二次根式的加减法

二次根式的加减法

一、知识概述

1、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．

2、二次根式的加减法法则

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；

(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．

3、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．

注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；

(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．

二、重难点知识

1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．

2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．

三、典型例题讲解

例1、计算：

．

分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．

解：

．

例2、计算：

分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．

总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．

例3、计算下列各题：

．

思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．

例4、计算下列各题

．

解：

例5、化简：

总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样

则为1，继续运算可避免错误．

例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．

分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．

解：，于是

即a＋b=3

∴a=2，b=1或a=1，b=2，

故x=222，y=888或x=888，y=222．

∴x＋y=1110，

总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．

课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．

思路分析：

由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．

解：原等式两边分别乘以，得

两式相加得，

所以．

A 卷

一、选择题

1、下列计算结果正确的是( )

A．B．

C．D．

2、下列计算正确的是( )

A．

B．

C．

D．

3、下列各式化简结果不正确的是（）

A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）

A．B．

C．D．

5、计算等于（）

A．·1 B．3

C．D．

6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）

A．A B．B

C．A、B的中点D．不能确定

B 卷

二、填空题

7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．

8、若成立，则xy的值为______．

9、若，则______．

10、已知正数a、b，有下列结论：

(1)若a=1，b=1，则；

(2)若，则；

(3)若a=2，b=3，则；

(4)若a=1，b=5，则．

根据以上几个命题提供的信息，请猜想：

若a=6，b=7，则______．

三、解答题

11、计算或化简下列各题：

12、计算：

13、已知，求代数式的值．

14、计算．

[

15、先观察下列等式，再回答问题：

（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；

（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．

一．选择题 DDCBDB

二．填空题

7、△ABC的周长大于6且小于10．

8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．

9、．

10、=13．

三．解答题

11.

12.

13.

.

14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为

（2）换元法：设，

两边同时平方得

，

所以x2=10，又因为x＞0，

所以，