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代数式的恒等变形

代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．

两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．

证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．

一．设参数法

如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设

一些参数 ( 也叫辅助未知数 ) ，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．

例 1．已知

x

y z

a b b c c a

，求 x+y+z 的值。

例 2．已知a

b b

c c

a

， a ,b, c 互不相等，a b 2 b c 3 c a

求证： 8a+9b+5c=0．

二．由繁到简和相向趋进

恒等式证明最基本的思路是“由繁到简” (即由等式较繁的一边向另一边推导 )和“相向趋进” (即将等式两边同时转化为同一形式 )．

例 3．已知 x+y+z=xyz ，证明：

x(1-y 2)(1-z2)+y(1-x 2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．

例 4．求证：

a 2

b

c b 2

c a

c 2 a

b

abc a b c

ab bc ca

a 2

b 2

c 2

例 5．已知

2

2

2

，＞，＞，＞，且

1

1

1 1 。

2010 x

2011y

2012 z x 0 y 0 z

0 x

y

z

求证： 2010x

2011y

2012z

2010

2011

2012

三．比较法

比较法利用的是：若 a-b=0，则 a=b(比差法 ) ；

若 a

1 ，则 a b ( 比商法 ) ．

b

例６．已知 a+b+c=0，求证： 2(a 4+b 4+c 4) ＝(a 2 +b 2+c 2) 2．

例７．求证：

a 2 bc

b 2 ca

c 2 ab

a b a c

b c b ac a c b

例８．设 p

a

b ， q b c

， r c

a

，其中 a b ， b c ， c a

a b b c

c a

全不为零．证明： (1+p)(1+q)(1+r)=(1 -p)(1 -q)(1 -r) ．

四．消元法

消去条件等式中与结论无关的字母， 从而得到结论等式的方法叫消元

法。

1 1 1

1 例９．若 a 、b 、c 全不为零，且 a 1, b

c

求证： c 1

b

a

例 10. 已知 y a a 2 ， z a

a 2 ，求证： x a a 2 .

x y

z

五．换元法

有时把代数式中某一部分式子， 用另外的一个字母来替换， 这叫换元法．

例 11 证明：

(y+z -2x) 3+(z+x -2y) 3+(x+y -2z) 3=3(y+z -2x)(z+x -2y)(x+y -2z) ．

例 12 已知

x

1，

a

0，求 +

x

2 2 2

y z b c 2

y 2 z 2 的值。 a b c

x y z

a

b c

六．“1”的代换

等式中的“ 1”经常需要根据条件用字母进行代换。

a b

例 13 若 ab=1，求a 1 b 1

的值例

14 已知 xyzt=1 ，证明：

=1

7．分析法与综合法

根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断

言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．

例 15.若1

1

1

，证明： a 2b2c2 a b c 2.

a b c

例 16设 x，y，z 为互不相等的非零实数，且x1y1z 1 ,

y z x 求证： x2y2z2=1．

例 17 已知 a4+b4+c4+d4 =4abcd，且 a，b，c，d 都是正数，求证：a=b=c=d．反馈练习

1．已知 (c -a) 2 -4(a -b)(b -c)=0 ，求证： 2b=a+c．

2.

3．证明： (x+y+z) 3xyz -(yz+zx+xy)3=xyz(x 3+y3+z3) -(y 3z3+z3x3+x3y3) ．

4、若 abc=1，求a b c的值

ab a 1bc b 1ca c 1

5．求证：