第三章运输问题

§1 运输问题模型
例4.1:某公司从两个产地A1、 A2将物品运往三个销地B1、B2、B3， 各产地的产量、各销地的销量和 各产地运往各销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运 可使总运输费用最小？
§1 运输问题模型及有关概念
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj 的运输量，得到下列运输量表：
某地区有两个煤矿A1 A2 ，所产的煤要运往三 个城市B1 B2 B3，各产地的产量、销地的销 量以及各产地到各销地的单位运费见下表， 求使总运费最小的运输方案
B1 A1 A2 销量 90 80 100
B2 70 65 150
B3 95 75 180
产量 200 230
（1）西北角法
B1
B2
B3
产量
35 20 5 25 40 10
35 20 5 25 40 10
35 20 5 25 40 10
35 20 5 25 40 10
§2运输问题求解—表上作业法
B1
A1 : Ai : Am
… …
Bj
… …
Bn
xij
ai
a’i
bj b’ j b’ j= b j- x ij
a’ i= a i- x ij
§2 运输问题求解—表上作业法
按照上述方法所产生的一组变量的取值将满足下面 条件：
a．所得的变量均为非负，且变量总数恰好为m+n-1 个；
以非基变量 x22 为起始顶点的闭回路
销地 产地 3 A1 1 A2 7 3 4 [ ] 3 6 6 [ ]
B1
B2
11 [ ] 9 [ ] 3
B3
B4
10 4 3 8 1 [ ] 5 3 6
产量 7 4 9
20(产销平衡)
2 10 [ ] 5
A3
销量
运输费用发生的变化为
9–2+3–10+5–4＝1 [ ]中为 ij
B1 3 B2 5 3 8 B3
ai 9 5 7
最小元素法
伏格尔法
xij Bj Ai
A1 A2 A3 bj
B4 1 5
3
4 4
ai 9 5 7
6
§2 运输问题求解—表上作业法
2、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方案是 不是最优方案。 检查的方法与单纯形方法中的原理相 同，即计算检验数。 由于目标要求极小，因此，当所有的 检验数都大于或等于零时该调运方案就是 最优方案；否则就不是最优，需要进行调 整。 计算检验数一般有两种方法：闭回路法
第三章 运输问题
（一）基本要求：
掌握表上作业法及其在产销平衡问题求解中 的应用 掌握产销不平衡运输问题的求解方法

（二）重点和难点：

表上作业法
§1 运输问题模型及有关概念
1、问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
表4-11 初始基本可行解及检验数 销地 产地
B1
3
[1] 1
B2
11 [2]
9
B3
3
4 2
B4
10
3 8 [-1] 5 3 6 [ ]中为 ij
产量
A1
A2 A3
销量
35 20 5 25 40 10

利用闭回路法计算检验数，对于每一个 空格（非基变量）Fra Baidu biblioteklk
（1）以xlk为起点寻找该变量的闭回路 （2）以xlk为起点，沿任意一个方向对该闭 回路拐角上变量的单位运价（包括xlk ） 依次标“+”和“-” （3）将闭回路上标有正负号的单位运价直 接求代数和即得到非基变量xlk的检验数。
§1运输问题模型及有关概念
表1 运输问题数据表
销地 产地
B1
B2 … Bn
产量
┇
A1 A2
Am
┇
c11 c21
cm1 b1
┇
c12 … c1n c22 … c2n
cm2 b2 bn
┇ ┇ … cmn …
┇
a1 a2
am
销量
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 运输变量表。
表上作业法步骤: (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上 用 西 北 角 法 或 最 小 元 素 法 ， Vogel 法 给 出 m+n-1个数字，称为数字格。它们就是初始基 变量的取值。 。 (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
其中Pik,Plk,Pls,Pus,Puj∈B。而这些向量构成了 闭回路(见图3-2)。
如下是某一运输问题的初始方案，则可得到每个 空格（非基变量）的闭回路。 35 20 5
25 40 10
35 20 5 25 40 10
§1 运输问题模型及有关概念
对于产销平衡问题，可得到下列运输 问题的模型：
m n
Min f =
s.t.
n
i=1 j=1
cij xij
j=1 m
xij = ai xij = bj
i = 1,2,…,m (5) j = 1,2,…,n (6)
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
A1
A2
x11
90
80
x12
x22
70
65
x13
x23
95
75
200
230
x21
销量
100
150
180
（3）伏格尔(Vogel)法
B1 A1 A2
90 80
B2
70 65
B3
95 75
产量 200 230
差额
x11 50 x12 150 x13 x21
50
5 20 5 10
x22
x23 180
销量
§2运输问题求解—表上作业法
以非基变量 x22 为起始顶点的闭 回路调整使总的运输费用发生的变化为 9 – 2 + 3 – 10 + 5 – 4 ＝ 1 即总的运费增加 1 个单位，这就说明 这个调整不能改善目标值。
按上述作法，计算出表的所有非基变量 的检验数，把它们填入相应位置的方括号内， 如图所示。

§2 运输问题求解—表上作业法
1、初始基本可行解的确定
① 在 产 销 平 衡 表 中 任 选 一 个 单 元 填 入 运 输 量 xij， 使 xij= min{ai ，bj}，尽量匹配产销，使一个约束方程得以满足， 填入相应位置； ②调整Ai的拥有量及Bj的需求量，分别减去xij ，得到调整 后的拥有量ai和需求量bj ； ③若ai=0，则划去对应的行（拥有的量全部运走），若 bj=0则划去对应的列（需求的量全部运来），且每次只划 去一行或一列（每次只去掉一个约束）； ④若平衡表中所有的行或列均被划去，则结束。 否则，在剩下的平衡表中选下一个变量填入运输量，转②
§1 运输问题模型及有关概念
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200
+ x22+ x23 = 300 + x21 = 150 + x22 = 150 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
调整量
A1
A2 销量
调整量
x11 100 x12 100 x13
x21 100 0 180 x22 50 x23 150 50 0 180
200
230
100 0
180 0
0
（2）最小费用法
若每次在调整后的供需表中选取 对应单位运费最小的元素，则称 为最小费用法。
B1
B2
70 65
B3
产量
调整量
A1
差额
100 10
150 5
180 20
练习：求初始运输方案（分别用最小费用法和伏格尔法） 产销平衡表
1
1 2 3
销量 3
2
3
4 产量
9 5 7
8
4
6
单位运价表
A1 A2 A3
B1 2 1 3
B2 B3 B4 9 10 7 3 4 2 4 2 5
A1 A2 A3 bj
B1 B2 B3 B4 5 4 3 2 3 4 3 8 4 6
§1 运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路 一般运输问题的提法： A1, A2,…,Am 表示某物资的m个产地； B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai 表示产地 Ai 的产量； bj 表示销地 Bj 的销量； cij 表示把物资为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位 运价。 如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn ， 则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销 不平衡。下面，首先讨论产销平衡问题。
§1 运输问题模型及有关概念
运输问题是一种特殊的线性规划 问题，在求解时依然可以采用单纯形法 的思路。由于运输规划系数矩阵的特殊 性，如果直接使用线性规划单纯形法求 解计算，则无法利用这些有利条件。人 们在分析运输规划系数矩阵特征的基础 上建立了针对运输问题的表上作业法。
§2 运输问题求解—表上作业法
和位势法
（1）闭回路法
在给出调运方案的计算表上，从每一空格出发 找一条闭回路。它是以某空格为起点，用水平 或垂直线向前划，当碰到一数字格时可以转 90°（也可以穿过数字格），继续前进，直到 回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在和可以找到唯一的闭 回路。因(m+n-1)个数字格(基变量)对应的系数 向量是一个基。任一空格(非基变量)对应的系 数向量是这个基的线性组合。如对于某非基变 量的系数列向量Pij, i,j∈N可表示为
§1 运输问题模型及有关概念
表2 运输问题变量表
销地
产地
B1
B2 … Bn
产量
┇
A1 A2 Am
┇
x11 x21 xm1
┇
x12 … x1n x22 … x2n xm2
┇ ┇ … xmn … bn
┇
a1 a2 am
销量
b1
b2
§1 运输问题模型及有关概念
于是得到下列一般运输问题的模型：
m n
Min f =

Pij ei em j ei em k em k el el em s em s eu eu em j (ei em k ) (el em k ) (el em s ) (eu em s ) (eu em j ) Pik Plk Pls Pus Puj
A2 销量
调整量
x11 100 x12
x21
80
90
100 x13
180 100 0
95
200
230
100 0
80 0
x22
150 x 7580 23
100 0
150 0
缺点：为了节省一处的费用，有时造成在其它处 要多花几倍的运费。
（3）伏格尔(Vogel)法
伏格尔法的思想：一产地的产品假如不能按 最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个 差额。差额越大的地方，说明不能按最小运费调运 时，运费增加就越多，因而对差额最大处，就应当 采用最小运费法 B1 B2 B3 产量
n
i=1 j=1
cij xij
（1） （2）
s.t. xij ai i = 1,2,…,m
j=1 i=1
m xij bj
j = 1,2,…,n （3）
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)（4）
在模型（1）—（4）中，式（2）为 m 个产地的 产量约束；式（3）为 n 个销地的销量约束。
b．所有的约束条件均得到满足； c．所得的变量不构成闭回路。 因此所得的解一定是运输问题的基本可行解。 在上面的方法中： xij的选取方法并没有加以限定， 如果采取一定的规则来选取，则会产生不同的方法
（1）西北角法
若每次在调整后的供需表中选 取最左上角的元素，则称为 西北角法（或称左上角方法）
运输问题
x21 x11 x12 x13
§1 运输问题模型及有关概念
系数矩阵 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
§1运输问题模型及有关概念
模型系数矩阵特征 1.共有m+n行，分别表示各 产地和销地；m×n列，分别表示 各变量； 2.每列只有两个 1，其余 为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。