河南省淮阳中学2015届高三上学期第一次月考 数学(理)

淮阳中学2015届高三上期第一次月考理科数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分。

每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）1．已知集合{}{|2,|x A x y B y ===，则AB =(B)A.{}|0x x > B {}|0x x ≥C ．{}|24x x x ≤≥或 D. {}|024x x x <≤≥或 2．已知()3sin f x x x π=-，命题:(0,),()02p x f x π∀∈<，则( D )A ．p 是假命题;:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥ B ．p 是假命题;00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ C ．p 是真命题; :(0,),()02p x f x π⌝∀∈>D.p 是真命题;00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥3．已知f （x ）是R 上的偶函数，将f （x ）的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若(2)1,(1)(2)(3)(2013)f f f f f =-++++=则( B )A ．1B ．0C ．—1D ．—1005.54．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ C ）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]5．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0f x g x f x g x ''+>.且(3)0g =.则不等式()()0f x g x <的解集是 （ D ）A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞ ,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)6.设函数x x x f )41(log )(4-=，xx x g ⎪⎭⎫⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21x x 、，则(B )A. 121=x xB. 0＜21x x ＜1C.1＜21x x ＜2D. 21x x 2≥7．已知函数f (x )＝9x－m ·3x＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( C ) A ．2－22<m <2＋2 2 B ．m <2 C ．m <2＋2 2 D ．m ≥2＋2 28. 已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠,定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题:①()()F x f x =; ②函数()F x 是奇函数;③当0a <时,若0mn <,0m n +>,总有()()0F m F n +<成立,其中所有正确命题的序号是（ D ）A ．②B ．①②C ．③D ．②③9已知函数(1)log 3(01)x a y a a -=+>≠且的图像恒过定点P ，若角a 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P 。

则2sin sin 2a a -的值为A .513 B.513- C.313 D. 313- 10. 已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是（ D） A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-11. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ D ）A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,012己知函数21(),()ln 2xf x eg x x ==+，对,(0,)a R b ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =， 则b-a 的最小值为(B). A 11ln 22-B ．11ln 22+ C. 1 D.212e -二、填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分。

请将答案填在答题卷的相应位置。

13.已知函数x x x f 3)(3+=对任意的0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m 恒成立，则∈x)32,2(- .14．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则---2--15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则co s C 的最小值为1216. 已知函数)(x f y = R x ∈ 有下列4个命题：①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ②(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于直线2=x 对称；③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称. 其中正确的命题为___①②③④三、解答题：17题10分，其它每题12分，共70分 17.（本小题满分10分）已知函数()2sin cos f x x x =()22cos x x -∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的取值范围.17.解：（1）因为()sin2cos21f x x x =--π214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（2）()π214f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当ππ242x -=，即3π8x =时，()max 1f x =；当ππ244x -=-，即0x =时，()min 2f x =-； 故函数()f x的取值范围是1⎡⎤-⎣⎦.18．（本小题12分）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有)1()1(-=+x f x f 成立．已知当]2,1[∈x 时，x x f a log )(=． （1）求]1,1[-∈x 时，函数)(x f 的表达式；（2）若函数()f x 的最大值为12，在区间[1,3]-上，解关于x 的不等式1()4f x >． 18解：（1）∵(1)(1)f x f x +=-，且)(x f 是R 上的偶函数，∴(2)()f x f x +=，log (2),[1,0]()log (2),(0,1]a ax x f x x x +∈-⎧=⎨-∈⎩．（2）由于函数是以2为周期，故只需考查区间]1,1[-．若1>a 时，由函数)(x f 的最大值为12知max 1(0)()log 22a f f x ===，即4=a ， 当10<<a 时，则当11x x ==-或时，)(x f 有最大值，即1log (21)2a -=，舍去，综上可得，4=a ．当]1,1[-∈x 时，若]0,1[-∈x ，则41log (2)4x +>20x <≤， 若(0,1]x ∈，则41log (2)4x ->，∴02x <<∴此时满足不等式的解集为2,2． ∵)(x f 是以2为周期的周期函数， 当]3,1(∈x 时，1()4f x >的解集为)24,2(-，19．（12分）如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于E 点，F ，G 分别为AD ，BC 的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使得AC=．（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）求二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值．19． （1）证明；在菱形ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD ，△CBD 为等边三角形， ∵E 是BD 的中点，∴AE ⊥BD ，AE=CE=， ∵AC=，∴AE 2+CE 2=AC 2， ∴AE ⊥EC ，∴AE ⊥平面BCD ， 又∵AE ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）解：由（1）可知建立以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴的空间直角坐标系E ﹣xyz ，则D （0，1，0），C （，0，0），F （0，，）G （﹣，1，），平面CDG 的一个法向量=（0，0，1）， 设平面FDG 的法向量=（x ，y ，z ），=（0，﹣，），=（﹣，1，）∴，即，令z=1，得x=3，y=，故平面FDG 的一个法向量=（3，，1），∴cos==，∴二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值为﹣．20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p = 点A 到准线l的距离d FA FB ===122ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔= 圆F 的方程为22(1)8x y +-=（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p>，则(0,)2pF点,A B 关于点F 对称得：22220000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=得：3,)2pA，直线3:022p p p m y x x -=+⇔+=2222x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点)6pP直线:06p n y x x p -=⇔= 坐标原点到,m n3=。

（lfx lby ）21. 已知函数()ln(1)(xf x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的最大值； （Ⅲ）若关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+有且只有一个实数根，求m 的值．21．解：（Ⅰ）()ln(1)x f x e a =++是实数集R 上奇函数，(0)0f ∴=，即0ln(1)0211e a a a ++=⇒+=⇒=- ……2分．将1a =-带入()ln xf x e x ==，显然为奇函数． ……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()sin sin g x f x x x x λλ=+=+，[]'()cos ,1,1g x x x λ∴=+∈-∴要使()g x 是区间[]1,1-上的减函数，则有'()0g x ≤在[]1,1x ∈-恒成立，min (cos )x λ∴≤-，所以1λ≤-． ……5分要使()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，只需max ()(1)sin11g x g t λλ=-=--≤-在1λ≤-时恒成立即可． (1)sin110t λ∴++-≥(其中1λ≤-)恒成立即可． ………7分令()(1)sin11(1)h t λλλ=++-≤-，则10,(1)0,t h +≤⎧⎨-≥⎩即10,2sin10,t t +≤⎧⎨--+≥⎩sin12t ∴≤-，所以实数的最大值为sin12- ………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程2ln 2()x x ex m f x =-+，即2ln 2xx ex m x =-+，令212ln (),()2xf x f x x ex m x==-+121ln '()xf x x-= 当(]0,x e ∈时，11'()0,()f x f x ≥∴在(]0,e 上为增函数； 当[,)x e ∈+∞时，11'()0,()f x f x ≤∴在[,)e +∞上为减函数； 当x e =时，1max 1()f x e=． ………………11分而2222()2()f x x ex m x e m e =-+=-+-当(]0,x e ∈时2()f x 是减函数，当[,)x e ∈+∞时，2()f x 是增函数， ∴当x e =时，22min ()f x m e =-． ………………12分 只有当21m e e -=，即21m e e=+时，方程有且只有一个实数根．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选项】 22．（10分）（2014•洛阳三模）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，以C 为切点的切线交AB 的延长线于点P ，AM ⊥CP ，垂足为M ，CD ⊥AB ，垂足为D ． （1）求证：AD=AM ； （2）若⊙O 的直径为2，∠PCB=30°，求PC 的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．已知直线l 的参数方程为，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cos （θ﹣）．（1）求直线l 的参数方程化为普通方程，将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 距离的取值范围．【选修4-5：不等式选项】24．已知函数f （x ）=2|x+1|﹣|x ﹣3| （1）求不等式f （x ）≥5的解集；（2）当x ∈[﹣2，2]时，关于x 的不等式f （x ）﹣|2t ﹣3|≥0有解，求实数t 的取值范围． 22． （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∵以C为切点的切线交AB的延长线于点P，∴∠MCA=∠ABC=∠ACD，∵∠AMC=∠ADC=90°，AC=AC，∴△AMC≌△ADC，∴AD=AM；（2）解：∵∠PCB=30°，以C为切点的切线交AB的延长线于点P，∴∠PAC=∠PCB=30°，在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，∴BC=1，∠ABC=60°，∴∠BPC=30°，∴∠BPC=∠BCP，BC=BP=1，由切割线定理得PC2=PB•PA=PB（PB+BA）=3，∴PC=．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．解：（1）由（t为参数）得直线l的普通方程为又∵，∴，∴，即；（2）由得圆心C（1，），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d=．直线l与圆C相离．∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是．【选修4-5：不等式选项】24、解：（1）f（x）=2|x+1|﹣|x﹣3|=，由式f（x）≥5，可得①，或②，或．解①求得x≥3，解②求得2≤x＜3，解③求得x≤﹣10．故不等式的解集为[2，+∞）∪（﹣∞，﹣10]．（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣4，5]，∵关于x的不等式f（x）﹣|2t﹣3|≥0有解，∴5﹣|2t﹣3|≥0，即﹣5≤2t﹣3≤5，求得﹣1≤t≤4，故t的范围为[﹣1，4]．。