矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解概述.

由于 1 , 2 , 3 线性无关. 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0
则有
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
注意
2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4 2 解 1 2 2
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
1
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B
2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
解之得基础解系
2 1 1 , 0
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
1 , 2 线性无关 .
同理 , 对3 7,由 A E x 0,
Fra Baidu bibliotek
求得基础解系 3 1,2,2
T
2 0 1 由于 0 1 2 0, 1 1 2
故A 不能化为对角矩阵.
6 0 4 例2 设A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角阵.
解
4
6
0
A E 3 3
5 6 1
0 1 2
作业
• P200 • P203 8，9，10 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为对称阵 , 即A AT .
说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
12 6 1 例如 A 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6
(1) 由 A E 2 2
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵 A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似．
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 T (1,1,1) ,
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1 2 n
相似, 则1 , 2 ,, n即是A的n个特征值.
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 能 否 对 角 化 ？ 1 0 2 2 1 2
A E
5 1
3 0
3 1 2
3
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 (1,1,1)T , 故A 不能化为对角矩阵.
定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
证明
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P
P 1 A E P
P 1 A E P A E .
1 , 2 线性无关 .
0 2 0 . 1
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系
3 1,1,1T .
所以 A 可对角化. 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2