空间直角坐标系专题学案(含答案解析)

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第九讲 空间直角坐标系

时间： 年 月 日 刘老师 学生签名：

一、 兴趣导入

二、 学前测试

要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系

考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。

2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。

考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。

2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。

例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，

90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

(1)求证：FH ∥平面EDB ；

(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。

【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。

【规范解答】

E F

B

C D

H

G

X Y

Z

2

,,//,,,,,,,

.

ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB

BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥四边形为正方形，又且，

平面又为中点，且平面

H HB GH HF 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，

1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则

(1)

(0,0,1),(0,0,1),////HF HF

GE HF HF ∴==∴⊂⊄∴设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又

GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB

(2)

(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.

(3)

1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).

010,10,

220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩⎪⎩∴=-1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）

2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).

00,01,

10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧

⎪==-⎨⎨-+==⎩⎪⎩∴=2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 12

1212121

cos ,,2||||

2,60,n n n n n n n n ∴<>=

=

=∴<>=即二面角B-DE-C 为60。

【方法技巧】1

、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；

2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；

3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。

4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问

题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用

要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角

考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。

2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。

考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:

（1）异面直线所成角

设分别为异面直线的方向向量，则

（2）线面角

设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则

2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：

（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。

例2：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=1

2

AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为

PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体

的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，

（I）计算CM SN

、的数量积，写出答案；

（II）求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。

【规范解答】

设PA＝1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 1

2

)，N(

1

2

,0,0)，S(1,

1

2

,0)

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