垂直平分线同步练习题
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-3线段的垂直平分线》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》同步练习题（附答案）1．如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于E、D，且AC＝6，则△ACE的周长为（）A．16B．18C．22D．262．如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10 cm，则AB＝（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定3．如图，在△ABC中，点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，若AB＝8，OB＝5，则△AOB的周长是（）A．13B．15C．18D．214．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点5．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点6．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（）A．60°B．75°C．65°D．70°7．A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（）A．三条中线的交点B．三条垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点8．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为．9．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝．10．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠F AC＝65°，则∠B的度数为．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．若DC＝2，AD＝1，则BE的长为．12．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E，已知AE＝1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是cm．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，连接AD，若BD＝4CD，则S△AED：S△ABC＝．14．三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．16．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）求∠P AQ的度数．（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．（2）求证：BF＝AC．（3）试说明CE＝BF．19．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC 于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，BC边上的垂直平分线DE交BC、AB分别于点D、E，△AEC的周长是13，BC＝6．求∠ACE的度数和△ABC的周长．23．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，BC＝8．求△AEG周长．24．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，（1）直线MN与线段AB的关系是怎样的？为什么？（2）若△ADC的周长为10，AB＝7，求△ABC的周长．25．两两相交的三条公路经过A、B、C三个村庄．（1）要建一个水电站P到三个村庄的距离相等，请通过画图确定点P的位置．（2）要建一个加油站Q，使加油站Q到三条公路的距离相等，这样的加油站Q的位置有处．参考答案1．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝16，故选：A．2．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC＝10，∴∠EAC＝∠C＝15°，∴∠AEB＝30°，∴AB＝AE＝5（cm），故选：B．3．解：连接OC，∵点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，∴OB＝OC，OA＝OC，∴OA＝OB，∵OB＝5，∴OA＝OB＝5，∵AB＝8，∴△AOB的周长是AB+OA+OB＝8+5+5＝18，故选：C．4．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．5．解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．6．解：由尺规作图可知，线段BC的垂直平分线交AB于D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，∵∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，故选：B．7．解：∵线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，∴三个小区到公园距离相等，公园最适当的建造位置是在△ABC三边垂直平分线上，故选：B．8．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，连接BD，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，即（4﹣x）2+32＝x2，解得：x＝，即BD＝，在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，故答案为：．9．解：如图，连接OB，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠A，∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO，∵OE垂直平分BC，∴OC＝OB，∴∠CBO＝∠C，∴∠COB＝180°﹣2∠CBO，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∴∠AOC＝360°﹣（180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠ABO）＝2（∠CBO+∠ABO）＝2∠ABC ＝2×50°＝100°，故答案为：100°．10．解：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，设∠CAD＝∠BAD＝x°，∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD，∴∠FDA＝∠F AD，∵∠F AC＝65°，∴∠F AD＝∠F AC+∠CAD＝65°+x°，∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，∴65°+x°＝∠B+x°，∴∠B＝65°，故答案为：65°．11．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC＝2，∵BD是∠ABC的平分线，∠A＝90°，DE⊥BC，∴DE＝AD＝1，∴BE＝＝，故答案为：．12．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AB＝2AE＝2×1＝2cm；DB＝DA∴△ABC的周长为BA+AC+CD+DB＝BA+（AC+CD+DA）＝2+12＝14cm．△ABC的周长是14cm．故填14．13．解：设CD＝x，则BD＝4x，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，AD＝BD＝4x，∴△AED的面积＝△BED的面积＝S△ADB，∵S△ACD＝＝，S△ADB＝＝，∴S△ACD＝S△ADB，∴S△AED：S△ABC＝（S△ADB）：（S△ADB+S△ADB）＝2：5，故答案为：2：5．14．解：相等，理由是：∵P是线段AB和线段AC的垂直平分线的交点，∴AP＝BP，AP＝CP，∴AP＝BP＝CP，即三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是相等，故答案为：相等．15．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．16．解：（1）设∠P AQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°，∴∠P AQ＝20°；（2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP＝12，∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12，∵BC＝8，∴PQ＝2．17．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．18．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；（2）∵BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；（3）∵BE是AC的垂直平分线，∴CE＝AC，∴CE＝BF．19．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．20．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．21．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm；（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．22．解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC．∴∠B＝∠ECB＝50°．∵在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝70°﹣50°＝20°．∵△AEC的周长为13，∴AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝13．∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝13+6＝19，答：∠ACE为20°，△ABC的周长为19．23．解：∵△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴AE＝BE，AG＝CG，∵BC＝BE+EG+CG＝8，∴AE+EG+AG＝8，则△AEG的周长为8．24．解：（1）MN垂直平分AB．理由：连接AM，AN，BM，BN，根据题意得：AN＝BN，AM＝BM，∴点N在线段AB的垂直平分线上，点M在线段AB的垂直平分线上，∴MN是线段AB的垂直平分线，∴MN垂直平分AB．（2）∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，AB＝7，∴AC+AD+CD＝10，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝AB+AC+CD+BD＝AB+（AC+CD+AD）＝10+7＝17．…25．解：（1）如图，由于“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，分别作AB、BC、CA边的垂直平分线，相交于P，P即为所求．（2）如图，由于“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作∠ABC、∠BCA、∠CAB的平分线相交于P1，∠IAE和∠DCA的平分线相交于P2，∠ECB和∠FBC的平分线相交于P3，∠HAB和∠GBH的平分线相交于P4．故加油站Q的位置有4处．。
湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》同步测试题及答案
湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是()A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.∠BEC∠∠DEC2在锐角∠ABC内有一点P,且满足P A=PB=PC,则点P是∠ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点3如图,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°,则∠BDC=()A.50°B.100°C.120°D.130°4如图,在∠ABC中,DE是边AC的垂直平分线,E为垂足,DE交BC于点D,若AE=6 cm,∠ABC的周长为32 cm,则∠ABD的周长是.【能力巩固】5在∠ABC中,∠A=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点D,则∠DBC的度数是.6如图,在∠ACB中,∠C=90°,DE垂直平分AB,交AB于点E,交BC于点D,∠CAD∶∠DAB=4∶1,BD=10,则∠B=,AD=.【素养拓展】7如图,在∠ABC中,DM,EN分别垂直平分AC,BC,交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.(1)若∠CMN的周长为15 cm,求AB的长.(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.参考答案基础达标作业1.C2.D3.B4.20 cm能力巩固作业5.15°6.15°10素养拓展作业7.解:(1)∶DM、EN分别垂直平分AC和BC∶AM=CM,BN=CN∶∠CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB ∶∠CMN的周长为15 cm∶AB=15 cm.(2)∶∠MFN=70°∶∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°∶∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF∶∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°∶∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°∶AM=CM,BN=CN∶∠A=∠ACM,∠B=∠BCN∶∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°.。
北师版八年级数学下册 1.3《线段的垂直平分线》同步练习(含答案)
《线段的垂直平分线》同步练习一、选择题（1）如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么（ ）（A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD（C ）CD 与AB 互相垂直平分 （D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能二、填空题（1）和线段两个端点距离相等的点的集合是________.（2）在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD______BC （填⊥或//），=BD _____. 如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______. 如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到AD 的距离是______.（3）已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，DE 垂直平分AB ，且交CA 的延长线于D ，则DBC ∠的度数为_______.（4）在等腰三角形ABC 中，cm AC AB 8==，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，若BCD ∆的周长为cm 10，则底边BC 的长为______.（5）如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC 的垂直平分线交AB 于D ，垂足为E .①若︒=∠60A ，则=∠DCB ______，=∠ADC ________.②若︒=∠30B ，5=BD ，则ACD ∆的周长为______.（6）如图，在ABC ∆中，BC AC >，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，BC_____.∆的周长为12，则=AC，BCE8=（7）如图，在ABCABC，DE是AB的垂直平分线，∠65=∆中，ACAB=，︒则=∠CBE_______..（8）如图，在ABC∆中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABD∆的周长为cm=，则ABC∆的周长为_______cm.AC512，cm（9）如图，已知在直角三角形ABC中，︒∠15B，DE垂直平分AB，=C，︒=∠90交BC于E，5BE，则=AC______.=（10）在ABCBAC，AC的垂直平分线交BC于D，交∠120∆中，ACAB=，︒=AC于E，若cm=，则BC的长度为______cm.DE5三．证明题（1）如图，已知：︒C，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，=∠90CE=.=. 求证：DEACAB2（2）如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分DACAD//.∠. 求证：BC（3）如图，已知：AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且CE BE =. 求证：ABC ∆是等腰三角形.（4）如图，已知：在ABC ∆中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：BC AD =.（5）如图，已知：E 是AOB ∠的平分线上的一点，OA EC ⊥，OB ED ⊥，垂足分别是C 、D. 求证：OE 垂直平分CD .（6）如图，已知：在ABC ∆中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（7）如图，已知：AD 是ABC ∆的BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：CAF BAF ∠=∠.（8）如图，已知：在ABC∠的平分线交BC于D，且AB∆中，BACDE⊥，DF⊥，垂足分别是E、F. 求证：AD是EF的垂直平分线.AC（9）如图，已知：BC∠45=DMC，DMAMB，︒CD⊥，︒AB⊥，BC=∠75AM=. 求证：BCAB=.参考答案1．选择题（1）B （2）A2．填空题（1）线段的垂直平分线 （2）⊥，CD ，EC ，2 （3）︒90 （4）cm 2（5）①︒30，︒60 ②15 （6）4 （7）︒15 （8）17 （9）5.2 （10）303．证明题（1）证明：连结AE ，由于︒=∠90C ，AC AB 2=，∴︒=∠30B ，︒=∠60CAB ，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BE AE =，∴︒=∠=∠30B EAB ，∴︒=︒-︒=∠303060CAE ，即AE 是CAB ∠的角平分线，∴DE CE =.（2）证明：∵CD 是AB 的垂直平分线，∴BC AC =，∴B CAB ∠=∠，又∵DAB CAB ∠=∠，∴B DAB ∠=∠，∴BC AD //.（3）证明：∵BC AD CE BE ⊥=,，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AC AB =，∴ABC ∆是等腰三角形.（4）证明：DE 垂直平分AC ，∴CD AD =，∴DCA A ∠=∠，∵A DCA A BDC ∠=∠+∠=∠2，又有A B ∠=∠2，∴BDC B ∠=∠，∴AD CD BC ==.（5）证明：OE 是AOB ∠的平分线，∴DE CE =，∴ODE Rt OCE Rt ∆≅∆，∴OD OC =，∴O 与E 都在CD 的垂直平分线上，∴OE 垂直平分CD .（6）证明：P 是AB 、BC 边上的垂直平分线，∴CP BP BP AP ==,，∴CP AP =，∴P 点在AC 的垂直平分线上.（7）证明：EF 垂直平分AD ，∴DF AF =，∴ADF FAD ∠=∠. ∴DAC ADF ACF ∠+∠=∠BAF BAD FAD ∠=∠+∠=（8）证明：∵AD 是BAC ∠的平分线，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，∴DF DE =，∴易证ADF Rt ADE Rt ∆≅∆，∴AF AE =，∴A 与D 都在EF 的垂直平分线上，∴AD 就是EF 的垂直平分线.（9）证明：︒=︒-︒-︒=∠604575180AMD ，且DM AM =，∴AD AM =. 又∵︒=︒-︒=∠454590MDC ，∴DMC MDC ∠=∠，∴CM CD =，∴AC 为DM 的垂直平分线，∴︒=︒-︒=∠454590ACM ，∴AB BC =.。
北师大版数学八年级下线段的垂直平分线 同步练习含答案
线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（）A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（）A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB第6题图第7题图7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（）A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B．P是BC的垂直平分线与AB的交点C．P是∠ACB的平分线与AB的交点D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为．10．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6 cm，且△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为（）A．13 cm B．19 cmC．10 cm D．16 cm第11题图第12题图12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．第13题图第14题图14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（）A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是（）A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD ．过点P 作直线AB 的垂线6．如图，点E ，F ，G ，Q ，H 在一条直线上，且EF ＝GH ，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）A ．l 是线段EH 的垂直平分线B ．l 是线段EQ 的垂直平分线C ．l 是线段FH 的垂直平分线D ．EH 是l 的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝ ；(2)AE EC ；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于 ．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．A 村 ·B 村 ·C 村·9．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点（）A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．参考答案：第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为(B)A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为30°．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵∠AED＋∠EAB＝90°，∴∠CAB＝∠AED.6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB第6题图第7题图7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是(B)A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点 C ．P 是∠ACB 的平分线与AB 的交点D ．P 是以点B 为圆心，AC 长为半径的弧与边AB 的交点8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：点D 在AB 的垂直平分线上．证明：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠ABD. ∴DA ＝DB.∴点D 在AB 的垂直平分线上．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，边AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C 的度数为20°或70°．10．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA ＝EB ；②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若EA ＝EB ，则直线EP 是线段AB 的垂直平分线；④若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC ＝6 cm ，且△ABD 的周长为13 cm ，则△ABC 的周长为(B)A ．13 cmB ．19 cmC ．10 cmD ．16 cm第11题图 第12题图12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，将AB 边沿AD 折叠，发现B 点的对应点E 正好在AC 的垂直平分线上，则∠C ＝30°．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为76．第13题图 第14题图14．(2020·南京)如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝78°．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 的垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．证明：∵E 是BD 的垂直平分线上的一点， ∴EB ＝ED. ∴∠B ＝∠D. ∵∠ACB ＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC.(2)选择A，证明：由(1)，得AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.∴∠BAF＝∠ADE.∴DE＝AE.选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.证明：由(1)，得AF⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.∴∠BAF＝∠EDA.∴AE＝DE.∵AE＝EB＋AB，AB＝AC，∴DE＝BE＋AC.第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是(D) A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在(A)A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是(D)A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是(A)A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝90°；(2)AE ＝EC ；(填“＝”“＞”或“＜”) (3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于7．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A ，B ，C 三点不在同一直线上． 求作：作一点P ，使PA ＝PB ＝PC. 如图所示，点P 即为所求的点．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点(D) A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是(C)A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，CN＝BN.∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－(2∠A＋2∠B)＝180°－2(180°－∠ACB)＝60°.(2)∵AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15 cm，∴AB＝15 cm.(3)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝70°.又∵∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝40°.【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°.(2)∵△APQ周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即BC＋2PQ＝12.∵BC＝8，∴PQ＝2.21。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
北师大版八下数学《线段的垂直平分线》同步练习2(含答案)
1.3线段的垂直平分线一、判断题1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点2.以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题1.如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA________PB________PC.2.如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_____∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=_______度，∠1+∠4=_______度，∠5+∠6=__________度，∠BOC=__________度.3.如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD________DC，点D 在__________的垂直平分线上4.如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B________∠1，∠C________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=________度.5.如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△_ ≌△____ (HL)；从而BD=DC，则△________≌△________(SAS)；△ABC是_______三角形.6.如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=__________度.三、作图题（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.参考答案一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= =2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD CAD 等腰6.60°三、1.略（2）内部斜边的中点外部四、类比联想：略。
青岛版八年级数学上册《2.4 线段的垂直平分线》同步练习题(附答案)
青岛版八年级数学上册《2.4 线段的垂直平分线》同步练习题（附答案）一、选择题1.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误．．的是( )A.①B.②C.③D.④2.如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F则图中全等三角形的对数是( )A.1对B.2对C.3对D.4对3.在元旦联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是△ABC的（）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点4.如图，已知点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC.取AB中点C，连接PCD.过点P作PC⊥AB，垂足为C5.如图，已知在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为( )A.31cmB.41cmC.51cmD.61cm6.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E.若AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为( )A.16 cmB.19 cmC.22 cmD.25 cm7.已知：在△ABC中，AB＝AC，求作：△ABC的内心O.以下是甲、乙两同学的作法：甲：如图1①作AB的垂直平分线DE；②作BC的垂直平分线FG；③DE，FG交于点O，则点O即为所求.乙：如图2①作∠ABC的平分线BD；②作BC的垂直平分线EF；③BD，EF交于点O，则点O即为所求.对于两人的作法，正确的是( )A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对8.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，适当长度(大于BC长的一半)为半径作圆弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AB＝9，AC＝4，则△ACD的周长是( )A.12B.13C.17D.1810.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是( )A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BAD＝BC·AH D.AB＝ADC.S△ABC二、填空题11.如图，AB垂直平分CD，AD＝4，BC＝2，则四边形ACBD的周长是.12.如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC＋BC＝ cm.13.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE周长为14，BC＝6，则AB长为 .14.小军做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 .15.如图，在△ABC中，∠C＝35°，AB＝AD，DE是AC的垂直平分线，则∠BAD＝度.16.如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A＝70°，则∠PBC 的度数是______度.三、作图题17.如图，在△ABC中，∠A>∠B.(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．四、解答题18.如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD＝CE，BD与CE相交于点O，连接AO.求证：AO垂直平分BC.19.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.20.在△ABC中，AB＞BC，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E.(1)若∠ABE＝38°，求∠EBC的度数；(2)若△ABC的周长为36cm，一边为13cm，求△BCE的周长.21.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.求证：∠B＝∠CAF.22.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M.(1)若∠B＝70°，则∠NMA的度数是________.(2)连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.答案1.C．2.D.3.D4.B5.C.6.B7.D8.B.9.B.10.A11.答案为：12.12.答案为：7.13.答案为：8.14.答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上.15.答案为：40.16.答案为：2017.解：(1)如解图，DE是边AB的垂直平分线；作法提示：①分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，在线段AB两侧交于点M、N；②作直线MN，分别交AB、BC于点D、E. DE即为边AB的垂直平分线；(2)如解图，连接AE∵DE是AB的垂直平分线∴AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝50°.∵∠AEC 是△ABE 的外角∴∠AEC ＝∠BAE ＋∠B ＝100°.18.证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB∴∠BEC ＝∠BDC ＝90°在Rt △BEC 和Rt △CDB 中∴Rt △BEC ≌Rt △CDB (HL)∴∠ABC ＝∠ACB ，∠ECB ＝∠DBC∴AB ＝AC ，BO ＝OC∴点A 、O 在BC 的垂直平分线上∴AO 垂直平分BC.19.解：(1)∵∠BAC ＝50°，AD 平分∠BAC∴∠EAD ＝12∠BAC ＝25°∵DE ⊥AB∴∠AED ＝90°∴∠EDA ＝90°﹣25°＝65°.(2)证明：∵DE ⊥AB∴∠AED ＝90°＝∠ACB又∵AD 平分∠BAC∴∠DAE ＝∠DAC∵AD ＝AD∴△AED ≌△ACD∴AE ＝AC∵AD 平分∠BAC∴AD ⊥CE即直线AD 是线段CE 的垂直平分线.20.解：∵DE 是AB 的垂直平分线∴AE ＝BE∴∠A＝∠ABE＝38°∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C＝71°∴∠EBC＝∠ABC-∠ABE＝71°-38°＝33°由△ABC的周长为36cmAB＞BC，AB＝AC可知AB＝AC＝13cm BC＝10cm△BCE的周长＝BE＋CE＋BC＝AC＋BC＝13＋10＝23(cm) 21.证明：∵EF垂直平分AD∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠DAF＝∠CAF＋∠CAD又∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∴∠B＝∠CAF.22.解：(1)50°(2)猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°.理由：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∴∠A＝180°﹣2∠B又∵MN垂直平分AB∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣(180°﹣2∠B)＝2∠B﹣90°. 如图：①∵MN垂直平分AB.∴MB＝MA又∵△MBC的周长是14cm∴AC＋BC＝14cm∴BC＝6cm.②当点P与点M重合时，PB＋CP的值最小，最小值是8cm.第11 页共11 页。
专题04 线段的垂直平分线(七大题型+跟踪训练)(解析版)
专题04线段的垂直平分线（七大题型+跟踪训练）A．13A ．31︒B ．62︒【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【解析】解：∵在ABC 中，∠∴,BD DC BE CE ==，在DBE 和DCE △中，BD CD BE CE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()DBE DCE SSS ≌，∴31DBE C ∠=∠=︒，∴223162ABC DBE ∠=∠=⨯︒=︒，∴180180316287A C ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．4．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ．若10cm AC =，7cm BD =，求CD 的长．【答案】3cm【分析】根据垂直平分线的性质得到BD AD =，再做差即可．【解析】DE 垂直平分线AB ，AD BD ∴=，CD AC AD AC BD ∴=-=-，又10cm AC = ，7cm BD =，1073cm CD ∴=-=．【点睛】本题考查利用垂直平分线性质进行边长计算，须注意线段位置，正确的计算是解题的关键．5．如图，ABC 中，=AB AC ，=50A ∠︒，AB 的垂直平分线DE 分别交AC 、AB 于点D 、E ．求CBD ∠的度数．【答案】15︒【分析】根据等腰三角形的性质求出==65ABC C ∠∠︒，根据线段垂直平分线的性质得到AD BD =，得到答案．【解析】解： =AB AC ，=50A ∠︒，∴==65ABC C ∠∠︒，DE 垂直平分AB ，∴AD BD =，∴==50ABD A ∠∠︒，∴==6550=15CBD ABC ABD ∠∠-∠︒-︒︒【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．题型2：线段垂直平分线的性质的应用6．如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边高线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．∠A ，∠B 两内角平分线的交点处【答案】C 【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A 小区、C 小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AC 的垂直平分线上，同理到B 小区、C 小区的距离相等的点在线段BC 的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．【解析】解：A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处．故选：C ．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．7．如图，DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，如果BC ＝8cm ，AB ＝10cm ，则△EBC 的周长为（）A ．16cmB ．18cmC ．26cmD ．28cm【答案】B 【分析】由DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，可得AE =CE ，继而可得△EBC 的周长=BC +AB ．【解析】解：∵DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，∴AE =CE ，∵BC =8cm ，AB =10cm ，∴△EBC 的周长为：BC +BE +CE =BC +BE +AE =BC +AB =8+10=18（cm ）．故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．8．如图，在ABC 中，PM 、QN 分别是线段AB 、AC 的垂直平分线，若100BC =，则APQ △的周长是（）A ．120B ．50C ．100D ．90【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质得PA PB =，QA QC =，等量代换即可求解．【解析】解：∵PM 、QN 分别是线段AB 、AC 的垂直平分线，∴PA PB =，QA QC =，∴APQ △的周长100PQ QA PA PQ QC PB BC =++=++==．故选C ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．9．如图，DE 为ABC 中AC 边的中垂线，8,10BC AB ==，则EBC 的周长是（）A ．16B ．【答案】B 【分析】利用线垂直平分线的性质得【解析】∵DE 是ABC ∆中∴10AE BE CE BE +=+=∴EBC ∆的周长BE CE =+故选：B ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．题型3：线段垂直平分线—尺规作图10．如图，在ABC 中，分别以点MN ，交BC 于点D ，交AB 的长等于（）A ．3B ．∴△ACD 的周长=CD +AD +AC =4+10=14，故选：D ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．12．小明在纸上画出线段AB 及它的中点O ，再过点O 画出与AB 垂直的直线CD ，沿直线CD 将纸对折．发现OA 与OB 重合，则直线CD 称为线段AB 的__________．【答案】垂直平分线/中垂线【分析】根据线段垂直平分线的定义，即可得到直线CD 称为线段AB 的垂直平分线．【解析】解：∵沿直线CD 将纸对折．发现OA 与OB 重合∴OA OB=∵点O 画出与AB 垂直的直线CD∴AB CD⊥∴直线CD 称为线段AB 的垂直平分线故答案为：垂直平分线【点睛】本题考查了线段垂直平分线定义，理解线段垂直平分线的定义是解题的关键．题型4：线段垂直平分线的判定13．在ABC 中，AB AC =，OB OC =，点A 到BC 的距离是6，O 到BC 的距离是4，则AO 等于__________．【答案】2或10【分析】根据AB AC OB OC ==，可判断点A O 、都在BC 的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点O 在ABC 的内部时，②当点O 在ABC 的外部时，分别计算AO 即可．【解析】解：∵AB AC OB OC ==，，∴点A O 、都在BC 的垂直平分线上，由题意知，分两种情况：①当点O 在ABC 的内部时，642AO =-=；②当点O 在ABC 的外部时，6410AO =+=；故答案为：2或10．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论．14．如图，在ABC 中，BD AC ⊥，垂足为D ，PQ 是BC 边的垂直平分线，交BC 于点Q ，交AC 于点P ，AD PD =．若ABC 的周长是28cm ，6cm CQ =，则+AB AD 的长是_______．【答案】8cm /8厘米【分析】先根据垂直平分线的性质得到AB PB =，CP PB =，212cm BC CQ ==，再求出=16cm AB AC +，=16cm AB AP BP ++，即可求出=8cm AB AD +．【解析】解：∵BD AC ⊥，AD PD =，∴BD 是线段AP 的垂直平分线，∴AB PB =，∵PQ 是BC 边的垂直平分线，∴CP PB =，212cm BC CQ ==，∴=AB PB PC =，∵ABC 的周长是28cm ，∴28cm AB AC BC ++=，∴=2812=16cm AB AC +-，即==16cm AB AP PC AB AP BP ++++，∵AB PB =，AD PD =，∴=8cm AB AD +．故答案为：8cm【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键．15．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ．A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB【答案】A 【分析】由AC ＝AD ，BC ＝BD ，可得点A 在CD 的垂直平分线上，点B 在CD 的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB 是CD 的垂直平分线．【解析】解：∵AC ＝AD ，BC ＝BD ，∴点A 在CD 的垂直平分线上，点B 在CD 的垂直平分线上，∴AB 是CD 的垂直平分线．即AB 垂直平分CD ．故选：A【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键．17．已知：如图，AB AC =，DB DC =，点E 在AD 上．求证：EB EC =．【答案】见解析【分析】先根据线段垂直平分线的判定定理说明AE 是线段BC 的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质定理得出答案．【解析】证明：如图，连接BC ，∵AB AC =，∴点A 是线段BC 垂直平分线上的点．∵DB DC =，∴点D 是线段BC 垂直平分线上的点，∴AE 是线段BC 垂直平分线，∴EB EC =．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，灵活的应用定理是解题的关键．18．如图，如图，AD 为三角形ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交AD 于点O ．(1)若BE DE =，60BAC ∠=︒，求CDF ∠的度数；(2)写出AD 与EF 的关系，并说明理由．【答案】(1)15︒(2)AD EF ⊥．理由如下【分析】（1）根据三角形内角和可得,C ∠再利用内角和即可得出CDF ∠；（2）证得点A 、D 在线段EF 的垂直平分线上．【解析】（1）解：∵DE AB⊥90BED ∴∠=︒∵BE DE=45B ∴∠=︒∵60BAC ∠=︒180456075C ∴∠=︒-︒-︒=︒∵DF AC⊥90DFC ∴∠=︒∴15CDF ∠=︒（2）解：AD EF ⊥．理由如下：AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF ∴=．D ∴在线段EF 的垂直平分线上．DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90AED AFD ∴∠=∠=︒，在Rt ADE 和Rt ADF 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL ADE ADF ∴ ≌．AE AF ∴=．又EAD FAD ∠=∠ ，AO AO =，AEO AFO ∴ ≌，EO FO ∴=，90AOE AOF ∠=∠=︒，AD ∴是线段EF 的垂直平分线．EF AD ∴⊥．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，角平分线的性质．找到Rt AED 和Rt ADF ，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．题型6：轴对称中的光线反射问题19．如图，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】B【分析】利用轴对称变换的性质判断即可．【解析】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，故选：B．【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．如图，两平面镜α、β的夹角θ∠，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB ∠等于（）平行于α，则θA．30︒B．45︒C．60︒D．90︒【答案】C【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解．【解析】如图，由题意得，∠1=∠θ=∠3，由镜面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠θ=∠4，∴∠θ=60°，故选C．【点睛】本题考查了镜面对称问题，需注意利用反射的性质、平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解是正确解答本题的关键．21．光线以如图所示的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I ，Ⅱ之间来回反射．若50α∠=︒，60β∠=︒，则γ∠等于()A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B 【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是180︒求解．【解析】解：如图：由反射规律可知：1α∠=∠，3γ∠=∠，21802β∠=︒-∠，又∵123180∠+∠+∠=︒∴1802180βαγ︒-∠+∠+∠=︒，2βαγ∴∠=∠+∠即26050γ⨯︒=︒+∠1205070γ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的180︒的关系的使用．题型7：线段的垂直平分线的性质与判定的综合解答题22．如图，在ABC ∆中，111ACB ∠=︒，AC 边上的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 边于点E ，连接CD ．(1)若15AB =，8BC =，求BCD ∆的周长；(2)若AD BC =，试求A ∠的度数．【答案】(1)23(2)23°【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得CD AD =，根据三角形的周长公式，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，可得CD AD =，根据等腰三角形的性质，可得B ∠与CDB ∠的关系，根据三角形外角的性质，可得CDB ∠与A ∠的关系，根据三角形内角和定理，可得答案．【解析】（1）解：DE 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=．BCD C BC BD CD BC BD AD BC AB ∆=++=++=+ ，又15AB = ，8BC =，23BCD C ∆∴=；（2）解：AD CD= A ACD ∴∠=∠，设A x ∠=，AD CB = ，CD CB ∴=，CDB CBD ∴∠=∠．CDB ∠ 是ACD ∆的外角，2CDB A ACD x ∴∠=∠+∠=，A ∠、B ∠、ACB ∠是三角形的内角，180A B ACB ∠+∠+∠=︒ ，2111180x x ∴++︒=︒，解得23x =︒23A ∴∠=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，（1）利用线段垂直平分线的性质得出DC 与AD 的关系，把三角形的周长转化成AB BC +是解题关键，（2）利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质得出B ∠与A∠的关系是解题关键．23．如图，在ABC 中，DE 垂直平分线段BC ，ACD 的周长为18，且4AB AC -=，求AB 、AC 的长各为多少？【答案】11AB =；7AC =【分析】利用中垂线的性质得到ACD 的周长AC AB =+，再结合4AB AC -=，即可得解．【解析】解：∵DE 垂直平分线段BC ，∴DB DC =，又∵ACD 的周长为18，∴18AD DC CA ++=，∴18AD DB CA ++=，即：18AB AC +=，又∵4AB AC -=，∴4AB AC =+，∴418AC AC ++=，∴7AC =，∴7411=+=AB ．【点睛】本题考查中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．24．如图在ABC 中，12AB AC ==，15BC =，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ．(1)求ABD △的周长；(2)若35B ∠=︒，求BAD ∠的度数．【答案】(1)27；(2)75BAD ∠=︒．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到△ABD 的周长=AB +BC ；（2）根据等腰三角形的性质得到35C B CAD ∠=∠=∠=︒，根据三角形外角的性质求出ADB ∠，然后由三角形内角和定理求得BAD ∠的度数．【解析】（1）解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD CD =，∵12AB AC ==，15BC =，∴ABD △的周长是：121527AB BD AD AB BD CD AB BC ++=++=+=+=；（2）解：如图，∵35AB AC B =∠=︒，，∴35B C ∠=∠=︒，又∵AD CD =，∴35DAC C ∠=∠=︒，∴353570ADB DAC C ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴180180357075BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ．(1)若∠B =65°，则∠NMA 的度数是______；(2)连接MB ，若AB =6cm ，△MBC 的周长是10cm.①求BC 的长；②在直线MN 上是否存在点D ，使由B 、C 、D 三点构成的△DBC 的周长值最小？若存在，标出点D 的位置并求△DBC 的周长最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1)40°(2)①BC 的长为4cm ；②存在，标出点D 的位置见解析，△DBC 的周长最小值为10cm【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A 的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之间线段最短，可得D点与M点的关系，可得DB＋DC与AC的关系．（1）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°−2∠B，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA＝90°−∠A＝90°−（180°−2∠B）＝2∠B−90°＝40°，故答案为：40°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB，∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是10cm，∴AC＋BC＝10cm，∴BC＝4cm.②当点D与点M重合时，△DBC的周长最小，最小值是10cm.【点睛】本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DB＝DA．一、单选题AC ，则BC的长为（）1．如图所示，线段AB的垂直平分线CD与AB相交于点D，已知3A．4B．3C．2D．1．．．．3．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长是（）．A ．13cmB ．16cmC ．19cmD ．22cm【答案】C 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD =CD ，AC =2AE ，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解析】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，AC =2AE =6cm ，又∵△ABD 的周长=AB +BD +AD =13cm ，∴AB +BD +CD =13cm ，即AB +BC =13cm ，∴△ABC 的周长=AB +BC +AC =13+6=19cm ．故选C ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键．4．如图所示，直线l 是一条河的河岸，P ，Q 是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M 处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P 关于直线l 的对称点P '，连接Q P '交直线l 于点M ，作图即可.【解析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P 关于直线l 的对称点P '，连接Q P '交直线l 于点M ，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，故选：B ．【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法.5．如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为点E ，下列结论不一定成立的是（）A ．AB AD=B ．BCE DCE ∠=∠C ．BEC DEC △≌△D ．AB BD=【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AB ＝AD ，BC ＝BD ，再对各选项进行逐一分析即可．【解析】解：∵AC 垂直平分BD ，∴,,AB AD BC CD BE DE ===，故A 正确，该选项不符合题意；在BEC 和DEC 中，,,,BC DC CE CE BE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()BEC DEC SSS ≌，故C 正确，该选项不符合题意，；∴BCE DCE ∠=∠，故B 正确，该选项不符合题意；；AB 不一定等于BD ，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．6．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）．A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处C ．在AC 、BC 两边中线的交点处D ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知超市应建在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处，故选：B ．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键．7．如图，AD BE ⊥，BD DE =，点E 在线段AC 的垂直平分线上，若6cm AB =，3cm BD =，则DC 的长为（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到6AE AB ==，EA EC =，结合图形计算，得到答案．【解析】解：AD BE ⊥ ，BD DE =，6AE AB ∴==，点E 在线段AC 的垂直平分线上，EA EC ∴=，9()DC DE EC AB BD cm ∴=+=+=，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．A．只有①此时BE +EF 最小．∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝∠B ′AD ＝25°，∵BB ′⊥AD ，∴∠AGB ＝∠AGB ′＝90°，在△ABG 和△AB ′G 中，BAG B AG AG AG AGB AGB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'，∴△ABG ≌△AB ′G （ASA ），∴BG ＝B ′G ，AB ＝AB ′，∴AD 垂直平分BB ′，∴BE ＝BE ′，在△ABE ′和△AB ′E ′中，BE BE AE AE AB AB ''''⎧⎪=⎨⎪=⎩＝，∴△ABE ′≌△AB ′E ′（SSS ），∴∠AE ′B ＝AE ′B ′，∵AE ′B ′＝∠BAD +AF ′E ′＝25°+90°=115°，∴∠AE ′B ＝115°．即当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为115°．故选B ．【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE +EF 取最小值时点E 的位置．二、填空题【答案】6【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线短两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【解析】解：∵DE 垂直平分∴4DB DA ==，又∵3BC CD =，∴334622BC BD ==⨯=，故答案为：6．12．如图，在ABC 中，【答案】22【分析】先根据垂直平分线的性质可得长等于+AB AC 即可解答．本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．【解析】解：∵DE 垂直平分∴BD DC =，∴ABD △的周长等于AB BD +故答案为：22．【答案】8【分析】先作辅助线HD HB=外角的性质及等腰三角形的性质和判定，可以得到【解析】解：如图，在线段BC则1==，HD HB，AH BC⊥∴垂直平分BD，AH∴==，ABC ADB6AB ADÐ=Ð，∠=∠ABC ACB2ADB ACB∴∠=∠，2，∠=∠+∠ADB CAD ACDCAD ACD ACD∴∠+∠=∠，2∴∠=∠，CAD ACDAD CD∴==，6∴=++=++BC HB HD CD11故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，作出【答案】5【分析】由三角形的周长求出出AB CE =，由此求出AB 【解析】解：∵ABC 周长为∴16610cm AB BC +=-=，∵AD BC BD DE ⊥=，，∴AD 是BE 的垂直平分线，∴AB AE=∵EF 垂直平分AC ，∴AE CE=∴AB CE=【答案】6【答案】5 4【分析】连接BD交AC于点O，作可得出四边形ABCD的面积，然后求出即可得出答案．【解析】连接BD交AC于点O，过点∵2AB AD ==，CB CD ==∴点A ，C 在BD 的垂直平分线上，即∵90DAB ∠=︒，∴222BD AB AD =+=，ABD S ∴1AO DO BO ===，∴222CO BC OB =-=，∴11222BCD S BD OC =⋅=⨯⨯ ∴四边形ABCD 的面积123+=．∵122BCD S BC DM =⋅= ，∴4455DM BC ==，∴22164BM BD DM =-=-∵线段DE 平分四边形ABCD 的面积，∴32CDE S =△，12BDE S = ，【答案】24EF <<【分析】延长ED 到M ，使DM ED =，连接,FM CM ，利用SAS 证明BED CMD ≌ ，得到6BE CM ==，再根据三线合一的逆定理得出EF FM =，最后根据三角形三边关系即可得解．【解析】解：延长ED 到M ，使DM ED =，连接,FM CM ，∵D 为BC 中点，∴BD CD =，在BED 和CMD △中，ED DM BDE CDM BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BED CMD ≌ ，∴1BE CM ==，DM ED =，∵DE DF ⊥，∴90FDE FDM ∠=∠=︒，又∵DM ED =，∴FE FM =，在CFM △中，1,3CM CF ==，∴CF CM FM CM CF -<<+，即24FM <<，∴24EF <<，故答案为：24EF <<．【答案】①④⑤【分析】由BD 是角平分线及BAF BFA ∠=∠，由AE FE =计算出45CDF ∠=︒，则可判定②错误；可判定①正确；由CG AB ∥AN 、AM ，过A 作AH BC ⊥合时，AM 最小，且最小值为故答案为：①④⑤．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，注意灵活运用这些知识．三、解答题19．如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【解析】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．20．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF【答案】见解析【分析】由角平分线的性质可知ED FD =，再利用三角形全等证明AE AF =，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论.【解析】解：∵AD 是ADC ∆中A ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC⊥∴BAD CAD ∠=∠，ED FD=∵90AED AFD ∠=∠= ，AD AD =，ED FD=∴AED AFD∆≅∆AE AF∴=∴点A 、D 都在EF 的垂直平分线上∴AD EF⊥【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键.21．如图，已知AB AC =，DB DC =，P 是AD 上一点.求证：ABP ACP ∠=∠.【答案】证明见解析.【分析】连接BC ，根据线段垂直平分线性质得出AD 是线段BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出PB=PC ，再利用SSS 证明△ABP 与△ACP 全等，进而得出．【解析】证明：连接BCAB AC= ∴点A 在BC 的垂直平分线上，同理，点D 也在BC 的垂直平分线上，∵两点确定一条直线，∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线，P 是AD 上一点，PB PC∴=又AB AC = ，AP AP =，ABP ACP∴∆≅∆ABP ACP ∴∠=∠.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．22．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE AE ⊥，延长AE 交BC 的延长线于点F ．(1)请判断FC 与AD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB ＝6，AD ＝2，求BC 的长度．【答案】(1)FC =AD ，理由见解析(2)4【分析】（1）根据AD ∥BC 可知∠ADC =∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB =BF ，据此求解即可．【解析】（1）解：FC =AD ，理由如下：∵AD ∥BC （已知），∴∠ADC =∠ECF （两直线平行，内错角相等），∵E 是CD 的中点（已知），∴DE =EC （中点的定义）．在△ADE 与△FCE 中，ADC ECF DE EC AED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴FC =AD （全等三角形的性质）；（2）解：∵△ADE ≌△FCE ，∴AE =EF ，AD =CF （全等三角形的对应边相等），∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB =BF =BC +CF ，∴AB =BC +AD ，∵AB =6，AD =2，∴BC =4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．23．如图，ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒．(1)尺规作图：在线段BC 上找一点D ，使得DB DA =；（保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：如图所示，连接∵AB AC =，120BAC ∠=︒，∴1801802BAC B C ︒-∠∠=∠==∵DE 垂直平分AB ，∴DB DA =，∴30DAB B ∠=∠=︒，∴120CAD BAC DAB ∠=∠-∠=∴2CD AD =，∴2CD BD =．24．如图，AB AC ⊥，AD AE ⊥(1)求证：AM AN =；(2)连接EC ，AO ，求证：AO 垂直平分EC ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证得△≌△Rt ABC Rt ADE ，可得B D ∠=∠．再由AB AC ⊥，AD AE ⊥，．可证得ABM ADN △≌△，即可求证；（2）由（1）可知，AC AE =，ACB AED ∠=∠．可得BCE DEC ∠=∠，从而得到OE OC =，进而得到点O 在EC 的垂直平分线上．再由AE AC =，点A 也在EC 的垂直平分线上，即可求证．【解析】（1）证明：在Rt ABC 和Rt ADE △中，∵AB AD =，BC DE =，∴()Rt ABC Rt ADE HL ≌△△，∴B D ∠=∠．∵AB AC ⊥，AD AE ⊥，∴90BAM EAC DAN ∠=︒-∠=∠，∵AB AD =，∴()ABM ADN ASA ≌△△，∴AM AN =；（2）证明∶如图，由（1）可知，AC AE =，ACB AED ∠=∠．∴ACE AEC ∠=∠，∴ACE ACB AEC AED ∠-∠=∠-∠，即BCE DEC ∠=∠，∴OE OC =，∴点O 在EC 的垂直平分线上．又∵AE AC =，∴点A 也在EC 的垂直平分线上，∴AO 垂直平分EC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．25．如图，等腰直角ABC 中，90CAB ∠=︒，AC AB =，点E 为BC 上一点，BD AE ⊥于点M ，交AC 于点D ，AH CB ⊥于点H ，交BD 于点G ，连接DE ，MH ．(1)若BE BA =，求证：BD 垂直平分AE ；(2)若点E 在线段CH 上运动．①请判断CE 与AG 的数量关系，并说明理由；②求证：MH 平分EMB ∠．∴C BAG ∠=∠，在ACE △和BAG △中，EAD ABG AC BA C BAG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ACE BAG ≌，∴CE AG =；②作HN HM ⊥交BD 于点N ，∴90AHB MHN ∠=∠=︒，∴45∠=∠，∵790AGM ∠+∠=︒，690BGH ∠+∠=︒，且AGM BGH ∠=∠，∴67∠=∠，∵等腰直角ABC 中，AC AB =，AH CB ⊥，∴BH AH =，在AMH 和BNH 中，6754BH AH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AMH BNH ≌，∴HM HN =，即MHN 是等腰直角三角形，∴45HMN ∠=︒，∵90BME ∠=︒∴MH 平分EMB ∠．26．如图，平面直角坐标系中，直线:AB y x b =-+交y 轴于点()0,4A ，交x 轴于点B ．(1)求直线AB 的表达式和点B 的坐标；(2)直线l 垂直平分OB 交AB 于点D ，交x 轴于点E ，点P 是直线上一动点，且在点D 的上方，设点P 的纵坐标为n ，①用含n 的代数式表示ABP 的面积，并求当8ABP S = 时，点P 的坐标；②在①的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q ，使得ABQ 与ABP 面积相等？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线AB 的表达式为4y x =-+，点B 的坐标为()4,0；(2)①24n -，点()2,6P ；②存在一点Q ，使得ABQ 与ABP 面积相等，且点Q 的坐标为()0,0或()8,0或()0,8．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）①由OB 的长度结合直线l 的垂直平分OB ，可求出OE ，BE 的长度，利用一次函数解析式求出点D 坐标，进而用含n 的式子表示点P 坐标，再利用面积公式即可求解；②分点Q 在x 轴和y 轴两种情况考虑，利用三角形面积即可求出点Q 坐标；本题考查了一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质等，熟练掌握一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质及其应用是解题的关键．【解析】（1）∵直线AB ：y x b =-+交y 轴于点()0,4A ，∴4b =，∴直线AB 的表达式为4y x =-+，当0y =时，4x =，∴点B 的坐标为()4,0，(1)如图1，当点D 是BC 的中点时，求证：BD CE =；(2)如图2，当点D 在线段BC 上移动时，过点D 作DF 终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由．(3)若等边ABC 的边长为4，当BD a =时，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)全等，证明见解析(3)4AE a=+【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识：（1）由D 是等边三角形BC 边的中点可得BD CD =，再证明论；（2）由DF AC ∥可得60,BFD BAC BDF ∠=∠=︒∠=∠60,B BFD BDF ∠=∠=∠=︒,BD DF BF ==得出AF DC =知,AFD DCE ∠=∠再证明FAD CDE ∠=∠，进而再利用（3）由（2）知 ≌AFD DCE 得CE FD =，由DF BD =【解析】（1）证明：∵D 是等边三角形BC 边的中点，∴BD CD =，∵ABC 是等边三角形，∴603030,CDE BCA CED ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴,CDE CED ∠=∠∴,CD CE =∵,BD CD =∴BD CE =；（2）全等，证明如下：∵ABC 是等边三角形，∴60,BAC BCA B ∠=∠=∠=︒,AB BC AC ==∵DF AC ∥，∴60,60,BFD BAC BDF BCA ∠=∠=︒∠=∠=︒∴60,B BFD BDF ∠=∠=∠=︒∴,BD DF BF ==120,AFD ∠=︒∴,AF DC =∵60ACB ∠=︒，∴120,DCE ∠=︒∴120,AFD DCE ∠=∠=︒∵,AH HE =且,DH AE ⊥∴,AD DE =∴,DAE DEA ∠=∠又60,60,CDE CED FAD CAD ∠+∠=︒∠+∠=︒∵,CED CAD ∠=∠∴,FAD CDE ∠=∠在AFD △和DCE △中，AF DC AFD DCE FAD CDE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AFD DCE ≌；（3）解：由（2）知，,DF BD a ==且 ≌AFD DCE ，CE DF a ==，∴4AE AC CE a =+=+．。
八年级数学下册《线段的垂直平分线》同步练习1(含答案)
1.3 线段的垂直平分线一、判断题1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图（3），PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线（1）（2）（3）二、填空题1.如右图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN 上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2.如左下图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD 的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=_____cm；AB+BD+DC=________cm；△ABC的周长是______cm.3.如右上图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=_______，∠AEC=________，AC=________ .4.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.5.如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.6.如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B 的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB______PM.7.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________上.（1）（2）（3）8.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是_____的垂直平分线.三、选择题1.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个（）①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如左下图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对3.如右上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm4.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形四、解答题如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.参考答案一、1.× 2. × 3.× 4.√ 二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.5 30° 2154.线段AB 的垂直平分线5.66.= ＞7.线段AB 的垂直平分线 8.线段BC三、1.D 2.B 3.D 4.C四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F ∴∠PEO=90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO ∴△PEO ≌△PFO ，∴PE=PF ，EO=FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上， ∴OP 垂直平分EF.。
湘教版八年级数学上《2.4线段的垂直平分线》同步练习(含答案)
2.4线段的垂直平分线同步检测一、选择题1.如图，△ABC，AB=AC，AD为△ABC的角平分线，过AB的中点E作AB的垂线交AC于点F，连接BF，若AB=5，CD=2，则△BFC的周长为（）A. 7B. 9C. 12D. 142.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3.如图，在△ABC中，△ADE的周长为8，DH为AB的中垂线，EF垂直平分AC，则BC的长为（）A. 4B. 6C. 8D. 164.如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，且AC=8，BC=6，则△BDC 的周长为（）A. 20B. 22C. 10D. 145.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（）A. 3B. 2C. 3D. 26.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC 交于点D，E，则∠BCD的度数为（）A. 10°B. 15°C. 40°D. 50°7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AC交AB于点E，若BC=6，则DE的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 38.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A. 13B. 15C. 17D. 199.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（）A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°10.如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（）A. 12cmB. 10cmC. 7cmD. 5cm二、填空题11.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点．其中正确的命题序号是________．12.如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC=________．13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，边AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠BCE等于________ °．。
冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步测试题带答案
冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点2．如图，在Rt△ABC中∠C=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别相交于AB两侧的M，N两点，直线MN交AB于点D，交AC于点E，若∠B=55°，则∠CBE=（）A．15°B．20°C．35°D．55°3．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=6厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）A．14厘米B．16厘米C．24厘米D．26厘米4．图，在ΔABC中AC=5，线段AB的垂直平分线交AC于点D,ΔBCD的周长是9，则BC的长为（）A．3B．4C．5D．65．如图，在四边形ABCD中AB∥DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB=5，CD=3，则AD的长为（）A．2B．5C．8D．116．如图，在△ABC中∠B=70°,∠C=34°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．52°B．42°C．32°D．22°7．如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处8．如图，在△ABC中∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．3B．4C．5D．69．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB 小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（）A．AC⊥BD B．AO=CO=12ACC．△ABD≌△CBD D．AO+DO=BO10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为（）A．40B．20C．15D．1011．如图，在△ABC中，AB＝AC，△A＝36°，分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AB、AC于点F、D，作DE△BC于E．有下面三个结论：①BD平分△ABC；②DE＝DF；③BC+CD＝2AF；其中，正确的结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题12．如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD，E在AB上，结论：①BC=BD；②CE=DE；③BA平分∠CBD；④AB所在的直线是CD的垂直平分线．其中正确的是（填序号）13．如图，在△ABC中∠A=90°，点D为AB上一点，将△ABC沿CD所在直线折叠，点A恰好落在BC边上的点E处，且CE=BE，则∠B的度数为．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=9，AC=7，则△ACE的周长为．15．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE△DE，延长DE交AB 的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为．16．如图，在△ABC中∠A=80°，点D是BC上一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF=度．17．如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．三、解答题18．如图，△ABC中AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数：（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．19．如图，在△ABC中∠C=90°，分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN与AB交于点D，与BC交于点E，连接AE．（1）由作图可知：直线MN是线段AB的______；（2）当∠B=35°，求∠CAE的大小；（3）当AC=3，BC=4时，求△ACE的周长．参考答案1．B2．B3．B4．B5．C6．B7．C8．B9．D10．B11．A12．①②③④13．30°14．1615．816．8017．5；15 18．（1）35°（2）3.5cm 19．（1）垂直平分线（2）∠CAE=20°（3）△ACE的周长为7。
北师大版八年级下册数学 1.3线段的垂直平分线 同步练习 (含解析)
1.3线段的垂直平分线同步练习一．选择题1．如图，在△ABC中，BC＝12cm，DE垂直平分AB，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（）A．18 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm2．如图，CD垂直平分AB，若AC＝1.6cm，AD＝2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）A．3.9B．7.8C．4D．4.63．如图，AD⊥BE，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上，若AB＝6cm，BD＝3cm，则DC的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm4．下列说法错误的是（）A．E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD＝BD，AE＝BEB．若AD＝BD，AE＝BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若P A＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若P A＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线5．已知线段AB和点C，D，且CA＝CB，DA＝DB，那么直线CD是线段AB的（）A．垂线B．平行线C．垂直平分线D．过中点的直线6．如图，线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA＝CB，DA＝DB，∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（）A．80°B．90°C．100°D．110°7．如图，在△ABC中，∠A＝87°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是BC中点，且DE⊥BC，那么∠C的度数为（）A．16°B．28°C．31°D．62°8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC ＝4，AC＝8，则S△PBC为（）A．3B．3.3C．4D．4.59．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm10．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°二．填空题11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．12．如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝60°，则∠BOC＝．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝2cm，则AE等于．14．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE 的周长为15cm，则BC的长为cm．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为．三．解答题16．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．17．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．18．如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．1.3线段的垂直平分线同步练习参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∵△BCE的周长为30，∴BC+CE+EB＝30，∴BC+CE+EA＝BC+AC＝30，∴AC＝30﹣BC＝18（cm），故选：A．2．解：∵CD垂直平分AB，∴BC＝AC＝1.6，BD＝AD＝2.3，∴四边形ABCD的周长＝BC+AC+BD+AD＝7.8，故选：B．3．解：∵AD⊥BE，BD＝DE，∴AE＝AB＝6，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴DC＝DE+EC＝AB+BD＝9（cm），故选：C．4．解：A、∵E是线段AB的垂直平分线上的点，∴AE＝BE．同理AD＝BD．故A正确；B、若AD＝BD，∴D在AB的垂直平分线上．同理E在AB的垂直平分线上．∴直线DE是线段AB的垂直平分线．故B正确；C、若P A＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，故C正确；D、若P A＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定过点P的直线是线段AB的垂直平分线．故D错误．故选：D．5．解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB的垂直平分线．故选：C．6．解：∵CA＝CB，DA＝DB，∴CD垂直平分AB且垂足为M．∵∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，∴∠ACM＝50°，∴∠ACB＝100°．故选：C．7．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE⊥BC，E是BC中点，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD+∠CBD+∠C＝180°﹣87°，解得，∠C＝31°，故选：C．8．解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面积＝×CD×BC＝×3×4＝6，∵P是BD的中点，∴S△PBC＝S△BCD＝3，故选：A．9．解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，∴AD＝BD，∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，∴AD+DC+AC＝17cm，∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝12cm．故选：C．10．解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，故选：B．二．填空题11．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．12．解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，∴点O为△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，故答案为：120°．13．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠A＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1＝∠2，∵∠C＝90°，∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，在Rt△BCE中，∠1＝30°，∴BE＝2CE＝4，∴AE＝4（cm），故答案为：4cm．14．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△BCE的周长为15cm，∴BC+CE+BE＝15cm，∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝15cm，∵AC＝9cm，∴BC＝6cm，故答案为：6．15．解：∵CD垂直平分BE，∴CE＝CB，∠BDC＝90°，∴CD平分∠BCE，即∠BCD＝∠ECD，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE，而∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AC＝BC＝2．故答案为2．三．解答题16．解：∵ED是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，∵△ABE的周长为16cm，∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．17．解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠F AC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+F A＝20，由（2）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+F A＝20．18．解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周长为6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；（2）∵∠MON＝30°，∴∠OMN+∠ONM＝150°，∴∠BME+∠CNF＝150°，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300°，∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC设MN＝x，∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，解得，x＝5，即MN＝5．。
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok
垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC 交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。
北师大版八年级下册数学 1.3线段的垂直平分线 同步练习
1.3线段的垂直平分线同步练习一．选择题1．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC 于点E，则∠EBC的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°2．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（）A．14B．18C．23D．283．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（）A．58°B．63°C．67°D．70°4．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．三角形的高线B．边的中垂线C．三角形的中线D．三角形的角平分线5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8B．11C．16D．176．在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，若∠P AC＝x°，则∠1的度数是（）°．A．90﹣x B．x C．90﹣x D．60﹣x7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．68．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠F AC＝65°，则∠B的度数为（）A．45°B．50°C．65°D．60°9．已知△ABC边AB、AC的垂直平分线DM、EN相交于O，M、N在BC边上，若∠MAN ＝20°，则∠BAC的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（）A．16.5B．17C．18D．20二．填空题11．如图，已知△ABC中BC＝10cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，△EAF周长为cm．12．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB＝3cm，则AC＝cm．13．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝6，BC＝4，则AF＝．14．如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE 上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为．15．如图，在△ABC中，AB，BC边的垂直平分线分别交AC于点E，D，若AC＝15cm，则△EBD的周长为cm．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．（1）若AC＝5，BC＝7，求△ACD的周长；（2）若∠BAD：∠CAD＝2：1，求∠B的度数．17．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．18．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．参考答案一．选择题1．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，∴∠ABE＝∠A＝30°，∵∠A＝30°，∠C＝110°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，∴∠EBC＝40°﹣30°＝10°，故选：A．2．解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，∴DB＝DC，BE＝EC，∵BE＝5，∴BC＝10，∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝13，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝13+10＝23，故选：C．3．解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵EB＝EC，BE＝AC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝×（180°﹣12°）＝84°，∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，∵BF平分∠ABC，∴∠EBF＝∠CBF＝21°，∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°，故选：B．4．解：三角形的中线平分三角形的面积，故选：C．5．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．6．解：连接PB、PC，∵边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，∴P A＝PB，PB＝PC，∴∠PBA＝∠P AB，∠PBC＝∠PCB，P A＝PC，∴∠PCA＝∠P AC＝x°，∠P AB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝∠B，∴2∠B+2x°＝180°，解得，∠B＝90°﹣x°，∴∠DPE＝180°﹣∠B＝90°+x°，∴∠1＝180°﹣∠DPE＝90°﹣x°，故选：A．7．解：∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．8．解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD，∴∠FDA＝∠F AD＝∠F AC+∠CAD，∵∠FDA是△ABD的一个外角，∴∠B＝∠FDA﹣∠BAD＝∠FDA﹣∠CAD＝65°，故选：C．9．解：∵DM是边AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B，同理，∠NAC＝∠C，则，解得，∠BAC＝100°，故选：A．10．解：在Rt△ABC中，AD＝DB，∴AB＝2CD＝13，由勾股定理得，AC＝＝＝12，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+AE＝BC+AC＝17，故选：B．二．填空题11．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，∴AE＝BE，AF＝CF，∴△EAF周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10（cm）．故答案为：10．12．解：∵MN是线段BC的垂直平分线，∵△ADB的周长是10cm，∴AD+BD+AB＝10cm，∴AD+CD+AB＝10cm，∴AC+AB＝10cm，∵AB＝3cm，∴AC＝7cm，故答案为：7．13．解：连接AE、BE，过点E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝6﹣x，BG＝BC+CG＝4+x，∴6﹣x＝4+x，解得x＝1，∴AF＝6﹣1＝5，故答案为：5．14．解：连接OC，作OF⊥BC于点F，DE＝OD+OE＝3，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°，∵AD＝DC，ED⊥AC，∴OA＝OC，∵OA＝OB，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝1，∴CF＝CE﹣EF＝5，∴BC＝10，∴BE＝10﹣6＝4，故答案为：4．15．解：∵AB，BC边的垂直平分线分别交AC于点E，D，∴AE＝BE，BD＝CD，∵△EBD的周长＝BE+DE+BD＝AE+DE+CD＝AC＝15cm，故答案为：15．三．解答题16．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+CB＝5+7＝12；（2）∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，设∠CAD＝x，则∠BAD＝∠B＝2x，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，即x+2x+2x＝90°，解得，x＝18°，∴∠B＝2x＝36°．17．解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，∴∠ECA＝∠B+∠BAC＝71°，∴∠CAE＝71°．18．（1）证明：连接AC，∵M是CD的中点，AM⊥CD，∴AM是线段CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又AM⊥CD，∴∠3＝∠4，同理，∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，∠BAD＝2∠MAN＝140°，∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝20°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．。
人教版八年级数学上册13.1.2《线段的垂直平分线的性质》同步训练习题(含答案)
13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步训练习题一、单选题1. 下列图案中不是轴对称图形的是（）2. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是( )A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高线的交点D．三条边的垂直平分线的交点3. 平面内与A、B、C（不在同一直线上）三点等距离的点（）A、没有B、只有1个C、有2个D、有4个4. 如图△ABC中，AB=AC，AB的垂直平线交BC于D，M是BC的中点，若∠BAD=30°则图中等于30°的角还有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个5. 已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论不正确的是（）A．CO=DO B．AO=BO C．AB⊥CD D．△ACO≌△BCO6. 如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD 的周长是（）A．22cm B．20 cm C．18cm D．15cm7.如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A ．B．C ．D ．二、填空题8. 在△中，，点在上，垂直平分，垂足为点，且，则．9. 已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=10. 如图，∠A=30°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，连接EC，则∠AEC的度数是____________11.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AC＝.12.如图：△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．三、解答题13. 某地有两座工厂和两条交叉的公路，图中点M、N表示工厂，OA、OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两工厂的距离相同，到两条公路的的距离相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计。
八年级数学上册《第二章 线段的垂直平分线》同步练习题及答案(青岛版)
八年级数学上册《第二章线段的垂直平分线》同步练习题及答案(青岛版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则( )A.BC＞PC＋APB.BC＜PC＋APC.BC＝PC＋APD.BC≥PC＋AP2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB3.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是( )4.如图所示，在△ABC中，AB＋BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和点E，则△BCD的周长是( )A.6B.8C.10D.无法确定5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.在锐角△ABC内的一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( ).A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点D.三条中线的交点7.如图，∠BAC＝110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是( ).A.20°B.40°C.50°D.60°8.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是( )A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BAD＝BC·AH D.AB＝ADC.S△ABC二、填空题9.小军做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 .10.如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E.若AB＝10cm，△ABC的周长为27cm，则△BCE的周长为.11.如图，△ABC中，AB＝AC＝13cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若△EBC的周长为21cm，则BC＝ cm.12.如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A＝70°，则∠PBC 的度数是______度.13.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为.三、解答题14.如图，在△ABC中，∠A>∠B.(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．15.如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD＝29°，求∠B的度数.16.如图，已知P是线段CD的垂直平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D.求证:(1)OC＝OD;(2)OP平分∠AOB.17.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是线段CE的垂直平分线.18.已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD＝BC，过D作AB的垂线交AC于E. 求证：CD⊥BE.19.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等.(1)利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹.(2)若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长.20.如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点(与点A分别在直线BC两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F.(1)求证：AD垂直BC；(2)如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系.答案1.C.2.A3.D.4.C5.D.6.A.7.B8.A9.答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上.10.答案为：17.11.答案为：8cm.12.答案为：2013.答案为：100°14.解：(1)如解图，DE是边AB的垂直平分线；作法提示：①分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，在线段AB两侧交于点M、N；②作直线MN，分别交AB、BC于点D、E. DE即为边AB的垂直平分线；(2)如解图，连接AE∵DE是AB的垂直平分线∴AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝50°.∵∠AEC是△ABE的外角∴∠AEC＝∠BAE ＋∠B＝100°.15.解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAE∵∠BAD＝29°∴∠DAE＝29°∴∠BAC＝58°∵DE垂直平分AC∴AD＝DC∴∠DAE＝∠DCA＝29°∵∠BAC＋∠DCA＋∠B＝180°∴∠B＝93°.16.证明：(1)∵P在CD的垂直平分线上∴PC＝PD.又∵OP＝OP∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).∴OC＝OD.(2)由(1)Rt△OPC≌△OPD知∠AOP＝∠BOP.17.证明：∵DE⊥AB∴∠AED＝90°＝∠ACB又∵AD平分∠BAC∴∠DAE＝∠DAC∵AD＝AD∴△AED≌△ACD∴AE＝AC∵AD平分∠BAC∴AD⊥CE即直线AD是线段CE的垂直平分线.18.证明：∵DE⊥AB∴∠BDE＝90°∵∠ACB＝90°∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中BD＝BC，BE＝BE∴Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)∴DE＝EC又∵BD＝BC∴E、B在CD的垂直平分线上即BE⊥CD.19.解：(1)点D如图所示；(2)∵DE垂直平分线线段AC∴AD＝DC∴△CDB的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝BC＋AB ∵AB＋AC＋BC＝21，BC＝5∴AB＝AC＝8∴△CDB的周长为13.20.证明：(1)∵AB＝AC，DB＝DC∴直线AD是BC的垂直平分线∴AD垂直BC；(2)证明：在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD∴∠BAD＝∠CAD∵DE∥AC∴∠EDA＝∠CAD∴∠BAD＝∠EDA∴DE＝AE；(3)DE＝AC＋BE.由(2)得，∠BAD＝∠CAD ∵DE∥AC∴∠EDA＝∠CAD∴∠BAD＝∠EDA∴DE＝AE∵AB＝AC∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
]
线段的垂直平分线同步练习
一、填空题
1．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________．
2．到线段两端距离相等的点在这条线段的_________．
3．已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________．
4．底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上．
5．如图，直线l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点．
6．在△ABC中，AB=AC=6 cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10 cm，则BC=______ cm．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度．
8、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ．
9、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= ________ 度．
{
10
、如图，等腰三角形ABC
中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为____
11、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，
△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_________ ．
二、选择题
12．下列命题中正确的命题有_________．[ ]
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
—
13．下列作图语句正确的是_________．[ ]
A．过点P作线段AB的中垂线 B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b D．过点P作直线AB的垂线
14．△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=°，
$
·B
A·
·B
则∠B等于_________．[ ]
A．° B．° C．°或° D．无法确定
三、解答题
15．已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥B C．
}
16．在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若△BCD的周长为m，
求证：BC=m－a．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．
求证：CM=2BM．
！
18、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
!
19、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若
DE垂直平分AB，求∠B的度数．
-
20、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．。