高考数学立体几何向量法总结

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学海无涯
6、中点坐标公式 7、重心坐标公式

x


x1
x2 2

y


y1 y2 2

z

z1
z2 2
teachermyh@163.com

x

x1

x2 3

x3

y


y1

y2 3

y3

z

z1

z2 3

z3
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8、直线与直线所成角公式 cos | AB CD |
向量方法部分
空间 向量
空间 向量 的运

知识结构
加减 和数 乘运

共线 向量 共面 向量
空间 向量 基本 定理
空间 向量 的数 量积
teachermyh@163.com
空间 向量 的坐 标运

夹角和距离 平行和垂直
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一、基本概念
teachermyh@163.com
1、空间直角坐标系
以单位正方体 OABC DABC z
AB (4, 6, 1), AC (4,3, 2)
4x 6y z 0 4x 3y 2z 0

z 4x

z

3
y
令z 12 得 n (3, 4,12)
平面ABC的法向量 n (3, 4,12)
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例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中te,aOch是ermy面h@163.com AC的中心,求面OA1D1的法向量.
| AB | | CD |
9、直线与平面所成角公式
teachermyh@163.com
sin | PM n |
| PM || n |
( PM l M n 为 的法向量)
10、平面与平面所成角公式
cos Hale Waihona Puke Baidu n1 n2
| n1 | | n2 |
( n1 n2 为二面角两个半平面的法向量)


直线与直线所成的角
向 量
直线与平面所成的角
设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共 线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0, 则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标
1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
n
2、根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz(如图),
则O(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2), 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 OA1 =(-1,-1,2),OD1 =(-1,1,2)得
x y 2z 0 x y 2z 0
空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
teachermyh@163.com
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
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2、空间直角坐标系中点的坐标
有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间 直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z) 其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的 纵坐标, z叫做点M的竖坐标
a b x1x2 y1y2 z1z2
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4、两个向量平行的条件
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a || b x1 x2, y1 y2, z1 z2 ( R)
或 a || b x1 y1 z1 x2 y2 z2
5、两个向量垂直的条件
a b x1x2 y1y2 z1z2 0
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11、点到平面的距离公式
teachermyh@163.com
d | PM n | |n|
(PM为平面 的斜线, n 为平面 的法向量)
12、异面直线的距离公式
d | AB n | |n|
(A,B为异面直线上两点, n为公垂线的方向向量)
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三、基本应用
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的顶点O为原点,分别以射线
D'
OA,OC,OD 的方向 为正方
A'
向,以线段OA,OC,OD 的
O
长为单位长,建立三条数轴:
x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一 x A
个空间直角坐标系 O xyz
C' B'
Cy B
O为坐标原点, x轴,y轴,z轴叫坐标轴,通过每两个坐
标轴的平面叫坐标平面
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由几何知识可知,二面角α-L-β的大小与法向量n1 、
n2夹角相等或互补,于是求二面角的大小可转化为
求两个平面法向量的夹角.
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二、基本公式:
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1、两点间的距离公式(线段的长度)
AB AB x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
点M
(X,Y,Z)
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3、直线的方向向量
teachermyh@163.com
若a // l, 则称a是直线l 的方向向量
4、平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂 直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α, 这时向量n叫做平面α的法向量.
n
α
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5、平面法向量的求法
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x1x x2 x

y1 y2
y y

z1z z2 z

0 0
ab
3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),
便得到平面法向量n的坐标.
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例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-te1ac)he.rm求yh@1平63.com 面ABC的法向量
解:平面ABC的法向量为: n (x, y, z)
2、向量的长度公式(向量的模)
a
2
a
x2 y2 z2
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3、向量的坐标运算公式
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若 a (x1, y1, z1) b (x2, y2, z2) 那么
a b (x1 x2, y1 y2, z1 z2)
a (x1, y1, z1)
解得

x 2z y0
A1 z B1
D1 C1
取z =1得平面OA1D1的法向 量的坐标n=(2,0,1)
AA Bx
y
O
D
C 学海无涯
5、两法向量所成的角与二面角的关tea系chermyh@163.com
n1 n2

l

n1 n2

l

设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量,
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