组合数的性质和应用.ppt
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北师大版选择性必修第一册第五章3.13.2组合 组合数及其性质课件(32张)
!
=
=
知识点 3:组合数性质
- .
+ -
性质 2:+ =
性质 1: =
.
,叫作从 n 个
表示.
!
!(-)! .规定 =1.
数学
[思考2-1] 一个组合与组合数有何区别?
提示:一个组合与组合数是两个不同的概念,根据定义,一个组合是具体的一
件事,它不是一个数;而组合数是所有组合的个数,它是一个数.解题时应分清
=
!
=
-
-
·
-
!
·
(-)!
=
!
.
=
!(--)! !(-)!
·
!(-)!
!(-)!
所以 ·
-
;
!
(-)!
!
=
=
!
,
!(-)! !(-)!(-)!
= ·
.
.
(-)!(-)! !(-)!(-)!
数学
§3
组合问题
组
合
组合数及其性质
数学
核心知识目标
1.理解组合的概念.
2.能记住组合数的计算公式,
组合数的性质以及组合数与排
列数之间的关系,并能运用这
些知识解决一些简单的组合应
用题.
核心素养目标
1.通过学习组合的概念,培养数学抽象
的素养.
2.借助组合数公式进行计算,培养数学
运算的素养.
3.通过组合知识解决实际问题,提升逻
求组合还是组合数.
[思考2-2] 如何理解和记忆组合数的性质.
-
提示:从 n 个不同元素中取 m(m≤n,且 m,n∈N+)个元素,剩余(n-m)个元素,故 =
=
=
知识点 3:组合数性质
- .
+ -
性质 2:+ =
性质 1: =
.
,叫作从 n 个
表示.
!
!(-)! .规定 =1.
数学
[思考2-1] 一个组合与组合数有何区别?
提示:一个组合与组合数是两个不同的概念,根据定义,一个组合是具体的一
件事,它不是一个数;而组合数是所有组合的个数,它是一个数.解题时应分清
=
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(-)!(-)! !(-)!(-)!
数学
§3
组合问题
组
合
组合数及其性质
数学
核心知识目标
1.理解组合的概念.
2.能记住组合数的计算公式,
组合数的性质以及组合数与排
列数之间的关系,并能运用这
些知识解决一些简单的组合应
用题.
核心素养目标
1.通过学习组合的概念,培养数学抽象
的素养.
2.借助组合数公式进行计算,培养数学
运算的素养.
3.通过组合知识解决实际问题,提升逻
求组合还是组合数.
[思考2-2] 如何理解和记忆组合数的性质.
-
提示:从 n 个不同元素中取 m(m≤n,且 m,n∈N+)个元素,剩余(n-m)个元素,故 =
3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
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22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
6.2.4组合数课件(人教版)
因此， + − = − = − =
+
7. 计算： −
+
解：由题意可得
又
≥ −
+ ≥
解得
≤≤
∈ +
,得n=10
− ∈
+ ∈ +
(3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
解：(1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以
抽法种数为
100 99 98
3
C100
3 21
161700.
1
(2) 从2件次品中抽出1件的抽法有C2 种，从98件合格品中抽出2件的抽
2
法有C 98
种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
解：（1）从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法：
红球3个，红球2个和白球1个，
当取红球3个时，取法有1种；
当取红球2个和白球1个时，取法有 = 种；
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.
10.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加
比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
解：分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有 种选法；
第二步，选2名女运动员，有 种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有 = 种选法.
抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产
人教版《组合数的性质》课件(共22张PPT)
性质2：(2)
Cm n1
Cnm
C m1 n
说明：
1.原理：从n+1个不同元素中取出m个元素的组合等于取 到元素a1的组合数与未取到元素a1的组合数之和.
组合数的两个性质
(1)Cnm
C n-m n
(2)Cnm1
Cnm
C m1 n
练习
1.已知 C1x0
C 3x6 10
，则
x
3或4
；
2.若 Cn8 Cn2 ，则 n
10
；
3.计算： C82 C83 C92
120
；
变式： C33 C43 C53 C130 330
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
有限制条件的组合问题
例1.在一次数学竞赛中，某学校有12人 通过了初试，学校要从中选出5人参加市 级培训.在下列条件下，各有多少种不同 的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有一人参加.
排列
联系
组合
组合是选择的结果； 排列是先选择后再排序的结果
组合的概念 组合数公式 组合数性质
1.组合公式
（1）
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
（2）
Cnm
n! m!(n m)!
2.组合数的性质
性质1:
Cm n
C nm n
性质2
:
Cm n1
Cm n
C m1 n
人教A版选修2-3 第一章
1.2.2 组合
第二课时 组合数的性质
组合与组合数公式(修改的)PPT
1.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品 中任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
2.由 13 个人组成的课外活动小组，其中 5 个人只会跳舞，5 个人 只会唱歌，3 个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
C．3 或 5
D．15
解析：选 C．由组合数的性质得 n＝2n－3 或 n＋2n－3＝12，解
得 n＝3 或 n＝5，故选 C．
3.若集合 A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合 A 中含有 4 个元素的 子集共有________个. 解析：共有 C45＝5 个. 答案：5
4.10 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组 种数为________．(用数字作答) 解析：从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组， 这是组合问题，共有 C410＝210 种分法. 答案：210
1.2.2 组 合
第 1 课时 组合与组合数公式
1.组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素_合__成___一__组__，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质
组合数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 _所__有__不__同__组__合___的个数，叫做从 n 个不同元素
【解】 (1)3C38－2C25＝3×83××72××61－2×52××41＝148. (2)利用组合数的性质 Cnm＋1＝Cnm＋Cmn －1， 则 C34＋C35＋C36＋…＋C310 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44 ＝C45＋C35＋…＋C310－C44 ＝… ＝C411－1＝329.
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件4.3第1课时组合与组合数
(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分
类表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 C95 =126种不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 =3
种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法 1 直接法)可分为三类:
!
kC =k·
!·(-)!
=
n≥2).
·(-1)!
-1
=nC-1 .
(-1)!·(-)!
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
2×1
=
2
C100
1
+ C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
(n,m∈N+).
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
!
类表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 C95 =126种不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 =3
种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法 1 直接法)可分为三类:
!
kC =k·
!·(-)!
=
n≥2).
·(-1)!
-1
=nC-1 .
(-1)!·(-)!
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
2×1
=
2
C100
1
+ C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
(n,m∈N+).
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
!
高中组合问题ppt课件
在数据处理中的应用
数据分组
对数据进行分组时，可以应用组合计数方法来计算分组数。例如，对10个人进行分组， 可以分为C(10,3)组，即从10个人中选择3个人为一组的方法数。
数据排序
在数据处理中，经常需要对数据进行排序。组合计数方法可以用来计算不同排序方法的可 能性数量。例如，对3个数进行排序，可以分为C(3,3)/A(3,3)种不同的排序方法。
高中组合问题ppt课 件
目录
• 组合问题概述 • 组合的基本性质 • 组合问题的解决方法 • 组合问题的实际应用 • 练习与思考
01 组合问题概述
什么是组合
组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
组合数公式：C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]
组合与排列的区别
排列与组合的区别在于：排列不考虑 取出元素的顺序，而组合需要考虑取 出元素的顺序。
从排列与组合异同点来看，它们都是 从n个不同元素中取出m个元素，而排 列不考虑取出元素的顺序，组合需要 考虑取出元素的顺序。
组合问题的应用场景
• 组合在日常生活中有着广泛的应用，如彩票、博彩 、概率统计、密码学等领域。在解决实际问题时， 我们需要根据具体问题的要求和条件，灵活运用组 合的知识和方法来寻找最优解。
组合的乘法原理
总结词
组合的乘法原理是指当两个组合数相等且具有相同的元素时，它们可以相乘。
详细描述
设两个集合A和B，它们的元素个数分别为n和m。从A中选取k个元素，从B中选取k个元素进行组合， 得到的组合数为C(n,k)×C(m,k)。这个组合数等于C(n+m,2k)，即从n+m个元素中选出2k个元素的组 合数等于从n个元素中选出k个元素的组合数乘以从m个元素中选出k个元素的组合数。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合与组合数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3
件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
3
100
−
3
98
98 × 97 × 96
= 161700 −
= 9604
3！
探究新知
题型探究
题型一
有限制条件的组合问题
[学透用活]
[典例 1]
课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的 11 名学生中选取 5 人
有 C511＝462 种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，
有 C411＋C411＝660 种选法．
所以至多有 1 名队长被选上的方法有 462＋660＝1 122 种.
探究新知
2. 有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名．选派 5 人外出比赛，
典型例题
例2 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人
认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、
木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素
，则2类元素相生的选取方案共有多少种？
解：从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，
有什么发现？
分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.
（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，
（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
1[1].2.2组合(2).ppt1
![1[1].2.2组合(2).ppt1](https://img.taocdn.com/s3/m/4dbd6638a32d7375a41780ae.png)
例１
(1)
计算：
C
3 100
C
3 99
C 99; 100 99 98
3
2
( 2)
2C
3 8
3 2 1
2
161700
C9 C8 .
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
2 C (C C ) C C 56
例2：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）D
AC . A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
课堂练习： 5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
3 1 4 5 (5)方法一：C32C9 C3 C9 C30C9 756
方法二：C C C 756 1 4 (6)方法一：C C C C C3C9 666 方法二：C C C 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类 法或间接法求解。
组合及组合数的计算PPT课件
190
性质2
Cm n1
Cnm
C m1 n
mn
性质2反映出组合数公式中m与n之间存在的联系.
课后练习3.1.2
1、计算下列各数
(1) C72 __________;
(2) C54 __________;
(3) C83 __________;
(4)
C10 12
__________;
例 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以 画多少个？
分析：因为只要选出三个点，三角形元素的组合数.
解：可以画出的圆内接三角形个数为
C130
P130 3!
10 98 3 21
120
即可以画出120个圆内接三角形.
练习
6个朋友聚会，每两人握手一次，这次聚会他们一共握手多少次？ 从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的积？ 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？ 现有3张参观券，要在5人中选出3人去参观，共有多少种不同的选法？
(4)
C10 11
__________;
C44
P44 P44
1
说明：
（1）Cnn 1 （2）Cn0 1
组合数的性质
性质1
Cnm
C nm n
mn
利用这个性质，当
m
n 2
时，可以通过计算比较简单Cnnm 的得到的 Cnm
值，
如
C18 20
C18 20
C 2018 20
C220
20 19 2!
3.1.2 组合
问题
在北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，有多少种不同 的飞机票价（假设两地之间的往返票价是相同的）？
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
课件1：3.1.3 第1课时 组合与组合数、组合数的性质
5．已知 C5n－C4n＝C6n－C5n，求 C1n2的值．
[解] 由已知得 2C5n＝C4n＋C6n， 所以 2·5！nn！－5！＝4！nn！－4！＋6！nn！－6！， 整理得 n2－21n＋98＝0， 解得 n＝7 或 n＝14， 要求 C1n2的值，故 n≥12， 所以 n＝14，于是 C1124＝91.
|情境导学探新知|
情境导入 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化 学、生物这 6 大科目是选考的，如果考生任选 3 科作为 自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可 能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又 分别有几种？
新知初探 1．组合的概念 一般地，从 n 个不同对象中取出 m(m≤n)个对象并成一组， 称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个组合．
【答案】A
D．4
3．从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛， 有______种不同的选法． 【解析】由题意可知共有 C39＝93× ×82× ×71＝84 种． 【答案】84
4．6 个朋友聚会，每两人握手 1 次，一共握手______次．
【解析】每两人握手 1 次，无顺序之分，是组合问题， 故一共握手 C26＝15 次． 【答案】15
必备素养
排列与组合的相同点与不同点
名称
排列
组合
相同点 都是从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素，元素无重复
1.排列与顺序有关；
1.组合与顺序无关；
2．两个排列相同，当且
不同点
2．两个组合相同，当且仅当
仅当这两个排列的元素
这两个组合的元素完全相同
及其排列顺序完全相同
联系
Amn ＝Cmn Amm
《组合与组合数公式》课件
进阶练习题
题目4
在7个不同元素中取出5个 元素有多少种不同的取法 ？
题目5
从8个人中选出3个人来组 成一个小组，其中某个人 必须被选中，有多少种不 同的选法？
题目6
从10个不同的元素中取出 4个元素的组合数是多少？
答案解析
题目1答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的 选法。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质简化计算
通过组合数的性质，可以将复杂的组合数计算转化为简单的计算，例如利用性质 公式和递推公式简化计算。
解决实际问题
组合数在现实生活中有着广泛的应用，例如在概率论、统计学、计算机科学等领 域中都有涉及。通过掌握组合数的性质，可以更好地解决实际问题。
03
组合数公式的推导
题目2答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的组 合数。
题目3答案
$C_{4}^{2} = frac{4!}{2!2!} = 6$种不同的取法 。
题目4答案
$C_{7}^{5} = frac{7!}{5!2!} = 21$种不同的取法。
题目5答案
$C_{8}^{3} - C_{7}^{2} = 56 - 21 = 35$种不同 的选法。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的 对称性、组合数的递推关系、组合数的性质 等。
详细描述
组合数具有对称性，即C(n, m) = C(n, nm)，这意味着从n个不同元素中取出m个元 素和从n个不同元素中取出n-m个元素的方 式数量是相等的。此外，组合数还具有递推 关系，即C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1,
组合数的两个性质ppt 人教课标版
n! (n m)![n (n m)]! n! m !(n m)!
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2
C
7
3 !
CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2
C
7
3 !
CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!
《组合数的性质》PPT课件
种不同的分配方法？ C74 C73 35
(2)求x y z w 100的自然数解的组数
C3 103
176851
五、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有几种可能？
种？ C21C928 C22C918
C3 100
C
3 98
练习：
（1）某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定， 每位学生选修4门，则共有多少种不同选修方案？
（2）某班级要C从314C名63男生C26名4 女7生5中选派4人参加
某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不 同的选派方案有多少种？
C
m n1
.
Cm n1
C
m n
C m1 n
注:1公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和, 等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的 相同的一个组合数．
2此性质的作用:恒等变形,简化运算.
3 等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
Cm n1
Cnm
(不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
4该性质又叫增一法则
m1
m
m1
n1
n
n1
n1
( 2)
C m1 n
C m1 n
2C
m n
C . m1 n2
( 2)
C
m1 n
C m1 n
2C
m n
(1)
(C
mn C1 mn C1 mn )Cmn(1CmnCmnC11
) m1
(2)求x y z w 100的自然数解的组数
C3 103
176851
五、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有几种可能？
种？ C21C928 C22C918
C3 100
C
3 98
练习：
（1）某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定， 每位学生选修4门，则共有多少种不同选修方案？
（2）某班级要C从314C名63男生C26名4 女7生5中选派4人参加
某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不 同的选派方案有多少种？
C
m n1
.
Cm n1
C
m n
C m1 n
注:1公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和, 等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的 相同的一个组合数．
2此性质的作用:恒等变形,简化运算.
3 等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
Cm n1
Cnm
(不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
4该性质又叫增一法则
m1
m
m1
n1
n
n1
n1
( 2)
C m1 n
C m1 n
2C
m n
C . m1 n2
( 2)
C
m1 n
C m1 n
2C
m n
(1)
(C
mn C1 mn C1 mn )Cmn(1CmnCmnC11
) m1
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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（1）4只鞋子恰有两双；
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。
分析:
(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 C120 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 种C140方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各
有 C21种取法,所以一共有 C140C21C21C21C21 336种0 取法.
n1
n
n
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
C C m
m1
n
n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
(n 1)! m![(n 1) m]!
10! 7!3!
10
9 3!
8
C2 1110
11
2!
C3 10 9 8
10
3!
C C 9 2
11
11
C C 3 7
10
10
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法
一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
= Cnm
Cnnm
注 C (1)当m n 时,利用这个公式可使 m的计算简化
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
8
8
8
8
8
例2．计算：
C
3 7
C
4 7
C85
C96
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96
C84 C85 C96
(C84 C85 ) C96
C95 C96
C160 C140
1098 7 210 4!
变式：求证：Cnn
（A）C83 种（B）A83 种 （C）C93 种 （D）C131 种
• 变式1：为美化城市，现在要把一条路上7 盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路 灯有红、黄与兰共3种颜色，在安装时要求 相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色 的路灯至少要有2盏，有多少种不同的安装 方法？
114种
变式 2：某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？某人射击 8 枪，命中 4 枪， 且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，不同的结果有多少种？
变式、（1）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
（2） 10件不同奖品中选6件分成三份, 二份各1件 ,另一份4件，发给三个同学，有多少种分法？
(1)C160C64 3150 (2)C160C64 A33 18900
(3) 将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班 级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分 配方法？
Cn n1
Cn n2
Cn n＋m
C . n1 nm1
3.求值 : (1)C54 C64 C74 C84 C94 C140
(2)C31 C42 C53 C64 C4319
4.已知Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn K
六.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
(3)
计算
C 198 ; 200
C 2 200 199 19900
200
21
C C 3 2 ;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C 3 3 2 .
8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
组合数的性质和应用
莆田第二中学高二1班
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
三、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
次测试是次品。故有：C43C61 A44 576 种可能。
变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中 任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
得:C259
4095
变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同 盒子，每盒至少1球的放法有多少种？
C63 20
变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒 子，每盒可空，不同的放法有多少种？
C130 120
五.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
横8竖构成的方格图,从
B
A到B只能上行或右行
a a a 从 , , 这n 1个不同的
12
n1
C 元素中取出 m个的组合数是 m n1
含有a1的
不含有a1的
a a a a a a 从
,
2
,
3
中取出m 1个
n1
从
,
2
,
3
中取出m个
n1
a C 元素与 组成,有 m1个
1
n
C 元素组成,有 m 个 n
C C C m m m1
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
多少种取法?
C
2 7
76 2!
21
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多
少种取法?
C
3 7
7
6 3!
5
35
C C C 3 袋内的8个球中所取出的3个球,可以
分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根
据分类计数原理,上面等式成立.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C62 15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
七.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
C . m n1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 . 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今
后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
例1
(1) (2)
(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C130种
取法,3双鞋中取出1双有 C31种方法,另2双鞋中各取1只
有 C21C21种方法故共有 C130C31C21C21 1440种取法.
• 变式2：有4个不同的球和4个不同的盒子，把 球全部放入盒内。（假设盒子足够大）
• （1）共有几种放法？（2）每盒恰有1个球， 有几种放法？（3）恰有1个盒内放2个球，有 几种放法？（4）恰有2个盒子不放球，有几种 放法？（5）每个盒内放一个球，并且恰好有一 个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法 ？
·2007·
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分成三份，每份两本； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。
分析:
(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 C120 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 种C140方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各
有 C21种取法,所以一共有 C140C21C21C21C21 336种0 取法.
n1
n
n
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
C C m
m1
n
n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
(n 1)! m![(n 1) m]!
10! 7!3!
10
9 3!
8
C2 1110
11
2!
C3 10 9 8
10
3!
C C 9 2
11
11
C C 3 7
10
10
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法
一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
= Cnm
Cnnm
注 C (1)当m n 时,利用这个公式可使 m的计算简化
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
8
8
8
8
8
例2．计算：
C
3 7
C
4 7
C85
C96
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96
C84 C85 C96
(C84 C85 ) C96
C95 C96
C160 C140
1098 7 210 4!
变式：求证：Cnn
（A）C83 种（B）A83 种 （C）C93 种 （D）C131 种
• 变式1：为美化城市，现在要把一条路上7 盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路 灯有红、黄与兰共3种颜色，在安装时要求 相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色 的路灯至少要有2盏，有多少种不同的安装 方法？
114种
变式 2：某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？某人射击 8 枪，命中 4 枪， 且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，不同的结果有多少种？
变式、（1）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
（2） 10件不同奖品中选6件分成三份, 二份各1件 ,另一份4件，发给三个同学，有多少种分法？
(1)C160C64 3150 (2)C160C64 A33 18900
(3) 将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班 级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分 配方法？
Cn n1
Cn n2
Cn n＋m
C . n1 nm1
3.求值 : (1)C54 C64 C74 C84 C94 C140
(2)C31 C42 C53 C64 C4319
4.已知Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn K
六.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
(3)
计算
C 198 ; 200
C 2 200 199 19900
200
21
C C 3 2 ;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C 3 3 2 .
8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
组合数的性质和应用
莆田第二中学高二1班
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
三、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
次测试是次品。故有：C43C61 A44 576 种可能。
变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中 任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
得:C259
4095
变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同 盒子，每盒至少1球的放法有多少种？
C63 20
变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒 子，每盒可空，不同的放法有多少种？
C130 120
五.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
横8竖构成的方格图,从
B
A到B只能上行或右行
a a a 从 , , 这n 1个不同的
12
n1
C 元素中取出 m个的组合数是 m n1
含有a1的
不含有a1的
a a a a a a 从
,
2
,
3
中取出m 1个
n1
从
,
2
,
3
中取出m个
n1
a C 元素与 组成,有 m1个
1
n
C 元素组成,有 m 个 n
C C C m m m1
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
多少种取法?
C
2 7
76 2!
21
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多
少种取法?
C
3 7
7
6 3!
5
35
C C C 3 袋内的8个球中所取出的3个球,可以
分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根
据分类计数原理,上面等式成立.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C62 15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
七.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
C . m n1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 . 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今
后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
例1
(1) (2)
(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C130种
取法,3双鞋中取出1双有 C31种方法,另2双鞋中各取1只
有 C21C21种方法故共有 C130C31C21C21 1440种取法.
• 变式2：有4个不同的球和4个不同的盒子，把 球全部放入盒内。（假设盒子足够大）
• （1）共有几种放法？（2）每盒恰有1个球， 有几种放法？（3）恰有1个盒内放2个球，有 几种放法？（4）恰有2个盒子不放球，有几种 放法？（5）每个盒内放一个球，并且恰好有一 个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法 ？
·2007·
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分成三份，每份两本； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法