第八章空间解析几何与向量代数(整理解答)

第八章 空间解析几何与向量代数

一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标 8.3 点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； A. )2,4,1(-Q

B. )2,0,1(-Q

C. )0,4,1(-Q

D. )2,4,0(Q

解：在yoz 面上，坐标x 分量必为零，所以选D.

二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积

8.5设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2

,,0321π

θθθ≤

≤），则

=++322212cos cos cos θθθ（ ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3

解：由作图计算可知，222

123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。

8.8 向量)3,1,1(-=a

，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；

A. 0

B. 1

C. 2

D. )2,11,5(---

解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。

8.12 向量}3,0,1{=a

，}2,1,1{-=b ，则=⨯b a ( )；

A. 6

B. 6-

C. }1,1,3{-

D. }1,1,3{--

解：1

33112

i

j k

a b i j k ⨯==+--，所以选C 。

8.16 a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ⋅=( ). (A) sin ab θ (B) sin a b θ (C) cos ab θ

(D) cos a b θ 解：由定义，选D 。

8.21 已知1,a b ==a 与b

的夹角为4

π

，则a b +=( ). (A)

(B) 1 (C) 2 (D) 1解：2

2

2

||||2|||

|cos 5θ+=++⋅=a b a b a b ，所以，+=a b A 。 8.23 设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ).

(A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b

解：因为⊥a b ，所以由向量加法和减法平行四边形法则+=-a b a b ，选C 。 8.27 设,a b 为非零向量，则a b ⋅( )a b ⋅. (A) = (B) ≤ (C) ≥ (D) ≠

解：因为||||cos θ⋅=⋅a b a b ，所以|||||cos |||||θ⋅=⋅⋅≤⋅a b a b a b ，选B 。 8.29 设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2

,,0321π

θθθ≤

≤），

则=++32

2212cos cos cos θθθ ; 解：222

123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。

8.30 设a = i + j +k ，b =2 i +3 j -4k ，则a ·b = 。 解：12131(4)1a b ⋅=⨯+⨯+⨯-=，所以填1。 8.31 设a =2 i +2j +2k ，b =3j -4k ，则a ·b = 。 解：23202(4)2a b ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，所以填-2。

8.32 设向量a

与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，则

=++γβα222cos cos cos ;

解：2

2

2

cos cos cos 1αβγ++=，所以填1。

8.34 设向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，已知,4

,4

π

βπ

α=

=

则

γ=

解：因为向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，,4,4

π

βπ

α=

=

222cos cos cos 1αβγ++=，所以cos 0γ=，2

πγ=

，所以填2

π

γ=

。

8.35 向量32,2,=--=+-a i j k b i j k 则(2)-⋅=a b

解：2624i j k -=-++a ，所以(2)61224(1)6-⋅=-⨯+⨯+⨯-=-a b ，所以填6-。

8.36向量}1,1,1{},2,1,3{-=-=b a

,则=⨯b a ；

解：3

122111

i

j k

a b i j k ⨯=-=---，所以填2i j k --，或填{1,1,2}--。

三、向量的平行、垂直等关系

8.2 设向量{2,1,10}a =--，{4,2,1}b =-，则向量a 与向量b 的关系是( ). (A) 平行 (B) 斜交 (C) 垂直 (D) 不能确定 解：0⋅=a b ，所以选C 。

8.7 设{1,2,3},{2,4,}a b λ=-=，且//a b ，则λ=( )；

(A) 103 (B) 103

- (C) 6- (D) 6 解：因为//a b ，所以123

24λ

-==，所以选C 。

8.10 已知向量}4,1,1{,-=⊥a b a

，}1,,2{-=m b ，则=m ( )；

A. 1

B. 1-

C. 2

D. 2-

解：因为a b ⊥，所以2402a b m m ⋅=--=⇒=-，所以选D 。

四、空间曲面方程与图形

8.1在空间直角坐标系中，方程2

2

2

8x y z ++=表示的曲面是 ( ). (A) 球面 (B) 圆锥面 (C) 椭圆抛物面 (D) 椭球面 解：2

2

2

8x y z ++=为球面，所以选A 。

8.4 在空间直角坐标系中, 方程4

92

2y x z +=表示的曲面是( )； A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面

解：4

92

2y x z +=为椭圆抛物面，所以选A 。 8.6 在空间直角坐标系中，方程2

2

2

=+z x y 表示的曲面是 ( ).

(A) 双曲抛物面 (B) 旋转抛物面 (C) 椭圆抛物面 (D) 圆锥面 解：2

2

2

=+z x y 为圆锥面，所以选D 。

8.9 空间直角坐标系中，方程2

2

2

R y x =+表示的图形是( )；