球和各种几何体切、接问题专题(一))
高考热点之球与几何体的切、接问题及近年常考题
球与几何体的切、接问题及近年常考题王宪良一、理清位置，学会画图1、正方体的内切球2、球与正方体的棱相切3. 正方体的外接球分别作图如下说明：1.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AC 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
二、解决球心位置和半径大小的常用方法1. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为有三条棱两两垂直，所以可补成球内接长方体。
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长，即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R所以球的表面积为ππ1642==R S2. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ，因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=，所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC ； 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心， 521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V3. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解AC【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒∠该棱锥的外接球半径。
数学新高考微专题8 球与几何体的切、接问题
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球与几何体的切、接问题
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[解题指导]
利用余弦定理可求得 BC→根据正弦定理可求得△ABC 外接圆半径 r→由三棱
柱特点可知外接球半径 R＝ 可得到结果．
r2＋21AA12→求得 R 后代入球的表面积公式即
答案：C
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球与几何体的切、接问题
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球与几何体的切、接问题
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【总结反思】处理球的外接问题的策略 (1)把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题 的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． (2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体， 正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心； ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体， 长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．
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球与几何体的切、接问题
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【总结反思】求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：(1)三条 棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直 径，求出球的半径；(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助 球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求 球的半径；(3)如果几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面 的垂线，垂线的交点为几何体的球心．
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球与几何体的切、接问题
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∵△ABC 为边长为 2 的等边三角形，∴CF＝ 3.
又∠CEF＝90°，∴CE＝ 3－x2，AE＝21PA＝x，
球的接切问题 (1)
2 3 2 36 3 3 -13 a (1.正方体的外接球、内切球和棱切球球的接切问题【例 3】 有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三 个球过正方体各顶点,则三个球面积之比为 ．【解析】设正方体棱长为 a,则有内切球半径 R 1 = 2; 棱切球其直径为正方体各面上的对角线长,则有 R 2 = 2a ;外接球直径为正方体的对角线长,∴有 R 3 = 2a , 所以面积之比为12:( 2 )2: ( 3 )2= 1: 2 : 3.【评注】 正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为 a ，则a 内切球半径|OJ |＝r ＝ ；正方体的棱切球：|GO |＝R ＝ a ；正方体的外接球：则|A 1O |＝R ′＝ a .用构造法2 2 2易知：棱长为 a 的正四面体的外接球半径为a .4【变式 1】构建正方体求解三棱锥有关问题若正三棱锥 P —ABC 的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球 的半径之比为 .1. ( -1): 3.【解析】设正三棱锥侧棱长为 a ，纳入正方体中易知外接球半径为a ,体积V = a 2 6，内切球球心将正三棱锥分成四个高为内切球半径的 三棱锥，则 a 3 1 ⎡ a 2 2 ⎤r = 3 - 3 a , ∴ R : r = . V = 6 = 3 r ⎢3⨯ 2 + 42a ) ⎥,∴ 6 3 ⎣ ⎦ 【变式 2】构建正方体利用等积法求点到面的距离 已知正三棱锥 P －ABC ，点 P ，A ，B ，C 都在半径为则球心到截面 ABC 的距离为 ．3的球面上．若 PA ，PB ，PC 两两相互垂直， 3【解析】由已知条件可知，以 PA ，PB ，PC 为棱可以补充成球的内接正方体，故而 PA 2＋PB 231 12 到 h ＝ 3333，故而球心到截面 ABC 的距离为 R －h ＝ 3 .【变式 3】构建正方体求解正四面体的外接球的体积3 32. 3已知三棱锥A BCD的所有棱长都为，则该三棱锥外接球的体积是.22 3 5 S = 4( 3 )2= 123 + 5 +4 O6 ＝6.【解析】如图构造正方体 ANDM - FBEC ，则∵三棱锥 2A - BCD 的所有棱长都为 ，∴该正方体的棱长为1，∴三棱锥A - BCD 的外接球半径：R=3 43 3 .故所求V =()3 = . 2球32 2【变式 4】通过等价转化求解正方体的内切球的截面圆面积如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的内切球，则平面 ACD 1 截球 O 的截面面积为( )π π6 3 A .6 B .3 C . 6 π D . 3π 4.A 【解析】：根据正方体的几何特征知，平面 ACD 1 是边长为三角形，且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰 为三角形 ACD 1 三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得△ACD 1 内切圆2的正 2 6的半径是 2 ×tan30°＝ 6 ，故所求的截面圆的面积是( 6)2 π 2.长方体的外接球【例 4】 (2013 辽宁) 已知直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上．若 AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球 O 的半径为 ． 【解析】∵AB ⊥AC ，且 AA 1⊥底面 ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方13体，则长方体的对角线 l ＝ 32＋42＋122＝2R ，R ＝ 2 .【评注】利用底面为直角三角形的直三棱柱补成长方体求外接球半径,长方体的模型可以使抽象问题具体化.【变式 1】利用三棱两两垂直的四面体补成长方体求解在四面体 ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB= ,AD=2,AC= ，则该四面体外接球的表面积为．1.12【解析】由球的对称性及 AB , AC , AD 两两垂直可以补形为长方体 ABD 'C - DC 'A 'B ',长方体的对称中心即为球心, ∴ 2R = = = 2 ，∴ .【变式 2】如图，在三棱锥O - ABC 中，三条棱OA , OB , OC 两两垂直，且OA > OB > OC ，分别经过三条棱OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1 , S 2 , S 3，则 S 1 , S 2 , S 3的大小关系为．2. S 3 < S 2 < S 1【解析】 由题意OA , OB , OC 两两垂直，可将其放置在3AB 2+ AC 2+ AD233.π×b 2 +c 2 a 2 + b 2 3 6 2 211 1 ∴V 半球＝ × πR 3＝ π a ＝ πa 3，V 正方体＝a 3.23 3 2 以O 为一顶点的长方体中，设三边OA , OB , OC 分别为 a > b > c ，从而易得 S = 1a ， 1 2S = 1 b 2 2， S = 1c ，∴ 3 2 S 2 - S 2 = 1 (a 2b 2 + a 2 c 2 )- 1 (b 2 a 2 + b 2 c 2 )= 1c 2 (a 2 - b 2 )，又 a > b ，∴ S 2 - S 2 > 0，即 S > S 1 2 4 4 41 2 1 2．同理，用平方后作差法可得 S 2 > S 3．∴ S 3 < S 2 < S 1．【变式 3】利用特殊的四棱锥补成长方体求解已知点 P ，A ，，B ，C D 是球 O 表面上的点，PA ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 正方形.若PA = 2 ,则△OAB 的面积为3. 3 3【解析】∵点 P ，，A ，B ，C D 是球 O 表面上的点，PA ⊥平面 ABCD ， ∴点 P ，A ，，B ，C D 为球 O 内接长方体的顶点，球心 O 为长方体对角线的中点.∴△OAB 的面积是该长方体对角面面积的 1.4∵ AB = 2 3, PA = 2 ，∴ PB = 6,∴ S ∆OAB = 4⨯ 2 3 ⨯ 6=3 3. 【变式 4】利用半球的内接正方体补成球的长方体求解半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )B ． 6π∶2C ．π∶2D ．5π∶124. B 【解析】 将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为 a ， 球的半径为 R ，则6(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即 R ＝ 2a .1 42 ( )3 6 6∴V 半球∶V 正方体＝ 2πa 3∶a 3＝ 6π∶2.【变式 5】利用半球的内接三棱柱运用截面圆性质求解 ()A ．2B ．1C. D.5. C .【解析】由题意知，球心在侧面 BCC 1B 1 的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点，同理△A 1B 1C 1 的外心 M 是 B 1C 1 的 x x中心．设正方形 BCC 1B 1 的边长为 x ，Rt △OMC 1 中，OM ＝ ，MC 1＝ ，OC 1＝R ＝1(R2 2x x 为球的半径)，∴(2)2＋(2)2＝1，即 x ＝ 2，则 AB ＝AC ＝1，∴ S矩形ABB A＝ 2×1＝ 2.3.正四面体的外接球和内切球a 2 + c 2 6 6 A. 5π∶66 33 2 3 31【例 5】 正四面体的内切球、与棱相切的球、外接球的三类球的半径比为．【解析】设正四面体的棱长为 1，外接球和内切球半径依次为 R , r ， 由正四面体三个球心重合及其特征， 则正四面体的高3= R + r ,其体积为V = 1 ⨯ ⨯, 3 3 4另一面V = ⨯ r ⨯⨯ 4,则内切球和外接球的半径比1：3，其和为正四面体的高3 4， 而与棱相切的球直径为对棱的距离，则内切球、与各棱都相切的球、外接球的半径之比为 32( 6 ⨯ 1 ) : 2 : ( 6 ⨯ 3) = 1: : 3. 3 4 4 3 4【变式 1】利用正四面补成正方体求解体积 正四面体 ABCD 的外接球的体积为4 ，则正四面体 ABCD 的体积是.8.【解析】由于外接球的体积为4 3∴ 4r 3= 4 3∴ r =，故其内接正方体的棱长为 2，331 8故正方体体积为 8，正四面体的体积为 V 3正方体 =.36π.【变式 2】利用正四面体的高与外接球半径的关系求球的表面积 正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为 4，则这个球的表面积是 ． 2.36π【解析】正四面体的外接球半径 R 为其高的 3，且正四面体的高为 4，则 R ＝3，S ＝4πR 2＝4【变式 2】利用正四面体补成正方体求解的球心角半径为 1 的球面上的四点 A , B , C , D 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点与球心连线的夹角余弦值为．12. - 3 .【解析】设正四面体棱长 2a ，将其纳入正方体中,其正方体棱长 a ，所求角为对角面内两条2 ⨯ 3a 2 - 2a 2对角线的夹角为∠APB ，AP=BP= a , AB = 2 2a ，由余弦定理cos ∠APB = 4 = - 1.2 ⨯3 a 234【变式 3】利用正四面体补成正方体求异面直线所成的角如图，正四面体 A-BCD 中，E 、F 分别是 AD 、BC 的中点，则 EF 与 CD 所成的角等于（ ）A ．45°B ．90°C ．60°D ．30°6 6 3 31.3EBFC3 3 3 ( )2 π ADEABDFC3.A 【解析】如图，将正四面体补形为正方体，答案就脱口而出，应该选 A. 【变式 4】利用长方体的性质确定折叠四面体的外接球球心4.【解析】设 AC 与 BD 相交于 O ，折起来后仍然有 OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴外接球的半径 r ＝54π 5 125π ＝ ，从而体积 V ＝ × 3＝ . 2 3 2 6面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为．9 1322 3 3 34π32 3π9又 R 2＝a 2＋( 3a －R )2，所以 R ＝a )3＝ 27a 3，则其体积比为.32【变式 6】利用正六棱柱的对称性求外接球的体积一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
球与几何体的切接问题
3a .通过这三种类 2
(2)(2019·长春模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长 为 6 的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表 面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
【解析】 设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题 意，外接球球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π， 得R＝OA＝ 3 ，又易得AM＝ 2 ，由勾股定理可知，OM＝1，所 以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为 43×( 6)2×2 ＝3 3.
专题讲解
题型一 几何体的外接球(微专题) 微专题1：柱体的外接球
(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为________．
【解析】 本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球
的轴截面可得，球的直径是正方体的体对角线，所以球的半径R＝
3 2
3，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π.故填27π.
(2)(2019·江南十校联考)已知圆柱的底面半径为
1 2
，它的两个
底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
()
A．π
3π B. 4
π
π
C.2
D.4
【解析】 由题意作图，如图所示．由题知圆柱
的底面半径r＝
1 2
，球的半(h2)2＋(12)2，解得h＝ 3，所
r= a ;二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形 EFHG 和其外接圆,则|OG|=R= 2 a;三是
2
2
球为正方体的外接球,截面图为长方形 ACC1A1 和其外接圆,则|A1O|=R′=
型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据 组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确 定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.
与球有关的接切问题ppt
详细描述
当一个球与多个旋转体接触时，每一个旋转 体的侧面都会与球形成一条圆弧的接切线， 而每一个旋转体的顶点都会与球形成圆的接 切点。这些圆的半径和圆弧的长度取决于旋 转体的大小以及球的大小。
04
球的切割问题
球被平面切割的截面图形
总结词
根据球心到切割平面的距离和球的半径，可 以确定球被平面切割的截面图形是圆、椭圆 、抛物线、双曲线或这些图形的组合。
详细描述
当球心到切割平面的距离等于球的半径时， 截面图形是圆；当球心到切割平面的距离小 于球的半径时，截面图形是椭圆；当球心到 切割平面的距离大于球的半径时，截面图形 是抛物线或双曲线，具体形状取决于切割平
面与球心的相对位置。
球的切割线长度问题
总结词
球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度数。
详细描述
根据平面几何中弧长公式，球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度 数。当切割线对应的圆心角为直角时，切割线长度最短；当切割线对应的圆心角为平角
时，切割线长度最长。
球的切割面面积问题
总结词
球的切割面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆 心角与360度的比值。
详细描述
根据球表面积公式和圆心角与面积的关系，球的切割 面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆心角与 360度的比值。当切割面为球的大圆时，切割面面积 最大；当切割面为小圆时，切割面面积最小。
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成 一条直线。此时，球心与切点的连线与圆柱的轴线垂直。 根据几何原理，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成一条 直线。
总结词
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成 圆形。
详细描述
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成 圆形。此时，球心与切点的连线与圆柱的底面垂直。根据 几何原理，切点处球面与圆柱的底面相切，形成圆形。
球与各种几何形状切、接问题专题
球与各种几何形状切、接问题专题
引言
本文将讨论关于球与各种几何形状切、接的问题。
从数学角度出发，我们将研究球体在与不同几何形状相交或接触时的特性和可能的解决方法。
切球问题
切球问题指的是将一个球体分割成两个或多个部分的操作。
常见的切球问题有以下几种情况：
1. 平面切球：如何用一个平面将球体分割成两个互补的部分？
2. 曲面切球：如何用一个曲面将球体分割成两个或多个部分？
3. 交线切球：如何使用交线来将球体分割成两个或多个部分？
4. 条带切球：如何使用一个或多个条带来将球体分割成两个或多个部分？
针对每种切球问题，我们将进行详细的数学分析，提出解决方案，并附上相应的图解和实例。
接球问题
接球问题主要讨论的是如何将球体与其他几何形状连接在一起。
我们将研究以下几种常见的接球问题：
1. 线球接：如何用线段将两个球体连接在一起？
2. 曲线球接：如何使用曲线将球体与其他几何形状连接在一起？
3. 平面球接：如何使用平面将球体与其他几何形状连接在一起？
在解决每个接球问题时，我们将提供具体的步骤和示例，并对
不同情况下的解决方案进行讨论。
结论
通过本文的讨论，我们将深入了解球与各种几何形状切、接的
问题。
我们将提供具体的解决方案和示例，帮助读者理解这些问题
的数学背后，并掌握解决它们的方法和技巧。
> 注意：以上所提供的内容仅供参考，并不对其准确性或实用性提供保证。
为了特定情况下的应用，建议进一步深入研究和咨询相关专业人士。
球与各种几何结构切、接问题专题
球与各种几何结构切、接问题专题在几何学中，球是一种广泛应用的基本几何形状。
由于球的圆滑性和对称性，与其他几何结构的切和接问题成为了一个专题。
本文将讨论球与各种几何结构的切和接问题，并探讨其中的一些关键概念和方法。
1. 球与平面的切、接问题首先，我们来探讨球与平面的切和接问题。
当一个平面与球相交时，可能会出现以下几种情况：- 平面与球相切于一个点：这种情况下，平面与球只有一个公共点，即切点。
- 平面穿过球：当平面穿过球时，会形成一个圆。
该圆称为球在平面上的截面。
- 平面与球没有公共点：这种情况下，平面与球没有任何交点。
对于球与平面的切和接问题，可以使用几何相关的原理和方法来求解。
通过计算平面与球之间的交点，可以确定切点的坐标和截面的相关属性。
2. 球与圆柱的切、接问题接下来，我们来研究球与圆柱的切和接问题。
与平面不同，圆柱具有曲面的特性。
当一个球与圆柱相交时，可能会出现以下几种情况：- 球与圆柱相切于一个点：这种情况下，球与圆柱只有一个公共点，即切点。
- 球穿过圆柱：当球穿过圆柱时，会形成一个椭圆或一个圆。
该椭圆或圆称为球在圆柱上的截面。
- 球与圆柱没有公共点：这种情况下，球与圆柱没有任何交点。
对于球与圆柱的切和接问题，我们可以计算球与圆柱之间的交点来确定切点的坐标和截面的相关属性。
通过对相交的椭圆或圆进行进一步的计算和分析，可以获得更多关于球和圆柱之间的几何信息。
3. 球与其他几何结构的切、接问题除了平面和圆柱，球还可以与其他几何结构相交，如锥、棱柱等。
在这些情况下，球与几何结构的切点和截面可以采用类似的方法来计算和确定。
需要注意的是，在实际问题中，可能还会涉及到一些特殊情况，如球与几何结构的内部切和接、球与非欧几何结构的切和接等。
针对这些特殊情况，我们需要运用更加复杂和细致的几何分析方法来求解。
4. 结论综上所述，球与各种几何结构的切和接问题是几何学中一个重要的专题。
通过运用几何相关的原理和方法，我们可以计算和确定球与各种几何结构的切点和截面，进而获得有关几何形状的相关属性和信息。
立体几何中球与几何体的切接问题
立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．【常用结论】①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28 (三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型2R=③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，．④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD的外心O 1△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，． ⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC ⊥平面BCD ，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O 1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A －BCD 的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ．△BCD 的外心为O 1，O 1到BD 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，则Error!解得R ．可用秒杀公式：R 2＝r 12＋r 22－l 24(其中r 1、r 2为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)AB C D A 1B 1C 1D 12h 2224h R r ∴=+O 1C 1AA 1B 1O B CRrh2hO 22h 2224h R r ∴=+r h C DB R A O 1O2h r hC D BR A O 1O2h O 2D 2B 2⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R ＝h 2＋r 22h(其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)⑦内切球思路：以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △PAB ·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ； 第三步：解出r ＝3V P －ABC SO －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3V S 表．【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．类型Ⅰ类型Ⅱ类型ⅢABCDO 1O R rm h －m R dd 类型Ⅳ因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为则正四面体为，设球的半径为R ，则， 解得，所以则正方体的棱长为，【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，，ABCD 外接球的体积为（）A ．B CD ．则故11A CB D -2436R ππ=3R =16AC =23AB CD ==AC BD ==AD BC ==45π22222220,29,41,a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩22a b R +=【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ） A ．B ．C ．D ．【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．【答案】【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面， 可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．111ABC A B C -40π1,120AB AC AA BAC ∠===16+8+8+16+-P ABC 4PA =-P ABC 28πABC PA ⊥ABC ABC PA的中点，的外接圆半径为所以球的半径为所以四面体外接球的表面积为故答案为：．【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为．取BC 中点G ，连接AG,DG ，则分别取与的外心的球心，由ABC r AN =R OA ==-P ABC 28πABC ABC BC DBC △ABC ⊥BCD D ABC -ABC DBC A BCD -AB AC DB DC BC =====2213122AG DG ⎛⎫∴==-=⎪⎝⎭【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．，显然正四棱锥令，则在中，所以该四棱锥的外接球体积为【典例7】（2023·高三课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（）A B C．DP ABCD-221133PO PA AO=-=PO AO R==1|33OO=1Rt AO O△22R AOA O==1π6设正四面体的内切球半径为由等体积法可得因此，该正四面体的内切球的体积为【题型训练1-刷真题】一、单选题322144243A BCDB ACE V V --⎛⎫=-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ABCD (21123A BCD V r S -==2．（2022·全国·统考高考真题）已知球上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（A ．B ．【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点1312，底面所在圆的半径为[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为则，所以，所以正四棱锥的体积2a 2222l a h =+2232(3a =+26h l =2222a l h =-13V Sh =二、填空题【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．【题型训练2-刷模拟】一、单选题）故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱直三棱柱的外接球的体积为（ ）A ．B ． 【答案】C【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解8π316π34．（2023秋·四川眉山的球面上，则该圆柱的体积为（A ．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为 A ．B ．【答案】B π12π外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案 因为由于平面平面故平面，又M 为的外心，⊥22AB BC AC ===ACD ⊥ABC BM ⊥ACD DM ADC △的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径接球， 设四面体的外接球的球心为，半径为，，则， 的外接球表面积为.AEF A BCD -O R 132AB ==22217R O O r =+=24π28πR =8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥平面，若三棱锥A ．【答案】B【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心【详解】 的中点为，连接，因为，又因为平面平面，平面PAC ⊥ABC 231O 1PO AC ⊥112AO AC ==221(26)PA AO =-=PAC ⊥ABC是边长为 10．（2023春·四川绵阳底面是正方形，（ ）A ．【答案】CABCD 89π【详解】 的边长为，在等边三角形平面，∴平面是等边三角形，则，设四棱锥外接球的半径为，为正方形为四棱锥P －ABCD 外接球球心，则易知ABCD 2x PAB ⊥ABCD PE ⊥PAB 3PE x =()211233633ABCD S PE x x ⋅⋅=⨯⨯=R 1O故选：C12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥平面，则三棱锥A．B．⊂ABC-P ABC π4【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球，.若由，则，即又，故，仅当BCD BD CD ⊥BD =24π9πR =32R =1BD =22BD CD ++4CD AC ⋅≤AC所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，形内角，的外接球的直径，要想体积最设，则，，所以当时，，则有三棱锥所以． 故选：A16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为的体积为V 1，它的内切球的体积为V A ． B ．AB x =PA x =6BC x =-PC 2x =min 26PC =3min 4π86π3V R ==2:3的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为半径为（）A．C．313+ () 2313-【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥A ． C ． 【答案】B所以故其内切圆表面积为故选：B ．19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为(823)π-(863)π-1133P ABCD ABCD V S PH S -=⋅=表面积24π(8r =-将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为故外接球的的表面积为. 故选：D.21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥221232+29π故选：A.22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台则该圆台的体积为（ ）A ．B ．【答案】B72π3143设上底面半径易知，作，垂足为1O B r =1BC O B r ==AC 2BD O A ⊥故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（26323R +B ACD -因为，所以当平面平面时，平面平面，所以此时四面体的高最大为因为，所以BA BC =BO ⊥BAC ⊥DAC BO ⊂BAC BO B ACD -DA DC =二、填空题故答案为：26．（2023秋·四川眉山，则该三棱柱的外接球的表面积为【答案】又由三棱柱的高为，则球心因此球半径R 满足：所以外接球的表面积故答案为：4π2360π322R r d =+24πS R ==60π【点睛】求解正棱锥有关问题，要把握住正棱锥的性质，如底面是正多边形，定点在底面的射影是底面的中心等等.求解几何体外接球有关问题，目是求球的表面积还是求体积28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABC16【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则 由，以为坐标原点， 设内切圆半径，易知由等面积可得，解得设四面体外接球球心为所以易知在平面射影为4,3AB BC ==AB ⊥B ,BA BC ABC r 12S lr =PABC O 'ABC31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）底面，，若【答案】32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为段，的中点，连接ABCD AC BD O = 163π-AB BC DE【答案】【分析】由题意可知两两垂直，所以将三棱锥就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积【详解】由题意可知两两垂直，且 33．（2023秋·河南周口这个圆台的体积为 【答案】【分析】根据圆台与球的性质结合圆台的表面积、体积公式计算即可6π,,OD OE OF ,,OD OE OF OD =1423π故答案为： 34．（2023·全国·高三专题练习）【答案】【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可 设该内切球的球心为所以，由已知得所以，在中，142π38πO OE OF OB ===2,BD DF ==AOF AO【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理求得方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为则，解得又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，23π222222749a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩a b c ⎧⎪⎨⎪⎩A BCD -'因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面最大即可，而且；，当时，取得最大值 因为，，所以由余弦定理知所以，易得. =ABC -ADC ABC DCB DAB S S = sin DCB DC BC ∠⋅⋅π2DCB ∠=DBC S △2DB =32EB ED ==22sin 3DED '∠=63DD '=设，高，则,在Rt 中，所以正四棱锥的体积，故当调递减，2AB a =PO h =2OD a =MOD 13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--。
球与几何体的切接问题
2016-2017学年年高三一轮复习专题讲解
课题 球与几何体的切接问题
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2016.10.27
1
考情分析
球是空间几何体中一个特殊的旋转体，
a （1）球内切于正方体 2R=______；
（2）球外接于正方体 a3 2R=______；
（3）长方体的长、宽、高分别为a、b、c则它的外接
S (a b c) 2 2 2
2R= a b c 球的直径
= 2 2 2
__________________.
__________________
V= S•R(a2b2c2)•R
BC=16，AB=4
，cos∠ABC=
7
则三棱柱P-ABC
4
外接球的半径为_____
P
A C
B
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9
【变式】四棱锥P—ABCD内接于球，
若 PA⊥底面ABCD, BC=3，CD=4，PA=5，
B A D 9 0 , A B C 9 0 则该球的表面积为__5__0__
P
D A
.C
O1
D. 6π
D
A
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C
B
12
【变式】四面体 A-BCD中，三组对棱长分别相等且依次是
13,2 5,5 ,则其外接球半径是_____．
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13
【达标检测】--------(2008宁夏、海南15 )
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底．已知
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理学生看到几何体的外接球和内切球问题就有一种恐惧感，其实理论上三棱锥都有外接球，只是有的不易求解，经常出现的外接球问题总是关于一些特殊几何体的。
一、几何体的外接球问题1、与长方体有关的外接球问题利用长方体的几何中心（体对角线的中点）与外接球心重合，求出体对角性长，进一步求出外接球半径。
在长方体1111ABCD A B C D -中，棱1,,AB AD AA 的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为_________． 因2221D B a b c =++，故外接球半径2222a b c R ++= 当遇到由长方体切割形成的几何体时，可补全为长方体，即采用补形法例1、三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=2，则球O 的表面积为_________．12π分析：因SA,AB,BC 两两垂直，把该三棱锥补成以SA,AB,BC 为长、宽、高的长方体，长方体的外接球就是该三棱锥的外接球。
例2、四面体ABCD 中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==,则四面体ABCD 外接球体积为（ 714π ） 分析：5,1013，，看作长方体的三个面对线的长，四面体ABCD 与长方体外接球重合。
由251013(2)142R ++==,得3471433V R ππ== 2、与等边三角形，直角三角形有关的外接球问题利用等边三角形（外心和重心重合）或者直角三角形（外心为斜边中点）的特殊性找球心。
例1、已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为（ A ）A.26B.36C.23D.22分析：本题的关键是求三棱锥的高SH 。
因△ABC 是正三角形，△ABC 所在小圆的圆心G 与重心重合，则32313CG =⨯⨯=,3619OG =-=,262SH OG == 例2、已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( )A. 6B.2C. 3 D ．2解：如图，设正三棱柱底面边长为a ，∴O 2C 2＝33a ，∵OC 2＝2，∴O 2O ＝4－13a 2. ∴A 1A 2＝O 1O 2＝2OO 2＝24－13a 2 ∴三棱锥侧面积为S ＝3a ·24－13a 2＝6·13·a 2(12－a 2)≤63a 2＋12－a 22＝12 3. 当且仅当a 2＝12－a 2，a ＝6时取“＝”号3、当几何体有一定的对称性时，利用几何体的对称性找球心例、在四面体ABCD 中，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积为（ 43π ）分析：因AB=CD=6，其余各边均为5，取AB,CD 的中点F,E ；连接FC,FD,AE,BE;则几何体关于面FCD 对称，又关于面AEB 对称，故球心在两面交线EF 上，又需到A,B,C,D 四点距离相等，所以球心为EF 中点。
球与各种几何体切、接问题专题(一))
球与各种几何体切、接问题专题(一))近年来，高考命题中球与各种几何体的切、接问题主要以选择题、填空题为主，大题较少出现。
在此之前，需要明确两个定义：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球；一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
一、球与柱体的切接。
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。
1、球与正方体。
正方体有三种形态：内切球、棱切球和外接球。
内切球的位置关系为正方体的六个面都与一个球相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=a。
棱切球的位置关系为正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=2a。
外接球的位置关系为正方体的八个顶点在同一个球面上，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=3a。
例如，对于一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，如果其8个顶点都在球O的表面上，那么直线EF被球O截得的线段长为2.2、球与长方体。
长方体的外接球直径是长方体的对角线。
例如，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为32π。
3、球与正棱柱。
正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。
结论2：直三棱柱的外接球的球心位于上下底面三角形外心的连线的中点。
二、球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。
1、正四面体与球的切接问题1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R= h=6a/√3；例4：正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为R= a/√6.解析】如图正四面体ABCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离。
专题一 球的切、接问题
乌鲁木齐市第一中学2019届高三二轮复习资料专题一球的“切”、“接”综合问题编写：李国华【基础知识，基本方法】“切”“接”问题的处理规律1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作，“球心截面法”是解决“切”“接”问题的根本大法。
2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．一、与球有关的外接、内切问题解法流程二、与球有关的切、接问题中常见的组合：类型一：正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a 2(r 为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO |＝R ＝22a .③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝32a .类型二：正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝23a ，CE ＝33a ，则有R ＋r ＝23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a .该正四面体外切球的半径也可以用“补形法”求解：该正四面体棱切球的半径求法：地球仪的经线圈、纬线圈正四面体(设棱长为a )的性质：①全面积23S a =；②体积3212V a =；③外接球半径64R a =；④内切球半径612r a =；⑤正四面体内任一点到各面距离之和为定值63h a =.由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点.类型三：直角四面体（三条侧棱互相垂直的三棱锥）的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设AA 1＝a ，则R ＝32a .②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)．类型四：双垂四面体的外接球半径问题四面体A—BCD中：若AB⊥平面BCD，CD⊥平面ACB，则称该四面体为双垂四面体(图4)，设AB =a，BC=b，CD=c，其外接球的半径为r．如果把该双垂四面体补成一个长方体，那么该双垂四面体的外接球也是长方体的外接球，于是类型五：对棱相等的四面体外接球问题对棱相等模型（补形为长方体）：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，例1：四面体ABCD 中，541AB CD BC AD ====，，BD=AC=34,求该四面体的（1）外接球的半径（由于每组对棱相等，补形成长方体求解）、（2）体积（3）内切球半径（选做）三、几类常见几何体外接球问题（一）构造直棱柱求解类型六、直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；（圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径）例2、在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（）π11.A π7.B π310.C π340.D【课堂练习1】已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为.（二）锥体背景的模型类型七、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）1．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .也可用下面两种方法求解：法一：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin ===，求出R .法二：三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情形：已知三棱锥A BCD -中，面ABD ⊥面BCD ，且ABD ∆，BCD ∆的外接圆半径分别记为12,r r ，公共棱BD a =，则该三棱锥的外接球半径满足：()()()222212222R r r a =+-【课堂练习2】（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.（2）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.（3）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．π B.3πC.4πD.43π（4）表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．（三）二面角背景的模型类型八、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型如图， 90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径。
2013高考直击-球与几何体的切接问题汇总
2013高考直击---球与几何体的切接问题球与几何体的切接问题,是近几年高考的热点,考察空间想象能力和逻辑思维能力,下面我们就近几年高考题对球与几何体的切接作深入的探究,从中掌握高考命题的趋势和高考的出题思路,使我们在这部分内容不失分.从近几年全国新课标高考命题来看,这部分内容主要出选择，填空，大题很少出。
首先探究一下球与几何体的切接的主要模型。
一、正方体与球的切接问题（1）、正方体的内切球，如图1。
位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球A1图1C1的半径为r，这时有2r=a，（2）正方体的外接球，如图2。
位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；图2数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r= ，（3）正方体的棱切球，如图3。
位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r= ，二、正四面体与球的切接问题（1）正四面体的内切球，如图4。
位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重D图31合；图4数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R=h=；（可以利用体积桥证明）（2）正四面体的外接球，如图5。
位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R=3h= ；3图5（可用正四面体高h减去内切球的半径得到）（3）正四面体的棱切球，如图6。
位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R= ；h=。
3图6D三、正方体、正四面体与球的切接问题的数据关系推导可以借用下面几何体的切接关系推导。
正方体为ABCD-A1B1C1D1、正四面体为A1C1BD，图中两个球O为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球和外接球，显然这两个球也是正四面体为A1C1BD的棱切球与外接球，这样我们就不难从一维量棱长a、半径、直径、高；二维量表面积、全面积；三维量体积之间进行数据转换。
(完整版)球的切接问题专题
专题：球的切接问题 一．知识点1． 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图1，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点， 如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
4.正四面体的外接球和内切球如图4所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 正四面体的表面积223434a a S =⨯=表． 正四面体的体积22221234331BE AB a AE a V BCD A -=⨯⨯=- 322212233123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 图1 图2图3图4BCD A V r S -=⋅表31，a aaS V r BCD A 12631223323=⨯==∴-表在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 小结:正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的345.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。
设长方体的棱长分别为a ，b ，c 。
怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径2222c b a R ++=二、题型与方法归类 例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R ＝332，则该球的表面积为S ＝4πR 2＝27π.故填27π (2) 求棱长为1的正四面体外接球的体积．设SO 1是正四面体S －ABC 的高，外接球的球心O 在SO 1上，设外接球半径为R ，AO 1＝r ， 则在△ABC 中，用解直角三角形知识得r ＝33， 从而SO 1＝SA 2－AO 21＝1－13＝23， 在Rt △AOO 1中，由勾股定理得R 2＝(23－R )2＋(33)2，解得R ＝64， ∴V 球＝43πR 3＝43π(64)3＝68π.变式练习:1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积( C )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π2已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( D ) A ．2 2 B.233 C.423 D.433解析 由题意知V ＝43πR 3＝32π3，∴R ＝2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a ，则体对角线l ＝3a ＝4，a ＝433.3.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．【解析】 外切圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴S 表＝S 侧＋2S 底＝2πR ·2R ＋2πR 2＝6πR 2，V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3. 【答案】 6πR 2；2πR 3例2、已知A 、B 、C 、D 是球O 面上的四个点，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA ＝1,OB ＝2,OC ＝3，求球的体积与表面积。
与球有关的切、接问题(有答案)
与球有关的切、接问题1．球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式V ＝43πR 3 2．与球有关的切、接问题中常见的组合： (1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝ 23a ，CE ＝33a ，则有R ＋r ＝ 23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a . (2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a 2(r 为内切球半径)． ②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO |＝R ＝22a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1-AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设AA 1＝a ，则R ＝32a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)． 角度一：正四面体的内切球1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 角度二：直三棱柱的外接球2．(2015·唐山统考)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1 C. 2 D.22解析：选C 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中心．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1，∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.角度三：正方体的外接球3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝3，∴球的体积V ＝43πR 3＝43π. 答案：43π角度四：四棱锥的外接球4．(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4解析：选A 如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，∵正四棱锥P -ABCD中AB ＝2，∴AO ′＝ 2.∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4，故选A. [类题通法]“切”“接”问题的处理规律1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[牛刀小试]1．(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( )A ．100π B.100π3 C ．25π D.25π3解析：选A 易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S ＝4πR 2＝100π.2．(2014·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π3解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋(2)2＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3.故选D. 3．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为( )A ．3 3 B.3 C ．2 6 D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的高为h ，则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3. 4．(2015·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A -BCD ，则四面体A -BCD 的外接球的体积为________．解析：设AC 与BD 相交于O ，折起来后仍然有OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴外接球的半径r ＝32＋422＝52，从而体积V ＝4π3×⎝⎛⎭⎫523＝125π6. 5．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．解析：设等边三角形的边长为2a ，则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3；又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ，故 V 球＝4π3·⎝⎛⎭⎫233a 3＝323π27a 3，则其体积比为932. [高考全国课标卷真题追踪]1．（15课标1理）已知,A B 是球O 的球面上两点，090AOB ∠=,C 为该球面上的动点，若O ABC -三棱锥体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ C ）(A)36π (B)64π (C)144π (D)256π2.（13课标1理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( A )（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π 3.（12课标理）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为（ A ）(A)26 (B)36 (C)23 （D ）224.（12课标文）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 （ B ）（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π5.（10新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113a π (D) 25a π 6.（10新课标文）设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )（A ）23a π （B ）26a π （C ）212a π （D ）224a π 7．（07新课标文）已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,2AC r =,则球的体积与三棱锥体积之比是（Ｄ）Ａ.π Ｂ.2π Ｃ.3π Ｄ.4π8.（13新课标2文）已知正四棱锥O ABCD -的体积为322,底面边长为3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为24π。
立体几何中与球相关的接、切、截问题
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球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.一、球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1、球与正方体（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；=.数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r a（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r=.2（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r =.图3例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A B ．1 C ．1 D 思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径.2、 球与长方体例2 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.3、球与正棱柱（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．（2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．二、 球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1、正四面体与球的切接问题（1） 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有4R h ==；例4 正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为______．【解析】 如图正四面体A －BCD 的中心为O ，即内切球球心，内切球半径R 即为O 到正四面体各面的距离．∵AB ＝a, ∴正四面体的高h ＝63a ，又V A －BCD ＝4V O －BCD ，（）∴R ＝14h ＝612a . （2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有43R h ==；（可用正四面体高h 减去内切球的半径得到）例5 求棱长为1的正四面体外接球的半径。
设SO 1是正四面体S －ABC 的高，外接球的球心O 在SO 1上，设外接球半径为R ，AO 1＝r ，则在△ABC 中，用解直角三角形知识得r ＝33， 从而SO 1＝SA 2－AO 21＝1－13＝23， 在Rt △AOO 1中，由勾股定理得R 2＝(23－R )2＋(33)2，解得R ＝64. 结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC 的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的34，内切球的半径是正四面体高的14. （3） 正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有4,.R h ===例6例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？2.其它棱锥与球的切接问题（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解. 结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例8 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法可得：ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++=，得到2633232-=+=R ．例9是 .思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法．例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 思路分析：ABC ∆的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点O 到面ABC 的距离.由SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离即可求得棱锥的体积.练习：3、由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．4、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
三、球与球相切问题对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例11 已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为 .思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点为E、CD中点为F，连结EF.在△ABF中可得BF=，在△EBF中可得EF=由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF 建立r的方程.例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．四、球与几何体的各条棱相切问题球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r '=. 例13 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）A ．cmB ．10 cmC ．cmD ．30cm思路分析：根据题意球心O 在图中AP 上，过O 作BP 的垂线ON 垂足为N ，ON=R ，OM=R ，由各个棱都为20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设BPA α∠=，在Rt ∆BPM 中，由222BP BM PM =+,得PM =.在Rt ∆PAM 中, 由222PM AM AP =+,得PA =在Rt ∆ABP 中得, sin AB BP α===，在Rt ∆ONP 中得,sin ON R OP OPα==,从而R OP =OP =.在Rt ∆OAM 中, 由222OM AO AM =+,建立方程22)100R =+即可得解.五、球与旋转体切接问题首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．例14 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．例15 在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察R与r和棱长间的关系即可．综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.。