高次方程、分式方程、无理方程的解法

例3（1） 解方程
7 5 x2 x
典 型 例
解： 两边同乘以最简公分母 x(x 2) 题
得 7x 5(x 2)
解得 x 5 经检验， x 5 是原方程的解.
例3（2） 解方程
5x 2 3 x2 x x 1
典 型 例
解：两边同乘以最简公分母 x2 x
题
得 (5x 2)( x 1) 3(x2 x)
85
例2（3） 解方程 (6x 7)2(6x 8)(6x 6) 12 解：原方程即
(6x 7)2 (6x 7 1)(6x 7 1) 72
换元 令 t 6x 7
原方程可化为 t 2 (t 2 1) 72
解得 t 2 9 或 t 2 8 （舍去）
解得 t 3 即 6x 7 3
一化二解三检验
例4 解方程
x2 2 2x2 1
3(2x2 1) x2 2
2
典 型 例
解：令
x2 2 2x2 1
t
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t 2 2t 3 0
解得 t1 3, t2 1
所以
x2 2x
2 2 1
3
或
x2 2x
2 2 1
1
典
即 7x2 1 0 或 x2 3 0
题
解： 换元 令 t x2 5x
则原方程可以化为 t 2 2t 24 0
即 (t 6)(t 4) 0
故 t 6 或 t 4
即 x2 5x 6 或 x2 5x 4
解得：x1 1, x2 6, x3 1, x4 4
典
例2（2）解方程
型
(x 2)(x 1)(x 4)(x 7) 19
识 要
根号内含有未知数的方程叫无理方程. 点
2、无理方程的解法
我们可通过将方程两边平方或者换元 将无理方程转化为有理方程.
3、解无理方程的注意点
在解无理方程后必需检验,这是因为从无理 方程到有理方程的转化有时不是等价的.
典
例6（1）解方程 x 7 x 1
型
例
x 7 (x 1)2 *
解：
所以 4x 5 2x a ，2x 5 a
所以 x 5 a 0 且 5 a 1
2
2
解得 a 5 且 a 7
方
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
法 提
可把分式方程化为整式方程
炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3. 解分式方程时应注意检验
一化二解三检验
三、无理方程的解法
知
1、什么是无理方程
高次方程、分式方程、 无理方程的解法
内容概况
高次方程 因式分解、 换元 一次或二次方程
两边同乘以最简公分母、
分式方程
换元
整式方程
两边平方、换元
无理方程
有理方程
一、高次方程的解法
知
1、什么是高次方程
识 要
整式方程中，未知数的次数大于或等于3 点
的方程称为高次方程
2、高次方程的解法
我们可通过因式分解和换元将一元高次方程 转化为一元一次方程和一元二次方程
化简为 (x 1)2 0
解得 x 1
为什么会产 生增根？
经检验 x 1 是增根，原方程无解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
使最简公分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后的,根所.得所以的我根们是·解整·分式·式方·方程程的时根一,而定不要是·代分·入式·最方·简程 公分母检验
解得 x 2 或 x 5
3
3
解高次方程的思路是：
高次 因式分解、换元 一次或二次方程
方程
解高次方程的一般步骤
1、整理方程，右边化为0. 2、将方程左边因式分解，或者进行换元 3、将方程转化为若干个一次或二次方程 4、写出原方程的根.
方
1.可通过因式分解将高次方程转化为
法 提
炼
一次或二次方程
型 例
题
解得
x1
7 7
, x2
7 7
,
x3
3, x4
3
经检验 以上均为原方程的根.
换元可以使运算变得简便
例5 已知关于 x 的方程
典 型
x 1 x 2 2x a 的解为负数
x 2 x 1 (x 2)( x 1)
例 题
求实数 a 的范围.
解： 左边通分
4x 5 2x a (x 2)( x 1) (x 2)( x 1)
例1（1）解方程 x3 4x2 3x 0
典 型
例
解：因式分解
题
x(x2 4x 3) 0 x(x 1)(x 3) 0
所以 x1 0, x2 1, x3 3
例1（2）解方程 x3 1 0
典 型
例
解： 因式分解
题
x3 1 (x 1)( x2 x 1) 0
因为 x2 x 1 (x 1)2 3 0 24
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
x
7
0
x
1
0
题
为什么会产 生增根？
解得 x 2 （ x 3 为增根 ）
此题也可先解出方程*的根， 再代回原方程检验.
2.可通过换元将高次方程转化为 一次或二次方程
3. n次方程最多有n个实数根
二、分式方程的解法
知
1、什么是分式方程
识 要
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 点
2、分式方程的解法
我们可通过将方程两边同乘以最简公分母 或者换元将分式方程转化为整式方程.
3、解分式方程的注意点
在解分式方程后都必需检验,这是因为从分式 方程到整式方程的转化有时不是等价的.
所以 x 1 0
所以 x 1
例1（3） 解方程
x3 2x2 4x 8 0
典 型
解： 因式分解
例 题
x2 (x 2) 4(x 2) 0
(x2 4)( x 2) 0
(x 2)( x 2)2 0
所以 x1 2, x2 x3 2
典
例2（1）解 方 程
型
例
(x2 5x)2 2(x2 5x) 24 0
例 题
解：原方程即
(x2 5x 14)(x2 5x 4) 19
换元 令 x2 5x 14 t
原方程可化为 t(t 18) 19
解得 t 19 或 t 1
即 x2 5x 14 19 或 x2 5x 14 1
典
解得：
型
例
x1
5
2
5
5 5 x2 2
题
x3
5ห้องสมุดไป่ตู้
2
85
x4
5
2