长沙理工大学高等数学期末考试试卷及答案
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 判断题(每小题2分，共10分)1．二元函数(),z f x y =在平面区域上的积分为二重积分。
（ ）2．二元函数(),z f x y =的极值点只能是使得0z zx y∂∂==∂∂的点。
（ ）3．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）4．闭区域上的二元连续函数一定存在最大最小值，且一定可积。
（ ）5．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）二.单项选择题(每小题2分，共20分)1.平面2y = （ ） A.垂直于xOz 平面 B.平行于xOy 平面 C.平行于xOz 平面 D. 平行于Oy 轴2. 二元函数(),z f x y =在某点()00,x y 连续，那么(),z f x y =在该点一定 （ ）A .极限存在 B.两个偏导存在 C.可微 D.以上都不对3. 极限()(),0,0lim x y xyx y→+的结果为 （ ）A.0B.∞C. 12D.不存在4.若区域D 是由1x y +≤与12x y +≥所围成，则积分()22ln Dx y d σ+⎰⎰的值（ ）A.大于零B. 小于零C.等于零D. 不存在 5.下列绝对收敛的级数是 （ ）A.∑∞=--1n nn1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1(C.∑∞=--1n 51n n)1(D.∑∞=--1n n 21)1(6. 下列无穷级数中发散的无穷级数是 （ ）A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+-1n n 1n )1(C. ∑∞=--3n 1n n ln )1(D. ∑∞=+1n 1n n32 7. 点（0，0，1）到平面z=1的距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 积分2011dx x +∞+⎰的结果为 （ ）A.0B. 2πC. 2π-D.不存在9. 函数()arctan f x x =在 []0,1上，使拉格朗日中值定理成立的ξ是（ ）A.-10.设()f x 在(),a b 内满足()'0f x <，()''0f x >，则曲线()f x 在(),a b 内是（ ）A.单调上升且是凹的B. 单调下降且是凹的C.单调上升且是凸的D. 单调下降且是凸的三.填空题(每小题2分，共10分) 1. 设函数z x y =-，则xz∂∂=___________。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
高数(二)期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(B）注意: 1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分,共16分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中．1．a与b是向量，若baba+=+,则必有（）(A)⊥a b(B)0,0==a b或(C)a=b(D)⋅=a b a b2。
()(),0,1sin()limx yxyx→=( ）。
（A）不存在（B）1（C) 0（D) ∞3．二元函数),(yxfz=在),(yx处可微的充要条件是（）（A）),(yxf在),(yx处连续（B）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内存在（C）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内连续（D）当0)()(22→∆+∆yx时，yyxfxyxfzyx∆'-∆'-∆),(),(是4．对函数(,)f x y=(0,0)是(,)f x y的( )。
（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点(C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5．设平面区域D：1)1()2(22≤-+-yx，若21()dDI x yσ=+⎰⎰，32()dDI x yσ=+⎰⎰则有（）（A)21II<（B）21II=（C）21II>（D）不能比较6．设椭圆L:13422=+yx的周长为l，则()dLx y s+=⎰（）(A）0 （B）l（C) l3 (D）l47．下列结论正确的是（）（A）若11nnuu+<(1,2,)n=成立,则正项级数1nnu∞=∑收敛（B)当0lim=∞→nnu时，交错级数1(1)nnnu∞=-∑收敛(C)若级数1nnu∞=∑收敛,则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛（D）若对级数1nnu∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛8。
设∑∞=1nnnxa的收敛半径为(0)R R>，则∑∞=12nnnxa的收敛半径为（ A ）(A) （B）R(C）2R（D) 不能确定二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分）．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n的直线方程为；2。
长沙理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)
长沙理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
3．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为
( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
5．极限（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
6．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
8．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
9．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
10．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
12． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
13．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
15．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】B。
《高等数学》期末考试A卷(附答案)
《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设 是正整数， 为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。
【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。
【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137． 函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3． 当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（ ）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对 【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （ ）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷适用专业：应化 考试日期：年 月 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 ． 2.设y zx =，则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=，则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ A ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解，则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝（ D ）.(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。
《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)
《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案1. 单选题：1) 高数是一门基础学科。
2) 导数的几何意义是函数在某一点的斜率。
3) 定积分是求曲线下某一段的面积。
4) 曲线的凸性由函数的二阶导数决定。
答案：ABCD2. 多选题：1) 函数y = √x在x = 0处不可导的原因有：a) 函数不连续；b) 函数在x = 0处有间断点；c) 函数在x = 0处的左、右导数不等；d) 函数在x = 0处的导数不存在。
2) 函数y = e^x在区间(-∞, +∞)上是增函数的条件是：a) 函数在该区间内连续；b) 函数在该区间内为正；c) 函数的导数在该区间内恒大于0；d) 函数的导数在该区间内恒小于0。
答案：1) CD；2) C3. 简答题：请详细解释导数的定义，并给出一个实际例子。
解答：导数的定义是一个函数在某一点处的变化率或斜率。
数学上，对函数y = f(x)求导数，表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以用于描述曲线的斜率，也可用于求函数的最大值、最小值等。
例如，一个移动的物体的位置随时间的变化可以用函数s(t)表示。
速度是位置对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt。
假设某物体的位置函数为s(t) = 2t^3 + t^2 - 3t + 1，则速度函数为v(t) = 6t^2 + 2t - 3。
4. 计算题：计算下列定积分：1) ∫(x - 2) dx，积分区间为[-1, 3]。
2) ∫(2e^x + 3x^2) dx，积分区间为[0, 2]。
3) ∫(2cos(x) - e^x) dx，积分区间为[0, π]。
解答：1) ∫(x - 2) dx = (1/2)x^2 - 2x + C （C为常数）在积分区间[-1, 3]上计算，得到：∫[-1, 3](x - 2) dx = [(1/2)(3)^2 - 2(3)] - [(1/2)(-1)^2 - 2(-1)]= (9/2 - 6) - (1/2 + 2)= -11/22) ∫(2e^x + 3x^2) dx = 2∫e^x dx + 3∫x^2 dx= 2e^x + x^3 + C （C为常数）在积分区间[0, 2]上计算，得到：∫[0, 2](2e^x + 3x^2) dx = [2e^2 + 2^3] - [2e^0 + 0^3]= 2e^2 + 8 - 2 - 1= 2e^2 + 53) ∫(2cos(x) - e^x) dx = 2∫cos(x) dx - ∫e^x dx= 2sin(x) - e^x + C （C为常数）在积分区间[0, π]上计算，得到：∫[0, π](2cos(x) - e^x) dx = [2sin(π) - e^π] - [2sin(0) - e^0]= 0 - 1 - 0 + 1= 0以上就是高数期末考试题及答案，希望对你的学习有所帮助。
高等数学期末复习题及答案精选文档分享
高等数学期末复习题及答案一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1、.11)(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan 2222C xD C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==⎰ 则设答(A ) 2、[) ） 答（ 和、 依赖于 ，不依赖于 依赖于 和 依赖于 ，不依赖于 依赖于 的值则， 上连续，且，在设函数t x s D s t C s t B t s A I t s dx sxt f s I x f st )()()()()00()(10)(0>>+=∞+⎰ 答( C ) 3、cx x x x D cx x x x C c x x x x B cx x x x A I xdx I +⋅-+-+⋅-++⋅-++⋅++==⎰sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21|tan sec |ln 21)(sec tan 21tan sec ln )(sec tan 21|tan sec |ln 21)(,sec 3 则设答( A ) 4、 答（ ） 等于是同阶无穷小，则与时，且当，，，有连续的导数，设4)(3)(2)(1)()(0)()()(0)0(0)0()(022D C B A k x x F x dt t f t x x F f f x f k x'→-=≠'=⎰答( C ) 5、） 答（ 是等价无穷小，则的导数与时，若已知21)( 1)(21)( 1)()0(d )()()(02022--=''''-=→⎰D C B A f x t t f t x x F x x答( B ) 6、)()()()()()()()()(0, 2cos 1)(lim,0)0(,0)(0 答 的驻点但不是极值点 是的驻点 不是的极小值点 是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x xx f f x x f x ==-==→ 答( Ｂ ) 7、（ ） 答 是单调的 不为极植 取极大值 取极小值 处必在函数)()()()(3)3cos cos 2()(0D C B A x dt t t x f xπ=+=⎰答( B ) 8、.)1ln(2)(;)1ln(2)(;)1ln()()1ln()(,d 11c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-=+-=⎰ 则设 答(C ) 9、 ） 答（ 不为常数 恒为零 为负常数 为正常数 则设)()()()()(,sin )(2sin D C B A x F tdt e x F x xtdt⎰+⎰=π答( C )10、 设函数在点处可导则它在处关于自变量改变量的微分等于 答 y f x x x x dy A f x x f x B f x f x x C f x x D f x =+--+''(),()()()()()()()()()()()∆∆∆∆答()C11、极限的值为．；． ． ．． 答（ ）limtan sin x x xx A B b C D →-∞030112答( C ) 12、设 则点 是的极大值点 是的极小值点 是的驻点但不是极值点 不是的驻点 答 lim()()(),()()()()()(),,()()()x af x f a x a x aA f xB f xC f xD f x →--=-=21答( A ) 13、[] 答（ ） 无穷多 内零点的个数必为，在则函数，上连续，且，在设函数)( 2)(1)( 0)()()(1)()(0)()(D C B A b a dt t f dt t f x F x f b a x f x b x a ⎰⎰+=> 答( B ) 14、[] ） 答（ 要条件 既不是充分也不是必 充分必要条件 充分条件 必要条件 的为奇函数是积分上连续，则，在设)( )()( )(0)()()(D C B A dx x f x f a a x f aa=-⎰-答( B )15、)()()()( )())((0)(,0)()(0000 答 必不取得极值能不取得极大值 可能取得极大值也可 必有极小值 必有极大值 处则在的某邻域有定义且在函数D C B A x f x x x f x f x x x f ==''='=答()C 16、cx D c x x x C c x x B c xA I x x I ++-++==⎰2)(ln 21)(ln )(ln )(;1)( d ln 则设答( C ) 17、答（ ） 确定定积分4)(2)(1)(0)(cos 0D C B A dx x ⎰π=答( C )二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 5 小题，每小题3分，总计 15 分 ）1、_____________000)(sin 2sin ==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x x a x xe e xf xx 处连续则 在， ，设 填: 12、. ___________0 , 001sin )(2==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在 ，当，当 填 : 1-3、已知是的一个原函数cos (),x xf x =⋅⎰x x xx f d cos )(则___________. ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⎰⎰)cos d(cos d cos )(x x x x x x x x f 填c x +2)cos (1 4、⎰='x x f x xxx f d )(,sin )(则的一个原函数为设______________。
高等数学期末试卷及答案
高等数学测试题一一、单项选择题(每小题4分，满分20分)1．曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程是（ ）A.123123x y z ---==B.23140x y z ++-=C.123213x y z ---==D.2340x y z ++-= 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f xy y =，则2z x y ∂∂∂=（ ）A.111f xyf '''+ B.112f yf '''+ C.1211yf xyf ''''+ D.112f xyf yf '''''++ 3．设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，则下列等式（ ）成立.A.12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）A.11(1)nn n ∞=-∑ B.2311(1)n n n ∞=-∑C.1(1)nn ∞=-∑11(1)ln(1)n n n∞=-+∑5．已知幂级数0(1)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，在4x =处发散，则幂级数0(1)n n n a x ∞=+∑的收敛域为（ ）A.[4,2)-B.[3,3)-C.[2,4)-D.[1,5)- 二、填空题(每小题4分，满分20分)6．通过曲线22222241x y z x y z ⎧++=⎨--=⎩且母线平行于z 轴的柱面方程为 ．7．设函数2(,,)e x f x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-= ．8．微分方程230y y y '''+-=的通解为 ． 9．交换积分次序1100d (,)d xx f x y y -=⎰⎰ ．10．级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径R = ．三、计算题(每小题6分，满分30分)11．求函数22(,)22425f x y x xy y x y =++++-的极值．12．求曲面22z x y =+介于两平面1z =与4z =之间的部分的面积．13．求微分方程22d d yxy x y x=+满足条件e |2e x y ==的特解．14．求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面0x y z +-=的平面方程．15．求幂级数211nn n x n ∞=+∑的和函数．四、理论及其应用题（每题满分8分，共24分）16．求二阶线性非齐次微分方程2y y y x '''-+=满足条件(0)2,(0)0y y '==的特解．17．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ．求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．18．将函数1()f x x =展开成(3)x -的幂级数，并求10(1)3n n n ∞+=-∑的和．五、证明题（本题满分6分）19．设z 是,x y 的函数，且()(), ()()0xy xf z yg z xf z yg z ''=++≠，求证：[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂．《高等数学（下）》测试题一参考答案一、1．B ；2．D ；3．C ；4．C ；5．A ．二、6．22531x y -=；7．1；8．312e e x x y C C -=+；9．1100d (,)d yy f x y x -⎰⎰；10．1/2．三、11．解224, 242f f x y x y x y ∂∂=++=++∂∂，由0, 0f f x y∂∂==∂∂解得驻点(3,1)P -，又因为2, 2, 4xxxy yy f f f ''''''===，则在点(3,1)P -处，2, 2, 4A B C ===，240B AC -=-<，且20A =>，故点(3,1)P -是函数(,)f x y 的极小值点，极小值为(3,1)10f -=-．12．解2214d d D x y A x y x y ≤+≤==⎰⎰232π22111πd d 2π(14)126r r r θ==⨯+=⎰⎰． 13．解 因22(,)(),()P x y x y Q x xy =-+=均为二次齐式，故所给方程为齐次微分方程．令y xu =，则d d d d y u u x x x=+，代入方程2221d d y y x y x y x xy x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，得2d 1d u u u x x u ++=，即d 11d d d u x u u x x u x =⇒=．两边积分，得21ln 2u x C =+，将y u x=代回，得通解222(ln )y x x C =+．由初始条件e |2e x y ==，得1C =．故所求特解为222(ln 1)y x x =+．14．解 由题设知，所求平面的法向量n ，既垂直于已知平面的法向量0n i j k =+-，又垂直于向量122M M i k =--，故可取01211123102ijkn n M M i j k =⨯=-=-++--，由此得所求平面的点法式方程为2(1)3(1)(1)0x y z --+-+-=，即2320x y z --+=．15．解 因为211111n n nn n n n x nx x n n∞∞∞===+=+∑∑∑， 1211()1(1)nn n n x x S x nx x x x x x ∞∞==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， 记211()n n S x x n∞==∑，则121111()1n n n n S x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑， 对上式从0到x 的积分，得201()d ln(1)1xS x x x x==---⎰，故 2211ln(1) (11)(1)n n n xx x x n x ∞=+=---<<-∑. 四、16．解 原方程对应的齐次方程为20y y y '''-+=，齐次方程的特征方程是2221(1)0r r r -+=-=，解得其特征根为121r r ==，于是齐次方程的通解为12()e x y C C x =+．由于0λ=不是特征根，故非齐次方程2y y y x '''-+=的特解形式应设为*()Y x Ax B =+，将它代入非齐次微分方程中，得1, 2A B ==.于是，非齐次微分方程的通解为12()e 2x y C C x x =+++.将初始条件(0)2,(0)0y y '==代入，得120, 1C C ==-，故所求的特解为e 2x y x x =-++．17．解 直线AB 的方程为1111x y z-==-，即⎩⎨⎧=-=.,1z y z x 过z 轴上的[0,1]中任一点z 且垂直于z 轴截旋转体所得截面是一个圆，与AB 交于点1(1,,)M z z z -．于是圆的半径为r ==，面积为2π(122)z z -+．因此，1120()2d d d d d d π(122)d π3s z V x y z z x y z z z Ω===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 18．解 因为当|3|3x -<时，有011111333(3)33313nn x x x x ∞=-⎛⎫==⋅=- ⎪-+-⎝⎭+∑ 1001(3)1(1)(1)(3)333n n n n n n n n x x ∞∞+==-=-=--∑∑ 所以，取4x =，得10(1)134n n n ∞+=-=∑．五、19．证明 在方程()()xy xf z yg z =+两边同时对x 求导数得()()()()()()z z z y f z y f z xf z yg z x x x xf z yg z ∂∂∂-''=++⇒=''∂∂∂+， ()()0xf z yg z ''+≠.同理，得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+，将所求偏导数代入等式[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂，即得恒等式．故命题得证．《高等数学（下）》测试题二一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)1．函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在情况是（ ） (A)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '存在； (B)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (C)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (D)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在． 2．变换积分210d (,)d xx x f x y y ⎰⎰的次序为（ ）(A)10d (,)d y y f x y x ⎰； (B)110d (,)d y y f x y x ⎰⎰；(C)210d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； (D)10d (,)d y y f x y x ⎰． 3．直线12:213x y zL -+==与平面:21x y z ∏--=的关系是（ ） (A)互相平行，L 不在∏上； (B) L 在∏上； (C)垂直相交； (D) 相交但不垂直． 4．若级数21n n u ∞=∑与21n n v ∞=∑均收敛，则下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1n n u ∞=∑；B ．1()n n n u v ∞=+∑；C ．21(1)nnn u ∞=-∑；D ．21()n n n u v ∞=+∑．5．设平面区域D 是由直线1,12x y x y +=+=及两条坐标轴所围成，记233123()d , ()d , [ln()]d DDDI x y I x y I x y σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；则有（ ）(A)123I I I <<； (B) 321I I I <<； (C)132I I I <<； (D) 312I I I <<． 二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)6．过点(1,2,1)-且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 ．7．微分方程20y y y '''++=的通解为 ．8．已知平面24x y z m +-=是曲面222z x y =+在点(1,1,3)处的切平面，则m 的值等于 ．9．级数2114nnn x ∞=∑的收敛域为 ． 10．D 是由0,0x y ==与221x y +=所围成的图形在第一象限内的部分，则二重积分2d d Dx y x y =⎰⎰ ．三、基本计算题(每小题6分，共30分)11．设3,y z x f xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶偏导数，求,z z x y∂∂∂∂．12．已知||||1a b ==，且a 与b 的夹角π6θ=，求以2a b +和3a b +为边的平行四边形的面积．13．设Ω是由曲线22x y z=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域，求22()d x y z v Ω++⎰⎰⎰．14．求微分方程323e x y y y x -'''++=的通解．15．将函数1()(1)f x x x =-展开成2x -的幂级数．四、概念及其应用题（每小题8分，共24分） 16．求11, (0,0)z xy x y x y=++>>的极值．17．求曲面22z x y =+与226()z x y =-+所围立体的体积．18．求幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．五、证明题（本题6分）19．证明y x z x y x y ϕψ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足方程2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂．《高等数学（下）》测试题二参考答案一、1．B ；2．D ；3．A ；4．C ；5．B ．二、6．340x y z --+=；7．12()e x y C C x -=+；8．3；9．(2,2)-；10．115． 三、11．解231223,zy y x f xy x f y f xx x ∂-⎛⎫⎡⎤''=+⋅+⋅ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦， 3121z x f x f y x ∂⎡⎤''=⋅+⋅⎢⎥∂⎣⎦． 12．解 由向量积的几何意义知，以2a b +和3a b +为边的平行四边形面积为(2)(3)(3)(2)(3)(2)π555sin 62S a b a b a a a b b a b ba b a b =+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=⋅⋅=13．解 Ω由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =围成．曲面与平面的交线为228,4.x y z ⎧+=⎨=⎩ 选用柱坐标变换cos,sin ,. x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩由题意得积分区域:02π,04,0z r θΩ≤≤≤≤≤≤，于是42π2220()d d d )d x y z v z r z r r θΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰22442002562πd 2π2d π.423r r z z z z ⎛=+== ⎝⎰⎰ 14．解 由特征方程2()320r r r ϕ=++=得特征根为121,2r r =-=-，所以，齐次方程的通解为212e e x x y c c --=+，又由1λ=-是特征方程的单根，于是*()e xy x ax b -=+，即2()Q x ax bx =+，代入公式2()()0()()3j j j Q x x ϕλ==∑中，得3,32a b ==-，所以*332y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而，原方程的通解为2121e e 31e 2x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．15．解 因为111()(1)1f x x x x x==---， 011(1)(2), |2|1112n n n x x x x ∞===---<-+-∑；100111112(2)(1)()(1), |2|2222222212n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==--===-=--<-+-+∑∑； 故101()(1)(1)(2), |2|12n n n n f x x x ∞+==----<∑． 四、16．解 2211,z z y x x x y y ∂∂=-=-∂∂，令221010y xx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得驻点(1,1)．因为 222232322,1,z z z x x x y y y∂∂∂===∂∂∂∂， 2222(1,1)(1,1)2, 1, 2, 1430zzA B C xy∂∂=====∆=-=-<∂∂，0A >，故有极小值，极小值为3z =．17．解 222222:36z x y D x y z x y⎧=+⇒+≤⎨=--⎩.方法一：222π62π2000d d d d d (62)d r rV v r z r r θθ-Ω===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰240192π32π99π22r r ⎡⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.方法二：22222[6()()]d d [62]d d DDV x y x y x y r r r θ=-+-+=-⎰⎰⎰⎰2π2240019d (62)d 2π32π99π22r r r r θ⎡⎛⎫=-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰.18．解 1131limlim ,3(1)33n n n n n na n R a n ++→∞→∞===+. 当3x =时，级数11n n ∞=∑发散；当3x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，所以，级数的收敛域为[3,3)-．令111131(),()33133n n n n n n x x f x f x n x x -∞∞=='====--∑∑，001()(0)d ln(3)|ln 3ln(3)3xxf x f x x x x-==--=---⎰3 ()lnln(1)33x xf x -∴==-. 五、19．证明 利用一阶微分形式不变性，有d d d y y y x y x x x z x y x x x y x y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ϕϕψϕψψ从而2223222311z y y y x x x x x y z y y x x x x y y z y x x x y x y y y z y x x y x x y y ϕϕψϕψϕψψϕψ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭于是2222220z z x y x y∂∂-=∂∂．。
长沙理工大学大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x=处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x'+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
2021-2022学年高等数学期末考试卷(含答案)
2021-2022学年高等数学期末考试一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1．极限(,)lim y x y →= 。
2．已知函数22ln(1)z x y =-+，则(1,2)|dz = 。
3．设:L 22(1)4x y -+=，则ds y x x L )2(22+-⎰= 。
4．判断级数21(1)1nn n +∞=-+∑ 。
（填绝对收敛，条件收敛，发散）5．点)3,1,2(-M 到平面 0332=+--z y x 的距离为 。
二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数(,)z f x y =在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的（ ）（A ）必要而非充分条件； （B ）充分而非必要条件；（C ）充分必要条件； （D ）非充分又非必要条件。
7．曲面2223z x y =+在点(1,2,14)处的切平面方程为（ ） （A ）41242x y z ++=； （B ）12144121x y z ---==-； （C ）41214x y z +-=； （D ）12144121x y z ---==。
8．幂级数11(21)n n x n ∞=+∑的收敛域为（ ） （A ）(1,1)-； （B ）[1,0)-； （C ）(1,0]-； （D ）[1,0]-。
9．直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角是（ ）。
（A ）2π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）6π。
10．将函数()1f x x =+，[0,]x π∈展开为正弦级数1()sin n n f x b nx ∞==∑，则级数的系数4b =（ ）（A ） 12-； （B ）13； （C ）13-； （D ）12。
三、计算题(本题8分)11. 直线l 过点M(1,2,3)且与两平面02=-+z y x 和6432=+-z y x 都平行，求直线l 的方程。
长沙理工大学近年高数上期末考题(1)
长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分16分，每小题4分）1．已知11xf x x =-()()，为使f x ()在0x =点连续，则应补充定义0f =() ．2．已知225lim 232n a n bn n →∞++=-，则a = ，b = ．3．设f x ()的一个原函数是cos x ，则f x '=() ．4．已知220d sin d d x t t x =⎰ ．二、选择题：（本题总分16分，每小题4分） 1．设f x ()在0x x =处可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()2．下列函数在1, e []上满足拉格朗日定理条件的是( )A ．ln ln xB ．1ln x C ．ln xD ．ln 2x -() 3．根据估值定理，积分201d 103cos x x+⎰π的值在区间( )内A ．7, 13[]B ．0, 2[]πC ．11, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 4．函数3226187f x x x x =--+()的极大值是( )A ．10B ．11C ．17D ．9三、计算题：（本题总分64分，每小题8分） 1．求极限120lim 1xx x →+().2．若隐函数y y x =()由方程22ln arctanyx y x+=()确定，求y x '(). 3．设曲线C 的参数方程是()2e ee e t tt tx y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，求曲线C 上对应于ln2t =的点的切线方程.4．求x . 5．求0x ⎰.6．求330+e e d lim2xx t x t tx-→∞⎰. 7．求2 cos d x x x ⎰.8．已知曲线22y x x =-与2g x ax =()围成的图形面积等于323，求常数a . 四、证明题：（本题总分4分，每小题4分）设f x ()在a b [,]上连续，在a b (,)可导，且0f x '≤()，记d xaf t tF x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分20分，每小题4分）1．极限201sinlimsin x x x x→的值为( ) A ．1 B ．∞ C ．不存在 D ．02．若函数e , 0sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩()在0x =处可导，则a ，b 的值为( )A ．21a b ==,B ．12a b ==,C ．21a b =-=,D ．21a b ==-,3．设函数221xf x x =+()，则f x ()在( ) A ．-∞+∞(,)上单调增加 B ．-∞+∞(,)上单调减少 C ．11-(,)上单调增加，其余区间单调减少 D ．11-(,)上单调减少，其余区间单调增加4．设f x ()连续，则22d d d x tf x t t x -=⎰() ( ) A ．212f x () B ．2xf x () C ．22xf x ()D ．22xf x -() 5．设线性无关的函数123, y y y ,都是二阶非齐次线性方程y p x y q x y f x '''++=()()()的解，12C C ,是任意常数，则该非齐次方程的通解可以是( )A ．11223C y C y y ++B ．1122123C y C y C C y +-+() C ．11221231C y C y C C y +---()D ．11221231C y C y C C y ++--()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．已知函数211f x x =+()，则0f '''=() ． 2．微分方程230y y y '''++=的通解为 ． 3．20ln cos limx xx →= ．4．22sin d 1cos x x x x-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ππ ．5．21ln d 1xx x +∞=+⎰()． 三、解答题：（本题总分60分，每小题10分）1．求函数ln 1sin f x x a x bx x =+++()()，3g x kx =()，若f x ()与g x ()在0x →时是等价无穷小，求a ，b ，k .2．设2arctan 2e 5tx t y ty =⎧⎨-+=⎩确定了函数y y x =()，求y x '(). 3．计算1x ⎰，其中1ln 1d x t f x t t +=⎰()(). 4．证明：21arctan ln 12x x x ≥+().5．过曲线0y x =≥()上点A 做切线，使该切线与曲线及x 轴围成的平面图形D 的面积等于34. (1) 求A 点的坐标；(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 6．设0e d xx f x x t f t t =--⎰()()()，其中f x ()是连续函数，求f x ().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．设函数 22f x x x =-<<(),，则1f x -()的值域为( )A ．[0,2)B ．[0,3)C ．[0,2]D ．[0,3] 2．当0x →时，要1cos x -与等价，则a 应等于( )A ．14B ．4C ．12D ．23．设f x ()在0x 点可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()4．设f x ()在[1,1]-上连续，在(1,1)-内可导，且00f x M f '≤=(),() ，则必有( ) A ．f x M ≥() B ．f x M >() C ．f x M ≤()D ．f x M <()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分）1．设x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩(),()()，则1d d t y x == ．2．设y f x y =+()，其中f 具有一阶导数，且其一阶导数不等于1，则d d yx= ． 3．设ln y f x =()且f x ''()存在，则22d d yx= ．4．当0a >时，反常积分0e d ax x +∞-=⎰ ．5．微分方程2yy x'=的通解为 ． 三、计算题：（本题总分30分，每小题6分）1．求极限11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2．求函数2ln x y x=的单调区间.3．求不定积分1d 1x x x -⎰().4．求定积分0a x x ⎰，其中0a >. 5．求一阶线性微分方程d 1cos d y y x x x +=满足条件21x y π==的特解. 四、解答题：（本题总分20分，每小题10分）1．已知一平面图形由曲线0, 1, x x y ===x 轴围成，求(1) 此平面图形的面积；(2) 此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积. 2．求微分方程e x y y ''+=的通解. 五、应用题：（本题9分）已知制作一个背包的成本为40元，如果一个背包的售出价为x 元，售出的背包数由8040an b x x =-+--()给出，其中a , b 为正常数，问什么样的售出价格能带来最大利润？六、证明题：（本题5分）设f x ()在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0f x '≤()，记d xaf t t F x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．极限lim 3x x →∞+的值为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在2．下列函数f x ()在12-[,]上满足罗尔中值定理条件的是( )A．f x =() B ．2f x x x =() C ．arccos f x x =() D ．cot 2xf x π=()3．下列函数中，哪一个不是sin 2x 的原函数 ( )A ．2sin xB ．2cos x -C ．cos2x -D ．225sin 4cos x x + 4．设f x ()在a b [,]上连续，则d d d ba x f x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰() ( ) A ．d b af x x ⎰() B ．bf b af a -()() C ．[]d ba x fb f a f x x-+⎰()()()D ．d baf x x xf x +⎰()()二、填空题：（本题总分16分，每小题4分） 1．函数1arcsin 3x f x -=()的定义域为 ． 2．201cos 3limx xx→-= ． 3．设x a y x π=+，则y '= ． 4．若0a <，= ．三、计算题：（本题总分50分，每小题10分）1．计算极限sin cos 30e e lim x x xx x→-. 2．设参数方程(ln sin x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，求22d d y x .3．计算不定积分12ln d 1xx x x+-⎰，其中1x <. 4．计算定积分291x -⎰.5．求函数2ln xy x=的单调区间与极值.四、应用题：（本题10分）在曲线21y x =+上求一点M ，使它到点050M (,)的距离最小. 五、证明题：（本题8分）设f x ()在(,)a b 内连续，可导且f x '()单调递增，0x a b ∈(,)，记00000 f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩()(),()(),，证明：()x ϕ在(,)a b 内也单调递增.长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．如果0x →时，1cos x -与2sin 2xa 是等价无穷小，则a = ． 2．函数22132x f x x x -=-+()的可去间断点为 ．3．函数e x y x -=的拐点为 ．4．已知y =d x y = ．5．微分方程8150y y y '''++=的通解为 ． 二、求下列极限：（本题总分12分，每小题6分）1．1x →； 2．011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪+⎝⎭().三、求下列导数：（本题总分12分，每小题6分）1．设e sin x y x -=，求y ''； 2．已知tan y x y =+()，求y '. 四、求下列积分：（本题总分18分，每小题6分）1．x ； 2．2e d 1e xx x x +⎰()； 3．0222d 22x x x x -+++⎰. 五、解答题：（本题总分30分，每小题10分）1．当a 为何值时，1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值.2．求抛物线22y x =与其在点112⎛⎫⎪⎝⎭,处的法线所围成的图形的面积.3．求微分方程2ln xy y x x '+=满足条件119y =-()的解.六、证明题：（本题8分）设f x ()在[0, ]a 上连续，证明：0aaf x dx f a x dx =-⎰⎰()().。
长沙理工大学往高等数学试题及答案 (2)
长沙理工大学高等数学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题,每小题２分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ,且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ) ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2.()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-⎰（ )A ．0B ．1C ．－1D.∞ ３.设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导,则必有（ ).lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=,则f(x)在点x=1处（ )A 。
不连续B 。
连续但左、右导数不存在 Ｃ.连续但不可导 D. 可导5.设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共1０小题,每空3分,共３0分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
6.设函数ｆ（x ）在区间[0,１]上有定义,则函数f(x+14)+f （x —14)的定义域是__＿_______. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9。
已知某产品产量为ｇ时,总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC １0。
函数3()2f x x x =+在区间[0,１]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________。
11。
高等数学 期末考试试题(含答案)
（2017至2018学年第一学期）一、 单项选择题（15分，每小题3分）1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（ ）（A ）x Cosx x - （B ）x Sinx（C ）121-x （D ）x x )11(+2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（ ） （A ）无驻点 （B ）无拐点 （C ）无极值点 （D ）0)(>'x f4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点），（b a ∈ξ使（ ）成立。
（A ）0=）（ξf （B ）0='）（ξf（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -⋅'=-ξ 5．广义积分)0(>⎰∞+a dxax p当（ ）时收敛。
（A ）1>p (B)1<p (C)1≥p (D)1≤p二、填空题（15分，每小题3分）1、 若当0→x 时，22~11x ax --，则=a ；2、设由方程22a xy =所确定的隐函数)(x y y =，则=dy ；3、函数)0(82>+=x xx y 在区间 单减；在区间 单增；4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ；5、若dx x f dx x xf a ⎰⎰=10102)()(，则=a ；三、计算下列极限。
（12分，每小题6分）1、xx xx )1(lim +∞→ 2、 200)1(lim xdte xt x ⎰-→四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、241x y -=，求y ' 2、⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2 ，求22dx y d五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、dx xxx ⎰+++21arctan 1 2、dx x x ⎰--223cos cos ππ3、设dt ttx f x ⎰=21sin )(，计算dx x xf ⎰10)(六、讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=2,22,cos 2)(ππππx x x x x x f 的连续性，若有间断点，指出其类型。
高数期末试题 及答案
高数期末试题及答案1. 选择题（每题2分，共40分）
1.1 选择题题干
答案：选项A
解析：解析内容
1.2 选择题题干
答案：选项B
解析：解析内容
......
2. 填空题（每题4分，共40分）
2.1 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
2.2 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
......
3. 计算题（每题10分，共80分）3.1 计算题题干
解答：
计算过程
3.2 计算题题干
解答：
计算过程
......
4. 证明题（每题20分，共80分）4.1 证明题题干
解答：
证明过程
4.2 证明题题干
解答：
证明过程
......
5. 应用题（每题15分，共60分）5.1 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
5.2 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
......
综上所述，这是一份高数期末试题及答案，包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。
每道题目都提供了准确的答案和解析，以帮助同学们检验和巩固他们的数学知识。
请同学们认真阅读每道题目并按照正确的解题思路和步骤进行答题。
祝大家期末考试顺利！
（文章结束，共计xxx字）。
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷适用专业：应化 考试日期：年 月 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 ． 2.设y zx =，则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=，则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ A ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解，则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝（ D ）.(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。
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一、单项选择题（共20分，5个小题，每小题4分）1.已知1=a，2=b ，且两个向量的夹角为4π，则=+b a （）。
A.1B.21+ C.2D.5答案：D 。
考点：向量的运算。
解答：()()b a b a b a+⋅+=+ba b b a a ⋅+⋅+⋅=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅++=∧b a b a b a,cos 2225222221=⋅⋅++=。
注释：了解向量的各种运算和性质，掌握两向量的点积和叉积运算。
此题利用了2a a a=⋅。
2.函数xy z =在点()0,0处满足（）。
A.连续但偏导数不存在B.连续且偏导数存在C.偏导数存在但不连续D.可微答案：B 。
考点：多元函数在一点连续、可导、可微的定义。
解答：令()xyy x f z ==,（1）连续()()0,00lim,lim 0000f xy y x f y x y x ===→→→→则()xy y x f z ==,在()0,0处连续。
（2）可导()()()000lim 0,00,lim0,000=∆-=∆-∆=→∆→∆x x f x f f x x x 类似()00,0=y f ，则()xy y x f z ==,在()0,0处可导。
（3）可微()()y x f y x f z ∆∆=-∆∆=∆0,0,()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆22220,00,0y x o y x o y f x f y x 因为()()2202200limlimy x xy y x yx y x y x +=∆+∆∆∆→→→∆→∆，当()y x ,沿kx y =趋向()0,0时，该极限不存在，则()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆≠∆∆22y x o y x ，即()()0,0,f y x f z -∆∆=∆()()()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆≠220,00,0y x o y f x f y x ，故()xy y x f z ==,在()0,0处不可微，偏导数不连续（偏导连续则可微的逆否命题）。
注释：（1）因为本题是单选题，B 显然是对的，所以此处C 应理解为“z 的偏导数存在但z 不连续”。
（2）了解多元函数在一点极限存在、连续、可导、可微、偏导连续之间的关系，注意其与一元函数的区别。
3.设平面区域D 由0=x ，0=y ，41=+y x ，1=+y x 所围成，若()[]⎰⎰+=Dd y x I σ31ln ，()⎰⎰+=Dd y x I σ32，()[]⎰⎰+=Dd y x I σ33sin ，则1I ，2I ，3I 的大小顺序为（）。
A.321I I I <<B.123I I I <<C.231I I I <<D.213I I I <<答案：C 。
考点：二重积分的性质。
解答：当()D y x ∈,时，注意()0ln ≤+y x ，()1sin 0≤+≤+≤y x y x ，有()[]()[]()333sin ln y x y x y x +≤+≤+则()[]⎰⎰+Dd y x σ3ln ()[]⎰⎰+≤Dd y x σ3sin ()⎰⎰+≤Dd y x σ3，由于被积函数均不恒等，故不等式严格成立。
注释：当积分区域相同时，比较积分的大小即比较被积函数在积分区域上的大小。
4.设曲线L 是闭区域D 的正向边界，则区域D 的面积为（）。
A.⎰-L ydx xdy 21B.⎰+Lydxxdy C.⎰-Lydxxdy D.⎰+L ydx xdy 21答案：A 。
考点：格林公式。
解答：()()DDGreen LA d ydxxdy 211=--=-⎰⎰⎰σ公式，则⎰-=LD ydx xdy A 21。
注释：注意Green 公式的条件和结论及其用途。
5.若()∑∞=-01n nnx a 在1-=x 收敛，则在2=x 处是（）。
A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.无法确定其敛散性答案：B 。
考点：幂级数，Abel 定理。
解答：令t x =-1，()∑∑∞=∞==-01n nnn nnta x a ，由Abel 定理，∑∞=0n nn ta 在1-=x 即2-=t 处收敛，则其在2=x 即1=t 处收敛，且为绝对收敛。
注释：注意Abel 定理的条件和结论针对的是幂级数∑∞=0n nn xa 。
二、填空题（共20分，5个小题，每小题4分）6.积分()=+⎰Lnds y x22______，其中L 为圆周t a x cos =，t a y sin =()020>≤≤a t ，π。
答案：122+n aπ。
考点：对弧长的曲线积分的计算。
解答：()12202sin cos :222+⎩⎨⎧===⋅=+⎰⎰n n ta y t a x L Lna adt a ds yxππ。
或()12222sin cos :2222+⎩⎨⎧===⋅===+⎰⎰⎰n n n Ln t a y t a x L Lna a a ds a ds a dsy xLππ，其中⎰Lds 为曲线L 的弧长。
注释：对弧长的曲线积分的计算步骤：（1）方程代入；（2）从小到大积分。
7.二次积分()⎰⎰--2111,x xdy y x f dx 化为极坐标形式的二次积分为__________________。
答案：()⎰⎰+⋅1sin cos 120sin ,cos θθπρρθρθρθd f d 。
考点：二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
解答：注意1=+y x 的极坐标形式为1sin cos =+θρθρ，即θθρsin cos 1+=，则()()⎰⎰⎰⎰+--⋅=1sin cos 1201110sin ,cos ,2θθπρρθρθρθd f d dy y x f dx x x。
注释：注意直角坐标方程与极坐标方程之间的转换。
8.级数()∑∞=-1n na u收敛，a 为常数，则=∞→n n u lim ___________。
答案：a 。
考点：级数收敛的必要条件。
解答：因为()∑∞=-1n na u收敛，由级数收敛的必要条件，有()0lim =-∞→a u n n ，即a u n n =∞→lim 。
注释：了解收敛级数的五条性质，其中最重要的就是第五条性质（逆否命题）。
9.函数xyz u =在点()2,1,5沿从点()2,1,5到点()14,4,9的方向导数=∂∂lu___________。
答案：1398。
考点：方向导数的计算。
解答：()()()12,3,42,1,514,4,9=-=l ，134cos =α，133cos =α，1312cos =α，于是()()()()γβαcos cos cos 2,1,52,1,52,1,52,1,5zu yu xu lu∂∂+∂∂+∂∂=∂∂139813125133101342=⋅+⋅+⋅=。
注释：了解方向导数、梯度的定义和它们之间的关系，掌握它们的计算。
10.若()y x z z ,=由方程0=-xyz e z确定，则=∂∂xz______________。
答案：xye yzz-。
考点：隐函数偏导数的计算。
解答：在方程的两边同时对x 求偏导，注意z 是x 和y 的函数，0≠-=xy e F zz ，则0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+-∂∂⋅x z x z y x z e z ，xy e yz x z z -=∂∂。
注释：隐函数求导法有三种：（1）公式；（2）方程两边同时求偏导；（3）方程两边同时求微分。
三、计算题（共50分，5个小题，每小题10分）11.计算二重积分()⎰⎰++Dd y x σ221ln ，其中(){}1,22≤+=y xy x D 。
考点：二重积分在极坐标系下的计算。
解答：()()()ρρρπρρρθσπd d d d y x D21ln 1ln 1ln 12122022⋅+=⋅+=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()u d u u u du u d u ln ln ln 11ln 21212112122⎰⎰⎰-==++=+=πππρρπρ令()12ln 22ln 22ln 221-=-=-=⎰πππππdu 。
注释：注意对定积分作换元时，若积分变量改变了，则积分限也要相应地改变。
12.设⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y g y x xy f z ,，其中f 、g 均可微，求22x z ∂∂。
考点：多元复合抽象函数偏导数的计算。
解答：令xy u =，yxv =，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x xy f ,是u 、v 的函数；令x y w =，则⎪⎭⎫⎝⎛x y g 是w 的函数，注意f 、1f 及2f 的复合关系图是一样的，于是g xyf y yf x w dw df x v v f x u u f x z '-+=∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2211，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅''+'--∂∂+∂∂=∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-+∂=∂∂2232122122211x y g x y g x y x f y x f y x g x y f y yf x z g x y g x y y f y f y y f y f y ''+'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=423222112112111g xy g x y f f f y f y ''+'++++=423211222211221。
注释：弄清题中出现的各变量之间的关系，画出其复合关系图（本题应分两个函数画）。
13.计算曲线积分()⎰+-Lxdy dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=上对应从0到π2的一段弧。
考点：对坐标的曲线积分的计算。
解答：()()()()()[]⎰⎰⋅-+-⋅--=+-π20sin sin cos 1cos 122dtt a t t a t a t a a xdy dx y a L ()22022022022022cos cos cos sin a tdt a t t a t td a tdt t a πππππ-=+-=-==⎰⎰⎰。
或补充0:1=y L ，起点()0,2a π，终点()0,0，记L 与1L 所围成的平面区域为D 。
注意D 的边界曲线为负向，由Green 公式，有()()()⎰⎰⎰+--+-=+-+11222L L L Lxdydx y a xdy dx y a xdy dx y a ()[]()⎰⎰⎰⎰+-=+-+---=-aD L DadxA xdy dx y a d πσ20222111()()22020204sin cos 1222a t t da t a adx ydx aaππππ+---=+-=⎰⎰⎰()220222022422cos 1cos 2124cos 12adt t t a a dt t a ππππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=+--=⎰⎰22a π-=。