丘成桐大学生数学竞赛,代数与数论,考纲
大学生数学竞赛考试大纲
中国大学生数学竞赛大纲(初稿 )为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占 50%，高等代数占 35%，解析几何占 15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1.实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2.数列收敛的条件（ Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限 lim(11) n e及其应用.n n3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式sin x 1, lim(1 1 x e 及性质、迫敛性），归结原则和 Cauchy 收敛准则，两个重要极限lim x x )x 0 xO 与 o 的其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2. 微分学基本定理： Fermat 定理， Rolle 定理， Lagrange 定理， Cauchy 定理， Taylor 公式( Peano 余项与 Lagrange 余项 ).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital ）法则、近似计算.四、多元函数微分学1.偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式 .2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换 .3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线） .4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与 Lagrange 乘数法 .五、一元函数积分学1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：R(cos x,sin x) dx 型， R(x, ax2 bx c )dx 型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：i x i）、可积函数类.3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4. 无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、 f ( x) 非负时f ( x)dx 的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、a无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5.微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用 .六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换） .2. 三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3. 重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4. 含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性. 含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性 .5. 第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6. 第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7. 曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1.数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的 Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、 Dirichlet 判别法.2.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、 Abel 判别法、 Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、 Abel 定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor 级数、Maclaurin 级数 .4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、 2 及 2 l周期函数的 Fourier 级数展开、 Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue 定理、按段光滑函数的 Fourier 级数的收敛性定理 .Ⅱ、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、 Gauss 引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein 判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理 .二、行列式1.n 级行列式的定义 .2.n 级行列式的性质 .3.行列式的计算 .4.行列式按一行（列）展开 .5.拉普拉斯 ( Laplace) 展开定理 .6.克拉默 ( Cramer) 法则 .三、线性方程组1.高斯( Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2.n 维向量的运算与向量组 .3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1.矩阵的概念、矩阵的运算 ( 加法、数乘、乘法、转置等运算 ) 及其运算律 .2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4.分块矩阵及其运算与性质 .5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6.分块初等矩阵、分块初等变换 .五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示 .3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质 .2.维数，基与坐标 .3.基变换与坐标变换 .4.线性子空间 .5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿- 凯莱定理 .4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵 .2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3.若当标准形 .九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt) 正交化方法 .3.欧氏空间的同构 .4.正交变换、子空间的正交补 .5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7.酉空间 .Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用 .5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1. 曲面方程的定义：普通方程、参数方程( 向量式与坐标式之间的互化) 及其关系 .2. 空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3. 建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程 .4. 球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1. 平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2. 从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系 .4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1. 柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程 .3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法 .4. 根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1. 二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2. 二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3. 二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4. 二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5. 化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质( 有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线 .2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数 .5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达 ( L ’ Hospital ) 法则与求未定式极限 .7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线( 水平、铅直和斜渐近线) 、函数图形的描绘 .8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径 .三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念 .2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿 - 莱布尼茨 ( Newton-Leibniz ) 公式 .4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分 .7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四 . 常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利( Bernoulli ) 方程、全微分方程 .3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y ( n) f ( x ),y f ( x, y ), yf ( y, y ) .4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉 ( Euler ) 方程 .8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离 .6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形 .7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度 .6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式 .8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用 .七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算 ( 直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林 ( Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯 ( Gauss) 公式、斯托克斯 ( Stokes) 公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用( 平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与 p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨( Leibniz ) 判别法 .3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质 ( 和函数的连续性、逐项求导和逐项积分 ) 、简单幂级数的和函数的求法 .7.初等函数的幂级数展开式 .8. 函数的傅里叶 ( Fourier ) 系数与傅里叶级数、狄利克雷( Dirichlei) 定理、函数在[-l，l] 上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
大学生数学竞赛竞赛大纲
(年首届全国大学生数学竞赛)为了进一步推动高等学校数学课程地改革和建设，提高大学数学课程地教学水平，激励大学生学习数学地兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”地目标，特制订本大纲. 个人收集整理勿做商业用途一、竞赛地性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”地目地是：激励大学生学习数学地兴趣，进一步推动高等学校数学课程地改革和建设，提高大学数学课程地教学水平，发现和选拔数学创新人才. “中国大学生数学竞赛”地参赛对象为大学本科二年级及二年级以上地在校大学生. 个人收集整理勿做商业用途二、竞赛地内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题. （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课地教学内容，即，数学分析占，高等代数占，解析几何占，具体内容如下：个人收集整理勿做商业用途Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数. 实数集、有理数与无理数地稠密性，实数集地界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 个人收集整理勿做商业用途. 上地距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上地闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上地推广. 个人收集整理勿做商业用途. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关地性质. 个人收集整理勿做商业用途二、极限与连续. 数列极限、收敛数列地基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.. 数列收敛地条件（准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛地关系），极限及其应用. 个人收集整理勿做商业用途.一元函数极限地定义、函数极限地基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限地各种方法，无穷小量与无穷大量、阶地比较，记号与地意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数地二重极限与累次极限地关系. 个人收集整理勿做商业用途. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数地局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数地性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 个人收集整理勿做商业用途三、一元函数微分学.导数及其几何意义、可导与连续地关系、导数地各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导地关系、一阶微分形式不变性. 个人收集整理勿做商业用途.微分学基本定理：定理，定理，定理，定理，公式(余项与余项). 个人收集整理勿做商业用途.一元微分学地应用：函数单调性地判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线地凹凸性、拐点、渐近线、函数图象地讨论、洛必达（'）法则、近似计算. 个人收集整理勿做商业用途四、多元函数微分学. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间地关系，复合函数地偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与公式. 个人收集整理勿做商业用途.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换..几何应用（平面曲线地切线与法线、空间曲线地切线与法平面、曲面地切平面与法线）..极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与乘数法.五、一元函数积分学. 原函数与不定积分、不定积分地基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型. 个人收集整理勿做商业用途. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.. 定积分地性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 个人收集整理勿做商业用途.无限区间上地广义积分、收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时地收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、判别法、判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 个人收集整理勿做商业用途. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数地体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. 个人收集整理勿做商业用途六、多元函数积分学.二重积分及其几何意义、二重积分地计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）. .三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）..重积分地应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）..含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序地可交换性.含参量广义积分地一致收敛性及其判别法，含参量广义积分地连续性、可微性、可积性，运算顺序地可交换性. 个人收集整理勿做商业用途.第一型曲线积分、曲面积分地概念、基本性质、计算..第二型曲线积分概念、性质、计算；公式，平面曲线积分与路径无关地条件..曲面地侧、第二型曲面积分地概念、性质、计算，奥高公式、公式，两类线积分、两类面积分之间地关系. 个人收集整理勿做商业用途七、无穷级数. 数项级数级数及其敛散性，级数地和，准则，收敛地必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛地充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们地极限形式；交错级数地判别法；一般项级数地绝对收敛、条件收敛性、判别法、判别法. 个人收集整理勿做商业用途. 函数项级数函数列与函数项级数地一致收敛性、准则、一致收敛性判别法（判别法、判别法、判别法）、一致收敛函数列、函数项级数地性质及其应用. 个人收集整理勿做商业用途.幂级数幂级数概念、定理、收敛半径与区间，幂级数地一致收敛性，幂级数地逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数地关系、函数地幂级数展开、级数、级数.个人收集整理勿做商业用途级数三角级数、三角函数系地正交性、及周期函数地级数展开、不等式、定理、按段光滑函数地级数地收敛性定理. 个人收集整理勿做商业用途Ⅱ、高等代数部分一、多项式. 数域与一元多项式地概念. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法. 互素、不可约多项式、重因式与重根.. 多项式函数、余数定理、多项式地根及性质.. 代数基本定理、复系数与实系数多项式地因式分解.. 本原多项式、引理、有理系数多项式地因式分解、判别法、有理数域上多项式地有理根. 个人收集整理勿做商业用途. 多元多项式及对称多项式、韦达()定理.二、行列式. 级行列式地定义.. 级行列式地性质.. 行列式地计算.. 行列式按一行（列）展开.. 拉普拉斯()展开定理.. 克拉默()法则.三、线性方程组. 高斯()消元法、线性方程组地初等变换、线性方程组地一般解.. 维向量地运算与向量组.. 向量地线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组地等价.. 向量组地极大无关组、向量组地秩.. 矩阵地行秩、列秩、秩、矩阵地秩与其子式地关系.. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解地结构.. 齐次线性方程组地基础解系、解空间及其维数四、矩阵. 矩阵地概念、矩阵地运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.. 矩阵乘积地行列式、矩阵乘积地秩与其因子地秩地关系.. 矩阵地逆、伴随矩阵、矩阵可逆地条件.. 分块矩阵及其运算与性质.. 初等矩阵、初等变换、矩阵地等价标准形.. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型. 双线性函数、对偶空间. 二次型及其矩阵表示.. 二次型地标准形、化二次型为标准形地配方法、初等变换法、正交变换法.. 复数域和实数域上二次型地规范形地唯一性、惯性定理.. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间. 线性空间地定义与简单性质.. 维数，基与坐标.. 基变换与坐标变换.. 线性子空间.. 子空间地交与和、维数公式、子空间地直和.七、线性变换. 线性变换地定义、线性变换地运算、线性变换地矩阵.. 特征值与特征向量、可对角化地线性变换.. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿凯莱定理.. 线性变换地值域与核、不变子空间.八、若当标准形.矩阵.. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似地条件.. 若当标准形.九、欧氏空间. 内积和欧氏空间、向量地长度、夹角与正交、度量矩阵.. 标准正交基、正交矩阵、施密特()正交化方法.. 欧氏空间地同构.. 正交变换、子空间地正交补.. 对称变换、实对称矩阵地标准形.. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标. 向量地定义、表示、向量地线性运算、向量地分解、几何运算.. 坐标系地概念、向量与点地坐标及向量地代数运算.. 向量在轴上地射影及其性质、方向余弦、向量地夹角.. 向量地数量积、向量积和混合积地定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程.曲面方程地定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间地互化)及其关系..空间曲线方程地普通形式和参数方程形式及其关系..建立空间曲面和曲线方程地一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线地方程..球面地标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴地柱面方程.三、平面与空间直线.平面方程、直线方程地各种形式，方程中各有关字母地意义..从决定平面和直线地几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程..根据平面和直线地方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间地位置关系.. 根据平面和直线地方程及点地坐标判定有关点、平面、直线之间地位置关系、计算他们之间地距离与交角等；求两异面直线地公垂线方程. 个人收集整理勿做商业用途四、二次曲面.柱面、锥面、旋转曲面地定义，求柱面、锥面、旋转曲面地方程..椭球面、双曲面与抛物面地标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面地标准方程. .单叶双曲面、双曲抛物面地直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面地直母线地方法..根据给定直线族求出它表示地直纹面方程，求动直线和动曲线地轨迹问题.五、二次曲线地一般理论.二次曲线地渐进方向、中心、渐近线..二次曲线地切线、二次曲线地正常点与奇异点..二次曲线地直径、共轭方向与共轭直径..二次曲线地主轴、主方向，特征方程、特征根..化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系地位置草图.。
丘成桐英才班考试范围
丘成桐英才班考试范围全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、数学1. 初等数论：包括整数、有理数等基本概念的考察，以及一些中级数论题目的解答。
2. 数列与数学归纳法：包括等差数列、等比数列等常见数列的求和公式，以及数列与数学归纳法在解题中的应用。
3. 平面几何：包括角度、三角形、四边形、圆等几何图形的性质和相关定理的考察。
4. 进阶数学：包括微积分、线性代数等高阶数学概念和定理的考察。
5. 竞赛数学：包括奥赛数学中的高难度题目和解题技巧的练习。
二、物理1. 力学：包括牛顿三大定律、摩擦力、弹簧力等力学知识和题目。
2. 热学：包括热力学、温度、热平衡等热学基础知识和问题。
3. 电磁学：包括电场、磁场、电流等电磁学基础知识和问题。
4. 光学：包括光的传播、反射、折射等光学知识和问题。
5. 现代物理：包括相对论、量子力学等现代物理领域的知识。
三、信息学1. 基本算法：包括排序算法、查找算法等常见算法的实现和应用。
2. 数据结构：包括链表、树、图等数据结构的基本概念和应用。
3. 计算机原理：包括计算机组成原理、操作系统、编程语言等计算机基础知识。
4. 算法设计：包括贪心算法、动态规划、回溯法等高级算法设计和分析。
5. 程序设计：包括编程能力、程序调试、算法实现等计算机编程技能的练习。
以上是丘成桐英才班考试范围的主要内容，学生们需要在这些领域取得一定的基础才能进入这个特殊的班级学习。
通过参加丘成桐英才班的学习，学生们将能够更好地提高自己的数学、物理和信息学能力，为未来参加奥赛比赛和科研工作打下坚实基础。
希望学生们在这个班级的学习过程中，不断努力，不断挑战自己，取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：【丘成桐英才班考试范围】丘成桐英才班作为国内著名的数学培训机构，向来以其严格的教学标准和高质量的教育服务而闻名。
对于学生来说，通过丘成桐英才班的培训，不仅可以提高数学水平，更可以为未来的学业和职业发展打下坚实的基础。
大学生数学竞赛考试大纲
中国大学生数学竞赛大纲（初稿）为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%,具体内容如下：I、数学分析部分一、集合与函数1.实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 口2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、口2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在口〃上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2.数列收敛的条件々@皿卜丫准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限lim（1 + i）n = e及其应用.n3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限lim.=1, lim（1 + ：）% = e 及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大置0阶的比较7°记号O与。
的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4.函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性）有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor 公式（Peano余项与Lagrange余项）.3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1.偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：1R（cos x,sin x）dx型，J R（x, 7ax2 + bx + c）dx型.2.定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：Z 3A x <£）、可积函数i i 类.3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、f（x）非负时』.f （x）dx的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5.微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1.数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.——2——3.幕级数幕级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幕级数的一致收敛性，幕级数的逐项可积性、可微性及其应用，幕级数各项系数与其和函数的关系、函数的幕级数展开、Taylor级数、Maclaurin 级数.4.Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2及21周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.11、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3.行列式的计算.4.行列式按一行(列)展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6.克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3.向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价4.向量组的极大无关组、向量组的秩.5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6.线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1.矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4.分块矩阵及其运算与性质.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示.3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2.维数，基与坐标.3.基变换与坐标变换.4.线性子空间.5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.九一矩阵.2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3.若当标准形.九、欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3.欧氏空间的同构.4.正交变换、子空间的正交补.5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形7.酉空间.HI、解析几何部分一、向量与坐标1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系 .3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程 .三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程^2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程 .3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点 .3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径 .4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根 .5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2.函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限7.函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8.连续函数的性质和初等函数的连续性.9.闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）.二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理6.洛必达(L’ Hospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9 .弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1 .原函数和不定积分的概念.2 .不定积分的基本性质、基本积分公式.3 .定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4 .不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5 .有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6 .广义积分.7 .定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.四.常微分方程1 .常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等2 .变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3 .可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y (n )= f (x ), y 〃= f (x , y '), y 〃 = f (y , y ').4 .线性微分方程解的性质及解的结构定理.5 .二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程6 .简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7 .欧拉(Euler )方程.8 . 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1 .向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积2 .两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3 .向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦4 .曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5 .平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和 点到直线的距离.6 .球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次 曲面方程及其图形.7 .空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程六、多元函数微分学1 .多元函数的概念、二元函数的几何意义.2 .二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质3 .多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件4 .多元复合函数、隐函数的求导法.5 .二阶偏导数、方向导数和梯度.6 .空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7 .二元函数的二阶泰勒公式.8 .多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幕级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数.6.幕级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幕级数的和函数的求法.7.初等函数的幕级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在［-1，1］上的傅里叶级数、函数在［0,1］上的正弦级数和余弦级数。
2016 丘成桐大学生数学竞赛获奖名单
2016丘成桐大学生数学竞赛获奖名单丘成桐大学生数学竞赛华罗庚奖，即分析与微分方程方向获奖者是:铜奖清华大学邵城阳铜奖清华大学朱晶泽铜奖复旦大学钱列铜奖清华大学李阳垟铜奖清华大学张志宇银奖清华大学王昊宇银奖清华大学徐凯银奖中国科技大学马明辉银奖北京大学李艺轩金奖复旦大学张页丘成桐大学生数学竞赛陈省身奖，即几何与拓扑方向获奖者是:铜奖清华大学王高明铜奖北京大学沈澈铜奖清华大学白少云铜奖清华大学邵城阳铜奖清华大学熊昊仁银奖北京大学李艺轩银奖清华大学王志涵银奖中国科技大学马翘楚金奖清华大学徐凯金奖北京大学黄开丘成桐大学生数学竞赛周炜良，即代数、数论与组合方向奖获奖者是:铜奖清华大学王浩旭铜奖中国科技大学钱舰铜奖清华大学张志宇铜奖台湾大学羅啟恒铜奖台湾大学趙庭偉银奖北京大学陈成银奖复旦大学孟凡君银奖台湾大学吴博生金奖北京大学吕世极金奖清华大学徐凯丘成桐大学生数学竞赛林家翘奖，即应用数学与计算数学方向获奖者是:铜奖清华大学刘冠华铜奖北京大学金晨子铜奖清华大学王昊宇银奖武汉大学黄旷银奖北京大学金辉金奖清华大学李阳垟丘成桐大学生数学竞赛许宝騄奖，即概率统计方向获奖者是:铜奖北京大学王飞骋铜奖北京大学付伟龙铜奖北京大学顾超铜奖复旦大学唐博浩银奖北京大学刘浩然金奖清华大学王昊宇丘成桐大学生数学竞赛丘成桐奖，即个人全能奖获奖者是:银奖清华大学张志宇银奖北京大学李艺轩银奖清华大学王昊宇金奖清华大学李阳垟金奖清华大学徐凯丘成桐大学生数学竞赛团体赛获奖者是:铜奖复旦大学钱列、周易铖、石佳、陈小帖、陈品翰铜奖复旦大学孟凡君、邹嘉骅、缪欣晨、金正中、唐博浩铜奖中国科技大学何声、马翘楚、马明辉、高英瓒、袁望钧铜奖北京大学王翔、沈澈、孙成章、金辉、肖非依银奖清华大学徐凯、王志涵、赵瑞屾、贾楸烨、李林骏银奖清华大学王浩旭、白少云、李阳垟、郭怡辰、徐则驰银奖北京大学顾超、黄开、李艺轩、袁宏霖、段雅琦金奖清华大学秦翊宸、王怡、邵城阳、杨羽轩、王昊宇。
《中国大学生数学竞赛竞赛大纲(初稿)》
"中国大学生数学竞赛"的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生
二、竞赛的内容
"中国大学生数学竞赛"分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：
二、 行列式
1. n级行列式的定义.
2. n级行列式的性质.
3. 行列式的计算.
4. 行列式按一行（列）展开.
5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.
6. 克拉默(Cramer)法则.
三、 线性方程组
1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.
2. 维数，基与坐标.
3. 基变换与坐标变换.
4. 线性子空间.
5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.
七、 线性变换
1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.
2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.
3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.
4. 线性变换的值域与核、不变子空间.
4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.
5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.
6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.
四、多元函数微分学
1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.
全国大学生数学竞赛考纲
（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：1.函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).1.一元函数微分学2. 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.3. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.4. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.5. 4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.6. 5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.7. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.8.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.9.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.10.9. 弧微分、曲率、曲率半径.11.一元函数积分学12.1. 原函数和不定积分的概念.13.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.14.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.15.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.16.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.17.6. 广义积分.18.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用9.五、向量代数和空间解析几何10.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.11.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.12.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.13.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.14.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.15.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.16.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.17.六、多元函数微分学18.多元函数的概念、二元函数的几何意义.19.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.20.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.21.多元复合函数、隐函数的求导法.22.二阶偏导数、方向导数和梯度.23.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.24.二元函数的二阶泰勒公式.25.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.26.七、多元函数积分学27.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).28.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.29.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.30.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.31.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.32.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)33.八、无穷级数34.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.35.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.36.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.37.函数项级数的收敛域与和函数的概念.38.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.39.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.40.初等函数的幂级数展开式.41.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
中国大学生数学竞赛竞赛大纲
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛大纲一、函数、极限、连续1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. . 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的阶导数.. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. . 洛必达(’)法则与求未定式极限.. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.. 函数最大值和最小值及其简单应用.. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿莱布尼茨()公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利()方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉()方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解读几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林()公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯()公式、斯托克斯()公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨()判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶()系数与傅里叶级数、狄利克雷()定理、函数在[，]上的傅里叶级数、函数在[]上的正弦级数和余弦级数。
中国大学生数学竞赛非数学专业类竞赛大纲
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛大纲一、函数、极限、连续1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital )法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
大学生数学竞赛数学专业类竞赛大纲
中国大学生数学竞赛数学专业类竞赛大纲中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor 公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.线性方程组1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛大纲.
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛大纲一、函数、极限、连续1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital )法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数海南大学数学系。
丘成桐女子数学竞赛考试流程
丘成桐女子数学竞赛的考试流程主要包括以下几个步骤：
报名：符合参赛条件的学生在规定时间内进行网上报名，填写相关信息并提交。
初赛：初赛采取线上考试的形式，由各参赛学校负责组织。
初赛试题涵盖了数学的基础知识和解题技巧，旨在考察参赛者的数学思维能力和解决问题的能力。
初赛结束后，根据考试成绩选拔出一定比例的选手进入决赛。
决赛：决赛在指定的考场进行笔试，试题内容更加深入和有挑战性，涵盖了不同领域的数学知识，考察参赛者的综合能力。
决赛结束后，根据考试成绩和面试表现综合评定获奖名单。
在考试过程中，还需要注意以下事项：
遵守考试纪律：参赛者需严格遵守考试纪律，不得作弊或违反考试规定。
准备充分：参赛者需要提前准备好考试所需的文具、证件等物品，并确保身体状况良好，以最佳状态参加考试。
注意时间：参赛者需要注意考试时间安排，合理安排答题时间，确保在规定时间内完成试卷。
丘成桐大学生数学竞赛2015代数
S.-T.Yau College Student Mathematics Contests2015Algebra and Number TheoryIndividual(5problems)This exam of160points is designed to test how much you know rather than how much you don’t know.You are not expected tofinish all problems but do as much asyou can.Problem1.(20pt)Let G be anfinite Z-module(i.e.,afinite abelian group with additive group law)with a bilinear,(strongly)alternative,and non-degenerate pairingℓ:G×G→Q/Z.Here“(strongly)alternating”means for every a∈G,ℓ(a,a)=0;“non-degenerate”means for every nonzero a∈G there is a b∈G such thatℓ(a,b)=0.Show in steps the following statement:(S):G is isomorphic to H1⊕H2for somefinite abelian groups H1≃H2such that =0.ℓ|Hi×H i(1.1)(5pt)For every a∈G,write o(a)for the order of a andℓa:G−→Q/Z for thehomomorphismℓa(b)=ℓ(a,b).Show that the image ofℓa is o(a)−1Z/Z.(1.2)(5pt)Show that G has a pair of elements a,b with the following properties:(a)o(a)is maximal in the sense that for any x∈G,o(x)|o(a);(b)ℓ(a,b)=o(a)−1mod Z.(c)o(a)=o(b)We call the subgroup<a,b>:=Z a+Z b a maximal hyperbolic subgroup of G. (1.3)(5pt)Let<a,b>be a maximal hyperbolic subgroup of G.Let G′be the orthog-onal complement of<a,b>consisting of elements x∈G such thatℓ(x,c)=0 for all c∈<a,b>.Show that G is a direct sum as follows:G=Z a⊕Z b⊕G′.(1.4)(5pt)Finish the proof of(S)by induction.Problem2(40pt).Let O n(C)denote the group of n×n orthogonal complex matrices, and M n×k(C)the space of n×k complex matrices,where n and k are two positive integers.For i=0,1,let F i be the space of rational function f on M n×k(C)such that (∗)f(gx)=det(g)i f(x)for all g∈O n(C)and x∈M n×k(C).We want to study in steps the structures of F0and F1.1(2.1)(10pt)For each x∈M n×k,let V x denote the subspace of C n generated by columnsof x,and let Q(x)=x t·x∈M k×k(C).Show the following are equivalent:(a)the space V x has dimension k,and the Euclidean inner product(·,·)is non-degenerate on V x in the sense that V⊥x∩V x=0.(b)det Q(x)=0.(2.2)(10pt)Show that F0is afield generated by entries of Q(x).(2.3)(10pt)Assuem k<n and let f∈F1.Show that f=0by the following two steps:(a)for any x∈M n×k(C)with det Q(x)=0,construct a g∈O n(C)such thatg|V=1and det g=−1.x(b)Show that f vanishes on a general point x∈M n×k(C)with det Q(x)=0,thus f≡0.(2.4)(10pt)Assume k≥n.Show that F1is a free vector space of rank1over F0. Problem3.(40pt)Consider the equation f(x):=x3+x+1=0.We want to show in steps thatfor any prime p,if 31p =−1,then x3+x+1is solvable mod p.Let x1,x2,x3be three roots of f(x):=x3+x+1=0.Let F=Q(x1),and L=√∆)where∆is the discriminant of f(x):Q(x1,x2,x3),and K=Q(∆=[(x1−x2)(x2−x3)(x3−x1)]2.(3.1)(10pt)Show that f is irreducible,that∆=−31,and that F is not Galois overQ;(3.2)(10pt)Show that Gal(L/Q)≃S3,the permutation group of three letters,thatGal(L/K)≃Z/3Z,and that Gal(L/F)≃Z/2Z;(3.3)(20pt)Let O F,O K,O L=be rings of integers of F,K,L respectively.Let p be aprime such that x3+x+1=0is not soluble in Z/p Z.Show the following:(a)(5pt)pO F is still a prime ideal in O F,(b)(5pt)pO L is product of two prime ideals in O L,and(c)(5pt)pO K is product of two primes ideals in O K,and(d)(5pt)x2+31=0is soluble in F p.2Problem4.(40pt)Let p be a prime and Z p the ring of p-adic integers with a p-adic norm normalized by|p|=p−1.Letφ:Z p−→Z p be a map defined by a power series of the formφ(x)=x p+p a n x n,a n∈Z p,|a n|−→0.Let E be afield,and F the E-vector space of locally constant E-valued functions on Z p with an operatorφ∗defined byφ∗f=f◦φ.We want to show in steps the following statement:The set of eigenvalues ofφ∗on F is{0,1}.(4.1)(10pt)Show thatφis a contraction map on each residue class R∈Z p/p Z p:|φ(x)−φ(y)|≤p−1|x−y|,∀x,y∈R.(4.2)(10pt)Show that there is aϵR∈R for each residue class R such thatφn(x)=ϵR,∀x∈R.limnHereφn is defined inductively byφ1=φ,φn=φn−1◦φ.(4.3)(10pt)Let F0(resp.F1)be the subspace of functions f vanishing on eachϵR(resp.constant on R)for all residue class R.Show thatφ∗=1on F1,and that for each f∈F0φ∗n f=0for some n∈N.(4.4)(10pt)Show that for any a∈E,a=0,1,the operatorφ∗−a is invertible on F. Problem5(20pt).Check if the following rings are UFD(unique factorization domain).√6];(5.1)(5pt)R1=Z[√−11)/2];(5.2)(5pt)R2=Z[(1+(5.3)(5pt)R3=C[x,y]/(x2+y2−1);(5.4)(5pt)R4=C[x,y]/(x3+y3−1).3。
全国大学生数学竞赛考试大纲
全国大学生数学竞赛考试大纲中国大学生数学竞赛考试大纲—非数学类中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8.函数最大值和最小值及其简单应用9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分6. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程. 8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.4.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.5. 二元函数的二阶泰勒公式5.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
丘成桐中国大学生数学竞赛大纲
2010年中国大学生数学竞赛（丘成桐教授发起）竞赛大纲一．Syllabuses for Geometry and TopologyGeometry:Curves and surfaces1) Plane curves and space curves2) The fundamental theorem of curves3) Concept and examples of surfaces4) The first and second fundamental forms5) Normal curvature, principal curvature and the Gauss curvature6) Orthogonal moving frames and structure equations of surfaces7) Existence and uniqueness of surfaces8) Isometric transformation of surfaces9) Covariant derivatives on surfaces10) Geodesic curvatures and geodesics, Geodesic coordinates11) The Gauss-Bonnet formula12) Laplacian operator on surfacesGeometry on manifolds1) Manifolds2) Vector fields and differentials3) Tensors and differential forms4) Stokes formula5) De Rham theorem6) Lie derivatives7) Lie algebras8) Maurer-Cartan equations9) Vector bundles10)Connection and curvatures11) Structure equations12) Riemannian metrics13) The Hodge star operator and Laplacian operator14) The Hodge theoremReferences:M. Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces.S S Chern and Chen Weihuan, Lectures on differential geometry Q. Chen and CK Peng, Differential geometryT. Frenkel: Geometry from physicsJ. Milnor, Morse theoryTopologyPoint Set Topology1) Open set and closed set2) Continuous maps3) Haudorff space, seperability and countable axioms4) Compactness and Heine-Borel theorem5) Connectivity and path connectivity6) Quotient space and quotient topologyFundamental groups1) Definition of fundamental groups, homotopic maps2) Computation of fundamental groups: Van Kampen theorem3) Covering maps and covering spaces4) Applications: Brouwer fixed point theorem, Lefschetz fixed point theoremComplexes and homology groups1) Simplex, complexes and polyhedron2) Barycentric subdivision and simplex approximation3) Computation of fundamental groups of complexes4) Classification of surfaces5) Simplex homology groups6) Application: Lefschetz fixed point theoremDifferential topology1) Smooth manifolds and smooth maps2) Sard’s theorem3) Transversality and intersection4) Vector fileds and Poincare-Hopf theorem5) Differential forms and de Rham complexes6) Orientation and integration7) Poincare Lemma8) Poincare duality9) Meyer-Vietoris sequences10)de Rham theorem11)Vector bundle and Euler classesReferences:Armstrong, Basic topologyJ. Milnor, Topology from the differentiable viewpointV. Guillemin and A. Pollack, Differential topologyBott and Tu, Differential forms in algebraic topology (first chapter)二．Syllabuses on algebra, combinatorics, number theory and representation theoryAlgebra群论（31）：集合论预备知识；对称和群；子群和陪集分解；生成元集和循环群；正规子群、商群和同态定理；置换群和线性群；群在集合上的作用；Sylow定理和单群；自由群和群的表现；有限生成Abel群的结构；小阶群的结构；幂零群和可解群。
全国大学生数学竞赛考纲
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7. 初等函数的幂级数展开式.8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
2011年丘成桐大学生数学竞赛——代数,数论与组合卷
S.-T.Yau College Student Mathematics Contests 2011Algebra,Number Theory andCombinatoricsIndividual2:30–5:00pm,July 10,2011(Please select 5problems to solve)For the following problems,every example and statement must be backed up by proof.Examples and statements without proof will re-ceive no-credit.1.Let K =Q (√−3),an imaginary quadratic field.(a)Does there exists a finite Galois extension L/Q which containsK such that Gal(L/Q )∼=S 3?(Here S 3is the symmetric group in 3letters.)(b)Does there exists a finite Galois extension L/Q which containsK such that Gal(L/Q )∼=Z /4Z ?(c)Does there exists a finite Galois extension L/Q which containsK such that Gal(L/Q )∼=Q ?Here Q is the quaternion group with 8elements {±1,±i,±j,±k },a finite subgroup of the group of units H ×of the ring H of all Hamiltonian quaternions.2.Let f be a two-dimensional (complex)representation of a finite group G such that 1is an eigenvalue of f (σ)for every σ∈G .Prove that f is a direct sum of two one-dimensional representations of G3.Let F ⊂R be the subset of all real numbers that are roots of monic polynomials f (X )∈Q [X ].(1)Show that F is a field.(2)Show that the only field automorphisms of F are the identityautomorphism α(x )=x for all x ∈F .4.Let V be a finite-dimensional vector space over R and T :V →V be a linear transformation such that(1)the minimal polynomial of T is irreducible;(2)there exists a vector v ∈V such that {T i v |i ≥0}spans V .Show that V contains no non-trivial proper T -invariant subspace.5.Given a commutative diagramA →B →C →D →E↓↓↓↓↓A →B →C →D →E1Algebra,Number Theory and Combinatorics,2011-Individual2 of Abelian groups,such that(i)both rows are exact sequences and(ii) every vertical map,except the middle one,is an isomorphism.Show that the middle map C→C is also an isomorphism.6.Prove that a group of order150is not simple.。
丘成桐少年班考试大纲
丘成桐少年班考试大纲
丘成桐少年班考试大纲
1. 数学
- 数的运算：四则运算，整数、分数、小数的计算
- 代数与方程：代数式的简化、方程的解法
- 几何与三角学：平面图形的性质、角的性质、三角形的性质
- 函数与图像：函数的概念、函数的性质、函数图像的绘制 - 统计与概率：数据的收集与整理、统计图表、概率的计算
2. 英语
- 词汇与语法：基础单词的掌握、基本句型的理解和运用 - 阅读理解：阅读短文并回答相关问题，提取并理解文章中的信息
- 口语表达：能够用简单的英语进行日常交流，描述人物和事物
- 写作技巧：写出简单的句子和段落，能够表达自己的观点和想法
3. 物理
- 力与运动：力的作用与效果、运动的基本概念与描述、速度、加速度
- 热学：热与温度的概念、热传递方式、热膨胀
- 光学：光的传播、反射、折射、光的成像
- 电学：电流、电压、电阻、电流的影响
4. 化学
- 基础概念：元素、化合物、混合物的概念与区别
- 反应与变化：化学反应的基本概念、化学方程式的书写、基本反应类型
- 周期表与化学键：元素周期表的结构与性质、离子键与共价键的形成
- 酸碱与盐：酸碱的定义、常见酸碱盐的特性和应用
5. 生物
- 细胞与组织：细胞的基本结构与功能、细胞组织的分类与特点
- 其他生物概念：生物的基本特征、生物分类与进化
- 生物生长与发育：个体生命过程、生物的生长与发育过程 - 生物与环境：生物与环境的相互作用、生态系统的结构与功能
以上是一个可能的丘成桐少年班考试大纲，在实际操作中可能会根据具体情况进行调整和修改。
考试大纲旨在引导学生学习的方向，帮助学生掌握基础知识和技能，以便能够更好地应对考试。
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Algebra,Number Theory and Combinatorics(second draft)
Linear Algebra
Abstract vector spaces;subspaces;dimension;matrices and linear transformations;matrix algebras and groups;determinants and traces;eigenvectors and eigenvalues,characteristic and minimal polynomials;diagonalization and triangularization of operators;invariant subspaces and canonical forms;inner products and orthogonal bases;reduction of quadratic forms; hermitian and unitary operators,bilinear forms;dual spaces;adjoints.tensor products and tensor algebras;
Integers and polynomials
Integers,Euclidean algorithm,unique decomposition;congruence and the Chinese Remainder theorem;Quadratic reciprocity;Indeterminate Equations.Polynomials,Euclidean algorithm, uniqueness decomposition,zeros;The fundamental theorem of algebra;Polynomials of integer coefficients,the Gauss lemma and the Eisenstein criterion;Polynomials of several variables, homogenous and symmetric polynomials,the fundamental theorem of symmetric polynomials. Group
Groups and homomorphisms,Sylow theorem,finitely generated abelian groups.Examples: permutation groups,cyclic groups,dihedral groups,matrix groups,simple groups,Jordan-Holder theorem,linear groups(GL(n,F)and its subgroups),p-groups,solvable and nilpotent groups, group extensions,semi-direct products,free groups,amalgamated products and group presentations.
Ring
Basic properties of rings,units,ideals,homomorphisms,quotient rings,prime and maximal ideals,fields of fractions,Euclidean domains,principal ideal domains and unique factorization domains,polynomial and power series rings,Chinese Remainder Theorem,local rings and localization,Nakayama's lemma,chain conditions and Noetherian rings,Hilbert basis theorem, Artin rings,integral ring extensions,Nullstellensatz,Dedekind domains,algebraic sets,Spec(A). Module
Modules and algebra Free and projective;tensor products;irreducible modules and Schur’s lemma;semisimple,simple and primitive rings;density and Wederburn theorems;the structure of finitely generated modules over principal ideal domains,with application to abelian groups and canonical forms;categories and functors;complexes,injective modues,cohomology;Tor and Ext.
Field
Field extensions,algebraic extensions,transcendence bases;cyclic and cyclotomic extensions; solvability of polynomial equations;finite fields;separable and inseparable extensions;Galois theory,norms and traces,cyclic extensions,Galois theory of number fields,transcendence degree,function fields.
Group representation
Irreducible representations,Schur's lemma,characters,Schur orthogonality,character tables, semisimple group rings,induced representations,Frobenius reciprocity,tensor products, symmetric and exterior powers,complex,real,and rational representations.
Lie Algebra
Basic concepts,semisimple Lie algebras,root systems,isomorphism and conjugacy theorems, representation theory.
Combinatorics(TBA)
References:
Strang,Linear algebra,Academic Press.
I.M.Gelfand,Linear Algebra
《整数与多项式》冯克勤余红兵著高等教育出版社
Jacobson,Nathan Basic algebra.I.Second edition.W.H.Freeman and Company,New York,1985.xviii+499pp.
Jacobson,Nathan Basic algebra.II.Second edition.W.H.Freeman and Company,New York,1989.xviii+686pp.
ng,Algebra,Addison-Wesley
冯克勤，李尚志，查建国，章璞，《近世代数引论》
刘绍学，《近世代数基础》
J.P.Serre,Linear representations of finite groups
J.P.Serre:Complex semisimple Lie algebra and their representations
J.Humphreys:Introduction to Lie algebra and representation theory,GTM009.
W.Fulton,Representation theory,a First Course,GTM129.。