OPGQ 为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”，再根据（1）的结论求解．【详解】（1）解：连接CE ，如图，设正方形DEFC 的边长为x ，则DE EF x ==，∵在ACB △中，90C ∠=︒，AC b BC a ==，， ∴()111111222222ABC S AC DE BC EF bx ax x a b ab =⋅+⋅=+=+=， ∴abx a b =+；故答案为：aba b +；（2）如图，设菱形CDEF 的两条对角线交于点O ，且其长度分别为2,2CE a DF b ==，则,,CE DF CO EO a FO DO b ⊥====，根据题意可得：22400122192002a b a b +=⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，整理得：2009600a b ab +=⎧⎨=⎩，若正方形MNGH 为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得,GN DF GH CE ⊥⊥，则四边形OPGQ 也为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”，则由（1）的结论可得：这个正方形的边长960048200ab a b ===+m ；故答案为：48．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展、菱形的性质以及正方形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质、合理利用所求的相关结论作答是解题的关键． (1)求证：ABF ECF ≌；(2)若AE AD =，连接BE ，当线段OF 与【答案】(1)证明见解析(2)当BD =时，四边形ABEC 为正方形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ABF ECF ∠=∠，BAF CEF ∠=∠，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）首先判定四边形ABEC 是平行四边形，进而利用矩形的判定定理可得四边形ABEC 是矩形，结合BD =，证明BE CE =，从而可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，OA OC =，。

1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册

答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ；（1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转90°，得到△ ABF '，则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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北师大版九年级上册 1.3正方形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。

北师大九年级数学上册《正方形的性质》课件

12．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且∠ BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为 F，则 EF 的长为___4_－__2__2__．
13．(2014·哈尔滨)如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF＝3，△EFC 的周长为 12，
3．正方形是轴对称图形，它有____4____条对称轴．
1．(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．(3分)如图，将正方形ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，折痕为BE，BF，则∠EBF的大小为( C ) A．15° B．30° C．45° D．60°
(2)解：∵AB＝2，∴AC＝ 2AB＝2 2.∵CE＝CD，∴AE＝2 2 －2.过点 E 作 EH⊥AB 于 H，则△AEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝AH＝ 22AE＝2－ 2，∴BH＝2－(2－ 2)＝ 2.在 Rt△BEH 中， BE2＝BH2＋EH2＝( 2)2＋(2－ 2)2＝8－4 2.
(2)解：∵CD＝CE，BC＝CD，∴CE＝BC.又∵∠BCE＝30°， ∴∠EBC＝75°.而AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBE＝75°.
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
9．如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中
的等腰直角三角形有( C )
A．4 个
B．5 个
3.正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质
1．有一组邻边__相__等____，并且有一个角是____直____角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形既是特殊矩形，又是特殊菱形，它的四个角都是____直____角，四条边都___相__等___，对角线_相__等__且__互__相__垂__直__平__分_，并且每一条对角线___平__分___一组对角．

北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定教学设计

在学生做题过程中，我会关注他们的解题思路和方法，及时给予反馈。针对学生的错误，我会耐心指导，帮助他们找到问题所在，并引导他们正确解决问题。
（五）总结归纳，500字
在课堂接近尾声时，我会带领学生回顾本节课所学的内容，总结正方形的性质和判定方法。通过提问、解答的方式，让学生巩固所学知识，提高他们的实际应用能力。
3.正方形的判定方法有哪些？它们在实际问题中的应用是怎样的？
小组讨论过程中，学生可以互相提问、解答，共同探讨正方形的性质和判定方法。我会巡回指导，关注每个小组的讨论情况，适时给予提示和引导。
（四）课堂练习，500字
在小组讨论之后，我会设计一些具有代表性的课堂练习题，让学生运用所学的正方形性质和判定方法解决问题。这些题目将涵盖正方形的基本性质、判定方法以及在实际问题中的应用。
-判断以下图形中哪些是正方形，并说明理由。
-计算给定正方形的对角线、面积和周长。
-利用正方形的性质解决简单的几何问题。
2.实践应用题：结合生活实际，设计一些需要运用正方形知识解决的问题，让学生在实践中学会运用所学知识。例如：
-设计一个正方形花园，给出其边长，计算花园的面积。
-估算一下学校操场上正方形草坪的面积，并给出估算方法。
3.通过小组讨论、合作探究等方式，让学生在交流与合作中学习，提高他们的沟通能力和团队协作能力。
4.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探究，培养他们的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的审美意识，使他们认识到数学中的美，激发他们学习数学的兴趣。
2.让学生体会到正方形在实际生活中的广泛应用，增强他们的应用意识，培养学以致用的精神。
5.归纳总结，巩固提高：在课程结束时，带领学生回顾本节课所学的内容，总结正方形的性质和判定方法，并进行巩固练习，提高学生的实际应用能力。

北师大版九年级数学上册优秀教学案例：1.3正方形的性质与判定

3.设计小组合作任务，让学生在实践中运用正方形的性质和判定方法，提高他们的实际操作能力。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行反思，帮助他们巩固记忆，形成知识体系。
2.学生进行自我评价，培养他们自我监控、自我调整的能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的成长，激发他们的学习动力。
北师大版九年级数学上册优秀教学案例：1.3正方形的性质与判定
一、案例背景
本节课的教学内容是北师大版九年级数学上册的1.3节——正方形的性质与判定。在学习了矩形、菱形的基础上，正方形作为特殊的四边形，具有独特的性质和判定方法。它不仅是四边相等的四边形，还有更多的特性等待学生去发现。
在教学过程中，我以“探索正方形的性质与判定”为主题，引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，发现正方形的性质，并能运用这些性质解决问题。在教学设计上，我注重学生的参与和动手实践，力求让每一个学生都能在活动中体验到学习的乐趣，提高他们的数学素养。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生在实践中运用所学知识，提高他们的应用能力。
2.引导学生对作业过程中遇到的问题进行思考，培养他们解决问题的能力。
3.教师对学生的作业情况进行评价，及时反馈，指导他们改进学习方法。
4.鼓励学生进行自我反思，培养他们自主学习、自我调整的能力。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课以日常生活中的正方形物体为例，如瓷砖、骰子等，引导学生关注正方形的存在，激发他们的学习兴趣。这种生活情境的创设，使得学生能够更加直观地理解正方形的特征，提高了他们的学习积极性。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以日常生活中的正方形物体为例，如瓷砖、骰子等，引导学生关注正方形的存在，激发他们的学习兴趣。