高三椭圆专题复习讲义理

椭圆专题复习

1. 椭圆定义：

平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点

21F F 、叫椭圆的焦点.

当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;

当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段

题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( ) A ．4a

B ．2(a －c)

C ．2(a+c)

D ．以上答案均有可能

【变式训练】

1.短轴长为5，离心率3

2

=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为

A.3

B.6

C.12

D.24 ( )

2.已知P 为椭圆22

12516

x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则

PM PN +的最小值为 A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 ( )

题型2 求椭圆的标准方程

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【变式训练】

3. 如果方程x 2+ky 2

=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.

4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离

是3，求这个椭圆方程. 考点2 椭圆的几何性质

题型1:求椭圆的离心率（或范围）

[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 【变式训练】

5.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 ( ) A .

45 B .23 C .22 D .2

1 6.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12

2=+n

y m x 的离心率为 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

[例4 ] 已知实数y x ,满足12

42

2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【变式训练】

7.已知点B A ,是椭圆22

221x y m n

+=（0m >，0n >）上两点,且BO AO λ=,则λ=

8.如图，把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的

上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点

则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________ 考点3 椭圆的最值问题

[例5 ]椭圆

19

162

2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________． 【变式训练】

9.椭圆

19

162

2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 10. P 是椭圆122

22=+b y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值

11.已知点P 是椭圆14

22

=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ，O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________． 考点4 椭圆的综合应用

题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP 3=． （1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．

[例7 ]、从椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点P 向x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点1F ,A 为椭圆的右顶

点，B 是椭圆的上顶点,且(0)AB OP λλ=>.

⑴、求该椭圆的离心率. ⑵、若该椭圆满足522

=c

a ，求椭圆方程. 【变式训练】

12.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，

O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是 ( )

A. ()0,0132322>>=+y x y x

B. ()0,0132

32

2>>=-y x y x

C. ()0,0123322>>=-y x y x

D. ()0,012

3322

>>=+y x y x

13. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

22

,

一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |+|PB |的值不变，直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点. （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；

（2）设直线l 的斜率为k ，若∠MBN 为钝角，求k 的取值范围. 基础巩固训练

1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且

901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) A

21

3- B 21

5- C 2

1

5- D 23

2. 设F 1、F 2为椭圆4

2x +y 2

=1的两焦点，P 在椭圆上，当△F 1PF 2面积为1时，21PF PF ⋅的值为( ）

A 0

B 1

C 2

D 3

3.椭圆22

1369

x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ）

A ．20x y -=

B ．2100x y +-=

C ．220x y --=

D ．280x y +-=

4.在ABC △中，

90A ∠=，3tan 4

B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率e = ． 5. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离