主成分分析的计算步骤
统计学中的主成分分析
统计学中的主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种多变量分析方法，用于降维和数据可视化。
它通过将原始数据转换为新的坐标系，使得转换后的数据能够保留原始数据的主要变化趋势，并且可以按照重要性进行排序。
在本文中，将介绍主成分分析的原理、应用场景和步骤。
一、主成分分析原理主成分分析的核心是寻找数据中的主要变化趋势，即找到数据中的主成分。
主成分是数据最大方差方向上的投影，也即是能够解释数据中最大不同的变量。
对于一个具有p个变量的数据集，主成分分析可以得到p个主成分，按照重要性递减排序。
通过选择适当数量的主成分，可以实现对数据的降维和可视化。
主成分分析的计算过程可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
特征值分解会得到数据的特征向量和特征值，而奇异值分解则可以直接得到主成分。
在实际应用中，奇异值分解是更常用的方法。
二、主成分分析的应用场景主成分分析广泛应用于各个领域，包括金融、生物学、社会科学等。
下面将介绍主成分分析在这些领域的具体应用。
1. 金融：主成分分析常用于资产组合管理和风险管理。
通过将各种金融数据进行主成分分析，可以获得具有代表性的主成分，从而有效降低资产组合的维度，减少投资组合中的相关风险。
2. 生物学：主成分分析可以应用于基因表达数据的分析。
通过主成分分析，可以从大量的基因表达数据中提取出基因表达的主要变化趋势，帮助研究人员理解基因与表型之间的关系。
3. 社会科学：主成分分析可以用于社会调查数据的分析。
通过对调查数据进行主成分分析，可以发现不同变量之间的相关性，进而揭示不同因素对于社会问题的影响程度。
三、主成分分析的步骤主成分分析的步骤通常包括以下几个步骤：1. 数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将不同量级的变量转化为标准差为1的变量。
这一步骤是为了消除变量间的量纲差异。
2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵，用于度量变量之间的相关性。
主成分分析法的原理应用及计算步骤
F1 a11 X1 a21 X 2 ... a p1 X p
,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可
用其方差来度量，其方差 Var(F1)越大，表示 F1 包含的信息越多。常常希望第 一主成分 F1 所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的 F1 应该是 X1， X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称 F1 为第一主成分。如果第一主 成分不足以代表原来 p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标 F2，为有 效地反映原信息，F1 已有的信息就不需要再出现在 F2 中，即 F2 与 F1 要保持独 立、不相关，用数学语言表达就是其协方差 Cov(F1, F2)=0，所以 F2 是与 F1 不
U1 称为第一主成分,U2 称为第二主成分,…,Up 称为第 p 主成分。 5 、对 m 个主成分进行综合评价 对 m 个主成分进行加权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分的方差贡献率。
一、主成分分析基本原理 概念： 主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析 方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。 思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析 问题的难度和复杂性， 利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较 多的变量， 并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这 样问题就简单化了。 原理：假定有 n 个样本，每个样本共有 p 个变量，构成一个 n×p 阶的数据 矩阵，
l (Zi ,X j ) i aij (i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, p)
在 SPSS 软件中主成分分析后的分析结果中， “成分矩阵”反应的就是主成分 载荷矩阵。 （5）计算主成分得分 计算样品在 m 个主成分上的得分：
主成分分析步骤
主成分分析步骤1.了解数据：首先，在进行主成分分析之前，我们需要对研究的全部数据进行充分了解和分析，了解数据内包含的变量和观测范围，包括变量的类型和样本量（数据表覆盖的观测次数）。
在确定了数据内容及相关参数之后，可以进行下一步工作。
2.准备数据：主成分分析需要对数据进行统计处理，以去除数据间的相关性。
我们需要使用描述统计和回归分析来检验数据与主成分之间的相关性，并量化这种相关性。
3.标准化数据：一旦数据集准备完毕，就要将每个变量标准化--具体地说，就是计算每个变量的平均值和标准差，并将每个变量减去其平均值，然后除以其标准差，使每个变量平均为0，标准差为1，构成标准化数据集。
4.分解协方差矩阵：在执行主成分分析之前，要求将数据集的所有变量的协方差矩阵进行分解，把它分解成各个主成分的特征值和特征向量。
特征向量是由基本主成分变量组成的一整组变量，特征值是这些变量之间的协方差。
5.计算对角化矩阵：对分解后的协方差矩阵进行对角化处理，得到最后的对角化矩阵。
该矩阵可用于显示主成分的方差分布和重要性。
6.计算新的特征向量：利用得到的对角化矩阵，可以计算出一组新的特征向量，被称为新主成分变量，即原始变量的映射。
7.提取主成分：对新生成的特征向量按照特征值的大小进行排序，以便确定我们可以提取出来的主成分的数量。
从新特征向量中抽取出较大特征值对应的特征向量，这些特征向量往往与原始变量之间存在较强的相关性。
8.数据转换：拥有了新生成的特征向量之后，就可以对数据集中的变量进行转换，即从原始变量转换成主成分变量。
完成这个转换后，可以利用统计分析法来探究新变量与数据集中其他变量之间的相关性，从而获得研究结果。
主成分分析法及其应用
主成分分析法及其应用一、本文概述主成分分析法（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种广泛应用于数据降维和特征提取的统计方法。
它通过正交变换将原始数据集中的多个变量转换为少数几个互不相关的主成分，这些主成分能够最大程度地保留原始数据集中的信息。
本文旨在全面介绍主成分分析法的基本原理、实现步骤以及在各个领域中的应用案例。
我们将详细阐述主成分分析法的数学基础和算法流程，包括协方差矩阵、特征值、特征向量等关键概念的计算方法。
然后，我们将通过实例演示如何使用主成分分析法进行数据降维和特征提取，以及如何通过可视化工具展示降维后的数据效果。
我们将探讨主成分分析法在机器学习、图像处理、生物信息学、社会科学等多个领域中的实际应用，展示其在数据分析和处理中的重要价值和潜力。
二、主成分分析法的基本原理主成分分析法（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种在多个变量中找出主要影响因素，并通过降维技术把多个变量转化为少数几个互不相关的综合变量的统计方法。
这种方法在保持数据信息损失最小的原则下，通过正交变换将原始数据转化为一个新的坐标系统，使得在这个新的坐标系统中，任何数据的最大方差都投影在第一主成分上，第二大的方差都投影在第二主成分上，以此类推。
变量降维：在多数情况下，原始数据集中可能存在多个变量，这些变量之间可能存在相关性。
主成分分析通过构造新的变量（即主成分），这些新变量是原始变量的线性组合，并且新变量之间互不相关，从而将原始的高维数据空间降维到低维空间，实现数据的简化。
方差最大化：主成分分析的另一个重要原理是方差最大化。
这意味着，第一个主成分将捕获数据中的最大方差，第二个主成分捕获第二大方差，以此类推。
通过这种方式，主成分分析能够识别出数据中的主要变化方向和模式。
数据解释性：主成分分析生成的主成分是对原始数据的线性变换，因此，每个主成分都可以被解释为原始变量的某种组合。
主成分分析计算流程
主成分分析计算流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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主成分分析计算方法和步骤【范本模板】
主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时，为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。
但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠，引起变量之间的共线性,因此，在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。
而主成分分析法可以很好地解决这一问题。
主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。
它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。
主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化，以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R；③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分，得到综合评价值。
结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据（见附录），从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效,而通过表5-6的相关系数矩阵,可以看到许多的变量之间的相关性很高。
如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963,而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。
表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0。
279 0。
329 0.252重点高校数0。
345 0。
204 0。
310教工人数0.963 0。
954 0。
896本科院校数 1.000 0.938 0.881招生人数0.938 1。
000 0。
893师生比重点高校数教工人数相关性师生比1。
000 —0。
218 0。
208重点高校数-0。
主成分分析法的原理应用及计算步骤
一、概述 在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。
而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。
为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。
为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正是这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合6210x 较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：✍主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。
✍主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。
✍主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。
✍主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。
二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。
PCA主成分分析计算步骤
主成分分析（ Principal Component Analysis ， PCA ）是一种掌握事物主要矛盾的统计分析方法，它可以从多元事物中解析出主要影响因素，揭示事物的本质，简化复杂的问题。
计算主成分的目的是将高维数据投影到较低维空间。
给定 n 个变量的 m 个观察值，形成一个 n*m 的数据矩阵， n 通常比较大。
对于一个由多个变量描述的复杂事物，人们难以认识，那么是否可以抓住事物主要方面进行重点分析呢？如果事物的主要方面刚好体现在几个主要变量上，我们只需要将这几个变量分离出来，进行详细分析。
但是，在一般情况下，并不能直接找出这样的关键变量。
这时我们可以用原有变量的线性组合来表示事物的主要方面， PCA 就是这样一种分析方法。
PCA 的目标是寻找 r （ r<n ）个新变量，使它们反映事物的主要特征，压缩原有数据矩阵的规模。
每个新变量是原有变量的线性组合，体现原有变量的综合效果，具有一定的实际含义。
这 r 个新变量称为“主成分”，它们可以在很大程度上反映原来 n 个变量的影响，并且这些新变量是互不相关的，也是正交的。
通过主成分分析，压缩数据空间，将多元数据的特征在低维空间里直观地表示出来。
例如，将多个时间点、多个实验条件下的基因表达谱数据（ N 维）表示为 3 维空间中的一个点，即将数据的维数从 RN 降到 R3 。
在进行基因表达数据分析时，一个重要问题是确定每个实验数据是否是独立的，如果每次实验数据之间不是独立的，则会影响基因表达数据分析结果的准确性。
对于利用基因芯片所检测到的基因表达数据，如果用 PCA 方法进行分析，可以将各个基因作为变量，也可以将实验条件作为变量。
当将基因作为变量时，通过分析确定一组“主要基因元素”，它们能够很好地说明基因的特征，解释实验现象；当将实验条件作为变量时，通过分析确定一组“主要实验因素”，它们能够很好地刻画实验条件的特征，解释基因的行为。
下面着重考虑以实验条件作为变量的 PCA 分析方法。
主成分分析完整版
X的两个主成分分别为 第一主成分的贡献率为
Y1 0.040X1 0.999X2, Y2 0.999X1 0.040X2.
1 100.16 99.2% 1 2 101
R 型分析
R型分析的概念
为消除量纲影响，在计算之前先将原始数据标准化。标准
4. 由此我们可以写出三个主成分的表达式：
F1 0.56(x1 161 .2) 0.42(x2 77.3) 0.71(x3 51.2) F2 0.81(x1 161 .2) 0.33(x2 77.3) 0.48(x3 51.2) F3 0.03(x1 161 .2) 0.85(x2 77.3) 0.53(x3 51.2)
主 旋转坐标轴
x 2
F 1
成 分 分 析 的 几 何 解
F 2
•
•••
•••
• •
•
•••••••••••••••••••••••
• •
F1 x1 cos x2 sin
F2 x1 sin x2 cos
F1
F2
cos sin
sin x1
cos
x2
x2
旋转变换的目的是为了使得n个
很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容 易得多。
在力求数据信息丢失最少的原则下，对高维的变量空间降 维，即研究指标体系的少数几个线性组合，并且这几个线性 组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面 的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是：
(1) 基于相关系数矩阵/协方差矩阵做主成分分析？ (2) 选择几个主成分？ (3) 如何解释主成分所包含的实际意义？
2. 求解协方差矩阵的特征方程 S I 0
主成分分析法的原理应用及计算步骤
主成分分析法的原理应用及计算步骤主成分分析的目标是通过线性变换找到一组新的变量，使得原始数据在这组新变量上的投影具有最大方差。
假设有m个观测样本和n个变量，我们的目标是找到n个线性无关的主成分变量Z1,Z2,...,Zn。
首先，我们选择第一个主成分变量Z1，使得数据在Z1上的投影具有最大的方差。
然后，我们选择第二个主成分Z2，使得Z1和Z2的协方差尽可能小，即Z2与Z1无关。
依此类推，我们依次选择第三、第四...第n个主成分变量，一直到第n个主成分Zn，使得Z1、Z2...Zn两两不相关。
通过这种方式，我们实现了对数据的降维，将原始的高维数据使用较低维的主成分表示。
1.标准化数据：将原始数据按列进行标准化处理，即将每一列的数据减去该列的均值，然后再除以该列的标准差。
这样做的目的是使得相对较大方差的变量与相对较小方差的变量处于同一个尺度上。
2.计算协方差矩阵：通过计算标准化后的数据的协方差矩阵，来描述各个变量之间的线性关系。
协方差矩阵的元素C[i][j]表示第i个变量与第j个变量的协方差。
3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
特征值表示数据在对应特征向量方向上的方差，特征向量表示数据在对应特征向量方向上的投影。
4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征值对应的特征向量作为前k个主成分。
通常选择的主成分数目k是根据方差解释率来确定的。
5.数据降维：将原始数据通过选取的主成分线性变换到低维空间中。
只选择部分主成分（前k个），可以减小数据的维度。
6.可视化与解释：通过可视化的方式展示主成分之间的关系，解释主成分所代表的意义，从而达到对数据的理解和分析。
总结：主成分分析方法通过线性变换将高维数据转化为低维数据，保留了原始数据中最大方差的性质。
它的计算步骤包括数据标准化、计算协方差矩阵、计算特征值和特征向量、选择主成分、数据降维和可视化与解释。
主成分分析方法在数据分析和特征提取中有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和处理高维数据。
主成分分析法总结
主成分分析法总结在实际问题研究中，多变量问题是经常会遇到的。
变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。
因此，人们会很自然地想到，能否在相关分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。
而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。
为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。
为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：↓主成分个数远远少于原有变量的个数 原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。
↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。
↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。
↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。
主成分分析计算方法和步骤
主成分分析计算方法与步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间得差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题得负载程度。
但由于各指标都就是对同一问题得反映,会造成信息得重叠,引起变量之间得共线性,因此,在多指标得数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后得指标能否充分反映个体之间得差异,成为研究者关心得问题。
而主成分分析法可以很好地解决这一问题。
主成分分析得应用目得可以简单地归结为: 数据得压缩、数据得解释。
它常被用来寻找与判断某种事物或现象得综合指标,并且对综合指标所包含得信息给予适当得解释, 从而更加深刻地揭示事物得内在规律。
主成分分析得基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上得影响;②根据标准化后得数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵得特征根与特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含得信息给予适当得解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。
结合数据进行分析本题分析得就是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年得相关统计数据(见附录)，从相关得指标数据我们无法直接评价我国各省市得高等教育绩效，而通过表5-6得相关系数矩阵，可以瞧到许多得变量之间得相关性很高。
如：招生人数与教职工人数之间具有较强得相关性，教育投入经费与招生人数也具有较强得相关性，教工人数与本科院校数之间得相关系数最高，到达了0、963，而各组成成分之间得相关性都很高，这也充分说明了主成分分析得必要性。
表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0、279 0、329 0、252重点高校数0、345 0、204 0、310教工人数0、963 0、954 0、896本科院校数1、000 0、938 0、881招生人数0、938 1、000 0、893表5-7给出得就是各主成分得方差贡献率与累计贡献率，我们选取主成分得标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分得解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量得平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往就是因为选择得指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。
主成分分析计算方法和步骤
主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。
但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。
而主成分分析法可以很好地解决这一问题。
主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。
它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。
主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。
结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。
如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。
表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0.279 0.329 0.252重点高校数0.345 0.204 0.310教工人数0.963 0.954 0.896本科院校数 1.000 0.938 0.881招生人数0.938 1.000 0.893教育经费投0.881 0.893 1.000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比 1.000 -0.218 0.208重点高校数-0.218 1.000 0.433教工人数0.208 0.433 1.000本科院校数0.279 0.345 0.963招生人数0.329 0.204 0.954教育经费投0.252 0.310 0.896入（元）表5-7给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。
主成分分析法步骤流程
主成分分析法步骤流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
文档下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种各样类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，如想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by theeditor. I hope that after you download them,they can help yousolve practical problems. The document can be customized andmodified after downloading,please adjust and use it according toactual needs, thank you!In addition, our shop provides you with various types ofpractical materials,such as educational essays, diaryappreciation,sentence excerpts,ancient poems,classic articles,topic composition,work summary,word parsing,copy excerpts,other materials and so on,want to know different data formats andwriting methods,please pay attention!主成分分析法步骤流程。
1. 数据标准化。
将原始数据中的每个变量减去其均值，然后除以其标准差。
主成分分析计算方法和步骤
主成分分析计算方法与步骤:在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。
但由于各指标都就是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。
而主成分分析法可以很好地解决这一问题。
主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。
它常被用来寻找与判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。
主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根与特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。
结合数据进行分析本题分析的就是全国各个省市高校绩效评价,利用全国2014年的相关统计数据(见附录),从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效,而通过表5-6的相关系数矩阵,可以瞧到许多的变量之间的相关性很高。
如:招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性,教育投入经费与招生人数也具有较强的相关性,教工人数与本科院校数之间的相关系数最高,到达了0、963,而各组成成分之间的相关性都很高,这也充分说明了主成分分析的必要性。
表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0、279 0、329 0、252重点高校数0、345 0、204 0、310教工人数0、963 0、954 0、896本科院校数1、000 0、938 0、881招生人数0、938 1、000 0、893教育经费投0、881 0、893 1、000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比1、000 -0、218 0、208重点高校数-0、218 1、000 0、433教工人数0、208 0、433 1、000本科院校数0、279 0、345 0、963招生人数0、329 0、204 0、954教育经费投0、252 0、310 0、896入(元)表5-7给出的就是各主成分的方差贡献率与累计贡献率,我们选取主成分的标准有两个:第一,特征根大于1,因为,如果特征根小于1,说明该主成分的解释力度太弱,还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大;第二,方差贡献率大于85%,如果这两个标准不能同时符合要求,则往往就是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。
主成分分析数据
主成分分析数据主成分分析（PCA，Principal Component Analysis）是一种最常用的降维技术和数据探索方法。
通过主成分分析，可以将高维的数据集转换为低维的数据集，同时最大程度地保留原始数据的信息。
主成分分析的核心思想是将原始的高维数据转换为一组新的正交变量，称为主成分。
这些主成分是原始数据中的线性组合，其按照方差递减的顺序排列，保留了原始数据中最多的方差。
因此，通过选择前几个主成分，我们可以捕获数据中最重要的变化。
主成分分析的步骤如下：1. 数据预处理：首先，需要对原始数据进行预处理。
常见的预处理技术包括去除异常值、标准化数据（使其均值为0，方差为1）等。
2. 计算协方差矩阵：将预处理后的数据计算协方差矩阵。
协方差矩阵度量了数据之间的线性相关性。
其元素C(i, j)表示第i个变量与第j个变量之间的协方差。
3. 计算特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示各个主成分的重要性，而特征向量则定义了主成分的方向。
4. 选择主成分：根据特征值，选择前k个主成分。
通常，我们选择特征值较大的前几个主成分，因为它们保留了较多的原始数据的方差。
5. 转换数据：通过特征向量对原始数据进行转换，得到降维后的数据集。
转换后的数据集可以用于后续的数据分析任务，如数据可视化、聚类分析等。
主成分分析在各个领域都有广泛的应用。
在数据可视化中，主成分分析可以将高维数据集转换为二维或三维空间，以便更好地理解数据的结构。
在数据探索中，主成分分析可以揭示数据之间的潜在关系，帮助我们找到数据中的重要特征。
此外，主成分分析还可以用于数据降维。
通过选择前几个主成分，我们可以将高维数据集转换为低维数据集，从而减少计算的复杂性，并提高模型的表现和效率。
这在机器学习和模式识别任务中尤为重要。
然而，主成分分析也有一些限制和注意事项。
首先，主成分分析是基于数据的线性关系假设，因此对于非线性数据，效果可能不佳。
主成分分析计算方法和步骤.docx
主成分分析计算方法和步骤：在对某一事物或现象进行实证研究时,为了充分反映被研究对象个体之间的差异, 研究者往往要考虑增加测量指标,这样就会增加研究问题的负载程度。
但由于各指标都是对同一问题的反映,会造成信息的重叠,引起变量之间的共线性,因此,在多指标的数据分析中,如何压缩指标个数、压缩后的指标能否充分反映个体之间的差异,成为研究者关心的问题。
而主成分分析法可以很好地解决这一问题。
主成分分析的应用目的可以简单地归结为: 数据的压缩、数据的解释。
它常被用来寻找和判断某种事物或现象的综合指标,并且对综合指标所包含的信息给予适当的解释, 从而更加深刻地揭示事物的内在规律。
主成分分析的基本步骤分为: ①对原始指标进行标准化,以消除变量在数量极或量纲上的影响;②根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 R; ③求出 R 矩阵的特征根和特征向量; ④确定主成分,结合专业知识对各主成分所蕴含的信息给予适当的解释;⑤合成主成分,得到综合评价值。
结合数据进行分析本题分析的是全国各个省市高校绩效评价，利用全国2014年的相关统计数据(见附录)，从相关的指标数据我们无法直接评价我国各省市的高等教育绩效，而通过表5-6的相关系数矩阵，可以看到许多的变量之间的相关性很高。
如：招生人数与教职工人数之间具有较强的相关性，教育投入经费和招生人数也具有较强的相关性，教工人数与本科院校数之间的相关系数最高，到达了0.963，而各组成成分之间的相关性都很高，这也充分说明了主成分分析的必要性。
表5-6 相关系数矩阵本科院校数招生人数教育经费投入相关性师生比0.279 0.329 0.252重点高校数0.345 0.204 0.310教工人数0.963 0.954 0.896本科院校数 1.000 0.938 0.881招生人数0.938 1.000 0.893教育经费投0.881 0.893 1.000入师生比重点高校数教工人数相关性师生比 1.000 -0.218 0.208重点高校数-0.218 1.000 0.433教工人数0.208 0.433 1.000本科院校数0.279 0.345 0.963招生人数0.329 0.204 0.954教育经费投0.252 0.310 0.896入（元）表5-7给出的是各主成分的方差贡献率和累计贡献率，我们选取主成分的标准有两个：第一，特征根大于1，因为，如果特征根小于1，说明该主成分的解释力度太弱，还比不上直接引入一个原始变量的平均解释力度大；第二，方差贡献率大于85%，如果这两个标准不能同时符合要求,则往往是因为选择的指标不合理或者样本容量太小,应继续调整。
主成分分析法的原理应用及计算步骤
一、概述在处理信息时，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠，例如，高校科研状况评价中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。
而变量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。
为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。
为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正是这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。
主成分分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合6210x 较少几个综合指标，通常综合指标（主成分）有以下几个特点：↓主成分个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将大大减少分析过程中的计算工作量。
↓主成分能够反映原有变量的绝大部分信息因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。
↓主成分之间应该互不相关通过主成分分析得出的新的综合指标（主成分）之间互不相关，因子参与数据建模能够有效地解决变量信息重叠、多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。
↓主成分具有命名解释性总之，主成分分析法是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子，如何使因子具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。
二、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。
主成分分析的计算步骤
主成分分析的计算步骤1.数据预处理：首先，对原始数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、标准化等。
确保数据的质量以及统一度，以便更好地进行后续计算。
2.计算协方差矩阵：得到预处理后的数据后，计算协方差矩阵。
协方差矩阵可以反映不同变量之间的相关性。
协方差矩阵大小为n×n，其中n 是原始变量的个数。
3.计算特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征值是一个标量，表示对应特征向量的重要程度。
特征向量是一个n维列向量，代表主成分的方向。
4.特征值排序：将特征值按照大小降序排列，对应的特征向量也要相应地排序。
一般来说，特征值越大，对应的特征向量表示的主成分的重要性越高。
5.选择主成分数量：根据前面排好序的特征值和特征向量，确定需要选择的主成分数量。
一般可以根据累计贡献率来决定。
累计贡献率是指前k个主成分的特征值之和占总特征值之和的比例，一般要求累计贡献率达到一定的阈值，例如90%以上。
6.构建降维矩阵：根据选择的主成分数量，取对应的特征向量组成一个降维矩阵。
该降维矩阵的大小是n×k，其中n是原始变量的个数，k是选择的主成分数量。
7.数据降维：将原始数据与降维矩阵相乘，得到降维后的数据矩阵。
降维后的数据矩阵的大小是m×k，其中m是样本数量，k是选择的主成分数量。
8.主成分解释：计算降维后的数据矩阵的方差占比和累计方差占比。
方差占比是降维后的数据矩阵的方差占总方差的比例，累计方差占比是指前k个主成分的方差占总方差的比例。
通过方差占比和累计方差占比，可以评估主成分分析的效果和解释程度。
9.主成分得分：将降维后的数据矩阵乘以降维矩阵的转置，得到主成分得分矩阵。
主成分得分矩阵的大小是m×n，其中m是样本数量，n是原始变量的个数。
主成分得分表示每个样本在主成分上的投影值，可以用于后续的机器学习任务和数据可视化。
总结：主成分分析的计算步骤包括数据预处理、计算协方差矩阵、计算特征值和特征向量、特征值排序、选择主成分数量、构建降维矩阵、数据降维、主成分解释、主成分得分。
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样本观测数据矩阵为：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x X ΛM M M M ΛΛ212222111211 第一步：对原始数据进行标准化处理
)var(*j j
ij ij x x x x -= ),,2,1;,,2,1(p j n i ΛΛ==
其中 ∑==n
i ij j x n x 1
1 21
)(11)var(j n
i ij j x x n x --=∑= ),,2,1(p j Λ=
第二步：计算样本相关系数矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R ΛM ΛM M ΛΛ212222111211 为方便，假定原始数据标准化后仍用X 表示，则经标准化处理后的数据的相关系数为:
tj n
t ti ij x x n r ∑=-=1
11 ),,2,1,(p j i Λ=
第三步：用雅克比方法求相关系数矩阵R 的特征值（p λλλΛ21,）和相应的特征向量()p i a a a a ip i i i ΛΛ2,1,,,21==。
第四步：选择重要的主成分，并写出主成分表达式
主成分分析可以得到p 个主成分，但是，由于各个主成分的方差是递减的，包含的信息量也是递减的，所以实际分析时，一般不是选取p 个主成分，而是根据各个主成分累计贡献率的大小选取前k 个主成分，这里贡献率就是指某个主成分的方差占全部方差的比重，实际也就是某个特征值占全部特征值合计的比重。
即
贡献率=∑=p i i
i
1λ
λ 贡献率越大，说明该主成分所包含的原始变量的信息越强。
主成分个数k 的选取，主要根据主成分的累积贡献率来决定，即一般要求累计贡献率达到85%以上，这样才能保证综合变量能包括原始变量的绝大多数信息。
另外，在实际应用中，选择了重要的主成分后，还要注意主成分实际含义解释。
主成分分析中一个很关键的问题是如何给主成分赋予新的意义，给出合理的解释。
一般而言，这个解释是根据主成分表达式的系数结合定性分析来进行的。
主成分是原来变量的线性组合，在这个线性组合中个变量的系数有大有小，有正有负，有的大小相当，因而不能简单地认为这个主成分是某个原变量的属性的作用，线性组合中各变量系数的绝对值大者表明该主成分主要综合了绝对值大的变量，有几个变量系数大小相当时，应认为这一主成分是这几个变量的总和，这几个变量综合在一起应赋予怎样的实际意义，这要结合具体实际问题和专业，给出恰当的解释，进而才能达到深刻分析的目的。
第五步：计算主成分得分
根据标准化的原始数据，按照各个样品，分别代入主成分表达式，就可以得到各主成分下的各个样品的新数据，即为主成分得分。
具体形式可如下。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛nk n n k k F F F F F F F F F ΛM M M M ΛΛ212222111211
第六步：依据主成分得分的数据，则可以进行进一步的统计分析
其中，常见的应用有主成份回归，变量子集合的选择，综合评价等。