利用FFT计算卷积
实验二 DFT(FFT)的应用—利用FFT实现快速卷积
姓名：高铭遥 班级：16131701 学号：1120171450 成绩：实验二 DFT/FFT 的应用-利用FFT 实现快速卷积[实验目的]1．深刻理解DFT/FFT 的概念和性质，进一步掌握圆周卷积和线性卷积两者之间的关系。
2．掌握DFT/FFT 的应用。
理解FFT 在实现数字滤波（或快速卷积）中的重要作用，更好地利用FFT 进行数字信号处理。
[实验内容及要求]1．给定两个序列()[]2,1,1,2x n =，()[]1,1,1,1h n =--。
首先直接在时域计算两者的线性卷积；然后用FFT 快速计算二者的线性卷积，验证结果。
（1）线性卷积 程序代码：figure(1);N1=4; N2=4; xn=[2,1,1,2]; hn=[1,-1,-1,1];N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度 yn=conv(xn,hn);%线性卷积 x=0:N-1;stem(x,yn);title('线性卷积'); 运行结果：（2）FFT 卷积快速卷积 程序代码： figure(1); n=0:1:3; m=0:1:3;N1=length(n);%xn 的序列长度 N2=length(m);%hn 的序列长度 xn=[2,1,1,2]; hn=[1,-1,-1,1];姓名：高铭遥 班级：16131701 学号：1120171450 成绩：N=N1+N2-1;%卷积后的序列长度XK=fft(xn,N);%xn 的离散傅里叶变换 HK=fft(hn,N);%hn 的离散傅里叶变换 YK=XK.*HK;yn=ifft(YK,N);%逆变换if all(imag(xn)==0)&&(all(imag(hn)==0))%实序列的循环卷积仍为实序列 yn=real(yn); endx=0:N-1;stem(x,yn);title('FFT 卷积'); 运行结果：结果分析：对比（1）和（2）直接线性卷积和FFT 快速卷积的结果可以验证，用FFT 线性卷积的结果是与直接卷积的结果相同的，FFT 可以实现快速卷积，提高运算速度。
快速傅里叶变换实现卷积
快速傅里叶变换实现卷积
快速傅里叶变换(FFT)是一种高效计算离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换的方法，可以用于实现卷积的计算。
在实现卷积时，可以使用FFT将输入信号和系统函数都转换到频域，然后对应相乘得到输出信号的频谱，最后再通过逆FFT转换回时域得到输出信号。
这种通过FFT实现卷积的方法具有运算速度快、精度高等优点。
具体实现过程如下：
1. 将输入信号x(t)和系统函数h(t)分别转换成离散时间序列x[n]和h[n]。
2. 对x[n]和h[n]分别进行FFT变换，得到X(f)和H(f)。
3. 将X(f)和H(f)对应相乘得到Y(f)。
4. 对Y(f)进行逆FFT变换，得到输出信号y(t)。
需要注意的是，使用FFT实现卷积时，需要对输入信号和系统函数进行采样，并且采样频率应该满足采样定理的要求，否则会产生失真。
此外，还需要注意FFT的点数应该与输入信号和系统函数的长度相同，否则会产生误差。
DFT计算卷积
将长序列x[k] 分为若干段长度为L的序列
x1[k ]
x 2 [k ]
x3 [ k ]
k
L
2L
3L
定义
x[ k nL ] xn [ k ] 0
0 k L -1 其他
xn[k - nL] x[k ] DFT 计算卷积
n0
长序列和短序列的线性卷积
1. 重叠相加法（overlap add） 计算: yn [k ] xn [k ] h[k ]
序列 y0[k], y1[k]的重叠部分
依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最 终的线性卷积结果。
DFT计算卷积
重叠相加法分段卷积举例
h[k ] 1
M=4
0 1 2 M-1
x[k ] 1
k
L=7
0 1 2
L-1
k
重叠相加法分段卷积举例(L=7,M=4)
y 0 [k ]
4 2 3 6 9
1
0 1 2 3
DFT计算卷积
两个有限长序列的线性卷积
问题提出： DFT{x1[k] 实际需要：
N
x2[k]}=X1[m]X2[m]
LTI系统响应
y[k]=x [k]h[k]
可否利用DFT计算线性卷积？
DFT计算卷积
两个有限长序列的线性卷积
设 x [k] 的非零范围是 g[k] 的非零范围是 y[k]=x [k]h[k]非零范围 序列y[k]的长度为 0 k N-1 0 k M-1 0 k N+M- 2 L=N+M-1
4点滑动平均系统去噪结果
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
0
10
fftshift
1.FFT的运算量。
直接计算DFT共需N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。
而FFT仅需计算0.5N㏒2N次复数乘法和N㏒2N次复数加法。
由于在计算机上计算乘法所需的时间比计算加法多得多，所以FFT的运算量比DFT要少的少。
2.FFT及其反变换的MATLAB函数。
y=fft(x);y=fft(x,N).y=ifft(x);y=ifft(x,N)3.利用FFT计算线性卷积。
步骤：将x1(n)和x2(n)都延长到N=N1+N2-1。
计算x1(n)的N点FFT。
X1=FFT（x1）计算x2(n)的N点FFT。
X2=FFT（x2）计算Y= X1 .X2计算Y的反变换y=ifft(Y)在MATLAB中，可用nextpow2来确定呢最接近的值是2的多少次幂。
、4.利用FFT对信号进行频谱分析。
有X（k）群殴相位谱，振幅谱，功率谱。
常用的函数有，计算模值的abs函数和计算相角的angle函数。
因为实信号以fs为采样速率的信号在fs/2 处混叠，所以实信号fft的结果中前半部分对应[0, fs/2],后半部分对应[ -fs/2, 0]1）实信号fft的结果前半部分对应[0, fs/2]是正频率的结果,后半部分对应[ -fs/2, 0]是负频率的结果。
大于fs/2的部分的频谱实际上是实信号的负频率加fs的结果。
故要得到正确的结果，只需将视在频率减去fs即可得到频谱对应的真实负频率2）如果要让实信号fft的结果与[-fs/2, fs/2]对应，则要fft后fftshift一下即可，fftshift的操作是将fft结果以fs/2为中心左右互换3）如果实信号fft的绘图频率f从[-fs/2, fs/2]，并且没有fftshift，则fft正频谱对应f在[0, fs/2]的结果将混叠到(f - fs/2)的位置;fft负频谱对应f在[-fs/2, 0]的结果混叠到f + fs - fs/2 的位置，注意这里f为负值，也就是说此种情况下fft负频谱对应的视在频率减去fs/2即可得到频谱对应的真实负频率二. 复信号情况1）复信号没有负频率，以fs为采样速率的信号，fft的频谱结果是从[0, fs]的。
北京理工大学数信实验报告
实验1 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1、加深对DFT 原理的理解。
2、应用DFT 分析信号的频谱。
3、深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决方法。
二、实验设备与环境计算机、MATLAB 软件环境。
三、实验基础理论1.DFT 与DTFT 的关系：有限长序列的离散时间傅里叶变换(e )j X ω 在频率区间(02)ωπ≤≤ 的N 个等间隔分布的点2(0k N 1)kk N πω=≤≤-上的N 个取样值可以有下式表示：2120(e )|(n)e(k)(0k N 1)N jkn j Nkk NX x X πωπω--====≤≤-∑由上式可知，序列(n)x 的N 点DFT (k)X ,实际上就是(n)x 序列的DTFT 在N 个等间隔频率点2(0k N 1)kk N πω=≤≤-上样本(k)X 。
2.利用DFT 求DTFT方法1：由(k)X 恢复出(e )j X ω的方法如下：由流程知：11(e )(n)e[(k)W]e N j j nkn j nNn n k X x X Nωωω∞∞----=-∞=-∞===∑∑∑继续整理可得到：12()(k)()Ni k kx e X N ωπφω==-∑其中(x)φ为内插函数：sin()2()sin()2N N ωφωω=方法2：实际在MATLAB 计算中，上述插值运算不见得是最好的办法。
由于DFT 是DTFT 的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为2N π，所以如果我们增加数据的长度N ，使得到的DFT 谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT 的结果，这样就可以利用DFT 计算DTFT 。
如果没有更多的数据，可以通过补零来增加数据长度。
3.利用DFT 分析连续信号的频谱采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续信号离散化，这里需要进行两个操作：一是采样，二是截断。
对于连续时间非周期信号(t)a x ,按采样间隔T 进行采样，阶段长度M ，那么：1(j )(t)e(nT)e M j tj nTa a a n X x dt T x -∞-Ω-Ω-∞=Ω==∑⎰对(j )a X Ω 进行N 点频域采样，得到：2120(j )|(nT)e(k)M jkn Na a M kn NTX T x TX ππ--Ω==Ω==∑采用上述方法计算信号(t)a x 的频谱需要注意如下三个问题：（1）频谱混叠；（2）栅栏效应和频谱分辨率； （3）频谱泄露。
利用傅立叶变换计算线性卷积
实验一 利用傅立叶变换计算线性卷积一、实验目的1． 掌握MATLAB 的使用。
2． 掌握用直接法计算线性卷积的原理和方法3． 掌握利用FFT 及IFFT 计算线性卷积的原理和方法二、实验原理及方法1、线性卷积的定义序列)1N n 0(),n (x -≤≤和序列)1M n 0(),n (h -≤≤的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)定义为：10),()()(10-+≤≤-⨯=∑-=M N n m n h m x n y N m 利用直接法计算线性卷积即用线性卷积的定义计算。
2、利用FFT 及IFFT 计算线性卷积的原理和方法如果将序列x(n)和h(n) 补零，使其成为长度为L 的序列(L>=N+M-1), 则x(n)与h(n)的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)与L 点圆周卷积相等，而圆周卷积可采用FFT 及IFFT 完成，即求y(n)=x(n)*h(n)可转化为：对上式两端取FFT 得： Y(k)=X(k)H(k)其中：X(k)=FFT[x(n)], H(k)=FFT[h(n)]则：y(n)=IFFT[Y(k)]三、实验仪器及材料⒈ 计算机，并装有MATLAB 程序⒉ 打印机四、实验步骤1、已知两序列： ⎩⎨⎧>≤≤=3n ;03n 0;)5/3()n (h n 用Matlab 随机生成输入信号X （n ），范围为0~2；2、得出用直接法（定义）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的结果；3、用Matlab 编制利用FFT 和IFFT （圆周卷积）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序； 分别令圆周卷积的点数为L=5，7，8，10，打印结果。
4、对比直接法和圆周卷积法所得的结果。
五、实验说明:1、实验前复习线性卷积,圆周卷积及FFT 内容。
2、利用FFT 计算线性卷积是将x(n)、h(n)用补零的方法延长到N+M-1，再用圆周卷积完成，因此要求x(n)、h(n)延长后的长度满足L>=N+M-1，才能保证用圆周卷积计算结果与直接法计算结果相同。
FFT计算线性卷积
重叠相加法——由分段卷积的各段相加构成总的卷 重叠相加法 积输出。 假定xi(n)表示图中第i段x（n）序列：
则输入序列可表为： 于是输出可分解为：
其中
由此表明，只要将x（n）的每一段分别与h（n）卷 积，然后再将这些卷积结果相加起来就可得到输出 序列，这样，每一段的卷积都可用上面讨论的快速 卷积来计算。先对h（n）及xi（n）补零，补到具有 N点长度，N=N1+N2-1。 一般选择N=2M，然后用基2 FFT算法通过正反变换计算 yi（n）=xi（n）*h（n） 由于yi（n）的长度为N，而xi（n）的长度为N2，因 此相邻两yi（n）序列必然有N-N2=N1-1点发生重叠 ，这个重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出 序列。
实乘次数：8N1[1+log(2N1)] 实加次数：16N1log(2N1) 我们知道乘法运算对计算时间和计算资源的开销远 大于加法，分析这两个式子： 当N1<64时，快速卷积算法的处理速度甚至不及直接 线性卷积运算。 当N=64时，两种算法的处理速度基本相当。 随着N1的增加，快速卷积算法处理速度逐渐提高； 当N1=1024时，快速卷积算法的处理速度比直接线性 卷积提高约10倍。
快速卷积的应用：
频域滤波，这在连续时间信号的滤波实现中是很难 想像的。 解卷积、雷达和声纳信号处理中相关或匹配滤波器 的数字实现以及信号的功率谱估计等方面有其应用 。
THANKS
如果有两个长度均为N1的序列x[n]和 h[n],n=0,1,…,N1-1,完成这两个实序列的离 散卷积运算，约需要N2 次的实数乘法运算 和 N2 次的实数加法运算，当N1很大时，其 运算量是巨大的，这给他的实现带来了很大 的困难。
利用FFT实现两个有限长序列的快速卷积方框图
卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法
e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e
t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
rk r ( k N / 2)
，则后半段的 DFT 值表达式：
X 1[
N N / 2 1 N / 2 1 r ( k ) N N rk k ] x1[r ]WN / 22 x1[r ]WN ， k ] X 2 [k ] （ k=0,1, … ,N/2-1 ） / 2 X 1[ k ] ，同样， X 2 [ 2 2 r 0 r 0
d it L Ri t et dt
t
t 2
u(t ) u(
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d
程序： function test x = rand(1 , 2 .^ 13) ; tic X1 = fft(x) ; toc tic X2 = dit2(x) ; toc tic X3 = dif2(x) ; toc tic X4 = real_fft(x) ; toc max(abs(X1 - X2)) max(abs(X1 - X3)) max(abs(X1 - X4)) return ; function X = dit2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else X1 = dit2(x(1:2:(N-1))) ; X2 = dit2(x(2:2:N)) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [X1 + W .* X2 , X1 - W .* X2] ; end return ;
数字信号处理第三章补
在此频谱图中就分辨不出来。
v(n) 6
4
T＝1 / fs
2
0
0 0
2 2T
4 4T
6 6T
8 8T t p ＝1 / F
10 10 T
12 12 T
14 14 T
16 16 T
18
n t
(a) |V(k )| 40 30 20 10 0 0 0 2 2F 4 4F 6 6F F＝1 / tp
8 8F fs ＝1 / T
m 0
M 1
用DFT算法也就是用圆周卷积来代替这一线性卷积时，为了
不产生混叠，其必要条件是使x(n)，h(n)都补零值点，补到至少
N=M+L-1， 即:
x(n) x(n) 0
0≤n≤L-1 L≤n≤N-1
h(n) 0≤n≤M-1 h(n ) 0 M≤n≤N-1
然后计算圆周卷积
y (n) x(n)
N
h( n )
这时，y(n)就能代表线性卷积的结果。 用FFT计算y(n)的步骤如下：
① 求N点X(k)=DFT［x(n)］, N点；
② 求H(k)=DFT［h(n)］， N点；
③ 计算Y(k)=X(k)H(k);
④ 求y(n)=IDFT［Y(k)］，N点。
率(单位： Hz)。
由图可知：
t p NT fs 1 1 F N NT t p
在实际应用中, 要根据信号最高频率fh和频谱分辨率F的要求， 来确定T、tp和N的大小。 （1）首先，由采样定理，为保证采样信号不失真，fs≥2fh(fh为 信号频率的最高频率分量，也就是前置低通滤波器阻带的截止 频率)， 即应使采样周期T满足
n
利用FFT和IFFT计算线性卷积（可编辑）
利用FFT和IFFT计算线性卷积利用FFT和IFFT计算线性卷积/**************************************************************** ********说明:用快速傅立叶变换计算两个有限长序列的线性卷积void dftCOMPLEX *x, COMPLEX *y,int n,int flagx:指向复数变量的指针变量,存放要变换的数据,长度n。
y:指向复数变量的指针变量,存放变换的结果,长度n。
n:整型变量,变换数据的长度。
flag: 整型变量,标志符,flag=1时,做DFT, flag-1时,做IDFT。
***************************************************************** *******/说明:用快速傅立叶变换计算两个有限长序列的线性卷积void convoldouble *x,double *y,int lenx,int leny,int lenx:双精度实型一维数组,长度为1en。
开始时存放实序列xi,程序结束时,存放线性卷积的结果。
y:双精度实型一维数组,长度为n。
存放实序列yi。
lenx:整型变量。
序列xi的长度。
leny:整型变量。
序列yi的长度。
len:整型变量,线性卷积的长度。
1enm+n-1,且必须是2的整数次幂/**************************************************************** ********#include “rfft.c”#include “irfft.c”#in clude “math.h”#include “graphics.h”#include “stdlib.h”#include “string.h”#include “draw.h”void signalxhdouble *x,int ch;void convolutiondouble *x,double *h,double *y,int lenx,int lenhvoid fconvoldouble *x,double *y,int lenx,int leny,int len;void mainint i,choice,select,lenx,leny,flag;double *x;// 输入信号double *h; //单位脉冲响应存放变换的结果double *y;//输出信号printf“\nchoice singal : choice??xn select??hn\n”;printf“1.矩形序列,长度10 2.单位冲击序列\n”;printf“3.单位阶跃序列,长度54.矩形序列,长度6\n”;printf“choice :选择输入信号 select:选择输出信号\n”; printf“choice”;sc anf“%d”,&choice;ifchoice1 lenx10;else ifchoice2 lenx1;else ifchoice3 lenx5;else lenx6;xdouble *calloclenx,sizeofdouble;printf“\nselect”;scanf“%d”,&select;ifselect 1 lenh10;else ifselect 2 lenh1;else ifselect 3 lenh5;else lenh6;leny lenx+lenh-1;hdouble *calloclenh,sizeofdouble;y double *callocleny,sizeofdouble;printf“\nchoice :1.continue 2.over\n”; dosingalxhx,choice;singalxhh,select;convolutionx,h,y,lenx,lenh;printf“Do you want to input length of Convolution:Y/N?”;ifgetchar’Y’||’y’printf“input length:len”;scanf“%d”,len;else len intlogleny/log2+0.9999;printf(”\nDirect Caculation of Linear Convolution\n”);fori0;ileny;i++printf“%10.1lf”,y[i];ifi%43 printf“\n”;printf“\n”;fconvolx,h,lenx,lenh,len;printf(”Fast Caculation of Linear Convolution\n”);fori0;ileny;i++printf“%10.1lf”,x[i];ifi%43 printf“\n”;printf“\n”;scanf“&d”,&flag;while!flag;void singalxhdouble *x,int chint i;double al,a,f,t;printf“1.矩形序列,长度10 2.单位冲击序列\n”;printf“3.1,2.4,-2.4,2.4,长度44.矩形序列,长度6\n”;switchchcase 1: fori0;i10;i++ x[i]1;break;case 2: x[0]1;break;case 3: x[0]1;x[1]2.4;x[2]-2.4;x[3]2.4;break;default: fori0;i5;i++ x[i]1;break;void convolutiondouble *x,double *h,double *y,int lenx,int lenh int len;int i,j,k;lenlenx+lenh-1;fork0;klen;k++y[k]0.0;fori0;ik;i++y[k]y[k]+x[i]*h[k-i];void fconvoldouble *x,double *y,int lenx,int leny,int lenint i,len2;double t;forforilenx;ilen;i++ x[i]0.0;forilenh;ilen;i++ y[i]0.0;rfftx,len;rffty,len;len2len/2;x[0]x[0]*y[0];x[len2]x[len2]*y[len2];fori1;ilen2;i++tx[i]*y[i]-x[len-i]*y[len-i];x[len-i] x[i]* y[len-i]+ x[len-i]* y[i]; x[i]t;irfftx,len;void rfftdouble *x,int nint i,j,k,m,i1,i2,i3,i4,nl,n2,n4;double a,e,cc,ss,xt,t1,t2;forj1,i1;i16;i++m=i;j=2*j;ifjn break;n1=n-1;forj0,i0;i<n;i++=ifi<jxtx[j];x[j]x[i];x[i]=x[j];kn/2;whilekj十1j=j?k;kk/2;j=j+k;fori=0;i<n;i+2=xtx[i];x[i]xt+x[i+1];x[i+1]=xt-x[i+1j]; n21;for k=2;km;k++n4=n2;n2=2*n4;n12*n2;e=6.28318530718/n1;fori=0;in;i+n1xtx[i];x[i]xt+x[i+n2];x[i+n2]=xt-x[i+n2];x[i+n2+n4]-x[i+n2+n4]; ae;forj1;jn4?1;j++i1=i+j;i2i-j+n2;i3=i+j+n2;i4i-j+n1;cccosa;ss=sina;aa+e;t1=cc*x[i3]+ss*x[i4];t2=ss*x[i3]-cc*x[i4];x[i4]=x[i2]-t2;x[i3]=-x[i2]-t2;x[i2]=x[i1]-t1;x[i1]=x[i1]+t;void irfftdouble *x,int nint i,j,k,m,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,n2,n4,n8,id,is; double a,e,a3,t1,t2,t3,t4,t5,cc1,cc3,ss1,ss3;forj1,i1;i16;i++m=i;j=2*j;ifjn break;n2=2*n;fork1;km;k++is0;id=n2;n2=n2/2;R4n2/4;n8n2/8;e=6.28318530718/n2; doforiis;in;i+idi1=i;i2i1+n4;i3i2+n4;i4i3+n4;tl=x[i1]-x[i3];x[i1]x[i1]+x[i3]; x[i2]2*x[i2];x[i3]t1-2*x[i4];x[i4]t1+2*x[i4];ifn41 continue;i1+n8;i3+n8;i4+n8;t1x[i2]-x[i1]/sqrt2.0; t2x[i4]+x[i3]/sqrt2.0; x[i1]x[i1]+x[i2];x[i2]x[i4]-x[i3];x[i3]2*-t2-t1;x[i4]2*-t2+t1;is2*id-n2;id4*id;whileisn-1;ae;forj=1;jn8;j++a3=3*a;cc1cosa;ss1sina;cc3=cosa3;ss3=sina3;a=j+1*e;id2*n2;doforiis;in-1;ii+idi1i-j;i2=i1+n4;i3=i2+n4;i4=i3+n4;15=i+n4-j;i6=i5+n4;i7=i6+n4;i8=i7+n4;t1=x[i1]-x[i6];x[i1]=x[i1]+x[i6]; t2=x[i5]-x[i2];x[i5]=x[i2]+x[i5]; t3=x[i8]+x[i3];x[i6]=x[i8]-x[i3]; t4=x[i4]+x[i7];x[i2]=x[i4]-x[i7];t5t1-t4;t1t1+t4;t4=t2-t3;t2=t2+t3;x[i3]t5*cc1+t4*ss1; x[i7]-t4*cc1+t5*ss1; x[i4]t1*cc3-t2*ss3; x[i8]t2*cc3+t1*ss3;is2*id-n2;id=4*id;whileisn-1;is=0;id=4;doforiis;in;i+idi1=i+1;t1=x[i];x[i]=t1+x[i1];x[i1]=t1-x[i1];is2*id-2;id4*id;whileisn-1forj=0,i0;in-1;i++ ifijt1=x[j];x[j]=X[i];x[i]=t1;k=n/2;whi1ekj+1j=j-k;k=k/2;j=j十k;fori=0;in;i++ x[i]x[i]/n;。
实验三 用FFT计算线性卷积
实验三用FFT计算线性卷积班级：学号：姓名：成绩：1实验目的在实际应用中，通常需要计算两个序列的线性卷积，希望通过具有快速算法的DFT来实现。
然而，DFT只能计算循环卷积，因此因此应找出两个序列线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积和线性卷积相等的条件。
通过课本公式的推导循环卷积yc(n)=h（n）⊗x(n)和线性卷积yl(n)= h（n）*x(n)相等的条件是循环卷积的长度L≥N+M-1。
本实验内容即时对该结论的验证。
并加深对DFT快速算法在计算线性卷积方面的优势。
2 实验内容利用Matlab仿真工具，取两个序列x(n)=[1,1,1,1],h(n)=[1,1,1,1,1],其中h(n)的长度M=5，x(n)的长度N=4;N+M-1=8，所以再用DFT算法计算x（n）和h(n)的卷积时，分别改变DFT的长度，得到卷积后的波形，观察其是否和线性卷积的结果相同,如果不同，思考其原因。
3实验步骤Step1. 取两个序列x(n)=[1,1,1,1],h(n)=[1,1,1,1,1],利用求卷积算法conv求出其线性卷积yc(n);Step2. 其中h(n)的长度M=5，x(n)的长度N=4;N+M-1=8，所以再用DFT算法计算x（n）和h(n)的卷积时,分别取DFT的长度为L=6,8,10 得到其波形；Step3.观察得到的波形有何变化，分析原因。
3 程序设计// 程序流程图、代码。
用ＤＦＴ计算线性卷积的框图4实验结果及分析如图所示，利用DFT算法计算两个序列X(n)和H(n)的线性卷积时，当所选长度L=6<（M1+M2-1=8）时，循环卷积的结果不等于其正确结果，当L=8或10时，其循环卷积计算结果即为卷积值。
由此，即验证了结论，循环卷积yc(n)=h（n）⊗x(n)和线性卷积yl(n)= h（n）*x(n)相等的条件是循环卷积的长度L≥N+M-1。
5总结本实验通过对照的试验方法，通过改变DFT计算循环卷积的实现线性卷积的快速算法。
数字信号处理第四章9 线性卷积和线性相关的FFT算法
比较直接计算和FFT法计算的运算量
Km md mF ML 2 N (1 3 / 2 * lo g 2 N )
讨论：
1）当
M L
则 N M L 1 2M
Km
M
2
4 M [1 3 / 2 * (1 lo g 2 M )]
M 1 0 6 lo g 2 M
4） y i ( n ) IF F T [ Y i ( k )]
2） H ( k ) F F T [ h ( n )]
3） Y i ( k ) X i ( k ) H ( k )
2012-10-11
5） y ( n )
i
yi (n )
数字信号处理
2012-10-11
数字信号处理
N 1
2012-10-11
数字信号处理
思考题：
下列DFT应用中，能否将x(n)补零点使
1）频谱分析 2）计算线性卷积
3） 计 算 X ( z )
z re
j 2 N k
N 2
m
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数字信号处理
md LM / 2
数字信号处理
FFT法：以圆周卷积代替线性卷积
令 N 2
m
M L 1
x(n) x(n) 0 h(n) h(n) 0
0 n L 1 L n N 1 0 n M 1 M n N 1
则 y (n ) x(n ) * h (n ) x (n ) N h (n )
舍弃yi(n)的前M-1个点，再将yi(n)顺次连接， 即得y(n)。
2012-10-11 数字信号处理
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
fft计算循环卷积
fft计算循环卷积
FFT（快速傅里叶变换）在计算卷积时可以帮助提高效率，特别是在卷积的长度较大时。
下面是使用FFT计算循环卷积的基本步骤：
1.零填充：将输入信号（例如长度为N的序列）进行零填充，使其长度变为2N。
这是为了防止FFT的周期性效应。
2.FFT转换：对零填充后的输入信号进行FFT。
3.相乘：将输入信号的FFT结果与卷积核（或滤波器）的FFT结果进行逐元素相乘。
4.逆FFT转换：对相乘得到的结果进行逆FFT转换。
5.截断：截取逆FFT的结果的前N个元素，即得到循环卷积的结果。
使用FFT计算卷积的好处在于它的时间复杂度较低，尤其在信号长度较大时能够显著提高计算效率。
这对于很多实时信号处理的应用非常有用。
需要注意的是，FFT计算的循环卷积假设输入信号是周期性的。
如果信号不是周期性的，可能需要采用其他方法，如通过在输入信号的两端添加零值来扩展信号。
matlabfft定理与卷积
matlabfft定理与卷积
在信号处理中，FFT（快速傅里叶变换）是一种常用的频域分析工具。
它可以将时域信号转换为频域信号，以便对信号进行频谱分析、滤波等操作。
在FFT中，存在着两个重要的定理：频谱定理和卷积定理。
1. 频谱定理：频谱定理指出，一个信号的频谱是其傅里叶变换的幅度谱，即傅里叶变换后的结果取模得到的谱。
在数学上，频谱定理可以表达为：
原信号的频谱 = 原信号的傅里叶变换的模
这个定理可以用于对信号进行频谱分析，提取信号的频域特征。
2. 卷积定理：卷积定理指出，两个信号的卷积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换的乘积。
在数学上，卷积定理可以表达为：
两个信号的卷积的傅里叶变换 = 两个信号的傅里叶变换的乘积
这个定理可以用于在频域中实现卷积运算，从而加快计算速度。
综上所述，FFT的频谱定理和卷积定理是在信号处理中常用的定理，可以帮助我们进行频谱分析和卷积运算。
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利用FFT 计算卷积
一．线卷积的作用及定义
线卷积包括卷积积分和卷积和。
1．线卷积的作用
求解线性系统对任意激励信号的零态响应。
2．卷积积分
)(*)(d )()()(t h t x t h x t y =-=⎰∞
∞-τττ
3．卷积和
离散系统的时域分析是，已知离散系统的初始状态和输入信号（激励），求
离散系统的输出（响应），两种方法：递推解法和离散卷积法。
卷积和：)()()()()(n h n x m n h m x n y m *=-=
∑∞
-∞= 二．圆周卷积的定义
圆周移位：一周期为N 的周期序列, 可视为一主值序列在圆周上的循环移位。
周期序列在时间轴上
左移右移m 反时针
转称为圆周移位。
时域圆周卷积（循环卷积）
)()()(n h n x n y ⊗=()()()∑-=-=1
0)(N m N N n R m n h m x
条件：两序列实现圆卷积的条件是：长度相等，如果不相等, 可通过增补零值来
使之相等。
特点：卷积求和范围只在10-≤≤N m 有限区间进行；卷积时不作反褶平移, 而
是反褶圆移
步骤：量置换→反褶→圆移→相乘→求和。
三．两者的关系
有限长序列的圆卷积和线卷积的关系
在一般情况下，两序列的圆卷积和线卷积是不相等的，这是因为：线卷积是
平移, 结果长度为121-+=N N L ；而圆卷积是圆移，结果长度为21N N L ==。
只有
在两卷积的结果长度相时，二者才有相同的结果。
解决方法是：在作圆卷积时，通过加零的方法，使两序列的长度都增加到121-+=N N L ，此时，圆卷积的结果和线卷积同。
四．利用FFT 计算卷积
工程实际需要解决的卷积：)()()(n h n x n y *=，但其计算量很大。
而圆卷积为：)()()(n h n x n y ⊗=，便于采用FFT 算法, 故计算速度快。
若将线卷积的两个序列用增补零的方法将长度取为一致，此时两序列的离散线卷积和圆周卷积结果是相等的，这样就则可以通过圆卷积来快速计算线卷积。
1、 利用FFT 计算卷积的步骤
（1）设两序列原长度分别为：N 和M ，将长度增加到1-+≥M N L （L 为2的整数次幂）；
（2）用FFT 法求加长序列的DFT 频谱；
（3）计算两序列DFT 频谱的乘积；
（4）用IFFT 求DFT 频谱乘积的逆变换，便得两序列的离散线卷积。
2、分段快速卷积
设)(n x 为长序列，)(n h 为短序列，长度为M ，则两序列的离散线卷积可以写成如下
形式，∑∑∑-=-+=-=+-++-+-=*=101)1(1
2)()()()()()()()()(N m n K kN m N N m m N h m x m N h m x m N h m x n h n x n y
上述每个子段长度为N 。
为便于圆卷积计算，将长度通过补零加长为：1-+=M N L
x (n
0 n h (n
根据各子段()n x k 增补零的部位不一样而分两种算法。
(1) 重叠相加法
在各子段()n
的尾部增加M－1 个零，则前一子段的尾部与后一子段的首x
k
部有M－1个项是重叠的，对重叠部分的卷积须作相加计算，故称重叠相加法。
(2) 重叠舍去法
该方法是在各子段的首部增加项数, 其中第一子段前部增补M-1个零, 而以后的各子段, 其前部不是增补零, 而是重复利用前一段的后M-1个项。
此时, 由于各子段的前M-1个项重复采用了前一子段的后M-1个项，卷积结果会产生局部失真，因此，须将这前M-1个项舍去，故称重叠舍去法。