离散数学期末考试题(附答案和含解析1)

一、填空

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C)-A

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。

//备注：

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛=0000100001010010

R ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=0000000

010*******R

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如下，则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。

//备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性

8．图的补图为 。

//补图:给定一个图G,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：

* a b c d a b c d

a b c d b c d a c d a b d a b c

那么代数系统的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。 //备注：二元运算为x*y=max{x,y}，x,y ∈A 。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。

//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大

下界的偏序）

二、选择题

1、下列是真命题的有（ C 、D ）

A ． }}{{}{a a ⊆；

B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；

C ．

}},{{ΦΦ∈Φ； D ．}}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（ B 、C ）

A C

A ．{4，3}Φ⋃；

B ．{Φ，3，4}；

C ．{4，Φ，3，3}；

D ． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。

A ． 23 ；

B ． 32 ；

C ． 3

32⨯； D ． 2

23

⨯。

//备注：A 的二元关系个数为：

2

n 2

个。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ A ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R ο是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R ο是反自反的； X C ．若R ，S 是对称的， 则S R ο是对称的； X D ．若R ，S 是传递的， 则S R ο是传递的。 X //备注：设R={<3,3>,<6,2>},S={<2,3>}, 则R S

ο={<6,3>} , S

R ο={<2,3>}

5、设A={1，2，3，4}，P （A ）（A 的幂集）上规定二元系如下

|}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=，则P （A ）/ R=（ D ）

A ．A ；

B ．P(A) ；

C ．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；

D ．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}

6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ C ）

//例题：画出下列各关系的哈斯图 1）P={1,2,3,4},的哈斯图。

2）A={2,3,6,12,24,36},的哈斯图。 3）A={1,2,3,5,6,10,15,30},的哈斯图

7、下列函数是双射的为（ A ） //双射既是单射又是满射

A ．f : I →E , f (x) = 2x ；

B ．f : N →N ⨯N, f (n) = ；

C ．f : R →I , f (x) = [x] ；//x 的象

D ．f :I →N, f (x) = | x | 。 （注：I —整数集，

E —偶数集， N —自然数集，R —实数集） 8、图 中 从v1到v3长度为3 的通路有（ D ）条。

//备注：分别是v1->v1->v1->v3，v1->v4->v1->v3，v1->v3->v1->v3

A ．0；

B ．1；

C ．2；

D ．3。

9、下图中既不是Eular （欧拉）图，也不是Hamilton （哈密顿）图的图是（ B ）

10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（ A ）个4度结点。 A ．1；

B ．2；

C ．3；

D ．4 。

//备注：树的顶点数=边数+1 7+3×3+4n=2（7+3+n-1） 解得n=1 三、证明题

1、R 是集合X 上的一个自反关系，求证：R 是对称和传递的，当且仅当< a, b>和在R 中有在R 中。 证：

“⇒”

X c b a ∈∀,, 若R >c ,a <,>b ,a <∈由R 对称性知R a ,c <,>a ,b <∈>，由R 传递性得 R >c ,b <∈ “⇐” 若

R >b ,a <∈，R >c ,a <∈有 R >c ,b <∈ 任意 X b a ∈,，因R >a ,a <∈若

R >b ,a <∈R >a ,b < ∈∴ 所以R 是对称的

若

R >b ,a <∈，R >c b,<∈ 则 R c b, R >a b,<>∈<∧∈ R >c ,a < ∈∴ 即R 是传递的

2、f 和g 都是群到< G2, *>的同态映射。

证明是的一个子群。其中C=)}()(|{1x g x f G x x =∈且

证：

C b a ∈∀,，有 )()(),()(b g b f a g a f ==，又

)()(,

)()(111

1b g b g b f

b f ----==)()()()(1111----===∴b g b g b f b f

a f (∴★a g

b g a g b f a f b ()(*)()(*)()111===---★)1-b

a ∴★C

b ∈-1 ∴< C , ★> 是 < G1 , ★>的子群。

3、G= (|V| = v ，|E|=e ) 是每一个面至少由k （k ≥3）条边围成的连通平面图，则 2)

2(--≤

k v k e ， 由此证明

彼得森图（Peterson ）图是非平面图。（11分） 证：

①设G 有r 个面，则

rk

F d e r

i i ≥=∑=1

)(2，即

k e

r 2≤

。而 2=+-r

e v 故

k e

e v r e v 22+

-≤+-=即得

2)2(--≤

k v k e 。（8分）

②彼得森图为

10,15,5===v e k ，这样2)

2(--≤

k v k e 不成立，

所以彼得森图非平面图为：

四、逻辑推演 1、用CP 规则证明下题

)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀

①)(x xP ∀

P （附加前提）