华东师大第二附中2019-2020学年上学期高一数学期末考试卷附答案解析
上海市华二附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
华二附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数arcsin y x =（1[]2x ∈-）的值域是 2. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为n a =3. ()cos f x x x =+的值域是4. “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件 （填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则30S =6. △ABC 三条边的长度是a 、b 、c ，面积是2224a b c +-，则C = 7. 已知数列{}n a ，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 8. 等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，1720n n m a a a +++⋅⋅⋅+=（,n m *∈N ，n m <）， 则n m +=9. 在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+=++ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,3n =⋅⋅⋅，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=二. 选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A. B. C. D.12. 已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为413. 将函数sin(2)5y x π=+向右平移10π个单位长度，那么新函数（ ） A. 在53[,]42ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在35[,]44ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 14. 已知函数215cos()36k y x ππ+=-（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[,3]a a + 上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A. 2或3 B. 4或3 C. 5或6 D. 8或7三. 解答题15. 在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-. （1）求A ；（2）求AC 边上的高.16. 已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++⋅⋅⋅++（n *∈N ，,0a b >）.（1）当a b =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （用a 和n 表示）；（2）求1lim n n n u u →∞-.17. 已知方程arctanarctan(2)2x x a +-=. （1）若4a π=，求arccos 2x 的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：3cos(3)4cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得cos()(cos )n nx f x =对所有实数 x 均成立，其中1111()2n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时， 0n a =，当n 为偶数时，2(1)n n a =-；（3）利用（2）的结论判断cos7m π（16m ≤≤，m *∈N ）是否为有理数？参考答案一. 填空题 1. [,]36ππ-- 2. 3122n n n =⎧⎨≥⎩ 3. [2,2]- 4. 必要非充分 5. 60 6. 4π 7. 1 8. 9 9. 2201710. lg3二. 选择题11. D 12. B 13. C 14. A三. 解答题15.（1）3A π=；（2）2.16.（1）12(1)12(1)01(1)1n n n n n a S a a naa a a a++⎧=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且；（2）1lim n n n aa b u ba b u →∞-≥⎧=⎨<⎩. 17.（1）0或23π；（2）33[arctan ]22+；（3）19.18.（1）证明略；（2）证明略；（3）不是有理数.。
2019-2020学年上海市师大附中高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市师大附中高一上学期期末数学试题一、单选题1．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【答案】D【详解】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.2．已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【答案】D【详解】因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．3．定义一种运算：()()a a ba bb a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()2(3)xf x x=⊗-，那么(1)y f x=+的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：∵()()a ab a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩∴f （x ）=2x ⊗（3-x ）3,12,1xx x x -<⎧=⎨≥⎩ , 这个函数图象的最低点是（1，2），∵函数y=f （x+1）的图象是把函数y=f （x ）的图象向左平移一个单位得到的， 故函数y=f （x+1）图象的最低点是（0，2）， 结合已知一次函数和指数函数的图象， 得到正确选项为B ． 故选B ．4．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；③()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】C【分析】由条件①确实单调性，条件②确定周期性，条件③确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间[4,8]上，再由单调性得大小关系、 【详解】因为任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[4,8]上是增函数，因为()()4f x f x +=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，周期是8； 由()4y f x =+是偶函数，得()f x 的图象关于直线4x =对称，(11)(3)f f =(5)f =，(2025)(1)(7)f f f ==，又(5)(6)(7)f f f <<，所以b a c <<． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小． 二、填空题5．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B)＝________.【答案】{5}【详解】易得A ∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A ∪B)＝{5}．6．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2)，则()f x =_____________． 【答案】12x （填x 亦可）【分析】设出幂函数解析式，根据点()2,2求得幂函数的解析式.【详解】由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，将()2,2代入得122,2αα==，所以()12f x x=. 故答案为12x （填x 亦可）【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题. 7．函数()()1lg 21f x x =+的定义域为________.【答案】()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】由分母不为0，真数大于0可得．【详解】lg(21)0x +≠，211210x x +≠⎧⎨+>⎩，解得12x >-且0x ≠，定义域为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故答案为：()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．8．已知函数2()34f x x x =-++的定义域为[2,2]-，则()f x 的值域为_____________．【答案】25[6,]4- 【详解】试题分析：函数的对称轴为，所以在区间上，函数的最大值为，函数的最小值为，所以函数的值域为25[6,]4-． 【解析】二次函数的性质． 9．已知函数()()()20,1xf x a aa a =->≠，若对任意()1212,x x R x x ∈≠均有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是_________.【答案】()()0,12,⋃+∞【分析】先判断出()f x 为增函数，列不等式组即可解得. 【详解】根据题意，对任意()1212,x x R x x ∈≠均有()()12120f x f x x x ->-，则()f x 为增函数，只需201a a ->⎧⎨>⎩或2001a a -<⎧⎨<<⎩解得：2a >或01a <<，故实数a 的取值范围是()()0,12,⋃+∞. 故答案为：()()0,12,⋃+∞ 【点睛】函数单调性的等价结论： （1）复合函数单调性满足同增异减； （2）()f x 为增函数()()12120f x f x x x -⇔>-或()()()()12120f x f x x x -->，()f x 为减函数()()12120f x f x x x -⇔<-或()()()()12120--<f x f x x x .10．设22a b m ==，且112a b+=，则m =_________. 【答案】2【分析】先利用22a b m ==判断出a=b ，并进行指对数互化，由112a b+=求出a=1，即可求出m .【详解】∵22a b m == ∴2log a b m == 又112a b+=， ∴2log 1a b m === ∴m =2 故答案为：2【点睛】指、对数运算技巧：(1)应用常用对数值； (2)灵活应用对数的运算性质； (3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构． 11．已知)1fx =+，则()f x =________．【答案】21x -，()1x ≥【分析】先利用换元法求得函数的解析式2()1f x x =-，注意定义域. 【详解】令1t =，则1t ≥，且2(1)x t =-，可得22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-， 所以2()1f x x =-(1≥x ). 故答案为：21x -，()1x ≥．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解及应用，其中解答中合理利用换元法求得函数的解析式是解答的关键，属于基础题目.12．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．【答案】[)1,0-【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(122a f f ->-，则a 的取值范围是_________.【答案】13,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据偶函数定义化自变量为负数，然后由单调性求解． 【详解】因为()f x 是偶函数，所以不等式()(122a f f ->-化为()(122a f f -->-，又()f x 在区间(],0-∞上单调递增，所以122a -->-11222a -<，112a -<，11122a -<-<，所以1322a <<． 故答案为：13,22⎛⎫⎪⎝⎭．14．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224a b-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．若对任意,x y R ∈，有()()()f x y f x f y +=+，则函数()()2231xg x f x x =+++在[]2019,2019-上的最大值M 与最小值m 的和M m +=_________. 【答案】6【分析】用赋值法确定()f x 为奇函数，然后构造一个奇函数求()g x 的最大值和最小值，从而可得结论．【详解】在()()()f x y f x f y +=+中，令0x y ==得(0)2(0)f f =，即(0)0f =， 令y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数， 令22()()1x h x f x x =++，则2222()()()()11x xh x f x f x h x x x --=+-=--=-++，()h x 是奇函数，所以在对称区间上max min ()()0h x h x +=，当[2019,2019]x ∈-时，max max ()()3g x M h x ==+，min min ()()3g x m h x ==+， 所以max min ()()66M m h x h x +=++=． 故答案为：6．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，解题关键是构造奇函数．所用结论是：()f x 是[,]a a -（或(,)a a -，0a >）上的奇函数，则max min ()()0f x f x +=． 16．自然对数的底数e 是一个无限不循环小数，其值为2.71828…，已知函数()[)[)220191,0,2log ,,e x x e f x x x e e ⎧⎛⎫--+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+∞⎪⎩，若存在三个不同的实数a b c 、、，使得()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为_________. 【答案】[)2,2020e e【分析】首先画出函数的图象，根据条件可知+=a b e ，再根据图象求c 的取值范围，再求a b c ++的取值范围.【详解】如图，画出函数的图象，设a b c <<，由图象的对称性可知+=a b e ，2019log 0x e =时，x e =，2019log 1xe=时，2019x e =，所以[),2019c e e ∈，即a b c ++的取值范围是[)2,2020e e . 故答案为：[)2,2020e e【点睛】思路点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 三、解答题17．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 【答案】(1) a ＝6，b ＝9，c ＝－8;(2) {－2，－1,0,1}【分析】（1）因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0即得c ＝－8. 因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，从而求出a,b 的值.(2)先求出P ＝－≤x ≤1}，再求集合P ∩Z.【详解】(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0， 所以－≤x ≤1， 所以P ＝－≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝－≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1,0,1}．【点睛】（1）本题主要考查集合的运算关系，考查二次方程的根，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是根据A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}分析得到A ＝{3}.18．根据市场调查，某商品在最近40天内价格P 与时间t 的关系用图1中的一条折线ABC (实线)表示，销量Q 与时间t 的关系用图2中的线段EF (实线)表示(*t N ∈).（1）分别写出图1表示的价格与时间的函数关系()P f t =与图2表示的销售量与时间的函数关系()Q g t =(不要求计算过程)；（2）这种商品的销售额为S ，S 为销售量与价格之积，求S 的最大值及此时的时间t .【答案】（1）()[)[]**11,1,20,241,20,40,t t t NP f t t t t N ⎧+∈∈⎪==⎨⎪-+∈∈⎩，()[]*43,1,40,33t Q g t t t N ==-+∈∈；（2）max 176S =，此时10t =或11.【分析】（1）通过图1表示的价格与时间的函数关系分段可得()P f t =的解析式；通过图2表示的销售量与时间的函数关系可得()Q g t =的解析式，注明函数的定义域； （2）利用函数的解析式，通过配方，分别求出函数的最值比较可得答案.【详解】（1）当[)1,20,t t N *∈∈时，设函数为11y k t b =+，因为经过点()8,15和()20,21，所以11118152021k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得111211k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，此时112t y =+，当[]20,40,t t N *∈∈时，设函数为22y k t b =+，因为经过点()40,1和()20,21，所以22224012021k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得22141k b =-⎧⎨=⎩，此时41y t =-+，所以()[)[]11,1,20,241,20,40,t t t NP f t t t t N **⎧+∈∈⎪==⎨⎪-+∈∈⎩，设()33g t k t b =+，因为图象经过点()10,11和()40,1，所以33331011401k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3313433k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()[]43,1,40,33t Q g t t t N *==-+∈∈.（2）当[)1,20,t t N *∈∈时，431214225112336224t t S t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=--+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为t N *∈，所以10t =或11t =时，max 176S =，当[]20,40,t t N *∈∈时，()()2431141423333t S t t ⎛⎫=-+-+=-- ⎪⎝⎭，当[]20,40t ∈时， S 为减函数， 所以()max 20161S S ==，而161176<， 所以10t =或11t =时，max 176S =，故当10t =或11t=时这种商品的销售额S 最大，为176.【点睛】本题考查函数的实际应用、二次函数求最值，解题的关键点是根据图象求出解析式，考查销售分析问题、解决问题的能力.19．已知()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞.（1）当12a =时，用定义证明函数()y f x =的单调性，并求函数()y f x =的最小值；（2）如对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，()f x 最小值为72；（2）()3,-+∞. 【分析】（1）用定义法证明函数的单调性，并直接求出最小值；（2）把 “对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，”转化为：220x x a ++>恒成立， 用分离参数法求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当12a =时，()[)2122,1,x x f x x x++=∈+∞ 任取211x x >≥，则有：()()212121112222f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎝⎭⎝-⎪⎭()21121122x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()2112112x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∵211x x >≥，∴211211002x x x x -->>，，∴()21121102x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x >，∴()y f x =在[)1,+∞上单调递增. ∴()()min 7=1=2f x f ，即()f x 最小值为72. （2）∵任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，可化为：220x x a ++>恒成立， 即()()221a x xx >-+≥恒成立，只需()2max2a x x >-+记()()221y x xx =-+≥则()22y x x =-+在1≥x 上单调递减 ∴max =3y - ∴3a >-即实数a 的取值范围为()3,-+∞. 【点睛】方法点睛：（1）证明函数的单调性用定义法； （2）求参数的取值范围用分离参数法.20．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--.(0a >且1a ≠). （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式()2f x <的解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （3）设()f x 的反函数为()1fx -，若()1113f -=，解关于x 的不等式()()1f x m m R -<∈.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）a =（3）当m 1≥时，解集为x ∈R ；当1m <时，解集为21|log 1m x x m +⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭. 【分析】（1）用定义法判断奇偶性；（2）由()2f x <的解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭转化为12x =±为方程()()1log =21ax x +-的根，解得a ； （3）先求出反函数()11=1x x a fx a --+，解得a =2，然后解不等式2121x x m -<+即可.【详解】解：()()()log 1log 1a a f x x x =+--的定义域为()1,1- （1）()y f x =为奇函数.∵()()()()log 1log 1=a a f x x x f x -=--+-， ∴()y f x =为奇函数.（2）∵()()()()()1log 1log 1=log 1a a ax f x x x x +=+---，∴()2f x <的解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭即为()()12log 21ax x +-<<-的解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∴12x =±为方程()()1log =21ax x +-的根，即111122log =2log =2111122a a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，解得：3a =. （3）∵()()()log 1log 1a a f x x x =+--， ∴()11=1x x a f x a --+.∵()111113a f a --==+，解得：a =2 ∴()()1fx m m R -<∈即为2121x x m -<+∴2121x m >-+ 当m 1≥时，10m -≤，而2021x>+，∴x ∈R 当1m <时，2121x m >-+解得：21log 1mx m+<- 综上：当m 1≥时，解集为x ∈R ；当1m <时，解集为21|log 1m x x m +⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭. 【点睛】（1）证明函数的奇偶性用定义法；（2）不等式对应的解集是用不等式对应方程的根表示； 21．已知函数()f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()y g x =为偶函数，且()()2g x g x +=，当01x ≤≤时，有()()g x f x =，若0a <，且3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数； （3）若在[]0,2上存在n 个不同的值()1,2,,,3i x i n n =≥，12n x x x <<<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2x <；（2）2a =-，3y =-[]0,3x ∈；（3）(][),26,-∞-+∞.【分析】（1）去绝对值，利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）首先判断函数的周期，利用函数的周期和偶函数的性质，得到函数关系式，当12x ≤≤时，()()()()()224g x g x g x x x =-=-=--，求出函数的反函数．（3）当0a ≤和4a ≥时，函数()f x 单调递增，利用函数的单调性去绝对值，列不等关系求实数a 的取值范围，当04a <<时，()()()()()()()1223m 1ax 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤，利用分类讨论思想的应用求出结果．【详解】（1）解不等式12x x -< 当1≥x 时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <， 综上，该不等式的解集为(),2-∞ （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-，因为()()2g x g x +=，所以()g x 是以2为周期的偶函数， 所以3111122222g g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由3524g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且0a <，得2a =-， 所以当01x ≤≤时，()()2g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈，所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-；②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥； ③当24a ≤<时，则122a ≤<，所以()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，于是()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-222(0)2242a a a f f ⎛⎫⎛⎫≤-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令282a ≥，解得4a ≤-或4a ≥，不符合题意；④当02a <<时，()f x 分别在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[],2a 上单调递增，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()()()2(0)22a f f f f a ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222222224242a a a f f a a ⎛⎫=+=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭令22482a a -+≥，解得2a ≤-2a ≥+.综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，本题第三问的关键是去绝对值后，转化为最值问题．。
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()()12f x f x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 是R 上的偶函数，若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=成立，即充分性成立； 若()()12f x f x =，则12x x =-或12x x =，即必要性不一定成立， 所以“120x x +=”是“()()12f x f x =”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．函数2(0)1axy a x =>+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 【详解】记2()1axf x x =+，函数定义域为R ，则2()1ax f x x -=-+()f x =-，函数为奇函数，排除BC ，又0x >时，()0f x >，排除D ． 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．设集合{}2230A x x x =+->，集合{}2210,0B x x ax a =--≤>，若A B 中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞【答案】B【分析】先化简集合A ，再根据函数2()21y f x x ax ==--的零点分布，结合A ∩B 恰有一个整数求解. 【详解】{}{22303A x x x x x =+->=<-或}1x >，函数2()21y f x x ax ==--的对称轴为0x a =>， 而(3)680f a -=+>，(1)20,(0)0f a f -=><，故其中较小的零点为(1,0)-之间，另一个零点大于1，(1)0f <， 要使A ∩B 恰有一个整数，即这个整数解为2，(2)0f ∴≤且(3)0f >，即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩，解得：3443a ≤< ， 则a 的取值范围为34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故答案为：B.【点睛】关键点睛：本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，解题的关键是根据二次函数的性质得出A B 中的整数为2，利用零点存在性定理求解.4．已知函数111,22(),1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则方程()10xf x -=的解得个数是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】化简得出函数()f x 的表达式，方程()10xf x -=的解得个数，即方程1()f x x=的实数根的个数，作出函数()f x 和1y x=的图象，结合函数图象可得出答案. 【详解】当2x ≤时，()31212111122x x f x x x x -⎧⎪≤≤⎪=--=⎨+<⎪⎪⎩ 当24x <≤时，()12314(2)53424x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩当46x <≤时，()34518(2)75628x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩方程()10xf x -=的解得个数，即方程1()f x x=的实数根的个数. 在同一坐标系中作出()y f x =与1y x=的图象， 由()()()11112424f f f ===，，， 如图：函数()y f x =的图象与1y x=的图象有7个交点. 所以函数()()1g x xf x =-的零点个数是：7 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数()f x 的表达式，作出函数()f x 的图象，将问题转化为方程1()f x x=的实数根的个数，即函数()y f x =的图象与1y x =的图象的交点个数，数形结合可解. 二、填空题5．计算：2233318log 752log 52-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________．【答案】9【分析】根据分数指数幂的运算、对数的运算性质求解出结果.【详解】原式=()()232333333212log 3552log 542log 32log 52log 512++⨯⨯-=+++-⎛⎫⎪⎝⎭4419=++=，故答案为：9. 6．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________． 【答案】22-【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值.【详解】,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin 3α∴==-sin tan cos ααα==- 故答案为：-．7．不等式2411x x x --≥-的解集为______.【答案】[1,1)[3,)-+∞【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后利用高次不等式的结论求解．【详解】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩， 解得3x ≥或11x -≤<． 故答案为：[1,1)[3,)-+∞．【点睛】方法点睛：解分式不等式的方法：把分式不等式移项，不等式右边化为0，左边通分，然后化为整式不等式，要注意分母不为0，对一元二次不等式易得解，对高次的不等式可利用序轴标根法写出不等式的解．解题中多项式的最高次项系数正数． 8．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ．【答案】32π 【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，所以其所在圆的半径为33r ππ==， 因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π.9．已知幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，则()3f =______.【分析】由条件求出()12f x x-=，然后可求出答案.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象过点⎛ ⎝⎭所以2α=，解得12α=-，即()12f x x -=所以()12333f -==10．已知函数12()log (21),()f x x y f x -=-=是其反函数，则1(1)f -=__________.【答案】32【分析】令2log (21)1x -=即可求出1(1)f -【详解】解：令22log (21)1log 2x -==，所以212x -=，解得32x =，即1(1)f -=32. 故答案为:32. 11．方程()()2lg 2lg 2610+-+-+=x x x 的解集为_________.【答案】132⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】根据对数运算法则，先将方程化为()()2lg102lg 26+=+-x x x ，得到()210226+=+-x x x ，求解，再由对数的性质，得到x 的范围，即可得出结果.【详解】因为()()2lg 2lg 2610+-+-+=x x x ，所以()()2lg102lg 26+=+-x x x ，所以()210226+=+-x x x ，整理得：292602--=x x ，解得2x =-或132x =； 又由220260x x x +>⎧⎨+->⎩解得 32x >；所以132x =，原方程的解集为132⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为132⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查解对数方程，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型. 12．若关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】8a ≤-【分析】令30x t =>，方程转化为2(4)40t a t +++=有正根，由根的判别式结合根与系数关系，建立关于a 的不等式，求解即可.【详解】方程9(4)340x x a ++⋅+=有解， 令30x t =>，则方程2(4)40t a t +++=有正根， 又两根的积为4，()()2416040a a ⎧∆=+-≥⎪∴⎨-+>⎪⎩，解得8a ≤-. 故答案为：8a ≤-.【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，应用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题. 13．已知0a >，0b >且3a b +=.式子2021202120192020a b +++的最小值是___________.【答案】2【分析】令2019a x +=，2020b y +=，从而可得1()14042x y +=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】令2019a x +=，2020b y +=， 则2019x >，2020y >且4042x y +=， ∴1()14042x y +=， ∴202120211111120212021()201920204042x y a b x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111222y x x y ⎛⎫=+++⋅= ⎪⎝⎭≥，当且仅当y xx y=取等号，即2021,2,1x y a b ====时成立. 故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 14．已知122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++，()()F x f x m n =+-，若函数()y F x =为奇函数，则2||x m x n ++-的最小值是___________.【答案】2021【分析】利用已知条件得到()()20224042f x f x +--=，又利用()y F x =为奇函数，即可求出,m n 的值，代入2||x m x n ++-，分四种情况去绝对值，利用二次函数的单调性求最值即可得出结果.【详解】由122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++，得()111112320211111f x x x x x =-+-+-++-++++1112021122021x x x ⎛⎫=-+++⎪+++⎝⎭，又()11120222021202120211f x x x x ⎛⎫--=-+++⎪------⎝⎭1112021202120211x x x ⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭， 则()()20224042f x f x +--=，因为()()F x f x m n =+-，又函数()y F x =为奇函数，()()()()()()0222F x F x f x m f x m n f x f x m n -+=⇒-+++=⇒+-+=，故22022,240421011,2021m n m n =-=⇒=-=；所以()221011|||2021|x m x n x x g x ++-=+-=-，当2021x ≥时，原式22101120213032x x x x =-+-=+-， 对称轴为12x =-，故函数()g x 在[)2021,+∞上为增函数， 所以()g x 的最小值为：220211011-；2021x ≤<时，原式22101120211010x x x x =-+-=-+， 对称轴为12x =，故函数()g x 在)2021上为增函数，所以()g x 的最小值为：2021当x ≤22101120213032x x x x =-++-=--+， 对称轴为12x =-，故函数()g x 在12⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，在12⎛- ⎝上为减函数，所以()g x 的最小值为：2021当x ≤22101120211010x x x x =-+-=-+， 对称轴为12x =，故函数()g x 在(,-∞上为减函数，所以()g x 的最小值为：2021综上：2||x m x n ++-的最小值是2021故答案为：2021【点睛】方法点睛：形如()20x a x b a b -+-<<求最值的问题.分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(((),,,,,b b ⎤-∞+∞⎦四个部分，在每个部分上去掉绝对值符号，研究二次函数的单调性即可求解最值. 三、解答题15．已知函数2()21x x af x -=+为奇函数.（1）求实数a 的值并证明()f x 是增函数；（2）若实数满足不等式1(1)02f f t ⎛⎫+-> ⎪-⎝⎭，求t 的取值范围.【答案】（1）1a =，证明见解析；（2）(2,3)t ∈.【分析】（1）依题意可得()()f x f x -=-，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可； 【详解】（1）因为()y f x =是定义域为R 奇函数，由定义()()f x f x -=-，所以222121x xx xa a----=-++ 所以2(1)1x a a -=-， ∴1a =. 所以21()21x x f x 证明：任取12x x -∞<<<+∞，121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++．12x x -∞<<<+∞，1222x x ∴<．12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．()f x ∴在定义域上为增函数．（2）由（1）得()y f x =是定义域为R 奇函数和增函数1(1)(1)2f f f t ⎛⎫>--= ⎪-⎝⎭ 112t ⇒>- 302t t -⇒>- (2)(3)0t t ⇒--<23t ⇒<<所以(2,3)t ∈.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 16．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间](1,3上严格增，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,a ∈+∞．【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，2log (46)y x =-+满足题意； 当0a ≠时，要使得2log ()y f x =的值域为R ，只需要满足016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得203a <≤，综上20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ （2）2log ,46a y t t ax x ==-+，当1a >时，外层函数为严格增，所以只需满足212460a aa ⎧≤⎪⇒≥⎨⎪-+≥⎩； 当01a <<时，外层函数为严格减，所以只需满足22332912603a aa a ⎧≤⎧⎪≥⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+>>⎩⎪⎩，此时不存在，舍去； 综上[)2,a ∈+∞．【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx c a =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有00a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有0a >⎧⎨∆≥⎩.17．新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭(万件)，其中([0.5,1])k k ∈为工人的复工率.公司生产t 万件防护服还需投入成本(20850)x t ++(万元).（1）将公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)； （2）当复工率0.7k =时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01). 【答案】（1）3601807204ky k x x =---+，[]0,10x ∈；（2）2；（3）0.58 【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可； （2）当0.7k =时，可得()2527+4+134+4y x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式即可求出； （3）若对任意的x ∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到36018072004kk x x ---≥+在x ∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．【详解】（1）依题意，()3608020850302071807204ky x t x t t x k x x =+-++=--=---+，[]0,10x ∈； （2）当0.7k =时，3600.71800.77204y x x ⨯=⨯---+()25225271067+4+1344+4x x x x ⎡⎤=--+=-+⎢⎥+⎣⎦50≤-=， 当且仅当()2527+4+4x x =，即2x =时等号成立， 所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元； （3）若对任意的x ∈[0，10]，公司都不产生亏损，则36018072004kk x x ---≥+在[]0,10x ∈恒成立， ∴21748802180x x k x ++≥⋅+，令[]22,12t x =+∈，2172012112720180180t t k t t t ++⎛⎫∴≥⋅=++ ⎪⎝⎭， 设()12720f t t t =++在[]2,12上递增，∴()()max 12127122010512f t f ==⨯++=，∴1105180.580k ≥⨯≈. 即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损.【点睛】结论点睛：本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，解决此类问题的关键是根据条件准确的求出关系式，对于实际问题的最值问题，常用基本不等式或函数单调性的办法求解，注意实际问题中的取值范围．18．已知函数()32723x xf x ⋅-=-，()2log g x x =． （1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；（3）已知存在实数a ，使得对任意]1[0m ∈，，关于x 的方程()()()244310g x ag x a f m -+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有．．3个不等根1x ，2x ，3x ，求出实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]1,2；（2）1a β=；（3）141153a <≤． 【分析】（1）将函数()f x 化简再根据单调性即可得函数()f x 的值域； （2）根据()g x 的解析式，将,αβ代入化简，即可得到αβ的值.（3）令()p f m =，()t x g =，2()4431h t t at a =-+-，根据]1[0m ∈，得出p 的取值范围，由题意可得关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3有两解12,t t ，且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根，列出不等式组得出a 的范围. 【详解】（1）()()3232232323x x x f x -+==+--在区间[]0,1x ∈上严格减， 而()02f =，()11f =，故函数()f x 的值域为[]1,2．（2）因为()2|log |g x x =在[]0,1x ∈单调递减，在[)1,+∞单调递增，()()t g g αβ== 01αβ∴<<<，则有22log log αβ=，即22log log αβ-=故2220log log log αβαβ=+=，所以1a β= （3）令()p f m =，由（1）知()[]1,2p f m =∈令()t x g =，因为()2log g x x =在1,18x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调减，在[]1,4单调递增，且138g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =，()42g =则当(]0,2t ∈时，方程()t x g =有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1； 当(2,3]{0}t ∈时，方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1. 令2()4431h t t at a =-+-，由二次函数()h t 与()g x 的图象特征，原题目等价于： 对任意[]1,2p ∈，关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3上总有2个不等根()1212,t t t t <， 且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根， 则必有12023t t <≤<≤或102t <≤且20t =，当12023t t <≤<≤时，结合二次函数()h t 的图象，则有(0)312(2)1551(3)3592h a h a h a =->⎧⎪=-<⎨⎪=-≥⎩，解之得141153a <≤， 当102t <≤且20t =，则()()1020221222h a a h h ⎧≤≤⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围为141153a <≤. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.。
2019-2020学年上海华二附中高一上学期数学期末试卷
华二附中高一期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 若实数a b >，则下列说法正确的是（1）a c b c +>+ （2）ac bc < （3）11a b< （4）22a b > 2. 函数()(0)f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是3. 函数22711()(1)m m f x m m x ++=--是幂函数，则m =4. 若a 、b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值5. 不等式|1||2|13x x -++<的解集为6. “若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是7.已知函数()f x =[1,9]x ∈，2()()()g x f x f x =⋅的反函数是1()g x -，则 1()g x -的定义域为8. 函数243()6x x f x x ++=-的值域为 9. 已知a 、b 为非零实数，且3126a b ab ==，则a b +的值为10. 已知函数1321()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)1x g x a x x =+++（a ∈R ），若对 任意的12,{|,2}x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是二. 选择题11. 幂函数()y f x =经过点，则()f x 是（ ）A. 偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B. 偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C. 奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D. 非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数12. 若函数6(3)37()7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9(,3)4 B. 9[,3)4 C. (2,3) D. (1,3)13. 定义在R 上的函数()f x 有反函数1()f x -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则11(2020)(2018)f x f x ---+-的值为（ ）A. 0B. 2C. 2-D. 不能确定14. 已知函数()f x 的定义域为{0,1,2}，值域为{0,1}，则满足条件的函数()f x 的个数为（ ）A. 1个B. 6个C. 8个D. 无数个三. 解答题15. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）求(0)f 及((1))f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数根，求实数m 的取值范围.16. 某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数0()()C x A f x C B x A x A <≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元， 当使用327m 时，缴费14元，当使用335m 时，缴费19元.（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？17. 已知函数121()log ()1ax f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求实数k 的取值范围.18. 已知函数2||()2x x P f x x x x M ∈⎧=⎨-+∈⎩，其中P 、M 是非空数集且P M =∅，设(){|(),}f P y y f x x P ==∈，(){|(),}f M y y f x x M ==∈.（1）若(,0)P ∈-∞，[0,4]M =，求()()f P f M ； （2）是否存在实数3a >-，使得[3,]P M a =-，且()()[3,23]f P f M a =--？ 若存在，求出所有满足条件的a ，若不存在，说明理由；（3）若PM =R 且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P 、M .参考答案一. 填空题1.（1）2. 0b =3. 2或1-4. 945. (7,6)-6. 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠7.8. (,16[67,)-∞-+∞9. 2 10. 3(,]4-∞-二. 选择题11. D 12. B 13. A 14. B三. 解答题15.（1）(0)0f =，((1))1f f =-；（2）(1,0)-.16.（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元. 17.（1）1-；（2）[1,)-+∞；（3）[1,1]-.18.（1）[8,)-+∞；（2）3；（3）(0,)[1,)P t =+∞，(,0][,1)M t -∞，其中01t << 或(0,][1,)P t =+∞，(,0](,1)M t -∞，其中01t <<或[1,)P =+∞，(,1]M -∞或(0,)P =+∞，(,0]M -∞.。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b22．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是（1）．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b2【分析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：由可加性知，（1）正确；当c≥0时，（2）显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，（3）显然无意义；取a＝1，b＝﹣2可知，（4）不正确．故答案为：（1）．【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．2．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．【分析】函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，即可得出．【解答】解：函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，∴b＝0．∴函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．故答案为：b＝0．【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝2或﹣1．【分析】函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，利用幂函数的定义得m2﹣m ﹣1＝1，由此能求出m的值．【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．故答案为：2或﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．【分析】先利用基本不等式可得，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】解：∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴，即，当且仅当a＝b时取等号，∴，即（a+1）（b+1）的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为（﹣7，6）．【分析】分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式即可．【解答】解：当x≤﹣2时，原不等式等价于1﹣x﹣x﹣2＜13，解得x＞﹣7，此时满足﹣7＜x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，原不等式等价于1﹣x+x+2＜13，即3＜13恒成立；当x≥1时，原不等式等价于x﹣1+x+2＜13，解得x＜6，此时满足1≤x＜6；综上，不等式的解集为（﹣7，6）．故答案为：（﹣7，6）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【分析】本题根据“若p，则q”的逆否命题的形式是：“若￢q，则￢p”，可以解答．【解答】解：若p，则q的逆否命题的形式是：若￢q，则￢p．因此命题“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题为“若x≠1或y≠0，则x+y≠1”．故答案为：若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【点评】本题考查了逆否命题的概念，四种命题的关系．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为[2，2]．【分析】函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，根据单调性可得其值域．于是g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域．【解答】解：函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，由，解得1≤x≤3．∴g（x）∈[2，2]，则g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域，∴g﹣1（x）的定义域为∈[2，2]，故答案为：[2，2]，【点评】本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．【分析】分离常数后，利用双勾函数的性质即可得解．【解答】解：，由双勾函数性质可知，．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求解，属于基础题．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为2．【分析】设3a＝12b＝6ab＝k，把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：设3a＝12b＝6ab＝k，∴a＝log3k，b＝log12k，ab＝log6k，∴＝2log k6，又∵，∴，∴，∴a+b＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，是中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．【分析】可求得，，根据题意f（x）max≤g （x）min（x＞﹣2），由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．【解答】解：对函数f（x），当x≤1时，；当x＞1时，，∴f（x）在（﹣2，+∞）上的最大值；对函数g（x），函数g（x）若有最小值，则a＝0，即，当x∈（﹣2，0）∪（0，+∞）时，，易知函数；又对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），∴f（x）max≤g（x）min（x＞﹣2），即，∴，∴，即实数k的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：y＝xα，将（3，）代入解析式得：3α＝，解得α＝，∴y＝，故选：D．【点评】本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）【分析】利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】解：∵函数f（x）＝单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3﹣a＞0且a＞1．但应当注意两段函数在衔接点x＝7处的函数值大小的比较，即（3﹣a）×7﹣3≤a，可以解得a≥，综上，实数a的取值范围是[，3）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定【分析】分析：由f（x）+f（﹣x）＝2，得f（t）+f（﹣t）＝2，注意（2020﹣x）与（x ﹣2018）的和等于2，若（x﹣2018）与（2020﹣x）一个是t，则另一个是﹣t，再应用反函数的定义解出t和﹣t即得．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2，∴f（t）+f（﹣t）＝2，令2020﹣x＝m，x﹣2018＝n，∴m+n＝2，∴可令f（t）＝m，f（﹣t）＝n，由反函数的定义知，∴t＝f﹣1（m），﹣t＝f﹣1（n）∴f1（m）+f1（n）＝0，即：f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值是0，故选：A．【点评】本题考查反函数，体现换元的数学思想，属于中档题．14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个【分析】由函数定义直接写出即可得解．【解答】解：当0对应0时，可以有①（1，0），（2，1）；②（1，1），（2，0）；③（1，1），（2，1）；共三种对应方式；当0对应1时，可以有①（1，0），（2，0）；②（1，1），（2，0）；③（1，0），（2，1）；共三种对应方式；故满足条件的函数f（x）共有6个．故选：B．【点评】本题考查函数定义的理解，属于基础题．三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，作出函数f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，而y＝f（x）的图象如图：分析可得﹣1＜m＜0；故m的取值范围是（﹣1，0）．【点评】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？【分析】（1）由题意知C的值，再把（27，14），（35，19）代入f（x）中求出B和A的值；（2）写出f（x）的解析式，计算f（29）的值即可．【解答】解：（1）由题意得：C＝4，将（27，14），（35，19）代入f（x）＝4+B（x﹣A），得：，解得A＝11，B＝；所以A＝11，B＝，C＝4．（2）由（1）知，f（x）＝；当x＝29时，f（29）＝4+×（29﹣11）＝＝15.25；所以该居民使用29m3水时，应该缴水费15.25元．【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．【分析】（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得+＝0恒成立，即可得出答案（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范围（3）由于f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案【解答】解：（1）函数f（x ）＝的图象关于原点对称，∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，∴（）＝0，∴＝1恒成立，即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，又a＝1时，f（x ）＝无意义，故a＝﹣1；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m 恒成立，即+（x﹣1）＜m，∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，由于y ＝（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；（3）f（x ）＝在[2，3]上是增函数，g（x ）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，∴只需要即可保证关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题第11页（共13页）18．（14分）已知函数f（x ）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【分析】（I）利用y＝|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住线索﹣3∈P∪M，逐层深入，先判断﹣3∈P，得a 的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）⊆M，（1，+∞）⊆P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M【解答】解：（I）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）＝﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）＝3∵f（﹣3）＝3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x∵P∩M＝∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0＝2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a＝3此时可取P＝[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M＝[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）＝0，∴x∈M∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）＝﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1＝﹣+2x0∈（0，1），x2＝﹣+2x1，…第12页（共13页）∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…由x n+1＝﹣+2x n，得1﹣x n+1＝1+﹣2x n＝（1﹣x n）2；∴1﹣x n＝（1﹣x n﹣1）2＝（1﹣x n﹣2）22＝…＝（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P＝（0，t）∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P＝（0，t]∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P＝[1，+∞），M＝（﹣∞，1]或者P＝（0，+∞），M＝（﹣∞，0]【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题解决问题的能力第13页（共13页）。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(PDF版,含难题解析)
B．2
C． 2
D．不能确定
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14．已知函数 f(x) 的定义域为{0,1, 2} ，值域为{0,1} ，则满足条件的函数 f(x) 的个数为（ ）
A．1 个
B．6 个
C．8 个
D．无数个
三、解答题 15．已知函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x ≥ 0 时， f(x) x2 2x ． （1）求 f(0) 及 f(f(1)) 的值； （2）若关于 x 的方程 f(x) m 0 有四个不同的实数根，求实数 m 的取值范围．
（2）是否存在实数 a 3 ，使得 P U M [3,a] 且 f(P) U f(M) [3, 2a 3] ？若存在，求
出所有满足条件的 a ；若不存在，说明理由；
（3）若 P U M R 且 0 M ，1 P ， f(x) 为单调递增函数，求集合 P, M ．
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参考答案
一、填空题
x x
≤7 7
单调递增，则实数
a
的取值范围是（
）
A． (9 ,3) 4
B． [9 ,3) 4
C． (2,3)
D． (1,3)
13．定义在 R 上的函数 f(x) 有反函数 f1(x) ，若有 f(x) f(x) 2 恒成立，则
f 1(2020 x) f 1(x 2018) 的值为（ ）
A．0
．
二、选择题
11．幂函数 y f(x) 经过点 (3, 3) ，则 f(x) 是（ ）
A．偶函数，且在 (0, ) 上是增函数
B．偶函数，且在 (0, ) 上是减函数
C．奇函数，且在 (0, ) 上是减函数
D．非奇非偶函数，且在 (0, ) 上是增函数
华师大二附中高一期末(2019.01)好题详解(1)(1)
华二附中高一期末数学试卷好题2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为二.选择题12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（）A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三.解答题17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷好题详解2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ；【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5xx x x x t t y k k k t k ky t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点，法一：由图，知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ；法二：)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =无最小正周期；②错误；如()(0)f x C x ==为偶函数，但是其有反函数；③正确；④正确，不连续就行；如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分），则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、，个数为2个，且交点不在y x =上，如图；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x <时，2()()()f x f x x x x =--=-=-，()f x x x =⇒函数单调递增；22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒；二.选择题12.函数x xxxe e y e e --+=-的图像大致为（）A.B. C. D.【答案】B ；【解析】由计算器Table 数表，得当0>x 时，2)(>x f ，且单调递减，故选B ；13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）【答案】D ；A【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种：（1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了，则{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选D ；14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三.解答题17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）[]2,6；（2）228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）不存在m n 、满足题意.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减；得6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x的单调递增区间是⎤⎦；（3）0n ≥，2710t -≤.【解析】（1）1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x的单调递增区间是⎤⎦.（3）由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=，]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩，()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ，12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦，∴0n ≥，2710t -≤.华二附中高一期末数学试卷2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -= 3.已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α=4.2020是第象限角5.已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =6.若关于x 的方程|1|2xa a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是7.屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为元（保留整数）8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为11.“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点12.函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（）A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数15.已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16.判断并证明函数2121()log 121x x xf x x++=+--的奇偶性.17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷答案2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是【答案】(1,0)(0,)-+∞ ；【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩；2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -=【答案】0；【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-，得(2)(0)0f f -=-=； 3.已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α=【答案】2-；【解析】同角三角关系，注意tan 0α<即可；4.2020是第象限角【答案】三；【解析】20203212 1.31ππ⨯+ ，位于第三象限；5.已知函数()y f x =与1()y fx -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =【答案】53；【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+，11()1x f x x -+=-，利用原函数与反函数关系得(4)f 的值为方程1()4f x -=的解，解得53x =；6.若关于x 的方程|1|2x a a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是【答案】102a <<；【解析】|1|2x a a -=，等价于|1|2x y a y a =-=，两函数有两个交点，分01,1a a <<>两种情况讨论，分别画图，都得12(0,1)(0,)2a a ∈⇒∈；7.屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为元（保留整数）【答案】53877；【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦ ；8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ；【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5x x x x x t t y k k k t k k y t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点，法一：由图，知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ；法二：)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =无最小正周期；②错误；如()(0)f x C x ==为偶函数，但是其有反函数；③正确；④正确，不连续就行；如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分），则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、，个数为2个，且交点不在y x =上，如图；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x <时，2()()()f x f x x x x =--=-=-，()f x x x =⇒函数单调递增；22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒；二.选择题11.“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【答案】C ；12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（）A.B. C. D.【答案】B ；【解析】由计算器Table 数表，得当0>x 时，2)(>x f ，且单调递减，故选B ；13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）【答案】D ；A【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种：（1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了，则{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选D ；14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三.解答题15.已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】15,2()2r rad α==【解析】230l r +=≥90022582rl =≤，当且仅当2l r =时等号成立，得152()2lr rad rα=⇒==.16.判断并证明函数2121()log 121x xxf x x++=+--的奇偶性.【答案】见解析.【解析】定义域满足：10(1,0)(0,1)1120x x x x +⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩，定义域关于原点对称；222121211211()log log log ()121211121x x x x x x x x xf x f x x x x--+-+++--=+=+=-----+---+故()f x 为奇函数.17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）[]2,6；（2）228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）不存在m n 、满足题意.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m ⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减；得6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦；（3）0n ≥，2710t -≤.【解析】（1）1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦.（3）由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=，]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩，()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ，12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦，∴0n ≥，2710t -≤.。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷(1)及解析
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题M P -为集合M 与P 的差集，现定义如下：{}|M P x x M x P -=∈∉且，则()M M P --（ ）A.PB.MP C.M D.M P ⋃2.有四个命题： ① 若0a b >>，则11a b<；②若0a b <<，则22a b >； ③ 若11a>，则1a >；④若12a <<且03b <<，则22a b -<-<； 其中真命题的数量是（ ）. A.1个B.2个C.3个D.4个3.对三个正实数a 、b 、c ，下列说法正确的是（） A.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +均小于2 B.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a+中恰有两个小于2 C.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a+都不小于2 D.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a+中至多有两个不小于2 4.已知a>0,b >0，则“2018a +2019b +12018a+12019b=4”是“(2018a +2019b)(12018a+12019b)=4”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）5.若{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}A =，{5,7,8}B =，则()UA B 为________.6.不等式11x>的解集是 7.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.8.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 .9.不等式|||1|3x x +->的解集为________.10.已知2()f x x ax b =++，集合{|()}{4}x f x x ==，将集合{|()4}M x f x ==用列举法表示________. 11.已知正实数x 、y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为________. 12.232(1)(1)(3)(5)0(2)(4)x x x x x x x -+---≤--的解集为________. 13.已知集合2{(,)|20}A x y x mx y =+-+=，{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤，若集合AB 的子集个数为2，则实数m 的取值范围为________.14.若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是三、解答题（题型注释）15.已知,a b R +∈，求证：11223332()()a b a b +≥+.16.已知集合2{|60,}A x x x x R =--≤∈，22{|320,}B x x ax a x R =-+<∈，若AB R =RR，求实数a 的取值范围.17.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18.已知集合22{31,,}S m m n m n Z =+-=∈. （1）证明：若a S ∈，则1Sa ∈S ； （2）证明：若1p q <≤，则112p q p q<+≤+，并由此证明S 中的元素b 若满足12b <≤，则2b =（3）设c S ∈，试求满足22(2c <≤的所有c 的可能值.参考答案1.B【解析】1.利用Venn 图表示即可求解.根据题意集合M P -如图所示的阴影部分，,则 ()M M P M P --=⋂. 故选：B 2.D【解析】2.对于①、②、③、④利用不等式的基本性质证明命题成立. ①0a b >>,0ab ∴>,10ab ∴> ,a b ab ab ∴> ,11b a∴> ,即11a b < ，是真命题.②0a b << ，∴ 0a b ->-> ，∴()()220a b ->-> ，即22a b >，是真命题.③11a > ，10aa-∴>，10a ∴>> ，1a ∴> ，是真命题. ④03b <<，∴30b -<-<，又12a <<， ∴22a b -<-<，是真命题.故选：D . 3.B【解析】3. 假设12a b +<，12b c +<，可根据正实数的条件确定122b <<，根据不等关系可得11212bc a b b +>+--，利用函数思想可求得1132122b b b +≥--，即12c a+>恒成立，从而排除A ；通过特殊值可验证出B 正确，,C D 错误. 若1a b +、1b c +、1c a +均小于2，则1a b +11++6b c c a++<，但由基本不等式可得1a b +11++6b c c a++≥ ∴1a b +、1b c +、1c a+不能均小于2，则A 错误当12a =，1b =，2c =时 1131222a b +=+=<，1131222b c +=+=<，12242c a+=+=> ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b+、1b c+、1c a+中恰有两个小于2，则B 正确当1a b ==，12c =时 1112a b +=+=，11232b c +=+=>，1131222c a +=+=< ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b+、1b c+、1c a+中有小于2的值，则C 错误当2a b c ===时，11115222a b c b c a +=+=+=+= ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b+、1b c+、1c a+均不小于2，则D 错误本题正确选项：B 4.A【解析】4.本道题反复运用基本不等式a +b ≥2√ab ,即可. 结合题意可知,2018a +12018a ≥2√2018a ⋅12018a=2,2019b +12019b≥2而2018a+2019b +12018a+12019b=4,得到2018a =12018a,2019b =12019b解得2018a=12018a=2019b =12019b=1,故可以推出结论,而当(2018a +2019b )(12018a +12019b)=4得到2018a +2019b +12018a+12019b≥2√(2018a +2019b )⋅(12018a+12019b)=4,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.5.{2,4,6}【解析】5. 先计算AB ，再求()UA B 即可.{1,3,5,7}A =,{5,7,8}B =，{}1,3,5,7,8A B ∴=，因此()UAB ={2,4,6}.故答案为：{2,4,6}. 6.(0,1)【解析】6.将分式不等式转化为一元二次不等式来求解. 依题意110x ->，()1010x x x x->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1. 7.14【解析】7.先求出参加数学与化学竞赛的人数和，再加上两种竞赛都不参加的人数，这样就比全班总人数多算了一次数学与化学都参加的人数，因此减去总人数，就得出结果.因为参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人3620864++= ，全班有50人，因此两种竞赛都参加的有645014-=（人） 故答案为：14 . 8.(－∞,－4)【解析】8.对于命题A ：∵|x －1|＜3，∴-2<x<4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a<2,-a>4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4) 9.(,1)(2,)-∞-+∞【解析】9.先找到使两个绝对值等于零的点，然后分类讨论，再求得解集的并集. 当1x ≥ 时，不等式|||1|3x x +->等价于213x ->，解的2x >，当01x << 时，不等式|||1|3x x +->等价于13>，不等式无解， 当0x ≤ 时，不等式|||1|3x x +->等价于123x ->，解得1x <-， 所以不等式的解集是(,1)(2,)-∞-+∞.故答案为：(,1)(2,)-∞-+∞.10.{3,4}【解析】10.根据集合{|()}{4}x f x x ==求出,a b ，再解方程()4f x =，即可得到集合M . 集合{|()}{4}x f x x ==,即方程2(1)0x a x b +-+=，有两个相等的实数根为4 ,()2140a b ∴∆=--=,即22(1)(4)x a x b x +-+=-， 16,18,7b a a ∴=-=-=-，2()716f x x x ∴=-+，()4f x =即27120x x -+=，解得123,4x x ==，所以{}{|()4}3,4M x f x ===. 故答案为：{3,4}. 11.9【解析】11.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 正实数x 、y 满足211x y+=,则()212222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时取等号， 2x y ∴+的最小值为9.故答案为：9. 12.[1,2){3}(4,5]【解析】12.将分式不等式转化为高次不等式，再利用穿根法（奇穿偶不穿）求解高次不等式即可.原不等式等价于232(1)(1)(3)(5)(2)(4)0x x x x x x x -+-----≤且20x -≠，40x -≠，又22131()024x x x -+=-+> 可得，32(1)(3)(5)(2)(4)0x x x x x -----≤，且20x -≠，40x -≠，利用穿根法得原不等式的解集为[1,2){3}(4,5]. 故答案为：[1,2){3}(4,5]. 13.3(,){1}2-∞--【解析】13. 集合AB 的子集个数为2，判断出A B 只有一个元素，即()2110x m x +-+=在[]0,2上只有一解，即可求得实数m 的取值范围.由()2200210x mx y x x y ⎧+-+=≤≤⎨-+=⎩ ， 得()2110x m x +-+= ①因为A B 的子集个数为2， 所以AB 只有一个元素，所以等价于方程①在区间[]0,2 上只有一个实数根， 令()()2110f x x m x =+-+= ，又()01f = ，()20f < 得32m <- ，或()()2140201022m f m ⎧⎪--=⎪≥⎨⎪-⎪≤≤⎩，得1m =- . 或()()214012220m mf ⎧-->⎪-⎪>⎨⎪=⎪⎩，无解∴ 实数m 的取值范围为3(,){1}2-∞--.故答案为：3(,){1}2-∞--. 14.(]5,3,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】14.试题设2t x y =+则0t >，44t xy +=，t ≥2442txy t ≥=+∴4t ≥，不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立可化为223202t ta a ++-≥恒成立，即232212a t a -≥+恒成立，故2322412aa -≤+∴(]5,3,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 15.证明见解析【解析】15.利用分析法进行证明，同时利用222a b ab +≥，即可证得.证明：由于a ，b ∈R +，要证11223332()()a b a b +≥+，即证（a 2+b 2）3≥（a 3+b 3）2，即证3a 2b 4+3a 4b 2≥2a 3b 3，即证3b 2+3a 2≥2ab ，由于3b 2+3a 2≥6ab ＞2ab ，故11223332()()a b a b +≥+．16.（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）【解析】16.先求出集合A ,B ，根据AB R =RR,得出关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围.解：A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≤0，x ∈R}＝{x |﹣2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣3ax +2a 2＜0，x ∈R}＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0}， 则∁R A ＝{x |x ＞3或x ＜﹣2}，∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}， 若a ＝0，则∁R B ＝R ，满足条件．∁R A ∪∁R B ＝R ， 若a ＞0，则∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}＝{x |x ≥2a 或x ≤a }，若∁R A ∪∁R B ＝R ，则03a a ⎧⎨≥⎩＞得a ≥3，若a ＜0，则∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}＝{x |x ≥a 或x ≤2a }，若∁R A ∪∁R B ＝R ，则02a a ⎧⎨≤-⎩＜得a ≤﹣2，综上a ＝0或a ≥3或a ≤﹣2，即实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）． 17.（1）16281y m m =--+ ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】17.（1）先求出k ，利用题设中给出的计算公式可得故16281y m m =--+. （2）利用基本不等式可求函数的最大值.（1）由题意可知，当0m =时，1x = （万件）， 所以13-k =，所以2k =，所以231x m =-+， 每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯ （万元）， 所以年利润816161.581648281x y x x m x m m x m +=⨯⨯---=+-=--+ 所以16281y m m =--+，其中0m ≥. （2）因为0m ≥时，11681m m ++≥+，即7116m m +≥+ 所以28721y ≤-=，当且仅当1611m m =++，即3m = （万元）时，max 21y = （万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 18.（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）c ＝【解析】18.（1）若a A ∈，则a m =+2231m n -=，m ,n Z ∈ ,得到1a均满足集合A 的性质，进而得到结论.（2）构造函数()()11f x x x x=+≥，分析其单调性，进而得到A中元素若满足12b <≤，则2b =（3）设c A ，结合（1）（2）中的结论，可得c 值.证明：（1）若a ∈A ，则a ＝m +m 2﹣3n 2＝1，m ，n ∈Z ，则1m a ===-=m +（﹣nm 2﹣3（﹣n ）2＝1，m ，﹣n ∈Z ， 故1a ∈A ，(2=（m +2m ﹣3n ）+（2n ﹣m此时（2m ﹣3n ）2﹣3（2n ﹣m ）2＝m 2﹣3n 2＝1，∈A ； （2）令f （x ）＝x 1x +（x ≥1），则()f x 在(1,)+∞上的单调递增， 证明：设121x x ≤<， 则2121212112111()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=+-+=-- ∵ 121x x ≤<，∴21x x -0>，1211x x -0>， 故21()()f x f x -0>，即21()()f x f x >，()f x 在(1,)+∞上的单调递增 ∵1＜p ≤q ，f （1）＝2∴211p q p q+≤+＜； 令b ＝m +m 2﹣3n 2＝1，m ，n ∈Z ，∵12b ≤＜，∴2＜b 12b +≤， ∴2＜2m ≤4，则m ＝2，n ＝1，则b ＝2（3）∵c∈A，且2c≤（22，∈A，且1≤2=2由（2∴c＝（22＝。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．幂函数()y f x =的图象经过点(3，则()f x 是（ ）A ．偶函数，且在()0，+∞上是增函数 B ．偶函数，且在()0，+∞上是减函数 C ．奇函数，且在()0，+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在()0，+∞上是增函数 【答案】D【解析】设()af x x =，代入已知点坐标，求出解析式，再确定奇偶性和单调性．【详解】设()af x x =，∴3a=，12a =，即12()f x x =，它既不是奇函数也不是偶函数，但在定义域[0,)+∞上是增函数． 故选：D ． 【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 2．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．定义在R 上的函数()f x 有反函数()1fx -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则()()1120202018f x f x ---+-的值为（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．不能确定【答案】A【解析】由已知可得()f x 图像关于(0,1)，可得()1f x -关于(1,0)对称，根据对称性，即可求解. 【详解】定义在R 上的函数()f x 有()()2f x f x +-=恒成立， ()f x 图像关于(0,1)对称，()1f x -关于(1,0)对称，()()()()11202020182,202020180x x f x f x ---+-=-+-=.故选:A, 【点睛】本题考查互为反函数图像间的关系，利用对称性求函数值，解题的关键要掌握对称性的代数式表示，属于中档题.4．已知函数()f x 的定义域为{}0,1,2，值域为{}0,1，则满足条件的函数()f x 的个数为（ ） A ．1个 B ．6个C ．8个D ．无数个【答案】B【解析】根据已知条件定义域{}0,1,2中有两个元素和{0,1}的一个元素对应，第三个元素与{0,1}另一个元素对应，即可求解. 【详解】满足条件的函数()f x 有：(0)0,(1)1,(2)1f f f ===；(0)1,(1)0,(2)0f f f ===；(1)0,(0)1,(2)1f f f ===；(1)1,(0)0,(2)0f f f ===；(2)0,(0)1,(1)1f f f ===；(2)1,(0)0,(1)0f f f ===，满足条件的函数有6个.故选:B. 【点睛】本题考查函数定义，属于基础题.二、填空题5．若实数a b >，则下列说法正确的是__________． （1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b > 【答案】（1）【解析】根据不等式的性质逐个判断，即可得到结论. 【详解】根据不等式的性质（1）正确； （2）中如果0c ≥时不成立，故错误； （3）若1,1a b ==-时，11a b<不成立，故错误； （4）若1,1a b ==-，22a b >不成立，故错误. 故答案为:（1） 【点睛】本题考查不等式的性质，对于常用的不等式成立的条件要熟记，属于基础题. 6．函数()()0f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是__________． 【答案】0b =【解析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】()()0f x kx b k =+≠为奇函数，则()(),0f x kx b f x kx b b -=-+=-=--=. 故答案为:0b =. 【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，注意奇偶性的定义应用，属于基础题. 7．函数()()227111m m f x m m x++=--是幂函数，则m =__________．【答案】2或-1【解析】根据幂函数的定义，即可求解. 【详解】()()227111mm f x m m x ++=--是幂函数，2211,20m m m m ∴--=--=，解得2m =，或1m =-.故答案为: 2或-1.8．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________. 【答案】94【解析】根据基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭结合所求代入公式，即可求解.【详解】由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当11a b +=+，即12a b ==时等号成立， 即(1)(1)a b ++的最大值为94. 故答案为94【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.9．不等式1213x x -++<的解集为__________． 【答案】()7,6-【解析】对x 分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】1213x x -++<化为12113x x ≥⎧⎨+<⎩或21313x -≤<⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩， 解得16x ≤<或21x -?或72x -<<-，所以76x -<<.故答案为:()7,6-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解，考查分类讨论思想，属于基础题. 10．“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是__________． 【答案】若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠. 【解析】根据逆否命题的形式，即可得出结论. 【详解】“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是” “若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.” 故答案为: 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠. 【点睛】本题考查命题的形式，要注意连接词的变化，属于基础题.11．已知函数()f x =]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1gx -的定义域为__________．【答案】2,⎡⎣【解析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域 【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，即为()1gx -的定义域.故答案为:2,⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.12．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【答案】(),1616⎡-∞-++∞⎣U【解析】设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域. 【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++，当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立； 同理当0t <时，()16g t ≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),1616⎡-∞-++∞⎣U . 故答案为:(),1616⎡-∞-++∞⎣U .【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题.13．已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则+a b 的值为__________． 【答案】2【解析】根据指对数的关系，将已知等式转化为对数形式，即可求解. 【详解】336313126,log 6log 6,0,log 3log 6a b ab ab a ab a b ====≠∴==， 同理66log 12,log 362a a b =+==. 故答案为:2. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查简单的对数运算，以及换底公式的应用，属于基础题.14．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++， 设21xy x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， maxmin ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.三、解答题15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1ff 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()00f =，()()11ff =-；（2）()1,0- 【解析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解； （2）由已知只需0x >时，()f x m =有两个解的即可. 【详解】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数， 且当0x ≥时，()22f x x x =-，()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解， 只需0x >时，()f x m =有两个解， 当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--，所以10m -<< 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.16．某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数()()0C x Af x C B x A x A<≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m '时，缴费19元. （1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？【答案】（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元【解析】（1）由已知判断A 的范围，用待定系数法求出,A B ； （2）根据解析式，即可求解. 【详解】 （1）依题意得(27)(4)(35)(27),4272743527f f f f A --≠∴≤<--，(27)4(27)144,(35)4(35)19f B A C f B A =+-=⎧∴=⎨=+-=⎩，解得5,118B A ==，511,,48A B C ∴===.（2）5(29)4(2911)11.258f =+⨯-=（元），答：某居民若使用329m 水，应该缴水费11.25元. 【点睛】本题考查求函数解析式的应用问题，以及求函数值，属于基础题. 17．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值； （2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k的取值范围.【答案】(1) 1a =- (2) 1m ≥- (3) [1,1]k ?【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性，求出a 的值即可；（2）求出f （x ）+12log （x ﹣1）=12log （1+x ），根据函数的单调性求出m 的范围即可；（3）问题转化为k=21x -﹣x+1在[2，3]上有解，即g （x ）=21x -﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g （x ）的值域，从而求出k 的范围即可． 解析：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，解得1a =-或1a =（舍）.（2）()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x ++-=+-=+- 当1x >时，()12log 11x +<-，∵当()1,x ∈+∞时，()()12log 1f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-.（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()11221log log 1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减()g x 的值域为[]1,1-，∴[]1,1k ∈-点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）若实数a ＞b.则下列说法正确的是___ ． （1）a+c ＞b+c ；（2）ac ＜bc ；（3） 1a ＜ 1b ；（4）a 2＞b 22.（填空题.4分）函数f （x ）=kx+b （k≠0）是奇函数的充要条件是___ ．3.（填空题.4分）函数f （x ）=（m 2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.则m=___ ．4.（填空题.4分）若a.b 都是正数.且a+b=1.则（a+1）（b+1）的最大值___ ．5.（填空题.4分）不等式|x-1|+|x+2|＜13的解集为___ ．6.（填空题.4分）“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题是___ ．7.（填空题.4分）已知函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）的反函数是g -1（x ）.则g -1（x ）的定义域为___ ． 8.（填空题.4分）函数f （x ）= x 2+4x+3x−6的值域为___ ．9.（填空题.4分）已知a.b 为非零实数.且3a =12b =6ab .则a+b 的值为___ ．10.（填空题.4分）已知函数f （x ）= {−x 2+x +k ，x ≤1−12+log 13x ，x ＞1.g （x ）=aln （x+2）+ xx 2+1（a∈R ）.若对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）.则实数k 的取值范围是___ ． 11.（单选题.4分）幂函数y=f （x ）经过点（3. √3 ）.则f （x ）是（ ） A.偶函数.且在（0.+∞）上是增函数 B.偶函数.且在（0.+∞）上是减函数 C.奇函数.且在（0.+∞）是减函数D.非奇非偶函数.且在（0.+∞）上是增函数 12.（单选题.4分）若函数f （x ）= {(3−a )x −3，x ≤7ax−6，x ＞7单调递增.则实数a 的取值范围是（ ） A.（ 94 .3） B.[ 94 .3） C.（1.3）D.（2.3）13.（单选题.4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f-1（x）.若有f（x）+f（-x）=2恒成立.则f-1（2020-x）+f-1（x-2018）的值为（）A.0B.2C.-2D.不能确定14.（单选题.4分）已知函数f（x）的定义域为{0.1.2}.值域为{0.1}.则满足条件的函数f（x）的个数为（）A.1个B.6个C.8个D.无数个15.（问答题.8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数.且当x≥0时.f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.求实数m的取值范围.16.（问答题.10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）={C，0＜x≤AC+B(x−A)，x＞A当使用4m3时.缴费4元.当使用27m3时.缴费14元；当使用35m3时.缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水.应该缴水费多少元？17.（问答题.12分）已知函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）= log12（x+k）在[2.3]上有解.求k的取值范围．18.（问答题.14分）已知函数f（x）= {|x|，x∈p−x2+2x，x∈M其中P.M是非空数集.且P∩M=∅.设f（P）={y|y=f（x）.x∈P}.f（M）={y|y=f（x）.x∈M}．（Ⅰ）若P=（-∞.0）.M=[0.4].求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）是否存在实数a＞-3.使得P∪M=[-3.a].且f（P）∪f（M）=[-3.2a-3]？若存在.请求出满足条件的实数a；若不存在.请说明理由；（Ⅲ）若P∪M=R.且0∈M.I∈P.f（x）是单调递增函数.求集合P.M．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）若实数a＞b.则下列说法正确的是___ ．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）1a ＜1b；（4）a2＞b2【正确答案】：[1]（1）【解析】：由不等式的性质逐项判断即可．【解答】：解：由可加性知.（1）正确；当c≥0时.（2）显然不正确；当a.b满足其中一个为0时.（3）显然无意义；取a=1.b=-2可知.（4）不正确．故答案为：（1）．【点评】：本题考查不等式性质的运用.属于基础题．2.（填空题.4分）函数f（x）=kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是___ ．【正确答案】：[1]b=0【解析】：函数f（x）=kx+b（k≠0）⇔f（0）=0.即可得出．【解答】：解：函数f（x）=kx+b（k≠0）⇔f（0）=0.∴b=0．∴函数f（x）=kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b=0．故答案为：b=0．【点评】：本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．3.（填空题.4分）函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.则m=___ ．【正确答案】：[1]2或-1【解析】：函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.利用幂函数的定义得m2-m-1=1.由此能求出m的值．【解答】：解：∵函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.∴m2-m-1=1.解得m=2或m=-1．故答案为：2或-1．【点评】：本题考查实数值的求法.考查幂函数的性质的性质等基础知识.考查推理能力与计算能力.属于基础题．4.（填空题.4分）若a.b都是正数.且a+b=1.则（a+1）（b+1）的最大值___ ．【正确答案】：[1] 94【解析】：先利用基本不等式可得ab≤14.再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】：解：∵a+b=1.a＞0.b＞0.∴ 1=a+b≥2√ab .即ab≤14.当且仅当a=b时取等号.∴ (a+1)(b+1)=ab+1+1≤14+2=94.即（a+1）（b+1）的最大值为94．故答案为：94．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用.属于基础题．5.（填空题.4分）不等式|x-1|+|x+2|＜13的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-7.6）【解析】：分类讨论.去掉绝对值符号.解不等式即可．【解答】：解：当x≤-2时.原不等式等价于1-x-x-2＜13.解得x＞-7.此时满足-7＜x≤-2；当-2＜x＜1时.原不等式等价于1-x+x+2＜13.即3＜13恒成立；当x≥1时.原不等式等价于x-1+x+2＜13.解得x＜6.此时满足1≤x＜6；综上.不等式的解集为（-7.6）．故答案为：（-7.6）．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法.考查分类讨论思想.属于基础题．6.（填空题.4分）“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题是___ ．【正确答案】：[1]若x≠1或y≠0.则x+y≠1【解析】：本题根据“若p.则q”的逆否命题的形式是：“若￢q.则￢p”.可以解答．【解答】：解：若p.则q 的逆否命题的形式是：若￢q.则￢p ．因此命题“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题为“若x≠1或y≠0.则x+y≠1”． 故答案为：若x≠1或y≠0.则x+y≠1．【点评】：本题考查了逆否命题的概念.四种命题的关系．7.（填空题.4分）已知函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）的反函数是g -1（x ）.则g -1（x ）的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][2.2 √10 ]【解析】：函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）= √x +1 • √x 2+1 = √x 3+x 2+x +1 .根据单调性可得其值域．于是g -1（x ）的定义域为原函数g （x ）的值域．【解答】：解：函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）= √x +1 • √x 2+1 = √x 3+x 2+x +1 .由 {1≤x ≤91≤x 2≤9 .解得1≤x≤3．∴g （x ）∈[2.2 √10 ].则g -1（x ）的定义域为原函数g （x ）的值域.∴g -1（x ）的定义域为∈[2.2 √10 ]. 故答案为：[2.2 √10 ].【点评】：本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．8.（填空题.4分）函数f （x ）= x 2+4x+3x−6 的值域为___ ．【正确答案】：[1] (−∞，16−6√7]∪[16+6√7，+∞) 【解析】：分离常数后.利用双勾函数的性质即可得解．【解答】：解： f (x )=x 2+4x+3x−6=(x−6)2+16(x−6)+63x−6=(x −6)+63x−6+16 .由双勾函数性质可知. x −6+63x−6+16∈(−∞，−2√63+16]∪[2√63+16，+∞) ． 故答案为： (−∞，16−6√7]∪[16+6√7，+∞) ．【点评】：本题考查函数值域的求解.属于基础题．9.（填空题.4分）已知a.b 为非零实数.且3a =12b =6ab .则a+b 的值为___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：设3a =12b =6ab =k.把指数式化为对数式.再利用对数的运算性质即可求解．【解答】：解：设3a =12b =6ab =k. ∴a=log 3k.b=log 12k.ab=log 6k.∴ 1a +1b =log k 3+log k 12=log k 36 =2log k 6.又∵ 1ab =log k 6 . ∴ 1a +1b =2ab . ∴a+b ab =2ab. ∴a+b=2. 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了指数式与对数式的互化.以及对数的运算性质.是中档题． 10.（填空题.4分）已知函数f （x ）= {−x 2+x +k ，x ≤1−12+log 13x ，x ＞1.g （x ）=aln （x+2）+ xx 2+1（a∈R ）.若对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）.则实数k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，−34]【解析】：可求得 f (x )max =max{14+k ，−12} . g (x )min =−12 .根据题意f （x ）max ≤g （x ）min （x ＞-2）.由此得到 14+k ≤−12 .解该不等式即可求得实数k 的取值范围．【解答】：解：对函数f （x ）.当x≤1时. f (x )max =f (12)=14+k ；当x ＞1时. f (x )max =f (1)=−12 .∴f （x ）在（-2.+∞）上的最大值 f (x )max =max{14+k ，−12} ； 对函数g （x ）.函数g （x ）若有最小值.则a=0.即 g (x )=xx 2+1 . 当x∈（-2.0）∪（0.+∞）时. g (x )=1x+1x.易知函数 g (x )min =−12；又对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）. ∴f （x ）max ≤g （x ）min （x ＞-2）.即 max{14+k ，−12}≤−12 . ∴ 14+k ≤−12 .∴ k ≤−34 .即实数k 的取值范围为 (−∞，−34] ．故答案为：(−∞，−34]．【点评】：本题考查不等式的恒成立问题.考查函数最值的求解.考查转化思想及计算能力.属于中档题．11.（单选题.4分）幂函数y=f（x）经过点（3. √3）.则f（x）是（）A.偶函数.且在（0.+∞）上是增函数B.偶函数.且在（0.+∞）上是减函数C.奇函数.且在（0.+∞）是减函数D.非奇非偶函数.且在（0.+∞）上是增函数【正确答案】：D【解析】：设出幂函数的解析式.求出自变量的指数.从而求出函数的性质即可．【解答】：解：设幂函数的解析式为：y=xα.将（3. √3）代入解析式得：3α= √3 .解得α= 12.∴y= x12 .故选：D．【点评】：本题考查了求幂函数的解析式.考查函数的奇偶性和单调性问题.是一道基础题．12.（单选题.4分）若函数f（x）= {(3−a)x−3，x≤7a x−6，x＞7单调递增.则实数a的取值范围是（）A.（94.3）B.[ 94.3）C.（1.3）D.（2.3）【正确答案】：B【解析】：利用函数的单调性.判断指数函数的对称轴.以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】：解：∵函数f （x ）= {(3−a )x −3，x ≤7a x−6，x ＞7 单调递增.由指数函数以及一次函数的单调性的性质.可得3-a ＞0且a ＞1． 但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较. 即（3-a ）×7-3≤a .可以解得a≥ 94 . 综上.实数a 的取值范围是[ 94 .3）． 故选：B ．【点评】：本题考查分段函数的应用.指数函数的性质.考查学生的计算能力.属于中档题． 13.（单选题.4分）定义在R 上的函数f （x ）有反函数f -1（x ）.若有f （x ）+f （-x ）=2恒成立.则f -1（2020-x ）+f -1（x-2018）的值为（ ） A.0 B.2 C.-2 D.不能确定 【正确答案】：A【解析】：分析：由 f （x ）+f （-x ）=2.得 f （t ）+f （-t ）=2.注意（2020-x ）与 （x-2018）的和等于2.若（x-2018）与 （2020-x ）一个是t.则另一个是-t.再应用反函数的定义解出 t 和-t 即得．【解答】：解：∵f （x ）+f （-x ）=2.∴f （t ）+f （-t ）=2. 令 2020-x=m.x-2018=n.∴m+n=2.∴可令 f （t ）=m.f （-t ）=n.由反函数的定义知. ∴t=f -1（m ）.-t=f -1（n ） ∴f 1（m ）+f 1（n ）=0.即：f -1（2020-x ）+f -1（x-2018）的值是0. 故选：A ．【点评】：本题考查反函数.体现换元的数学思想.属于中档题．14.（单选题.4分）已知函数f （x ）的定义域为{0.1.2}.值域为{0.1}.则满足条件的函数f （x ）的个数为（ ） A.1个 B.6个C.8个D.无数个【正确答案】：B【解析】：由函数定义直接写出即可得解．【解答】：解：当0对应0时.可以有① （1.0）.（2.1）；② （1.1）.（2.0）；③ （1.1）.（2.1）；共三种对应方式；当0对应1时.可以有① （1.0）.（2.0）；② （1.1）.（2.0）；③ （1.0）.（2.1）；共三种对应方式；故满足条件的函数f（x）共有6个．故选：B．【点评】：本题考查函数定义的理解.属于基础题．15.（问答题.8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数.且当x≥0时.f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.求实数m的取值范围.【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意.由函数的解析式.将x=0代入函数解析式即可得f（0）的值.同理可得f（1）的值.利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；（Ⅱ）设x＜0.则-x＞0.由函数的解析式分析f（-x）的解析式.进而由函数的奇偶性分析可得答案；（Ⅲ）若方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.则函数y=f（x）与直线y=m有4个交点.作出函数f（x）的图象.由数形结合法分析即可得答案．【解答】：解：（Ⅰ）根据题意.当x≥0时.f（x）=x2-2x；则f（0）=0.f（1）=1-2=-1.又由函数f（x）为偶函数.则f（1）=f（-1）=-1.则f（f（1））=f（-1）=-1；（Ⅱ）设x＜0.则-x＞0.则有f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x.又由函数f（x）为偶函数.则f（x）=f（-x）=x2+2x.则当x＜0时.f（x）=x2+2x.（Ⅲ）若方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.则函数y=f（x）与直线y=m有4个交点. 而y=f（x）的图象如图：分析可得-1＜m＜0；故m的取值范围是（-1.0）．【点评】：本题考查偶函数的性质以及函数的图象.涉及方程的根与函数图象的关系.注意利用数形结合法分析与应用.是中档题．16.（问答题.10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）={C，0＜x≤AC+B(x−A)，x＞A当使用4m3时.缴费4元.当使用27m3时.缴费14元；当使用35m3时.缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水.应该缴水费多少元？【正确答案】：【解析】：（1）由题意知C的值.再把（27.14）.（35.19）代入f（x）中求出B和A的值；（2）写出f（x）的解析式.计算f（29）的值即可．【解答】：解：（1）由题意得：C=4.将（27.14）.（35.19）代入f（x）=4+B（x-A）.得：{4+B(27−A)=14 4+B(35−A)=19.解得A=11.B= 58；所以A=11.B= 58.C=4．（2）由（1）知.f（x）= {4，0＜x≤114+58(x−11)，x＞11；当x=29时.f（29）=4+ 58 ×（29-11）= 614=15.25；所以该居民使用29m3水时.应该缴水费15.25元．【点评】：本题考查了分段函数模型的应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.12分）已知函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）= log12（x+k）在[2.3]上有解.求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.可得f（x）+f（-x）=0.整理得log121−axx−1+ log121+ax−x−1=0恒成立.即可得出答案（2）x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求出x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）的最大值.即可解出m的取值范围（3）由于f（x）= log121+xx−1在[2.3]上是增函数.g（x）= log12（x+k）在[2.3]上是减函数.可得出.两函数图象在所给区间上有交点.由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出{f (2)≤g (2)f (3)≥g (3).解之即可得出答案【解答】：解：（1）函数f （x ）= log 12 1−ax x−1 的图象关于原点对称.∴f （x ）+f （-x ）=0.即 log 121−ax x−1 + log 12 1+ax −x−1 =0. ∴ log 12 （1−ax x−1×1+ax −x−1 ）=0.∴ 1−ax x−1×1+ax −x−1 =1恒成立.即1-a 2x 2=1-x 2.即（a 2-1）x 2=0恒成立.所以a 2-1=0.解得a=±1.又a=1时.f （x ）= log 12 1−ax x−1 无意义.故a=-1；（2）x∈（1.+∞）时.f （x ）+ log 12 （x-1）＜m 恒成立.即 log 12 1+x x−1 + log 12（x-1）＜m.∴ log 12（x+1）＜m 在（1.+∞）恒成立.由于y= log 12（x+1）是减函数.故当x=1.函数取到最大值-1.∴m≥-1.即实数m 的取值范围是m≥-1；（3）f （x ）= log 12 1+x x−1 在[2.3]上是增函数.g （x ）= log 12 （x+k ）在[2.3]上是减函数.∴只需要 {f (2)≤g (2)f (3)≥g (3) 即可保证关于x 的方程f （x ）= log 12（x+k ）在[2.3]上有解.下解此不等式组．代入函数解析式得 {log 123≤log 12(2+k )log 122≥log 12(3+k ).解得-1≤k≤1. 即当-1≤k≤1时关于x 的方程f （x ）= log 12（x+k ）在[2.3]上有解．【点评】：本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用.属于有一定难度的题.本题考查了数形结合的思想.转化化归的思想.属于灵活运用知识的好题18.（问答题.14分）已知函数f （x ）= {|x |，x ∈p−x 2+2x ，x ∈M 其中P.M 是非空数集.且P∩M=∅.设f （P ）={y|y=f （x ）.x∈P}.f （M ）={y|y=f （x ）.x∈M}．（Ⅰ）若P=（-∞.0）.M=[0.4].求f （P ）∪f （M ）；（Ⅱ）是否存在实数a ＞-3.使得P∪M=[-3.a].且f （P ）∪f （M ）=[-3.2a-3]？若存在.请求出满足条件的实数a ；若不存在.请说明理由；（Ⅲ）若P∪M=R .且0∈M .I∈P .f （x ）是单调递增函数.求集合P.M ．【正确答案】：【解析】：（I）利用y=|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域.再求其并集即可；（II）抓住线索-3∈P∪M.逐层深入.先判断-3∈P.得a的范围.再由已知推理缩小此范围.最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（-∞.0）⊆M.（1.+∞）⊆P.再证明在（0.1）上存在分界点的话.这个分界点应具有怎样的性质.最后根据此性质写出满足题意的集合P.M【解答】：解：（I）∵P=（-∞.0）.∴f（P）={y|y=|x|.x∈（-∞.0）}=（0.+∞）.∵M=[0.4].∴f（M）={y|y=-x2+2x.x∈[0.4]}=[-8.1]．∴f（P）∪f（M）=[-8.+∞）（II）若-3∈M.则f（-3）=-15∉[-3.2a-3].不符合要求∴-3∈P.从而f（-3）=3∵f（-3）=3∈[-3.2a-3]∴2a-3≥3.得a≥3若a＞3.则2a-3＞3＞-（x-1）2+1=-x2+2x∵P∩M=∅.∴2a-3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0=2a-3≤a.得a≤3.与前提矛盾∴a=3此时可取P=[-3.-1）∪[0.3].M=[-1.0）.满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数.∴对任意x＜0.有f（x）＜f（0）=0.∴x∈M∴（-∞.0）⊆M.同理可证：（1.+∞）⊆P若存在0＜x0＜1.使得x0∈M.则1＞f（x0）=- x02 +2x0＞x0.于是[x0.- x02 +2x0]⊆M记x1=- x02 +2x0∈（0.1）.x2=- x12 +2x1.…∴[x0.x1]∈M.同理可知[x1.x2]∈M.…由x n+1=- x n2 +2x n.得1-x n+1=1+ x n2 -2x n=（1-x n）2；∴1-x n=（1-x n-1）2=（1-x n-2）22=…=（1-x0）2n对于任意x∈[x0.1].取[log2log（1-x0）（1-x）-1.log2log（1-x0）（1-x）]中的自然数n x.则x∈[xn x.xn x+1]⊆M∴[x0.1）⊆M综上所述.满足要求的P.M必有如下表示：P=（0.t）∪[1.+∞）.M=（-∞.0]∪[t.1）.其中0＜t＜1或者P=（0.t]∪[1.+∞）.M=（-∞.0]∪（t.1）.其中0＜t＜1或者P=[1.+∞）.M=（-∞.1）或者P=（0.+∞）.M=（-∞.0]【点评】：本题综合考查了集合的表示方法和意义.函数的值域.逻辑推理和论证的能力.分析问题解决问题的能力。
上海市浦东新区华东师大二附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
上海市浦东新区华东师大二附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1. 幂函数的图象过点(2,14)，则它的单调递增区间是 ( )A. (0,+∞)B. (−∞,0)C. [0,+∞)D. (−∞,+∞)2. 若函数f(x)={(3−a)x −3, x ≤7a x−6, x >7单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (94,3)B. [94,3)C. (1,3)D. (2,3)3. 已知函数f (x )的反函数为g (x )=3−log 2(x +1)，则f (−3)g (3)=( )A. 63B. −63C. 64D. −644. 若函数f(x)与函数g(x)=√1−xx是同一个函数，则函数f(x)的定义域是( )A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪(0,1]C. (−∞,0)∪(0,1)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共10小题，共40.0分） 5. 根据条件：a 、b 、c 满足，且a +b +c =0，下列推理正确的是__________.(填上序号)①，②，③，④6. 函数f(x)=x 2+mx +1的图象关于直线x =1对称的充要条件是____________．7. 若函数f(x)=(2m +3)x m2−3是幂函数，则m 的值为________．8. 已知正数a ，b 满足2ab +b 2=b +1，则a +5b 的最小值为______． 9. 不等式|x −8|−|x −4|>2的解集为______ ．10. 命题“如果√x −2+(y +1)2=0，那么x =2且y =−1”的逆否命题为________． 11. 若f(x)=log 2(x 2+2) (x ≥0)，则它的反函数是f −1(x)= ______ ． 12. 函数y =2x 2+2x+3x 2+x+1的值域为________________．13. 已知a =log 23，4b =25，则2a+b =________．14. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ．(1)当x<0时，求f(x)的解析式．(2)若关于x的方程f(x)=2m+1只有四个实根，求m的取值范围．16.某市居民生活用水收费标准如下：已知某用户1月份用水量为8t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．(1)写出y关于x的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水．17.已知m∈R，函数f(x)=lg(m+2)．x(1)若函数g(x)=f(x)+lg(x2)有且仅有一个零点，求实数m的值；(2)设m>0，任取x1，x2∈[t,t+2]，若不等式|f(x1)−f(x2)|≤1对任意恒成立，求实数m的取值范围．18.已知f(x)=a+|b|sinx，(a,b∈R)，x∈R，且函数f(x)的最大值为3，最小值为1．(1)求a，b的值；(2)(ⅰ)求函数f(−x)的单调递增区间；(ⅰ)求函数f(x)的对称中心．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查幂函数，由已知求出幂函数的解析式，然后由幂函数的性质求解即可． 解： 设幂函数的解析式为y =x α， 因为幂函数的图象过点(2,14)， 所以14=2α， 解得α=−2，所以函数的解析式为y =x −2， 因为−2<0，y =x −2为偶函数，所以函数在(0,+∞)单调递减，在(−∞,0)单调递增， 故选B ．2.答案：B解析：本题考查函数的单调性，分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 根据题意可得3−a >0且a >1，且两段函数在衔接点x =7处的函数值大小的比较，可得结果． 解：∵函数f(x)={(3−a)x −3, x ≤7a x−6, x >7单调递增，可得3−a >0且a >1．但应当注意两段函数在衔接点x =7处的函数值大小的比较， 即(3−a)×7−3≤a ，可以解得a ≥94， 综上，实数a 的取值范围是．故选B ．3.答案：A解析：本题考查互为反函数的图象的性质．令f (−3)=t ，则g(t)=−3，求出t ，g(3)，相乘即可． 解：由题知f (x )与g (x )互为反函数， 又g (x )=3−log 2(x +1)，所以g(3)=3−log 2(3+1)=3−2=1，令f (−3)=t ，则g (t )=3−log 2(t +1)=−3，解得t =63， 所以f (−3)g (3)=63， 故选A ．4.答案：B解析：【分析】此题考查函数的定义，函数定义域的求法，属于基础题．根据题意即可得出f(x)与g(x)的定义域相同，，从而要使得函数g(x)有意义，则满足{1−x ≥0x ≠0，解出x 的范围即可． 【解答】解：因为g(x)=√1−x x，所以{1−x ≥0x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，又因为函数f(x)与函数g(x)=√1−x x是同一个函数，所以f(x)与g(x)的定义域相同，所以函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,1]， 故选B ．5.答案：③④解析：∵a >b >c ，且a +b +c =0，∴a >0,c <0,ac <0∴ab >ac ，④正确；∵c <b <a ，∴a −c >0，∴ac(a −c)<0，故①错；∵c <b <a ，∴b −a <0,c <0∴c(b −a)>0，故②错；∵c <a,b 2≥0，∴cb 2≤ab 2，③正确．下列推理正确的是③④，故答案为：③④．6.答案：m =−2解析：解：因为函数f(x)=x 2+mx +1的对称轴为x =−m2， 所以当对称轴为x =1时，−m2=1， 解得m =−2． 故答案为：m =−2．7.答案：−1解析：本题考查幂函数的定义的应用，属于基础题目．由幂函数的定义和函数的解析式可得2m +3=1，由此求得m 的值． 解：由题意可得2m +3=1，解得m =−1 故答案为−1．8.答案：72解析：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 正数a ，b 满足2ab +b 2=b +1，可得：a =1+b−b 22b>0，则a +5b =1+b−b 22b+5b =12(9b +1b )+12，利用基本不等式的性质即可得出． 解：∵正数a ，b 满足2ab +b 2=b +1， ∴a =1+b−b 22b>0，则a +5b =1+b−b 22b +5b =12(9b +1b )+12≥12×2√9b ×1b +12=72， 当且仅当b =13，a =116时取等号，故答案为：72．9.答案：{x|x<5}解析：通过对x分x≥8、4≤x<8、x<4讨论去掉绝对值符号即可得出．本题考查了含绝对值类型的不等式的解法，其中分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，属于基础题．解析：解：当x≥8时，不等式化为(x−8)−(x−4)>2，化为6<0，此时不等式的解集为空集⌀；当4≤x<8时，不等式化为(8−x)−(x−4)>2，化为x<5，此时不等式的解集{x|4≤x<5}；当x<4时，不等式化为(8−x)−(4−x)>2，化为2>0，此时不等式的解集{x|x<4}．综上可知：原不等式的解集为{x|x<5}．故答案为{x|x<5}．10.答案：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0解析：本题考查考查四种命题的定义和关系，根据四种命题之间的关系和定义即可得到命题的逆否命题．解：根据逆否命题的定义可知，命题的逆否命题为：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0，故答案为如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0．11.答案：√2x−2 ( x≥1 )解析：解：由y=log2(x2+2)，得x2+2=2y，∴x2=2y−2，∵x≥0，∴x=√2y−2，y≥1，把x，y互换得：y=√2x−2(x≥1)．∴原函数的反函数是f−1(x)=√2x−2(x≥1)．故答案为：√2x−2(x≥1)．由已知函数解析式求解x ，然后把x ，y 互换得答案．本题考查函数的反函数的求法，关键是注意反函数的定义域应是原函数的值域，是基础题．12.答案：(2,103]解析：本题考查函数值域得求法，属于基础题．利用分离常数法，再结合一元二次函数配方法求解． 解：y =2+1x 2+x+1，因为x 2+x +1=(x +12)2+34≥34， 所以0<1x 2+x+1≤43，所以2<y ≤103，故答案为(2,103] ．13.答案：15解析：本题主要考查指数幂的运算，先把对数式化为指数式. 把指数式化为对数式是解题的关键． 解：由a =log 23，得2a =3， 由4b =25，得22b =52， 所以2b =5，所以2a+b =2a ·2b =3×5=15． 故答案为15．14.答案：(−∞,√142]解析：本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x ，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1； 当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142；当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．15.答案：解：(1)设x <0，则−x >0，则有f(−x)=(−x)2−2(−x)=x 2+2x ， 又由函数f(x)为偶函数， 则f(x)=f(−x)=x 2+2x ， 则当x <0时，f(x)=x 2+2x ，即函数f(x)在x <0上的解析式为f(x)=x 2+2x(x <0)；(2)若方程f(x)=2m +1有四个不同的实数解，则函数y =f(x)与直线y =2m +1有4个不同的交点， 当x =−1或1时，f(x)取最小值为−1，而y =f(x)的图象如图：分析可得−1<2m +1<0，即−1<m <−12 故m 的取值范围是(−1,−12).解析：本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析．(1)设x<0，则−x>0，由函数的解析式分析f(−x)的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；(3)若方程f(x)=2m+1有四个不同的实数解，则函数y=f(x)与直线y=2m+1有4个交点，作出函数f(x)的图象，由数形结合法分析即可得答案．16.答案：解：(1)由题设可得y={mx,0≤x≤2,2m+3(x−2),2<x≤4, 2m+6+n(x−4),x>4.当x=8时，y=33；当x=6时，y=21，代入得{2m+6+4n=33, 2m+6+2n=21,解得{m=1.5, n=6.∴y关于x的函数解析式为y={1.5x,0≤x≤2, 3x−3,2<x≤4, 6x−15,x>4.(2)当x=3.5时，y=3×3.5−3=7.5．∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．(3)令6x−15≤24，解得x≤6.5．∴该用户最多可以用6.5t水．解析：本题考查分段函数的实际应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)由题设可得y={mx,0≤x≤2,2m+3(x−2),2<x≤4,2m+6+n(x−4),x>4.代入(8,33)和(6,21)即可求解；(2)令x=3.5即可求解；(3)令6x−15≤24即可求解．17.答案：解：(1)g(x)=lg(m+2x)+lgx2=lg(mx2+2x)，由g(x)=0，可得mx2+2x=1有且只有一个解，当m=0时，x=12成立；当m≠0时，△=4+4m=0，即m=−1，x=1成立．综上可得m=0或−1．(2)当x>0，设u=m+2x，可得函数u在x>0递减，由m>0，可得u>0，y=lgu递增，即f(x)在(0,+∞)递减，任取x 1，x 2∈[t,t +2]，若不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤1对任意t ∈[19,1]恒成立，可得f(t)−f(t +2)=lg(m +2t )−lg(m +2t+2)≤1对任意t ∈[19,1]恒成立，即m +2t ≤10(m +2t+2)对任意t ∈[19,1]恒成立，整理可得9mt 2+18(m +1)t −4≥0对任意t ∈[19,1]恒成立，由m >0可得y =9mt 2+18(m +1)t −4在t ∈[19,1]递增，可得当t =19时，y 的最小值为9m ⋅181+18(m +1)⋅19−4≥0，解得m ≥1819．解析：本题考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想和方程思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用复合函数的单调性，以及转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．(1)由对数的运算性质和方程解法，讨论m 是否为0，结合二次函数的判别式即可得到所求值；(2)由题意可得m >0，x >0，f(x)递减，由题意可得m +2t ≤10(m +2t+2)对任意t ∈[19,1]恒成立， 整理可得9mt 2+18(m +1)t −4≥0对任意t ∈[19,1]恒成立，运用二次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围． 18.答案：解：(1)由条件得{a +|b|=3a −|b|=1，解得a =2，b =±1．(2)(ⅰ)由于f(x)=2+sinx ，∴f(−x)=2−sinx ，故函数f(−x)的单调递增区间，即函数y =sinx 的减区间，故函数f(−x)的单调递增区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2]k ∈z ．(ⅰ)根据函数y =sinx 的对称中心的坐标为(kπ,0)，k ∈z ，故函数f(x)=)=2+sinx 的对称中心为(kπ,2)，k ∈z ．解析：(1)由条件得{a +|b|=3a −|b|=1，由此求得a 和b 的值． (2)(ⅰ)f(−x)=2−sinx ，函数f(−x)的单调递增区间，即函数y =sinx 的减区间，从而得出结论． (ⅰ)根据函数y =sinx 的对称中心的坐标为(kπ,0)，k ∈z ，函数f(x)=)=2+sinx 的对称中心．本题主要考查分段函数的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于基础题．。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期9月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期9月月考数学试题一、单选题1．若M 、P 都是全集U 的子集，则图中阴影部分可以表示为（ ）A ．M P ⋃B ．()UC M PC ．()U C M PD ．U U C MC P【答案】C【解析】观察维恩图得解. 【详解】由维恩图可知，空白部分表示的是M P ⋃, 所以阴影部分表示的是()U C M P .故选C 【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥- B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥【答案】D【解析】对A ，利用分析法证明；对B ，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对C ，考虑0c =的情况；对D ，利用同向不等式的可乘性. 【详解】对A ，a b b c a c +≥-⇔>-，因为,a c 大小无法确定，故A 不一定成立； 对B ，当0c ≥时，才能成立，故B 也不一定成立； 对C ，当0c =时不成立，故C 也不一定成立；对D ，()220,00,a b a b c c ->⎧⇒-≥⎨≥⎩，故D 一定成立. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.3．有下列三个命题：①“4x y +≠”是“1x ≠且3y ≠”的必要非充分条件；②0xy <是x y x y -=+的充要条件；③已知,m n Z ∈，则225m n +<是2m n +≤的充分非必要条件；其中的真命题有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】①可以利用逆否命题分析判断；②利用举例和充要条件定义分析判断；③先求出225m n +<的解，再利用充要条件的定义分析判断. 【详解】①可以考虑逆否命题，即考虑“1x =或=3y ”是“4x y +=”的什么条件，“1x =或=3y ”是“4x y +=”非充分非必要条件，所以“4x y +≠”是“1x ≠且3y ≠”的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；②0xy <是x y x y -=+的充分条件，但是当0,0x y >=时，x y x y -=+成立，但是不满足0xy <，所以0xy <不是x y x y -=+的必要条件，所以该命题是假命题；③已知,m n Z ∈，225m n +<，所以2m =-时，0n =；1m =-时，01n =±，；0m =时，012n =±±，，；1m =时，0,1n =±；2m =时，0n =.所以2m n +≤，所以225m n +<是2m n +≤的充分条件.当2m n +≤时，如2m n ==-，但是不满足225m n +<，所以225m n +<是2m n +≤的非必要条件.所以该命题是真命题. 故选B 【点睛】本题主要考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知函数()()222f x x a x a =-+++，若集合(){}|0A x N f x =∈<中恰有一个元素，则实数a （ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最小值，无最大值 C ．既无最大值，也无最小值 D ．既有最大值，也有最小值【答案】D【解析】由题得2a >或2a <-，再对a 分两种情况讨论，利用零点存在性定理得解. 【详解】由条件知，()222=0x a x a -+++有两个不同的实根，所以2=(a+2)4(2)0a ∆-+>， 所以2a >或2a <-.（1）当2a <-时，(1)0,(0)20,f f a >=+>必有(1)0,f -≥512(2)0,2a a ∴++≥∴≥-所以522a -≤<-.(2)当2a >时，20,(1)10,(2)20,a f f a ->=>=-< 所以55(3)92(2)0,,222f a a a =-+≥∴≤∴<≤， 所以min 52a =-,max 52a =. 故选:D 【点睛】本题主要考查方程的零点，考查一元二次不等式和零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题5．集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为______. 【答案】{}1,0,1,2-【解析】直接利用列举法的定义解答即可. 【详解】集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为{}1,0,1,2-. 故答案为{}1,0,1,2-【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．设集合6|5A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 的子集的个数是______. 【答案】8【解析】先化简集合A={2,3,4},再求集合A 的子集的个数. 【详解】令51,2,3,6,4,3,2,1x x -=∴=-， 因为x ∈N ,所以2,3,4,{2,3,4}x A =∴=. 所以集合A 的子集的个数是32=8. 故答案为8 【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．设集合{}1,9,A x =，{}21,B x =，且AB B =，则实数x 的取值范围是______.【答案】{}3,3,0- 【解析】根据A B B =得到关于x 的方程，解方程即得解.【详解】 因为AB B =，所以29x =或2x x =， 所以3,3,0,1x =-，当1x =时，与集合元素的互异性矛盾，所以1x =舍去. 所以3,3,0.x =- 故答案为{}3,3,0- 【点睛】本题主要考查集合的关系运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知,a b ∈R ，命题“2200a b a b +=⇒==”的逆否命题是______.【答案】已知,a b ∈R ，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠ 【解析】直接利用逆否命题的定义解答即可. 【详解】命题“2200a b a b +=⇒==”的逆否命题是“已知,a b ∈R ，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠”.故答案为已知,a b ∈R ，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠. 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是______. 【答案】k 0<【解析】由题得12=10040,0k x x k ∆->=<，解之即得解. 【详解】设方程2100x x k -+=的两个根为12,x x ，所以12=10040,0k x x k ∆->⎧⎨=<⎩ 所以k 0<.当k 0<时，方程有两个不同的实根；当方程有两个不同的实根时，k 0<. 所以关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是k 0<. 故答案为k 0< 【点睛】本题主要考查充要条件和零点的分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．设,x y R ∈，则“1x y +<”是“1x <且1y <”的______条件. 【答案】充分不必要【解析】先讨论充分性，再讨论必要性得解. 【详解】“1x y +<”，所以 “1x <且1y <”，所以“1x y +<”是 “1x <且1y <”的充分条件； 当1x <且1y <时，如：34x y ==，则1x y +>，所以1x <且1y <时，1x y +<不一定成立， 所以“1x y +<”是 “1x <且1y <”的非必要条件； 综合得“1x y +<”是“1x <且1y <”的充分不必要条件. 故答案为充分不必要 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．已知{}1,3,5A a =+，{}22221,,21a B a aa a +=++-，若{}2,3A B ⋂=，则A B =______.【答案】{}1,2,3,5【解析】根据{}2,3A B ⋂=求出a 的值，再求A B 得解.【详解】因为{}2,3A B ⋂=， 所以|1|2,1a a +=∴=或3-. 当1a =时，{}3,1,2B =，所以={2,3,1,5}A B .当3a =-时，15,,281B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,不满足{}2,3A B ⋂=.所以舍去. 故答案为{}1,2,3,5 【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．已知集合{}|221A x x k =-≤<-，{}|0B x x k =-≤，且A B ⊆，则实数k 的取值范围是______. 【答案】1k ≤【解析】对集合A 分两种情况讨论，得到关于k 的不等式，解不等式即得解. 【详解】当212k -≤-，即12k ≤-时，,A φ=满足题意； 当212k ->-，即12k >-时，11,12221k k k k ⎧>-⎪∴-<≤⎨⎪≥-⎩.综合得实数k 的取值范围是1k ≤. 故答案为1k ≤ 【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，则关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是______. 【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【解析】由不等式20ax bx c ++<的解集求出a 、b 、c 的关系，再把不等式20cx bx a ++>化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可．【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，∴关于x 的方程20ax bx c ++=有两个实数根是3x =-或1x =；0a ∴<且23bac a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以23b ac a=⎧⎨=-⎩；∴关于x 的不等式20cx bx a ++>可化为2320ax ax a -++>，即23210x x -->； 解得1x >或13x <-，故答案为()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”，已知{}1,2,3,4S =，所有由S 的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是______. 【答案】3【解析】先求出所有由S 的2个元素构成的集合，再利用“孤立元”的定义求解. 【详解】由题得所有由S 的2个元素构成的集合有{1,2}{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}，， 其中满足“孤立元”定义的集合有{1,3},{1,4},{2,4}. 故答案为3 【点睛】本题主要考查新定义的理解和运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．已知m R ∈，集合{}|31A x m x m =≤≤-，若A Z 恰有一个元素，则m 的取值范围是______. 【答案】24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】先分析得到1322m ≤<，该区间包含的整数应为1,2,3.再对这个整数分类讨论得解. 【详解】题意是，闭区间[,31]m m -上恰有一个整数，求m 的范围.所以该区间应满足①不空，②区间的长度不超过2，即3113,31222m m m m m -≥⎧∴≤<⎨--<⎩， 所以当1322m ≤<有173122m ≤-<， 所以该区间包含的整数应为1,2,3.（1）当仅有1∈[,31]m m -时，21312,13m m m ≤≤-<∴≤<. （2）当仅有2∈[,31]m m -时，42313,13m m m ≤≤-<∴≤<，而m=1时，[,31]=[1,2]m m -有两个整数，故413m <<.（3）当仅有3∈[,31]m m -时，453314,33m m m ≤≤-<∴≤<,与1322m ≤<矛盾，所以舍去.综上，所以m 的取值范围是24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故答案为24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭本题主要考查集合的元素的个数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．已知()f x x x =，若对任意[]2,2x a a ∈-+，()()2f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】a <【解析】通过分类讨论分析得到1)a x <恒成立，再求函数()1)g x x =，[]2,2x a a ∈-+的最值得解.【详解】（1）当0x ≥时，2()f x x =，222()2))f x x f ===；当0x <时，222(),2()2))f x x f x x f =-=-=-=，所以在R 上，2()),())f x f f x a f =∴+<，因为在R 上，函数()f x 单调递增，,1)x a a x ∴+<∴<恒成立，（2）记()1)g x x =，[]2,2x a a ∈-+，min ()(2)1)(2),1)(2),g x g a a a a a ∴=-=-∴<-∴<故答案为a <【点睛】本题主要考查函数的单调性和应用，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知集合{}*|9,U x x x N=<∈，{}1,2,3,7A =，{}1,3,4,5,6B =，求UCA 和()U C A B .【答案】{}4,5,6,8U C A =，(){}2,4,5,6,7,8U C AB =.【解析】先求出{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{1,3}A B ⋂=，再求U C A 和()U C A B .【详解】由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{1,3}A B ⋂= 所以{}4,5,6,8U C A =， (){}2,4,5,6,7,8U C AB =.本题主要考查交集补集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．若抛物线()22211y x a x a =--+-与x 轴的两个交点在y 轴的同侧，求实数a 的取值范围.【答案】()5,11,4⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【解析】解不等式21210x x a =->，22(21)4(1)0a a ∆=--->即得解.【详解】设()22211=0x a x a --+-的两根为12,x x ，由题得21210x x a =->，（1），22(21)4(1)0a a ∆=--->，（2），解（1）（2）得1a <-或514a <<. 所以实数a 的取值范围为()5,11,4⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二次方程的根的分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．已知,a b ∈R ，关于x 的函数()2f x x ax b =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，()(){}|,B x f f x x x R ==∈.（1）若{}A a =，求a 、b 的值；（2）若a N ∈，0b =且A B =，求集合A .【答案】（1）13a =，19b =；（2）0a =，{}0,1A =；1a =，{}0A =；2a =，{}0,1A =-；3a =，{}0,2A =-.【解析】（1）等价于2(1)0x a x b +-+=有两个相等的实根a ，解2=(1)40a b ∆--=且2(1)0a a a b +-+=即得解；（2）先化简两个集合的方程，由题得两方程同解，再对a 分类讨论得解.【详解】（1）由题得2x ax b x ++=有两个相等的实根a ， 所以2(1)0x a x b +-+=有两个相等的实根a ，所以2=(1)40a b ∆--=且2(1)0a a a b +-+=， 解之得13a =，19b =. （2）当b=0时，()2f x x ax =+关于A 的方程()f x x =可以化为[(1)]0x x a --=（1）关于B 的方程()()f f x x =可以化为432222()(1)0x ax a a x a x ++++-=， 因式分解为2[(1)][(1)(1)]0x x a x a x a --++++= （2）由条件A=B 可知，方程（1）和（2）同解，（1）当0a =时，两方程为(1)0-=x x 和2(1)(1)0x x x x -++=，所以0,1x x ==， 所以{0,1}A =;（2）当1a =时，两方程为20x =和22(22)0x x x ++=，所以0,x =所以{0}A =；（3）当2a =时，两方程为(1)0x x +=和2(1)(33)0x x x x +++=，所以0,1x x ==-所以{0,}A =-1；（4）当3a =时，两方程为(2)0x x +=和3(2)0x x +=，所以0,2x x ==-所以{0,}A =-2；（5）当4a ≥时，方程（2）中2(1)10x a x a ++++=，(1)(3)0a a ∆=+->，有两个不同的解，此时方程（1）和（2）不同解，所以舍去.所以0a =，{}0,1A =；1a =，{}0A =；2a =，{}0,1A =-；3a =，{}0,2A =-.【点睛】本题主要考查集合和集合的关系，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知U R ⊆为一个数集，集合{}223|,A s t s t U =+∈.（1）设{}1,3,5U =，求集合A 的元素个数；（2）设U Z =，证明：若x A ∈，则7x A ∈；（3）设U =R ，,x y A ∈，且223x m n =+，223y p q =+，若3mp nq -=x y mq np +++的最小值.【答案】（1）8个；（2）证明见解析；（3.【解析】（1）对,s t 的取值分类讨论，即得集合A 的元素个数；（2）因为x A ∈，设223x s t =+，再证明7x A ∈；（3）由题得()233xy mq np =++，设mq np b +=，利用基本不等式和判别式法求最小值.【详解】（1）1s t ==时，2234s t +=； 3s t ==，2239+27=36s t +=；5s t ==，22325+75=100s t +=；1,3s t ==时，2231+27=28s t +=；3,1s t ==时，2239+3=12s t +=；1,5s t ==时，2231+75=76s t +=；5,1s t ==时，22325+3=28s t +=；3,5s t ==时，2239+75=84s t +=；5,3s t ==时，22325+27=52s t +=；所以{}4,12,28,36,52,76,84,100A =，它有8个元素；（2）因为x A ∈，所以设223x s t =+，()()()222222737212332s t s t s t s t A +=+=++-∈. 所以得证.（3）()()()()2222223333xy m np q mq np mp nq =++=++-=()233mq np =++， 设mq np b +=，∴233b y x +=，233b x y mq np x b b x++++=++≥，设b t =，整理得22112120b bt t ++-=，由0∆≥得t ≥即()min x y mq np +++=【点睛】本题主要考查集合的表示，考查集合和元素的关系，考查基本不等式和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期9月月考数学试卷含详解
华二附中高一月考数学卷一、填空题1.集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为______.2.设集合6|5A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 的子集的个数是______.3.设集合{}1,9,A x =，{}21,B x =，且A B B = ，则实数x 的取值范围是______.4.已知,a b R ∈，命题“2200a b a b +=⇒==”的逆否命题是______.5.关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是______.6.设,x y R ∈，则“1x y +<”是“1x <且1y <”的______条件.7.已知{}1,3,5A a =+，{}22221,,21a B a a a a +=++-，若{}2,3A B ⋂=，则A B ⋃=______.8.已知集合{}|221A x x k =-≤<-，{}|0B x x k =-≤，且A B ⊆，则实数k 的取值范围是______.9.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，则关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是______.10.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”，已知{}1,2,3,4S =，所有由S 的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是______.11.已知m R ∈，集合{}|31A x m x m =≤≤-，若A Z 恰有一个元素，则m 的取值范围是______.12.已知()f x x x=，若对任意[]2,2x a a ∈-+，()()2f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是______.二、选择题13.若M 、P 都是全集U 的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A.M P ⋃B.()U C M PC.()U C M P D.U U C M C P14.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中，一定成立的是（）A.a b b c+>- B.ac bc≥ C.2c a b>- D.2()0a b c -≥15.有下列三个命题：①“4x y +≠”是“1x ≠且3y ≠”的必要非充分条件；②0xy <是x y x y -=+的充要条件；③已知,m n Z ∈，则225m n +<是2m n +≤的充分非必要条件；其中的真命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个16.已知函数()()222f x x a x a =-+++，若集合(){}|0A x N f x =∈<中恰有一个元素，则实数a （）A.有最大值，无最小值B.有最小值，无最大值C.既无最大值，也无最小值D.既有最大值，也有最小值三、解答题17.已知集合{}*|9,U x x x N=<∈，{}1,2,3,7A =，{}1,3,4,5,6B =，求UCA 和()U C AB .18.若抛物线()22211y x a x a =--+-与x 轴的两个交点在y 轴的同侧，求实数a 的取值范围.19.已知,a b R ∈，关于x 的函数()2f x x ax b =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，()(){}|,B x f f x x x R ==∈.（1）若{}A a =，求a 、b 的值；（2）若a N ∈，0b =且A B =，求集合A .20.已知U R ⊆为一个数集，集合{}223|,A s t s t U =+∈.（1）设{}1,3,5U =，求集合A 的元素个数；（2）设U Z =，证明：若x A ∈，则7x A ∈；（3）设U =R ，,x y A ∈，且223x m n =+，223y p q =+，若3mp nq -=x y mq np +++的最小值.华二附中高一月考数学卷一、填空题1.集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为______.【答案】{}1,0,1,2-【分析】直接利用列举法的定义解答即可.【详解】集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为{}1,0,1,2-.故答案为{}1,0,1,2-【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.设集合6|5A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 的子集的个数是______.【答案】8【分析】先化简集合A={2,3,4},再求集合A 的子集的个数.【详解】令51,2,3,6,4,3,2,1x x -=∴=-，因为x ∈N ,所以2,3,4,{2,3,4}x A =∴=.所以集合A 的子集的个数是32=8.故答案为8【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.设集合{}1,9,A x =，{}21,B x =，且A B B = ，则实数x 的取值范围是______.【答案】{}3,3,0-【分析】根据A B B = 得到关于x 的方程，解方程即得解.【详解】因为A B B = ，所以29x =或2x x =，所以3,3,0,1x =-，当1x =时，与集合元素的互异性矛盾，所以1x =舍去.所以3,3,0.x =-故答案为{}3,3,0-【点睛】本题主要考查集合的关系运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知,a b R ∈，命题“2200a b a b +=⇒==”的逆否命题是______.【答案】已知,a b R ∈，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠【分析】直接利用逆否命题的定义解答即可.【详解】命题“2200a b a b +=⇒==”的逆否命题是“已知,a b R ∈，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠”.故答案为已知,a b R ∈，若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是______.【答案】0k <【分析】由题得12=10040,0k x x k ∆->=<，解之即得解.【详解】设方程2100x x k -+=的两个根为12,x x ，所以12=10040,k x x k ∆->⎧⎨=<⎩所以0k <.当0k <时，方程有两个不同的实根；当方程有两个不同的实根时，0k <.所以关于x 的方程2100x x k -+=有两个异号根的充要条件是0k <.故答案为0k <【点睛】本题主要考查充要条件和零点的分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.设,x y R ∈，则“1x y +<”是“1x <且1y <”的______条件.【答案】充分不必要【分析】先讨论充分性，再讨论必要性得解.【详解】“1x y +<”，所以“1x <且1y <”，所以“1x y +<”是“1x <且1y <”的充分条件；当1x <且1y <时，如：34x y ==，则1x y +>，所以1x <且1y <时，1x y +<不一定成立，所以“1x y +<”是“1x <且1y <”的非必要条件；综合得“1x y +<”是“1x <且1y <”的充分不必要条件.故答案为充分不必要【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.已知{}1,3,5A a =+，{}22221,,21a B a a a a +=++-，若{}2,3A B ⋂=，则A B ⋃=______.【答案】{}1,2,3,5【分析】根据{}2,3A B ⋂=求出a 的值，再求A B ⋃得解.【详解】因为{}2,3A B ⋂=，所以|1|2,1a a +=∴=或3-.当1a =时，{}3,1,2B =，所以={2,3,1,5}A B .当3a =-时，15,,281B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,不满足{}2,3A B ⋂=.所以舍去.故答案为{}1,2,3,5【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.已知集合{}|221A x x k =-≤<-，{}|0B x x k =-≤，且A B ⊆，则实数k 的取值范围是______.【答案】1k ≤【分析】对集合A 分两种情况讨论，得到关于k 的不等式，解不等式即得解.【详解】当212k -≤-，即12k ≤-时，,A φ=满足题意；当212k ->-，即12k >-时，11,12221k k k k ⎧>-⎪∴-<≤⎨⎪≥-⎩.综合得实数k 的取值范围是1k ≤.故答案为1k ≤【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，则关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是______.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【分析】由不等式20ax bx c ++<的解集求出a 、b 、c 的关系，再把不等式20cx bx a ++>化为可以解答的一元二次不等式，求出解集即可．【详解】 关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),31,-∞-⋃+∞，∴关于x 的方程20ax bx c ++=有两个实数根是3x =-或1x =；<0a ∴且23bac a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以23b ac a=⎧⎨=-⎩；∴关于x 的不等式20cx bx a ++>可化为2320ax ax a -++>，即23210x x -->；解得1x >或13x <-，故答案为()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”，已知{}1,2,3,4S =，所有由S 的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是______.【答案】3【分析】先求出所有由S 的2个元素构成的集合，再利用“孤立元”的定义求解.【详解】由题得所有由S 的2个元素构成的集合有{1,2}{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}，，其中满足“孤立元”定义的集合有{1,3},{1,4},{2,4}.故答案为3【点睛】本题主要考查新定义的理解和运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知m R ∈，集合{}|31A x m x m =≤≤-，若A Z 恰有一个元素，则m 的取值范围是______.【答案】24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】先分析得到1322m ≤<，该区间包含的整数应为1,2,3.再对这个整数分类讨论得解.【详解】题意是，闭区间[,31]m m -上恰有一个整数，求m 的范围.所以该区间应满足①不空，②区间的长度不超过2，即3113,31222m m m m m -≥⎧∴≤<⎨--<⎩，所以当1322m ≤<有173122m ≤-<，所以该区间包含的整数应为1,2,3.（1）当仅有1∈[,31]m m -时，21312,13m m m ≤≤-<∴≤<.（2）当仅有2∈[,31]m m -时，42313,13m m m ≤≤-<∴≤<，而m=1时，[,31]=[1,2]m m -有两个整数，故413m <<.（3）当仅有3∈[,31]m m -时，453314,33m m m ≤≤-<∴≤<,与1322m ≤<矛盾，所以舍去.综上，所以m 的取值范围是24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故答案为24,11,33⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查集合的元素的个数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知()f x x x =，若对任意[]2,2x a a ∈-+，()()2f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】a <【分析】通过分类讨论分析得到1)a x <恒成立，再求函数()1)g x x =-，[]2,2x a a ∈-+的最值得解.【详解】（1）当0x ≥时，2()f x x =，222()2))f x x f ===；当0x <时，222(),2()2))f x x f x x f =-=-=-=，所以在R 上，2()),())f x f f x a f =∴+<，因为在R 上，函数()f x 单调递增，,1)x a a x ∴+<∴<-恒成立，（2）记()1)g x x =-，[]2,2x a a ∈-+，min ()(2)1)(2),1)(2),g x g a a a a a ∴=-=--∴<--∴<.故答案为a <【点睛】本题主要考查函数的单调性和应用，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、选择题13.若M 、P 都是全集U 的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A.M P ⋃B.()U C M PC.()U C M PD.U U C M C P【答案】C【分析】观察维恩图得解.【详解】由维恩图可知，空白部分表示的是M P ⋃,所以阴影部分表示的是()U C M P .故选C【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中，一定成立的是（）A.a b b c +>-B.ac bc≥ C.2c a b>- D.2()0a b c -≥【答案】D 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：取2a =，1b =，3c =-，可判断选项A 不一定成立；取0c <，ac bc <，可判断选项B 不一定成立；取0c =，则20c a b=-，可判断选项C 不一定成立；因为a b >，所以0a b ->，所以2()0a b c -，故D 一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质的应用，解答的关键是利用特殊值法排除一些错误的选项，再利用作差法比较大小；15.有下列三个命题：①“4x y +≠”是“1x ≠且3y ≠”的必要非充分条件；②0xy <是x y x y -=+的充要条件；③已知,m n Z ∈，则225m n +<是2m n +≤的充分非必要条件；其中的真命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【分析】①可以利用逆否命题分析判断；②利用举例和充要条件定义分析判断；③先求出225m n +<的解，再利用充要条件的定义分析判断.【详解】①可以考虑逆否命题，即考虑“1x =或=3y ”是“4x y +=”的什么条件，“1x =或=3y ”是“4x y +=”非充分非必要条件，所以“4x y +≠”是“1x ≠且3y ≠”的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；②0xy <是x y x y -=+的充分条件，但是当0,0x y >=时，x y x y -=+成立，但是不满足0xy <，所以0xy <不是x y x y -=+的必要条件，所以该命题是假命题；③已知,m n Z ∈，225m n +<，所以2m =-时，0n =；1m =-时，01n =±，；0m =时，012n =±±，，；1m =时，0,1n =±；2m =时，0n =.所以2m n +≤，所以225m n +<是2m n +≤的充分条件.当2m n +≤时，如2m n ==-，但是不满足225m n +<，所以225m n +<是2m n +≤的非必要条件.所以该命题是真命题.故选B【点睛】本题主要考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知函数()()222f x x a x a =-+++，若集合(){}|0A x N f x =∈<中恰有一个元素，则实数a （）A.有最大值，无最小值B.有最小值，无最大值C.既无最大值，也无最小值D.既有最大值，也有最小值【答案】D【分析】由题得2a >或2a <-，再对a 分两种情况讨论，利用零点存在性定理得解.【详解】由条件知，()222=0x a x a -+++有两个不同的实根，所以2=(a+2)4(2)0a ∆-+>，所以2a >或2a <-.（1）当2a <-时，(1)0,(0)20,f f a >=+>必有(1)0,f -≥512(2)0,2a a ∴++≥∴≥-所以522a -≤<-.(2)当2a >时，20,(1)10,(2)20,a f f a ->=>=-<所以55(3)92(2)0,,222f a a a =-+≥∴≤∴<≤所以min 52a =-,max 52a =.故选:D【点睛】本题主要考查方程的零点，考查一元二次不等式和零点存在性定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17.已知集合{}*|9,U x x x N=<∈，{}1,2,3,7A =，{}1,3,4,5,6B =，求UCA 和()U C AB .【答案】{}4,5,6,8U C A =，(){}2,4,5,6,7,8U C A B = .【分析】先求出{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{1,3}A B ⋂=，再求U C A 和()U C A B .【详解】由题得{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{1,3}A B ⋂=所以{}4,5,6,8U C A =，(){}2,4,5,6,7,8U C A B = .【点睛】本题主要考查交集补集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.若抛物线()22211y x a x a =--+-与x 轴的两个交点在y 轴的同侧，求实数a 的取值范围.【答案】()5,11,4⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【分析】解不等式21210x x a =->，22(21)4(1)0a a ∆=--->即得解.【详解】设()22211=0x a x a --+-的两根为12,x x ，由题得21210x x a =->，（1），22(21)4(1)0a a ∆=--->，（2），解（1）（2）得1a <-或514a <<.所以实数a 的取值范围为()5,11,4⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二次方程的根的分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知,a b R ∈，关于x 的函数()2f x x ax b =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，()(){}|,B x f f x x x R ==∈.（1）若{}A a =，求a 、b 的值；（2）若a N ∈，0b =且A B =，求集合A .【答案】（1）13a =，19b =；（2）0a =，{}0,1A =；1a =，{}0A =；2a =，{}0,1A =-；3a =，{}0,2A =-.【分析】（1）等价于2(1)0x a x b +-+=有两个相等的实根a ，解2=(1)40a b ∆--=且2(1)0a a a b +-+=即得解；（2）先化简两个集合的方程，由题得两方程同解，再对a 分类讨论得解.【详解】（1）由题得2x ax b x ++=有两个相等的实根a ，所以2(1)0x a x b +-+=有两个相等的实根a ，所以2=(1)40a b ∆--=且2(1)0a a a b +-+=，解之得13a =，19b =.（2）当b=0时，()2f x x ax=+关于A 的方程()f x x =可以化为[(1)]0x x a --=（1）关于B 的方程()()f f x x =可以化为432222()(1)0x ax a a x a x ++++-=，因式分解为2[(1)][(1)(1)]0x x a x a x a --++++=（2）由条件A=B 可知，方程（1）和（2）同解，（1）当0a =时，两方程为(1)0-=x x 和2(1)(1)0x x x x -++=，所以0,1x x ==，所以{0,1}A =;（2）当1a =时，两方程为20x =和22(22)0x x x ++=，所以0,x =所以{0}A =；（3）当2a =时，两方程为(1)0x x +=和2(1)(33)0x x x x +++=，所以0,1x x ==-所以{0,}A =-1；（4）当3a =时，两方程为(2)0x x +=和3(2)0x x +=，所以0,2x x ==-所以{0,}A =-2；（5）当4a ≥时，方程（2）中2(1)10x a x a ++++=，(1)(3)0a a ∆=+->，有两个不同的解，此时方程（1）和（2）不同解，所以舍去.所以0a =，{}0,1A =；1a =，{}0A =；2a =，{}0,1A =-；3a =，{}0,2A =-.【点睛】本题主要考查集合和集合的关系，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知U R ⊆为一个数集，集合{}223|,A s t s t U =+∈.（1）设{}1,3,5U =，求集合A 的元素个数；（2）设U Z =，证明：若x A ∈，则7x A ∈；（3）设U =R ，,x y A ∈，且223x m n =+，223y p q =+，若3mp nq -=x y mq np +++的最小值.【答案】（1）8个；（2）证明见解析；（3.【分析】（1）对,s t 的取值分类讨论，即得集合A 的元素个数；（2）因为x A ∈，设223x s t =+，再证明7x A ∈；（3）由题得()233xy mq np =++，设mq np b +=，利用基本不等式和判别式法求最小值.【详解】（1）1s t ==时，2234s t +=；3s t ==，2239+27=36s t +=；5s t ==，22325+75=100s t +=；1,3s t ==时，2231+27=28s t +=；3,1s t ==时，2239+3=12s t +=；1,5s t ==时，2231+75=76s t +=；5,1s t ==时，22325+3=28s t +=；3,5s t ==时，2239+75=84s t +=；5,3s t ==时，22325+27=52s t +=；所以{}4,12,28,36,52,76,84,100A =，它有8个元素；（2）因为x A ∈，所以设223x s t =+，()()()222222737212332s t s t s t s t A +=+=++-∈.所以得证.（3）()()()()2222223333xy m np q mq np mp nq =++=++-=()233mq np =++，设mq np b +=，∴233b y x +=，233b x y mq np x b b x++++=++≥+，设b t =，整理得22112120b bt t ++-=，由0∆≥得t ≥即()min x y mq np +++=.【点睛】本题主要考查集合的表示，考查集合和元素的关系，考查基本不等式和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
上海华东师范大学第二附属中学2022年高一数学第一学期期末质量检测试题含解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若 是钝角，则 是（） 2
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2．函数 f x 2x 2 a 的一个零点在区间 1, 2 内，则实数 a 的取值范围是（ ）
【详解】 f x tan 2x ，最小正周期为T ； 2
单调增区间为 k
2
2x
k
2
，即
x
k 2
4
x
k 2
4
，故
k
0 时，
f
x
在
4
, 4
上单调递增；
f x 定义域关于原点对称， f x tan2x tan 2x f x ，故 f x 为奇函数；
f
x 对称中心横坐标为 2x
13、 4 ##0.8 5
【解析】由诱导公式直接可得.
详解】 sin(7 ) sin(3 ) sin( ) cos 4
2
2
2
5
【cos 4 . 5
故答案为： 4 5
14、
f
x
cos
x
4
【解析】由图象可得出函数
f
x 的最小正周期，可求得
的值，再由
f
1 ．已知
sin
7 2
4 5
，那么 cos
的值为___________.
14．函数
f
x
cos x
0
2
的部分图象如图所示．则函数
f
x 的解析式为______
15．已知 A、B 均为集合U {1,3,5, 7,9} 的子集，且 A B {3}， A U B {9}，则集合 A ________
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华东师大第二附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题1．幂函数()yf x =的图象经过点(3，则()f x 是（）A ．偶函数，且在()0，+∞上是增函数B ．偶函数，且在()0，+∞上是减函数C ．奇函数，且在()0，+∞上是减函数D ．非奇非偶函数，且在()0，+∞上是增函数2．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是()A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,33．定义在R 上的函数()f x 有反函数()1fx -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则()()1120202018f x f x ---+-的值为（）A ．0B ．2C ．-2D ．不能确定4．已知函数()f x 的定义域为{}0,1,2，值域为{}0,1，则满足条件的函数()f x 的个数为（）A ．1个B ．6个C ．8个D ．无数个二、填空题5．若实数a b >，则下列说法正确的是__________．（1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b >6．函数()()0f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是__________．7．函数()()227111m m f x m m x++=--是幂函数，则m =__________．8．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________.9．不等式1213x x -++<的解集为__________．10．“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是__________．11．已知函数()f x =，]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1g x -的定义域为__________．12．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．13．已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则+a b 的值为__________．14．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21x g x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.16．某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数()()0C x Af x C B x A x A <≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m '时，缴费19元.（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？17．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数.（1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围.18．已知函数()2,2,x x Pf x x x x M⎧∈=⎨-+∈⎩，其中P ，M 是非空数集且P M ⋂=∅.设()(){},f P y y f x x P ==∈，()(){},f M y y f x x M ==∈.（1）若(),0P =-∞，[]04M =，，求()()f P f M ；（2）是否存在实数3a >-，使得[]3,P M a =- ，且()()[]323f P f M a =-- ，？若存在，求出所有满足条件的a ；若不存在，说明理由；（3）若P M R ⋃=且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P ，M .解析华东师大第二附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题1．幂函数()yf x =的图象经过点(3，则()f x 是（）A ．偶函数，且在()0，+∞上是增函数B ．偶函数，且在()0，+∞上是减函数C ．奇函数，且在()0，+∞上是减函数D ．非奇非偶函数，且在()0，+∞上是增函数【答案】D【解析】设()af x x =，代入已知点坐标，求出解析式，再确定奇偶性和单调性．【详解】设()af x x =，∴3a =，12a =，即12()f x x =，它既不是奇函数也不是偶函数，但在定义域[0,)+∞上是增函数．故选：D ．【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的奇偶性与单调性，属于基础题．2．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是()A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解： 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．3．定义在R 上的函数()f x 有反函数()1fx -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则()()1120202018f x f x ---+-的值为（）A ．0B ．2C ．-2D ．不能确定【答案】A【解析】由已知可得()f x 图像关于(0,1)，可得()1f x -关于(1,0)对称，根据对称性，即可求解.【详解】定义在R 上的函数()f x 有()()2f x f x +-=恒成立，()f x 图像关于(0,1)对称，()1f x -关于(1,0)对称，()()()()11202020182,202020180x x f x f x ---+-=-+-=.故选:A,【点睛】本题考查互为反函数图像间的关系，利用对称性求函数值，解题的关键要掌握对称性的代数式表示，属于中档题.4．已知函数()f x 的定义域为{}0,1,2，值域为{}0,1，则满足条件的函数()f x 的个数为（）A ．1个B ．6个C ．8个D ．无数个【答案】B【解析】根据已知条件定义域{}0,1,2中有两个元素和{0,1}的一个元素对应，第三个元素与{0,1}另一个元素对应，即可求解.【详解】满足条件的函数()f x 有：(0)0,(1)1,(2)1f f f ===；(0)1,(1)0,(2)0f f f ===；(1)0,(0)1,(2)1f f f ===；(1)1,(0)0,(2)0f f f ===；(2)0,(0)1,(1)1f f f ===；(2)1,(0)0,(1)0f f f ===，满足条件的函数有6个.故选:B.【点睛】本题考查函数定义，属于基础题.二、填空题5．若实数a b >，则下列说法正确的是__________．（1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b >【答案】（1）【解析】根据不等式的性质逐个判断，即可得到结论.【详解】根据不等式的性质（1）正确；（2）中如果0c ≥时不成立，故错误；（3）若1,1a b ==-时，11a b<不成立，故错误；（4）若1,1a b ==-，22a b >不成立，故错误.故答案为:（1）【点睛】本题考查不等式的性质，对于常用的不等式成立的条件要熟记，属于基础题.6．函数()()0f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是__________．【答案】0b =【解析】根据奇函数的定义，即可求解.【详解】()()0f x kx b k =+≠为奇函数，则()(),0f x kx b f x kx b b -=-+=-=--=.故答案为:0b =.【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，注意奇偶性的定义应用，属于基础题.7．函数()()227111m m f x m m x++=--是幂函数，则m =__________．【答案】2或-1【解析】根据幂函数的定义，即可求解.【详解】()()227111mm f x m m x ++=--是幂函数，2211,20m m m m ∴--=--=，解得2m =，或1m =-.故答案为:2或-1.8．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________.【答案】94【解析】根据基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭结合所求代入公式，即可求解.【详解】由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当11a b +=+，即12a b ==时等号成立，即(1)(1)a b ++的最大值为94.故答案为94【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.9．不等式1213x x -++<的解集为__________．【答案】()7,6-【解析】对x 分类讨论去绝对值，即可求解.【详解】1213x x -++<化为12113x x ≥⎧⎨+<⎩或21313x -≤<⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得16x ≤<或21x -£<或72x -<<-，所以76x -<<.故答案为:()7,6-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解，考查分类讨论思想，属于基础题.10．“若1x y +=，则1x =且0y=”的逆否命题是__________．【答案】若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.【解析】根据逆否命题的形式，即可得出结论.【详解】“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是”“若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.”故答案为:若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.【点睛】本题考查命题的形式，要注意连接词的变化，属于基础题.11．已知函数()f x =，]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1g x -的定义域为__________．【答案】⎡⎣【解析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为⎡⎣，即为()1gx -的定义域.故答案为:⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.12．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【答案】(),1616⎡-∞-++∞⎣【解析】设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域.【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==+，当0t>时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立；同理当0t <时，()16g t ≤-+，当且仅当6t x =-=-+时等号成立；所以函数的值域为(),1616⎡-∞-++∞⎣.故答案为:(),1616⎡-∞-++∞⎣ .【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题.13．已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则+a b 的值为__________．【答案】2【解析】根据指对数的关系，将已知等式转化为对数形式，即可求解.【详解】336313126,log 6log 6,0,log 3log 6a b ab ab a ab a b ====≠∴==，同理66log 12,log 362a a b =+==.故答案为:2.【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查简单的对数运算，以及换底公式的应用，属于基础题.14．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21x g x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．【答案】3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【解析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++，16()4k f x k ∴-<≤+，当()1311,log 122x x f x >=-<-+，()()2ln 21xg x a x x =+++，设21xy x =+，当0,0x y ==，当21110,,01122x x y y x x x >==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立同理当20x -<<时，102y -≤<，211[,]122x y x ∴=∈-+，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，当2x>-时，ln(2)x R +∈，若0,2,()a x g x >→-→-∞，若0,,()a x g x <→+∞→-∞所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+，max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.三、解答题15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()00f =，()()11ff =-；（2）()1,0-【解析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解；（2）由已知只需0x >时，()f x m =有两个解的即可.【详解】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-，()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，只需0x >时，()f x m =有两个解，当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--，所以10m -<<【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.16．某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数()()0C x Af x C B x A x A <≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m '时，缴费19元.（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？【答案】（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元【解析】（1）由已知判断A 的范围，用待定系数法求出,A B ；（2）根据解析式，即可求解.【详解】（1）依题意得(27)(4)(35)(27),4272743527f f f f A --≠∴≤<--，(27)4(27)144,(35)4(35)19f B A C f B A =+-=⎧∴=⎨=+-=⎩，解得5,118B A ==，511,,48A B C ∴===.（2）5(29)4(2911)11.258f =+⨯-=（元），答：某居民若使用329m 水，应该缴水费11.25元.【点睛】本题考查求函数解析式的应用问题，以及求函数值，属于基础题.17．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数.（1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k 的取值范围.【答案】(1)1a =-(2)1m ≥-(3)[1,1]k Î-【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性，求出a 的值即可；（2）求出f （x ）+12log （x ﹣1）=12log （1+x ），根据函数的单调性求出m 的范围即可；（3）问题转化为k=21x -﹣x+1在[2，3]上有解，即g （x ）=21x -﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g （x ）的值域，从而求出k 的范围即可．解析：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，解得1a =-或1a =（舍）.（2）()()()()111122221log 1log log 1log 11x f x x x x x ++-=+-=+-当1x >时，()12log 11x +<-，∵当()1,x ∈+∞时，()()12log 1f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-.（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()11221log log 1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[]2,3上有解，()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减()g x 的值域为[]1,1-，∴[]1,1k ∈-点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。