数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案

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Chapter 1

（P10）5. 求2的近似值*

x ，使其相对误差不超

过%1.0。 解：

4.12=。

设*

x 有n 位有效数字，则n

x e -⨯⨯≤10105.0|)(|*

。 从而，

1

105.0|)(|1*

n

r x e -⨯≤

。

故，若%

1.0105.01≤⨯-n

，则满足要求。

解之得，4≥n 。414

.1*

=x

。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12

cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2

105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2

（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()

γβα

=-1

A

。分别求如下线性方程组：

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=001αA ，

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=010βA ，

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。

即，

⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=121012001L ，⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛---=300210111U 。

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，

⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=100α；

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=323131β；

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=313231γ。

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛---=-313

2132310

313101A 。

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816

2115153114015052

31214321x x x x

解: 平方根法：

先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛--=12133210012

0001

L ，其中，

T

L L A ⨯=。

经平方根法的回代程，分别求解方程组

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x L T =，得，

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1111x 。

改进平方根法：

先求系数矩阵A 的形如T

LDL A =的分解，其中4

4)(⨯=ij

l

L 为单位下三角矩阵，}

,,,{432

1

d d d

d diag D =为对角矩阵。

利用计算公式，得

1

1=d ；

;

1,2,222121===d l t

;

9,2,1,2,1332313231=-==-==d l l t t

1,3

2

,1,3,6,1,34434241434241==

=-===-=d l l l t t t 。

分别求解方程组，

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x DL T

=，得，

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1111x 。

（P48）12. 已知方程组

⎩⎨

⎧=+=+1

98.099.0199.02121x x x x 的解为

100

,10021-==x x 。

（1） 计算系数矩阵的条件数； （2） 取

T

T x x )5.99,5.100(,)0,1(*2*1-==，分别计算残量

)

2,1(*=-=i Ax b r i i 。

本题的计算结果说明了什么？

解：（1）设⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=98.099

.099.01

A ，求得，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=-100009900990098001

A

。

从而，39601

)

(1

=A Cond 。

（2）计算得，T

r

)01.0,0(1

=，01

.01

1=r

；T

r

)985.0,995.0(2

--=，