一换元积分法二常用的定积分公式及应用教学内容
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
常用积分换元公式
第一类换元积分法
部分常用的凑微分公式：
（1）
1
()
dx d ax b
a
=+（2）1
1
()
1
n n
x dx d x
n
+
=
+
（3
d
=（4）
2
11
()
dx d
x x
=-
（5）1
(ln)
dx d x
x
=（6）()
x x
e dx d e
=
（7）cos(sin)
xdx d x
=（8）sin(cos)
xdx d x
=-
常用的凑微分公式
第二类换元积分法
1.当被积函数中含有
1)sin
x a t
=或cos
x a t
=；
2)tan
x a t
=；
3)sec
x a t
=.
通过三角代换化掉根式。
但是，去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，
22
ch sh1
t t
-=，采用双曲代换sh
x a t
=或ch
x a t
=消去根式，所得结果一致。
所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对根式进行有理化代换。
2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换
1
x
t
=.
3.类型f dx
⎰：可令t=；类型f dx
⎰：可令t=（第四节内容）
4.类型()x
f a dx
⎰：可令x
t a
=.
适合用分部积分法求解的被积函数。
第二节 第一换元积分法
通过问题驱
动的方式引
导学生主动
进行课堂小
结，在总结
锻炼学生总
结归纳能
力。
课 堂练 习（20 分
钟）
与学生共同形成课堂小结：
分钟）
分的性质进行简单的凑微分计 计 算 例 题 中
算
的各类不定
积分，并总
例 1：求不定积分 ���2���
结其中出现
例 2：求不定积分
的一些数学
3
计算方法，
x 2e x dx
如 恒 等 变
形，巧妙配
例 3：求不定积分
方换元，三
e x
角函数公式
x dx
的应用等。
根据基本积
分表和不定
积分的性质
进行简单的
2. 第一换元积分法的概念（20 分钟）
教学内容
3. 第一换元积分法的例题讲解（40 分钟）
4. 第一换元积分法的课堂练习（20 分钟）
5 .课堂小结（5 分钟）
重点难点
重点：第一换元积分法；
难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。
课前预习
课前任务
教师活动
布置学习任务，
为讲授新课做准
备，并达到预习
知识的效果。
任务 1：复习不定
积分的概念及求
简单不定积分的
方法。
任务 2 ：预习第
一还原积分法，
尝试理解其思想
1.发布课前学习任务
2. 观察统计学生完成情况，并
根据学生都得留言反馈对教学
进行针对性微调
课中学习
学生活动
信息化手段计
按照教师发
利用学习通发布学习
布要求，完
任务，并形成数据统
第二节换元积分法
1
1 x
2
dx
,
本题目标向
1
1 x2
dx
转化，怎么转化呢？
10:57
27
解
dx
a2 x2
dx
a 2[1
x2 a2
]
1 a2
dx
1
x2 a2
1 a2
dx
1
x
2
a
d x
1 a
a
1
x
2
a
1 arctan x C.
a
a
10:57
28
例 求 dx (a 0). a2 x2
解
dx
= -2 cos x + C
10:57
11
x 2x2 1dx 1 2x2 1d(2x2 1)
4
1
(2x2
1
1)2 d(2x2
1)
1 (2x2
3
1)2
C
4
6
xe x2dx 1 e x2d(- x2 ) 1 ex2 C
2
2
12
凑微分法3：f (ae x b)e xdx
arcsin2 x 1 x2
1 arcsin2 x d arcsinx
arcsin 2 xd arcsin x arcsin1 x C 1 C
a rcs i nx
a
rcs i n x x
x
2
dx
arcsin x(1
x x)
dx
arcs i n x 1
x x
dx
2
arcsin x 1 ( x )2
(1 - cos 2 x)dcos x
cosx 1 cos3 x C 3
定积分的换元积分法和分部积分法
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返回
例2 计算
x
ln 8
ln 3
1 e x dx .
ln(t2
2 td t - 1) ， dx 2 . t 1
解 令 1 e t, 则 x =
x ln3 ln8 t 2 3
于是
3
ln 8
ln 3
1 e x dx 2
3 1 2t 2 dt dt 22 1 2 2 t 1 t 1
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例13 解
计算
1
0
(arcsinx )3dx.
先换元，再分部积分.
x 0 1 令 arcsinx = t， = sin t， dx = cos tdt， 则 x ， t 0 2 1
0 2 0
于是
(arcsinx )3dx 2 t 3 cos tdt .
2 0
e 2 [e x cos x ]02 e x sin xdx
2 0
e 2 1 2 e x sin xdx
移项，解得
上一页
1 e x sin xdx (e 2 1) 2
下一页
0
返回
e x dx. 例10 计算 0
1
解 先换元，后分部积分.
1
解 令 x t，则 x = t2 ，dx = 2tdt，
于是
1 2t dx 0 1 x 0 1 t dt
x 0 1 ， t 0 1
1
1 2 1 dt 0 1 t
1
2t ln | 1 t | 0 2 2 ln 2.
3.4定积分的计算(二)、应用
简证： F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则 设
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
又 F ( ( t )) f ( (t )) (t )
( t )dt F ( ( t )) F ( ( )) F ( ( )) f ( ( t ))
3,
1
令 若作如下运算： x t , 2xdx dt , dx
2
1 2 t
dt ,
于是
2
1
x dx 1
2
4
1 tdt 1 4 tdt t 3 2 t 2 1
2
3 4 2 1
7 . 3
这显然是错误的，原因在于 x t不是单值的.
3.4.3 定积分的分部积分法
a a
0 f ( x )dx a 2 0 f ( x )dx
当 f ( x ) 为奇函数 当 f ( x ) 为偶函数
例4 解
计算
I
2 x 2
2
4 x 2 dx.
x 2 2
2 2 2
4 x 2 dx
2 2
x 4 x dx 2
a
udv vdu
b b a a
b
a
udv uv vdu 分部积分公式
a a
b
b
例5 解
计算
2
1
x ln xdx .
2
1
1 2 x ln xdx ln xd ( x 2 ) 2 1
1 2 1 2 2 1 x ln x x dx 2 2 1 x 1
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
定积分的积分法
例3 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
1 1 ln(1 + x ) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
第三节 定积分的积分法
一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理 假设
上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2 ）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
上变化时， （3 ） 当 t 在区间[α , β ]上变化时 ， x = ϕ (t ) 的值 上变化， 在[a , b]上变化，且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
用 （1） x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限也 ） 相应的改变. 相应的改变
（2） ） 求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ ⋅ =− − 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2 + x ln 2 5 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
定积分的换元法
；
2
1
1+ x
∫
∫
5. 7. 8. 9.
∫
π
1
0
1 + cos 2 x dx ；
6.
π 2 π − 2 π 2 π − 2
cos x − cos 3 x dx ；
4cos 4 θ dθ
；
∫ ∫ ∫
−1 2
( x 2 1 − x 2 + x 3 1 + x 2 )dx ；
0 2 0
max{ x , x 3 }dx ； x x − λ dx
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
= − ∫2 π
π dt = − . 12
练习题
一、 填空题： 填空题：
π 1. ∫ π sin( x + )dx = ___________________； ___________________； 3 3
π
2. 3. 4.
∫ ∫
π
0
t 1 = − ∫ t dt = = . 1 60 6
5
6 1
应用换元公式时应注意（ 应用换元公式时应注意（一）:
（1）用 x = ϕ ( t ) 把变量 x 换成新变量 换成新变量 t 时，积分限 积分限也
相应的改变 相应的改变. 改变.
求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数 Φ( t ) 后，不必 （2 ） 象计算不定积分那样再要把 Φ( t ) 回代成原变量 x 的函数， 的函数，而只要把新变量 t 的上、 的上、下限分别代 入 Φ( t ) 然后相减就行了. 然后相减就行了.
（ λ 为参数 ）.
1 , 当x ≥ 0时， 1 + x 三、 设 f ( x ) = 求 1 , 当x < 0时， 1 + e x
定积分的换元法
dt sin xdx ,
x t 0, 2
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
例2
计算 0
sin 3 x sin 5 xdx .
3 2
解
f ( x ) sin 3 x sin 5 x cos x sin x
5、 2 2 ；
17 8 当 0 时 9、 ； 10、 , 2 ； 当0 2 4 3 8 8 3 2 时, 2 ； 当 时, 2 . 3 3 3 1 三、 1 ln( 1 e ) . 六、 2.
3 6、 ； 2
7、 ； 4
8、 ； 8
2
3 3 4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
由此计算
2 0
x sin sin x sinx x . dx dx dx 2 2 sin x cos 1 cos x x 2 0 1 cos x
1 d (cos x ) arctan(cos x ) 0 2 0 2 2 1 cos x
2 0 2
( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ；
8、 max{ x , x 3 }dx ； 9、 x x dx
一换元积分法二常用的定积分公式及应用
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
二、常用的定积分公式及应用
1.设 fx 在 a,a上连续，则
a afx d x 0 afx fx dx………①
（1）若 fx为偶函数，fx f x ，
a fxdx 2afxdx
a
0
………②
x1， t ， 2
1
0
1 x2d x 0 2
1 s2 itn ctodst
2
0
cos2
tdt
12021co2stdt
1 20 2d t0 2co2ts1 2d2t
12t
12sin2t02
4
注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换
元法），换元的同时必须换限。在计算 2 0
cos2tdt
时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，
解 0 sx i s n 3 i x d n 0 x sx ic n 2 x o ds x
0 sixncoxsdx
2 0
sixc no xd s xsix n co x dsx
2
2 0
sixd nsixn
sixd nsixn
2
32sin23x02
32sin23x
4 3
2
例4
设
f x 11x, x 0,
第三节 定积分的换元积分
一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用
一、换元积分法
1.定理 设函数 fx在 a,b上连续；函数 t在 ,（或 ,）上有连续导数； 当 t在 t在 ,（或 ,）上变化时， x在a,b上变化，且 a，b，
则有
专题10：计算不定积分和定积分的方法和技巧
专题10 计算不定积分和定积分的方法和技巧(一) 不定积分(1) 三种主要的积分法 1）第一类换元法（凑微分法）若C u F u u f +=∫)(d )(，且)(x ϕ可导，则C x F x d x f x x x f +==′∫∫))(()())((d )())((ϕϕϕϕϕ2）第二类换元法设函数)(t x ϕ=可导，且,0)(≠′t ϕ又设C t F dt t t f +=′∫)()())((ϕϕ则C x F dt t t f dx x f +=′=−∫∫))(()()(()(1ϕϕϕ三种常用的变量代换(1) 被积函数中含有22x a −时，令,sin t a x =或;cos t a x = (2) 被积函数中含有22x a +时，令t a x tan =； （3）被积函数中含有22a x −时，令t a x sec =；3）分部积分法设)(),(x v x u 有连续一阶导数，则∫∫−=vdu uv udv【注】(1) 分部积分法常用于被积函数为两类不同函数相乘的不定积分;(2)分部积分法选择)(),(x v x u 的原则是∫vdu 比∫udv 好积， 设)(x p n 是n 次多项式，则形如∫∫∫xdxx x x x x e x nnxn αααcos )(p ,d sin )(p ,d )(p 的积分都是先把多项式以外的函数凑进微分号，然后分部积分； 形如∫∫∫xdxx x x x x x x nnnarcsin )(p ,d arctan )(p ,d ln )(p 的积分都是先把多项式函数凑进微分号，然后分部积分；形如∫∫xdx e x x e x x ββααcos ,d sin 的积分可连续两次将指数函数凑进微分号分部积分还原,求得原不定积分.(2) 三类常见函数的积分1）有理函数积分 ∫x x R d )(（1）一般方法（部分分式法）（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 ∫x x x R d )cos ,(sin （1）一般方法（万能代换） 令t x=2tandt t t t t t R x x x R 222212)11,12(d )cos ,(sin ++−+=∫∫ （2）特殊方法 （三角变形，换元，分部） 几种常用的换元法i)若),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R −=− 则 令;cos x u = ii)若),cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R −=− 则 令;sin x u =iii)若),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =−− 则 令.tan x u =3) 简单无理函数积分 x dcx bax x R nd ),(∫++令 t dcx bax n=++,将其化为有理函数积分进行计算.【例1】=+∫dx x x x )1(arctan . ( C x +2)(arctan )【例2】._________2sin tan ln =∫dx x x【解】dx x x xdx x x ∫∫=cos sin 2tan ln 2sin tan ln∫∫==x xd x d x x tan ln tan ln 21tan tan 2tan lnC x +=2)tan (ln 41【例3】(2018年3) ._________1arcsin 2=−∫dx e e xx 【解】xx xx de e dx e e ∫∫−=−221arcsin 1arcsin∫−−−−−=2222)1(111arcsin xx x xx e e d e ee∫−−−=x x x e d e e 2211arcsinC e e e x x x +−−−=2211arcsin【例4】(2018年1,2)求不定积分dx e e xx 1arctan 2−∫【解】xx xx de e dx e e 221arctan 211arctan ∫∫−=− ∫−−−=dx e e e e x x xx 1411arctan 2122x x x x x de e e dx e e ∫∫−=−112x x x x de e de e ∫∫−+−=111C e e e x x x+−+−−=121)1(32 dx e e x x 1arctan 2−∫C e e e e xx x x +−+−−=1)2(611arctan 212【例5】(2003年2)∫+x x xe xd )1(2/32arctan 【解1】 设t x tan =，则∫∫∫=+==+t t t t t t x x x tt x d sin e d sec )tan 1(tan e d )1(e 22/322/32arctan又tdt e t e et t t t t tt cos sin d sin d sin e ∫∫∫−==∫−=t t tde t e cos sin,d sin e cos sin e ∫−−=t t t e t ttt故.)cos (sin e 21sin e C t t tdt t t+−=∫ 因此 C x xx x x x x x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=+∫22arctan 2/32arctan 111e 21d )1(e .12e )1(2arctan C xx x ++−=【解2】 ∫∫∫+−+=+=+x x xx x x x x x x x xx d )1(e 1e de 1d )1(e 2/32arctan 2arctan arctan 22/32arctan ∫+−+=x x x x x arctan 22arctan de 111e,d )1(e 1e 1e 2/32arctan 2arctan 2arctan ∫+−+−+=x x x xx x x xx移项整理，得.12e )1(d )1(e 2arctan 2/32arctan C x x x x x xx ++−=+∫【例6】 dx x x x ∫++)1(323 【解1】令11)1(3223++++=++x Cx B x A x x x由223)1()1(x Cx x B x Ax −=++++得 ⎪⎩⎪⎨⎧==+−=+301B B A C A解得.2,3,3==−=C B Adx x x x dx x x x ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=++12331)1(3223C x xx x +++−−=1ln 23ln 3 【解2】【例7】dx x x x x∫−+−123【解1】由于)1)(1(1223+−=−+−x x x x x ,设111223+++−=−+−x CBx x A x x x x 则 )1)(()1(2−+++≡x C Bx x A x 由此解得 .21,21,21=−==C B A dx x x x dx dx x x x x ∫∫∫+−−−=−+−11211211223C x x x +++−−=arctan 21)1ln(411ln 212【解2】【例8】∫x x dx2cos sin【解】原式∫−=)sin (cos sin 22x x x dx)cos ,(sin )cos ,sin ((x x R x x R −=−∫−−−=)1cos 2)(cos 1(cos 22x x xd du u u u u ∫−−−+−−=)12)(1()12()1(22222∫∫−+−−=112222u duu du C u u u u ++−++−−=11ln 211212ln 21 C x x x x ++−++−−=1cos 1cos ln 211cos 21cos 2ln 21 (二) 定积分定积分的计算常用方法有以下五种 1）牛顿-莱布尼兹公式如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则)()(d )(a F b F x x f b a−=∫；2）换元积分法设)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(=t x ϕ满足以下条件： （1）a =)(αϕ,b =)(βϕ；（2）)(t ϕ在],[βα（或],[αβ）上具有连续导数，且其值域],,[b a R =ϕ则.d ))(d )(∫∫)(′(=βαϕϕt t t f x x f b a3）分部积分法设函数)(x u 和)(x v 在],[b a 上有连续一阶导数，则.d d ∫∫−=babab au v uv v u4）利用奇偶性和周期性(1) 设)(x f 为],[a a −上的连续函数(0>a )，则⎪⎩⎪⎨⎧=∫∫−.)(,d )(2)(,0d )(0为偶函数时为奇函数时，x f x x f x f x x f aa a(2) 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则对任给数a ，总有.d )(d )(0∫∫=+TT a ax x f x x f5）利用公式)]1,0[)(d )(sin 2d )(sin (2)奇1,32231偶,221231d cos d sin (1)02020上连续在（其中数的为大于数为正x f x x f x x f x n n n n n n n n n n x x x x πn n ∫∫∫∫=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−−==πππππ【例1】.___________sin ][cos 202222=+∫∫−−xdx dt e x xtππ【解】 2et −偶函数，则∫−x t t 0d e 2奇函数.原式∫=2π022d sin cos 2x x x.8πd sin )sin 1(22π022=−=∫x x x 【例2】（2012年1）∫=−2022dx x x x .【解1】 原式∫−−=202d )1(1x x x∫∫−==+=−2π2π2π0222πd cos 2d cos )sin 1(sin 1t t t t t t x 【解2】 原式∫−−=202d )1(1x x x∫−−+−=202d )1(1]1)1[(x x x ∫=−=2022πd 2x x x （几何意义） 【例3】.__________cos cos 042=−∫dx x x x π【解】 原式∫∫=−=π0042d sin |cos |2πd cos cos 2ππx x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∫∫ππππ220sin cos sin cos 2xdx x xdx x2π=【例4】（2013年1）计算,)(10dx xx f ∫其中.)1ln()(1dt t t x f x ∫+=【解】dx xx x f x x d x f dx x x f ∫∫∫+−==10101010)1ln(2)(2)(2)(dx x xx x x d x ∫∫+++−=+−=10101014)1ln(4)1ln(4π282ln 4−+−=【例5】计算定积分.cos 1202∫+πxdx【解】∫∫∫+=+=+202202202tan 2tan 4cos 14cos 1πππx x d x dx xdxππ22tan arctan 2420==x【例6】计算定积分∫−+202.dx e e xxx【解】令,2t x −=则,dt dx −=∫−+202dx e e xxx ∫+−=−202.2dt e e t t t ]2[21202202dx e e x dx e e xx xxx ∫∫−−+−++= ∫−+=202x x e e dx∫+=2022ee de xx==2arctan 1eee x 1arctan [arctan 1ee e − 【例7】计算定积分∫++102d 1)1ln(x x x【解】 du uudt t x x x u t t x ]tan 1tan 11ln[)tan 1ln(d 1)1ln(4440tan 102∫∫∫+−+=+=++−==πππdu u∫+=40tan 12lnπ∫+−=40)tan 1ln(2ln 4ππdu u 2ln 8π=【例8】（1995年3）设)(),(x g x f 在)0(],[>−a a a 上连续,)(x g 为偶函数,且)(x f 满足条件A x f x f =−+)()((A 为常数) 1) 证明∫∫−=a aadx x g A dx x g x f 0)()()(2) 利用1) 计算∫−22arctan |sin |ππdx e x x【证】（1）令t x −=，则∫∫−−−=a aa a t t g t f x x g x f d )()(d )()(,d )()(∫−−=a ax x g x f于是 ]d )()(d )()([21d )()(∫∫∫−−−−+=a a aaaa x x g x f x x g x f x x g x f.d )(d )()]()([210∫∫=−+=−a aax x g A x x g x f x f（2）令xx f e arctan )(=，|sin |)(x x g =，2π=a ，则)(x f 、)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−2,2ππ上连续，)(x g 为偶函数.又因为 0)e arctan e (arctan =′+−x x ，所以 .e arctan e arctan A xx =+−令0=x ，得A =1arctan 2，故2π=A ，即.2)()(π=−+x f x f于是，有.2d sin 2d |sin |2de arctan |sin |202022πππππππ===∫∫∫−x x x x x x x【例9】 设2)1arctan()(−=′x x f ,0)0(=f ,求∫10d )(x x f .【解】∫∫−=110)1()()(x d x f dx x fdx x x x f x 2110)1arctan()1()()1(−−−−=∫dx x x 21)1arctan()1(−−=∫∫=10arctan 21du u （令u x =−2)1(） ∫−=+−=102102ln 418121arctan 21πdu u u u u .【例10】 设)(x f 为非负连续函数，且∫=−x x dt t x f x f 04sin )()(，求)(x f 在2,0[π上的平均值. 【解】 令u t x =−，则∫∫=−x xu u f t t x f 0d )(d )(∫=xx u u f x f 04sin d )()(∫∫∫=2π002π04d sin d ]d )()([xx x x u u f x f∫⋅⋅=xu u f 022π2143)d )((212π ∫=2π02π321d )(x x f则)(x f 在]2,0[π上的平均值为πππ232)(20=∫dxx f 思考题1.求下列不定积分1)dx x x x ∫−−−2152 2)dx x x x ∫++)1(232 3)dx x x x x ∫++−+)1()1(6322 4)∫−422x x dx5)∫++x x dxcos sin 1 6)∫xdx x arcsin7)x xx e x d cos 1)sin 1(∫++ 8)∫.arccos arcsin xdx x2.计算下列定积分 1)dx x x∫−10221 2)dx x x x ∫−62263)∫209sin πxdx x 4)dx e xx∫−+2221sin ππ5)∫20sin ln πxdx6),)(102dx x f x ∫其中.1)(14dt t x f x∫+=7)∫10)(dx x f 其中.sin )(12dt tt x x f x∫= 答案1.求下列不定积分1) C x x +−++2ln 31ln 2 2) C x x x +++−arctan 3)1ln(ln 223) C x x x x ++++−−−−)1ln(131ln 22 4)C x x x +−+−22arctan 41442 5) C x++2tan1ln 6) C x x x x x +−+−22141arcsin 41arcsin 27) C xe x+2tan11 8) C x x x x x x x x ++−−−+2arcsin 1arccos 1arccos arcsin 222.计算下列定积分 1) .16π 2) .8405π 3) .315128π 4) .4π 5) .2ln 2π− 6) .16π 7) )221(181−8) )11(cos 41−。
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
定积分计算的方法与技巧
定积分计算的方法与技巧定积分是微积分的重要内容之一，用于计算曲线下方的面积、求平均值、求定积分等。
本文将介绍一些定积分计算的方法与技巧，包括基本积分公式、换元法、分部积分法、定积分的性质以及数值积分等。
一、基本积分公式在进行定积分计算时，掌握一些基本积分公式是非常重要的。
以下是一些常见的基本积分公式：- ∫kdx = kx + C （k为常数，C为常数）- ∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C （n为非负整数，C为常数）- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C （a>0且a≠1）- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/sqrt(1-x^2) dx = arcsin(x) + C二、换元法换元法是解决复杂定积分的有效方法之一、在进行换元法时，我们可以选择一个合适的变量替换，使得被积函数简化。
设有∫f(g(x))g'(x)dx，令u=g(x)，则dx=du/g'(x)，所以∫f(u)du 即可。
换元法的关键是选择合适的变量替换。
三、分部积分法分部积分法用于对乘积进行积分。
设有∫u(dv)，其中u为一个可微函数，dv为一个可积函数，根据分部积分法的公式：∫u(dv) = uv - ∫v(du)通过选择合适的u和dv，将原问题转化为求解形式更简单的积分。
如果最后的∫v(du)也可以通过分部积分法进一步解决，则可以多次应用该方法。
四、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，可以帮助我们简化计算：- ∫[a,b] f(x) dx = -∫[b,a] f(x) dx （积分区间调换，结果取负值）- ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx （可加性）- ∫[a,b] k*f(x) dx = k*∫[a,b] f(x) dx （常数倍性）- 若f(x)在[a,b]上连续，则∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数五、数值积分当无法通过手算得到解析解时，可以使用数值积分的方法来求解定积分。
数学定积分换元积分法
∫
2
例13
sin 3 x dx = ∫ sin 2 x sin x dx ∫
1 3 = −∫ (1 − cos x) dcosx = − cosx + cos x + C . 3
2
例14
sin x ⋅ cos x dx = ∫ sin2 x ⋅ (1 − sin2 x )2 d(sin x ) ∫
2 5
1 x−2 1 1 1 +C . = ∫( − ) dx = ln 3 x +1 3 x − 2 x +1
17
x(1 − x ) dx = ∫ ( x − 1 + 1) (1 − x )6 dx 例22 ∫
6
= ∫ [(1 − x )6 − (1 − x )7 ] dx 1 1 7 8 = − (1 − x ) + (1 − x ) + C . 7 8 1 3 2 x 4 − x d x = ∫ x 2 4 − x 2 dx 2 例23 ∫ 2
= G(u) + C = G[ϕ( x)] + C .
3
常用凑微分公式： 常用凑微分公式：
1 dx = d(kx + b) k
1 dx = 2 d x x
( k ≠ 0)
1 1 dx = − d 2 x x
1 2 x dx = dx 2
1 dx = d ln | x | x
sin x dx = −d cos x
= ∫ (sin2 x − 2 sin4 x + sin6 x) d(sin x)
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7
高数-积分学
2 x x x
x x
x e 2( xe e ) C .
2
e ( x 2 x 2) C
x 2
例 4 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e
x2
, 求 xf ( x )dx .
解
f ( x )dx f ( x ), f ( x )dx e
积分学
一、 不定积分
二、 定积分
三、 广义积分 四、重积分
五、平面曲线积分 六、积分应用
一、 不定积分
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式）. 2. 换元积分法
第一类换元的基本思路
g ( x)dx
f [ ( x)]d [ ( x)] F [ ( x)] C
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
4、牛顿—莱布尼茨公式
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的一 个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a )
注：这里要求f ( x)的原函数易求，且F ( x) f ( x)
第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有
1 1 k dx d (ax b) x dx d (ax k 1 b) a (k 1)a
e dx d (e )
x x
1 dx d (ln x) ( x 0) x
x arcsin x 1 x2
2
1
dx
1
解：
1
第一换元积分法
变量x换成中间变量u, 公式仍然成立. ? ? 3x 3x 例 e d ( 3 x ) e C , cos(ln x )d (ln x ) sin(ln x ) C
2
0
应用定理1的思路如下：
恒等变形
g( x )dx
f [ ( x )]d ( x )
代换u ( x )
2 sin xd (sin x ) sin x 2 C ;
解（三） sin 2 xdx 2 sin xcos xdx
2 cos xd (cos x ) cos x C .
2
1 例7 求 2 dx (a 0) 2 a x 1 1 1 1 x dx 2 dx 1 解 2 d( ) 2 x 2 a x a 1 ( ) a 1 ( x )2 a a a 1 x arctg C a a 1 练习 求 dx (a 0) 2 2 a x 1 1 1 x dx 解 2 dx d( ) 2 x 2 a x x 2 a a 1 ( ) 1 ( ) a a x arcsin C a
f [ ( x )]d ( x ) F [ ( x )] C .
定理1 设 f (u)du F (u) C , u ( x )具有连续的导数，
则
f [ ( x )]d ( x ) F [ ( x )] C .
证明： F (u) f (u)
1 cos 3 x cos 2 xdx 2 (cos x cos 5 x )dx 1 1 sin x sin 5 x C . 2 10
1 例13 求 2 x
解
1 e x dx
1 cos 3 x cos 2 x (cos x cos 5 x ), 2
定积分的换元积分法及分部积分法教案
定积分的换元积分法及分部积分法教案在数学学科中，定积分是重要的概念之一，它用于计算曲线下的面积以及求解一些与曲线相关的问题。
在定积分的计算过程中，换元积分法（也被称为代换法）和分部积分法是两种常用的方法。
本文将分别介绍这两种方法的基本思想、应用场景以及具体的计算步骤。
一、换元积分法换元积分法是一种通过引入新的自变量来简化被积函数的积分形式的方法，常用于求解复杂函数的积分。
其基本思想是将被积函数中的一个部分替换为新的变量，从而使得替换后的函数更易于求积分。
换元积分法的基本步骤如下：1. 选取合适的代换变量。
通常选择函数中的某一部分作为代换变量，希望将其替换为一个新的单变量函数。
2. 进行变量代换。
将选取的代换变量与原函数进行替换，得到含有新变量的复合函数。
3. 求解新函数的导数和逆函数。
根据链式法则，计算出新函数的导数，并求出其逆函数。
4. 替换变量并求积分。
将原函数中的变量用代换变量表示，将被积函数转化为新的积分形式。
最后，根据积分的基本性质求解出最终的积分结果。
换元积分法常用于求解包含复杂函数的积分，通过选择合适的代换变量，可以将原函数转化为更加简单的形式，使得计算过程更加容易和高效。
在实际应用中，对于具体的函数形式，需要灵活选择代换变量，以获得最佳的换元效果。
二、分部积分法分部积分法是求解积分中的乘积形式时常用的一种方法，用于将乘积形式的积分转化为更易求解的形式。
它基于求导法则中的乘积法则，通过对原函数进行分部积分，将原积分问题转化为简化后的积分问题。
分部积分法的基本步骤如下：1. 选择分部积分的形式。
对于被积函数中的乘积形式，选择其中一个函数进行求导，另一个函数进行积分。
2. 计算分部积分后的结果。
通过应用乘积求导法则，对原函数进行求导和积分，得到分部积分后的结果。
3. 化简并重复应用。
如果分部积分后的新积分形式仍然是乘积形式，则继续应用分部积分法进行反复化简，直到积分变得简单易解为止。
4. 求解最终的积分结果。
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例2 计算 02sin2xco4sxdx.
解法1. 02sin2xco4sxdx022sinxco5sxdx
换元： tco x，s d tsixndx
换限： x0， t 1
x ， t0
2
原式＝
0
1
2t5dt
216t6
0
1
1 3
.
解法2. 02sin2xco4sxdx022sinxco5sxdx
0 aftd t0 afx d x a 0fx dx
a a T f x d a 0 x f x d 0 T x f x d T a x T f x dx
a 0 fx d x 0 Tfx d x a 0 fx dx
T
0
f
xdx
3.若 fx在 0，1 上连续，则
0 2fsixn d x0 2fco xd sx………⑤
二、常用的定积分公式及应用
1.设 fx 在 a,a上连续，则
a afx d x 0 afx fx dx………①
（1）若 fx为偶函数，fx f x ，
a fxdx 2afxdx
a
0
………②
（2）若 fx为奇函数， fx f x ，
a
a
fxdx0
………③
证 0 afx dx x x a ,t t,a d ;x x 0 d ,t t 0 a 0 f tdt
20 2co 5xsd co x s 2 1 6co 6x s 0 21 3
例3
计算 0
sixnsi3nxdx.
解 0 sx i s n 3 i x d n 0 x sx ic n 2 x o ds x
0 sixncoxsdx
2 0
sixc nx od s xsix n co x dsx
0 tfsitn dt
0 fstid n t0 tfstid nt
0 fsx id n x 0 xs fx id nx
所以 0 xs f ixn d x 20 fsixn dx
5.例题
例5 计算2coxsx5si4nx1dx. 2
解 2coxsx5si4nx1dx 2
2 2x5c 奇 oxs函 i4n xd数 x 2 2偶 cox函 sdx数
解 被积函数 ecotssi2nt是以2为周期的连
元法），换元的同时必须换限。在计算 2 0
cos2tdt
时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，
所以没有换限.
补充：由定积分的几何意义知，该积分值等
于由 y 1x2 ，直线y 0 ,x 0 ,x 1 所
围图形的面积（见右图）.
面积值为圆面积的 1 . 4
y
y 1 x2
1
0
1x2dx
4
-1
o
1x
第三节 定积分的换元积分
一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用
一、换元积分法
1.定理 设函数 fx在 a,b上连续；函数 t在 ,（或 ,）上有连续导数； 当 t在 t在 ,（或 ,）上变化时， x在a,b上变化，且 a，b，
则有
a bfx d x fttdt
上式叫做定积分的换元公式.
证 设 G xfx，xt
a 0
f
tdt0a
f
xdx
a afx d x 0 afx d x 0 afx dx
0 afxd x0 afxdx
0 afxfxdx
2.设 fx是以 T为周期的连续函数，则
a aTfxd x0 Tfxdx ………④
证
T a T fx dx x T x ,t t0 ;T x , d a T d x ,t t a 0 aft T dt
020 2co xsd2 xsixn 0 22
例6 计算 1 x2 dx .
11 ex
解
设
f x x2
1ex
,则
f x x2
1ex
fxfxx2 x2 x2
1 e x 1 ex
利用定积分公式①得
111 xe 2xd x0 1x2d x1 3x31 01 3
例7 计算 x2ecotssi2ntd.t x
计算
1
0
1x2dx
解 换元： xsitn ， d xco td ；st
换限： x0， t0 ，
x1， t ， 2
1
0
1 x2d x 0 2
1 s2 itn ctodst
2
0
cos2
tdt
12021co2stdt
1 20 2d t0 2co2ts1 2d2t
12t
12sin2t02
4
注 第一步是采用的换元（不定积分第二类换
1e 1ln 2
2解 fx111x1,x10,
ex1,x10,
1 x
,x
1,
e , x1 x 1
0 2 fx 1 d 0 1 x fx 1 d 1 2 x fx 1 dx
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
证
0 2fsixn dxx x0 ,t2 t;,d x x ,d tt0 2 0f si 2 nt dt 22
0 2fco tds t0 2fco xdsx
4.若 fx在 0，1 上连续，则
0 xs fixn d x 20 fsixn dx ………⑥
证
0
xfsinxdx t 0 tfsi n td
d dG ttddG xxd dx t G x t
fxt f t t
fttd tG t
G G G b G a
a b fx d x G x b a G b G a
则 a bfxd x fttdt
2.说明
(1)定积分的换元公式中，用 xt把原变
量 x换成新变量 t时（这如同不定积分第二类
换元），积分限也要换成相应于新变量 t 的积 分限，但 t的对应值可能不唯一，只要任取一
换元过程为 tx（这如同不定积分第一类 换元），且 a, b;若此换元
过程是采用的凑微分法，没有写出新变量 t ，
则不必换元，即
f x x d x f x d x
3.例题
.例1
2
2 0
sixd nsixn
sixd nsixn
2
32sin23x02
32sin23x
4 3
2
例4
设
f
x
11
, x
x
0,
ex, x 0,
求
2
0
f
x1dx
解 0 2fx 1 dt xx 1 1 1ftdt 0 1fxd x0 1fxdx 01exdx01x11dx
e x0 1 ln 1 x 1 0