解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

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极点与极线

极点与极线对于高考而言，在全国卷大一统的形势下，纵观历年全国卷的解析几何试题，以极点极线为背景的题目，不断出现，不过基本上也是基础类型．所以，极点极线，我们还是按照一些题型来进入分类总结．极点极线的定义1．二次曲线的替换法则对于一般式的二次曲线22Ax Bxy Cy Dx ϕ+++：0Ey F ++=，用0xx 代2x ，用0yy 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y ，常数项不变，可得方程：0000022x y xy x x Axx B Cyy D ++++++ 002y y E F ++= ．2．极点极线的代数定义高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：（1）圆：①极点00()P x y ，关于圆222x y r +=的极线方程是200xx yy r +=；②极点00()P x y ，关于圆222()()x a y b r -+-=的极线方程是200()()()()x a x a y b y b r --+--=；③极点00()P x y ，关于圆220x y Dx Ey F ++++=的极线方程是：0000022x x y y xx yy D E F ++++++= ．（2）椭圆：极点00(,)P x y 关于椭圆22221x y a b +=的极线方程是：00221xx yy a b +=．（3）双曲线：极点00(,)P x y 关于双曲线22221x y a b -=的极线方程是：00221xx yy a b-=．（4）抛物线极点00(,)P x y 关于抛物线22y px =的极线方程是：00()y y p x x =+．注：①极点极线是成对出现的；②焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线；③已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！3．极点极线的几何意义（1）若极点P 在二次曲线上，则极线是过点P 的切线方程．（2）若极点P 在二次曲线内部，则极线是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P 的弦AB 、CD 的两端端点作切线，得到的直线MN 即为点P 对应的极线轨迹．【极线和二次曲线必定相离】（3）若极点P 在二次曲线外部，分成两种情况：①极线在二次曲线内的部分是点P 对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】②极线在二次曲线外的部分是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．4．极点极线的配极性质①点P 关于二次曲线C 的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线C 的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线C 的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线C 的极点Q 在直线p 上．①②表达点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点，也是定比点差常说到的定比分点和调和分点．极点极线的综合模型——自极三角形极点极线的几何意义:（1）若点P 是圆锥曲线上的点，则过点P 的切线即为极点p 对应的极线．（2）如图所示（以椭圆图形为例），若点P 是不在圆锥曲线上的点，且不为原点O ，过点P 作割线P AB 、PCD 依次交圆锥曲线于A 、B 、C 、D 四点，连结直线AD 、BC 交于点M ，连结直线AC 、BD 交于点N ，则直线MN l 为极点P 对应的极线．类似的，也可得到极点N 对应的极线为直线PM l ，极点M 对应的极线为直线PN l ，因此，我们把PMN △称为自极三角形．【即PMN △的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】如图所示，如果我们连结直线NM 交圆锥曲线于点E 、F ，则直线PE 、PF 恰好为圆锥曲线的两条切线，此时，直线EF l 不仅是极点P 的极线，我们也称直线EF l 为渐切线．下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见．自极三角形的定点定值我们先来尝试一下抛物线的极点极线证明：如图，A 、B 、C 、D 分别为抛物线px y 22=上四点，且AB 与CD 交于)0(，m M ，则AC 与BD 的交点N 一定在定直线m x -=上．令MB AM λ=，MD CM μ=，所以m x A λ=，λpm y A 2=，λmx B =，λpmy B 2-=，m x c μ=，μpm y C 2=，μmx D =，μpmy D 2-=．三点共线:)()(D N D B D B D C N C A C A C N x x x x y y y x x x x y y y y ---+=---+=，)(2)(2D N DB DC N C A C N x x y y p y x x y y p y y -++=-++=所以)(2)(21(2μλμμμ+--=+=-pm m x p pm y y N D C )(2)(2μλλμμ+--+pm m x p N ，所以=+++)1(μλμλμm μλλμμm x x m N N +--，所以=+)1(λμm )1(λμ+-N x ，所以m x N -=．接下来我们来参考2020年的全国1卷，也是一种常见的自极三角形．【例17】（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB = ．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．模型总结已知极点在长（短）轴上，证明极线相对简单，只需要利用定比设点法表达出来再联立，消掉变量即可，但是在已知极线反推极点的时候，就要将引入的比例系数λ消除，构造0+0=0λ⨯模型，此类型题目均可以快速拿满分（曲线系处理最快）；抛物线通常利用对称的定比设点法，证明极点极线非常轻松，大家可以试试手．【训练18】（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(11)P -，的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．（1）求斜率k 的取值范围；（2）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【训练19】（2021•湖南模拟）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点3(1)2P ，在C 上，且221PF F F ⊥．（1）求C 的标准方程；（2）设C 的左右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l 过右焦点2F 且不与坐标轴垂直，l 与C 交于M ，N 两点，直线AM 与直线BN 相交于点Q ，证明点Q 在定直线上．【例18】已知椭圆134:22=+y x C ，斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点)04(，M ，直线AM 与椭圆交于点1A ，直线BM 与椭圆交于1B ，求证：直线11B A 过定点．模型总结若过)0(，m P 交椭圆于1AA ，1BB 两条线，若①t k AB=，②11B A 过定点)22(22t m m a m a m -+，，两者互为充要条件．大家可以自行证明．本章节到此告一段落，关于极点极线的其它性质，比如等角定理、比如斜率等差模型、斜率比值模型、焦准距的平方和共圆模型、椭圆的平行弦模型、蝴蝶定理初步，会在《高考数学满分突破》之秒杀压轴题系列2（2022年新版本）中详细阐述，二轮复习在于以题型入手的思维巩固，在于以不变应万变，秒系列在于思维深挖拓展，对一个问题的看法更加立体，也是数学爱好者的江湖情怀！【训练20】（2018•北京文）已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的离心率为36，焦距为22．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B ．（1）求椭圆M 的方程；（2）若1=k ，求AB 的最大值；（3）设)0,2(-P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点41,47(-Q 共线，求k ．【训练21】（2021•广东七校联考）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的左顶点为(20)A-，，两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，过点(10)P，且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M、N不同两点．（1）求椭圆方程；（2）若过点P且平行于AM的直线交直线52x=于点Q，求证：直线NQ过定点．【训练22】（2020•北京）已知椭圆2222:1x yCa b+=过点(21)A--，，且2a b=．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(40)B-，的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4x=-于点P，Q．求|| || PB BQ的值．。

极点极线详解-概述说明以及解释

极点极线详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极点极线是复数函数理论中重要的概念，它们在解析几何和数学物理等领域均有广泛的应用。

极点是函数在复平面上的奇点，它表现为函数在该点处无穷大或无穷小的特性，而极线则是连接这些极点的曲线。

极点和极线的研究不仅有助于深入理解复函数的性质，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。

本文将详细介绍极点和极线的定义、特性、关系以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写:文章结构部分本文将按照以下结构来论述极点极线的相关内容:2. 正文2.1 极点的定义和特性2.2 极线的定义和特性2.3 极点极线的关系2.4 极点极线的应用在正文部分，我们将依次介绍和探讨极点和极线在计算机视觉领域中的重要性以及相关概念、定义和特性。

首先，我们将详细讲解极点的定义和其特性，包括极点在图像处理和计算机视觉中的作用以及其在数学中的定义。

然后，我们将介绍极线的定义和特性，重点关注极线在立体视觉和图像对几何关系解决中的重要性。

接下来，我们将讨论极点和极线的关系，包括如何通过极点和极线之间的投影关系来求解立体视觉和图像重建中的几何关系。

最后，我们将探讨极点极线在实际应用中的具体应用场景，包括目标识别、图像配准和三维重建等领域，并介绍一些相关的案例和算法。

通过以上结构，我们希望能够全面而系统地介绍极点极线的相关内容，使读者对其有一个清晰的认识和理解。

在这个过程中，我们将尽可能地提供详细的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用极点极线的概念和方法。

在接下来的章节中，我们将从极点的定义和特性开始，逐步展开对极点极线的讨论。

让我们一起深入了解极点极线的奥秘吧。

1.3 目的本文的目的在于探讨和详解极点极线的概念、定义、特性以及其在实际应用中的重要性。

通过对极点和极线的定义和特性的介绍，我们将深入了解这一数学概念的内涵和本质。

同时，我们还将研究极点和极线之间的关系以及它们在几何学、计算机视觉和图像处理领域的应用。

第43期极点与极线的几何意义及应用

第43期极点与极线的几何意义及应用第43期极点与极线的几何意义及应用
极线的几何定义
但是上面定义仅适用于P点在此圆锥曲线外部的情况.实际上,在P 点在圆锥曲线内部的时候同样可以定义极线,这时我们可以认为极线是过P点做此圆锥曲线两条虚切线切点的连线.特别的，如果这个圆锥曲线是一个圆，我们同样有圆的极线和极点的概念。

极线的几何性质
对于圆锥曲线,两个点的切线的交点的极线即这两点的连线。

此外,过不在圆锥曲线上任意一点做两条和此曲线相交的直线得出四个点，那么这四个点确定的四边形的对角线交点在该点的极线。

我们也可以把这个性质作为圆锥曲线的极线的定义。

而当一个动点移动到曲线上,那么它的极线就退化为过这点的切线，所以，极点和极线的思想实际上是曲线上点和过该点切线的思想的一般化。

探究极点极线，应用强化思考

探究极点极线，应用强化思考作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2021年第08期[摘要] 极点极线定理定义在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，该定理对于学生而言相对较为陌生，但深刻理解，灵活应用，可显著提升解题效率，因此深入探究有着现实的意义. 文章从问题背景、知识定义、定理规律、应用强化等方面深入探究，并提出相应的教学建议.[关键词] 极点;极线;圆锥曲线;定理;定义;应用极点极线结论是研究圆锥曲线内在性质的基本理论，虽然在高中教材中体现得并不突出，但其作为圆锥曲线的基本特征，在高考解题中有着广泛的应用，利用该结论可挖掘问题本质，快速确定解题方向，提高解题效率. 该结论备受命题人青睐的原因有两点：一是具有高等数学的背景，拓展性强;二是可以全面考查学生的数学思维，以及推理运算能力，下面对该结论深入探究.[⇩] 提出问题问题：已知过抛物线C：y2=4x的焦点的直线与抛物线相交于点A和B，抛物线在点A和B的切线交于点P，则点P的轨迹为________.解析：探究抛物線切线交点的轨迹，方法有很多，下面探究其中的两种.传统方法：设直线AB的方程为x=my+1，交点A（x，y），B（x，y）（y>0，y<0），联立直线AB与抛物线的解析式，整理可得y2-4my-4=0. 由韦达定理可得y+y=4m，yy=-4，则有y=2，y′=，可知抛物线在点A的切线方程为y=x+①，同理可求出抛物线在点B处的切线方程为y=x+②，联合①②可得-x=-，从而有x==-1，所以点P的轨迹方程为x=-1.通性通法：可直接设A（x，y），B（x，y），P（x，y），则抛物线在点A处的切线方程为yy=2x+2x，因为点P在该切线上，故可得yy=2x+2x. 分析可知点A和B均满足方程：yy=2x+2x，即该方程就为直线AB. 又知直线AB过抛物线焦点F（1，0），所以2x+2=0，可得x0=-1，从而可知点P的轨迹方程为x0=-1.[⇩] 问题探究另外，上述关于点P的轨迹，由轨迹方程可知其轨迹实则为抛物线的准线，利用该方法探究椭圆问题也可得到类似的结论，实际上问题中隐含了圆锥曲线的极点与极线知识，利用该知识可高效解决问题，下面深入探究.1. 关于极点与极线的定义视角一：几何定义如图1所示，点P是圆锥曲线外的一点，过点P引出两条割线，与圆锥曲线依次相交于点E，F，G，H四点，连接EH，FG，两线交点设为点N;再连接EG和FH，两线交点设为点M，其中直线MN就为点P对应的极线. 如果点P位于圆锥曲线上，则过点P的切线就为该点的极线.同理可知PM为点N对应的极线，点M对应的极线则为PN，所以MNP可称为自极三点形. 若连接MN，与圆锥曲线相交于点A和B，则PA和PB就为圆锥曲线的两条切线. 同时上述作图过程也是两切线交点P对应极线的作法.视角二：代数定义已知圆锥曲线Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A，C不全为0），则称点P（x，y）和直线l：Axx+Cyy+D（x+x）+E（y+y）+F=0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线. 对于上述方程，在圆锥曲线中可用xx替换其中的x2，用替换x;同时用yy替换其中的y2，用替换y，可得到点P （x，y）的极线方程. 以椭圆标准方程+=1为例，点P（x，y）对应的极线方程为+=1.2. 关于极点与极线的结论极点与极线有一些常用的定理结论，合理利用可简化解题过程，具体如下.定理1：当点P位于圆锥曲线Γ上时，则极线l是曲线Γ在点P处的切线;当点P位于Γ外时，则极线l是曲线Γ从点P引出的两条切线的切点连线所确定的直线;当点P在Γ内部时，则极线l是曲线Γ过点P的弦线两端点处的切线交点的轨迹.定理2：如果圆锥曲线中存在一些极线共点于点P，则这些极线相应的极点共线于点P对应的切线，逆推同样适用.【教材回顾】极点和极线充分反映了圆锥曲线的基本性质，虽然教材中没有对极点和极线进行鲜明的定义，但在教材的解析几何问题中有一定的体现. 如下面一道例题，利用极点与极线的定理结论可较为简捷地完成证明.例题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交于两点，若两个交点的纵坐标分别为y，y，证明：yy=-p2.证明：由抛物线解析式可得焦点F，直线l与抛物线的交点可设为点A，y，B，y，三点对应的极线方程分别为x=-，yy=p+x，yy=p+x. 由于点A，F，B三点共线，根据极点与极线的定理2可知，三点对应的三条极线共点，将x=-代入后两式中，可得yy=y-，yy=y-，两式相除可得=，整理可得yy= -p2，得证.评析：例题是一道关于抛物线与直线相交的证明题，可以采用传统的方程联立的方法，也可利用极点极线的知识来求解. 上述充分利用了极点与极线的定义，求出所涉点的极线，并利用对应的定理结论，直接推理出关键三点所对的极线共点，进而简化变形证明结论.【应用探究】极点与极线的知识结论虽然不是高中课标的教学内容，也不是高考大纲的重点考查点，但是作为圆锥曲线重要的基本特征，在实际考题中有着一定的应用，也常作为高考命题背景出现在解析几何压轴题中，下面对其知识应用进行深入探究.问题：已知椭圆M的方程为：+=1（a>b>0），其离心率为，焦距为2，若斜率为k的直线与椭圆M相交于A，B两点，试回答下列问题.（1）求椭圆M的方程;（2）若k=1，求AB的最大值;（3）已知点P（-2，0），直线PA与椭圆M的另一交点为C，直线PB与椭圆的另一交点为D，若点C，D和Q共线，试求k的值.解析：（1）M的标准方程为+y2=1.（2）设直线AB的方程为y=x+m，联立直线与椭圆的方程，整理可得4x2+6mx+3m2-3=0. 由Δ>0可得m2<4，设交点A（x，y），B（x，y），由韦达定理可得x+x= -，xx=，则AB=·x-x=，易得當m=0时，AB可取得最大值，且最大值为.（3）过点P作椭圆M的两条切线，设切点分别为点G和H，连接GH，设与AC的交点为S，与BD的交点为T，再设直线AB与CD的交点为点R，如图3所示.由极点与极线的定理可知，点P关于椭圆M的极线为GH. 将点P（-2，0）代入+=1中，可求得直线GH的方程为x=-，与椭圆M方程联立，可解得点G的坐标为-，，从而可求得直线PG的斜率为k=1. 根据极点与极线的性质可知（PS，CA）=-1，又因点Q-，，点P（-2，0），可知点Q为线段PG的中点. 设点E是直线PG的无穷远点，结合相关知识可得（PG，QE）=-1，即有（PS，CA）=-1=（PG，QE），于是直线GS，QC，AE共点. 由于直线GS，QC相交于点R，因此直线AR的无穷远点也是点E，所以可证AB∥PG，即k=k=1.极点与极线在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，上述充分探究了知识定义、定理，并结合考题展示了极点与极线的知识应用，从而可感知到极点与极线知识内容的丰富性，深入探究极点与极线知识，不仅可以拓宽学生的知识维度，还可以拓展学生的思维，培养学生分析数学内在关系、挖掘定理关联的思维习惯.随着课改的推行，命题教师越发注重初、高中数学的衔接，关注高等数学的知识素材，高考试题中出现了一些拓展性极强的综合性试题，问题难度虽大，但解法的拓展性极强. 高观点的角度看待问题，深入研究问题的本质，挖掘其中的知识规律，才能真正理解问题内涵，找到解决问题的本源解法，这也是考题探究、定理探究的目的所在.而在实际教学中，提出以下几点建议：采用知识探究的方式，引导学生循序渐进地了解定理背景，理解定理定义，总结知识规律，强化定理应用，形成一个系统的闭环探究过程;教学中要注重学生的思维培养，关注学生的思维活动，以学生为主体，充分发挥教师的引导作用，让学生充分思考，形成独立的思维习惯;合理变式探究，定理探究应注重应用理解，立足定理开展应用强化，让学生掌握定理的应用方法、步骤，同时可对比考题的传统解法，让学生感知定理规律的价值.。

极点极线讲稿

一、极点与极线的定义定义 1（代数定义）已知圆锥曲线: Ax2Cy 22Dx2Ey F 0 ,则称点 P(x0 , y0 ) 和直线l : Ax0 x Cy 0 y D ( x x0 ) E( y y0 )F0 是圆锥曲线的一对极点和极线 .事实上，在圆锥曲线方程中，以x0 x 替换 x2，以xx替换 x （另一变量 y 也是如此），2即可得到点 P( x0 , y0 ) 的极线方程.特别地：（ 1）对于椭圆x2y21，与点 P( x0 , y0 ) 对应的极线方程为xxy0 y1；a2b2a2b2221 ，与点 P(x0 , y0 ) 对应的极线方程为xx（2）对于双曲线x2y2y0 y1；a b a2b2（3）对于抛物线y2 2 px ，与点 P( x0 , y0 ) 对应的极线方程为 y0 y p( x0x) .定义 2（几何定义）如图 1，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H ,连接 EH ,FG 交于点N ，连接EG , FH交于点 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 .若 P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图 1 可知，同理PM为点 N 对应的极线， PN 为点M所对应的极线 . MNP 称为自极三点形 . 若连接 MN 交圆锥曲线于点A, B, 则 PA, PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .二、极点与极线的基本性质、定理定理 1（1）当P在圆锥曲线上时，其极线l是曲线在P点处的切线；（2）当P在外时，其极线l是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；（3）当P在内时，其极线l是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.定理2（配极原则）（1）点P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q点Q 关于的极线q 经过点P ;（2）直线p 关于的极点P 在直线q 上直线q 关于的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.（1）对于椭圆x 2y 2 1 而言，右焦点 F (c,0) 对应的极线为c x0 y 1，即 x a 2 ，恰a 2b 2a 2b 2c为椭圆的右准线 . 对于椭圆x 2y 2 1 而言，点 M (m,0) 对应的极线方程为 x a 2 ;a 2b 2m（2）对于双曲线x 2y 2 1 而言，点 M (m,0) 对应的极线方程为 x a 2 ；a 2b 2 m（3）对于抛物线 y 22px 而言，点 M (m,0) 对应的极线方程为 xm .定理 3 下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质 .性质 1如图，已知点 A 是椭圆x 2y 2 1(a b 0) 上任一点，极点a 2b 2P(t,0)( ta, t c, t0) ，相应的极线 x a 2 . 椭圆在点 A 处的切线与极线txa 2交于点 N ，过点 N 作直线 AP 的垂线 MN ，垂足为 M ，则直线 MN 恒 t过 x 轴上的一个定点 Q ，且点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆（点 Q 除外） .性质 2 如图，已知点 A 是双曲线x 2y 2 1( a 0, b 0) 上任一点，极点a 2b 2P(t,0)a 2( ta, t c) ，相应的极线 x. 双曲线在点 A 处的切线与极线txa 2 交于点 N ，过点 N 作直线 AP 的垂线 MN ，垂足为 M ，则直线 MN 恒t过 x 轴上的一个定点 Q ，且点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆（点 Q 除外） .性质 3 如图，已知点A是抛物线y2 2 px( p 0) 上任一点，极点 P(t,0)(t 0,t p) ，相应的极线为x t . 抛物线在点A处的切线与极线 x t 2交于点 N ，过点 N 作直线AP的垂线 MN ，垂足为M，则直线 MN 恒过x轴上的一个定点 Q ，且点M的轨迹是以 PQ 为直径的圆（点 Q 除外）.定理 4如图，设圆锥曲线的一个焦点为 F ，与 F 相应的准线为l .（1）若过点 F 的直线与圆锥曲线相交于 M,N两点，则在M,N两点处的切线的交点 Q 在准线l上，且 FQ MN ;（2）若过准线 l 上一点Q作圆锥曲线的两条切线，切点分别为M,N ，则直线MN过焦点F，且 FQ MN ；（3）若过焦点 F 的直线与圆锥曲线相交于 M,N 两点，过F作FQ MN 交准线l于 Q ，则连线 QM ,QN 是圆锥曲线的两条切线 .定理 5 设椭圆x2y21(a b 0)的一个焦点为 F ，相应的准线为l，过焦点 F 的直线交a2b2椭圆于 A, B 两点，C是椭圆上任意一点.直线 CA, CB 交准线l于 M , N 两点，则以MN为直径的圆必过 F .三、历年高考题【例 1】（ 2011 年四川高考理数21 题第（ 2）问）如图，椭圆有两顶点A( 1,0) 、B(1,0) ，过其焦点 F (0,1) 的直线l与椭圆交于 C, D 两点，并与 x 轴交于点P .直线AC 与直线BD交于点Q . 当点P异于A, B两点时，求证： OP OQ 为定值 .【例2】（2010 年高考全国卷I 理数21 题第（1）问）已知抛物线 C : y 24x的焦点为 F ，过点K ( 1,0)的直线l 与 C 相交于A, B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D . 证明：点 F 在直线 BD 上.【例 3】（ 2010 江苏卷文理 18）在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆x 2y 2设过点 T (t , m) 的直线 TA, TB 与此91 的左右顶点为 A, B ，右焦点为 F .5椭圆分别交于点 M ( x , y ), N ( x , y ) ，其中 m 0, y0, y20 . 设t 9 ，求证11221直线 MN 必过 x 轴上一定点（其坐标与 m 无关） .【例 4】（ 2012 年北京卷 19）已知曲线 C : (5 m)x 2(m 2) y 28(mR)（ 1）若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围 .（ 2）设 m 4 ，曲线 C 与 y 轴交点为 A, B （点 A 位于点 B 的上方），直线 y kx 4与曲线 C 交于不同的两点 M , N ，直线 y1 与直线 BM 交于点 G . 求证： A,G,N 三点共线 .【例 5】（ 2012 年福建卷理 19）如图，椭圆 E :x 2y 2 1(a b 0) 的左焦点为 F 1 ，右焦点为a 2b 2F 2 ，离心率 e1，过 F 1 的直线交椭圆于 A, B 两点，且 ABF 2 的周长为 8.2（ 1）求椭圆 E 的方程 . （2）设动直线 l : y kx m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 x4 相交于点 Q . 试探究：在坐标平面内是否存在定点 M ，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 .【例 6】（2006 年全国卷Ⅱ理 21）已知抛物线 x 2 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且 AFFB (0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P .（ 1）证明 FP AB 为定值；（ 2）设 ABP 的面积为 S ，写出 S f ( ) 的表达式，并求 S 的最小值 .2【例 7】（2014 年江西卷理 20）如图，已知双曲线 C :x2 y 21(a 0) 的右焦点为 F ，点 A, B a分别在 C 的两条渐近线上， AF x 轴， AB OB, BF ∥ OA .（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P( x 0 , y 0 )( y 0 0) 的直线l :x 0 xy 0 y 1与直线 AF 相交于点 M ，与直线 x3相交于点 N ，证明点a 22P 在 C 上移动时，MF恒为定值，并求此定值 .NF【例 8】（ 2013 年江西卷理 20）椭圆 C :x 2y 21( a b 0) 的离心率 e 3， a b 3 .a 2b 22（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）如图所示， A, B, D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N ，直线 AD 交 BP 于点 M ，设 BP 的斜率为 k ， MN 的斜率为 m ，证明： 2m k 为定值 .【例 9】（ 2009年福建）如图，已知椭圆C 的离心率为e3长轴的左右端点分别为2A 1 ( 2,0), A 2(2,0) .（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设直线 xmy 1与椭圆 C 交于 P,Q 两点，直线 A 1P 与 A 2Q 交于点 S . 试问当 m 变化时，点 S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由 .【例 10】（ 2006 年全国卷Ⅱ理 21）已知抛物线 x 2 4y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且 AFFB (0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为 P .（ 1）证明 FP AB 为定值 ;（ 2）设△ ABP 的面积为 S ，写出 S f ( ) 的表达式，并求 S 的最小值 .。

极点与极线的几何意义及应用

Ｙ１）处的切线方程为Ａｘｌ＋ＣｙｌＹ＋Ｄ（＋１）＋Ｅ（Ｙ＋Ｙ１）＋Ｆ＝０，而此切线过点Ｐ（。，Ｙｏ），
所以有Ｉ％＋ｌ＋ｏ（ｘ０＋１）＋Ｅ（Ｙｏ＋ｙ１）＋Ｆ＝Ｑ同理得２‰ ＋ＣＹ２Ｙｏ＋Ｄ（ｘｏ＋２）＋Ｅ（ｙｏ＋Ｙ２）＋Ｆ＝０，故过直线ＭＮ的方程为＋ｃｙｏｚ＋Ｄ（＋Ｘ０）＋Ｅ（Ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０，故极线ｌ就是直线ＭＮ．（３）设Ｑ（ｍ，ｉｚ），由（２）得直线ＭＮ的方程为Ａｍｘ＋Ｃｎｙ＋Ｄ（＋ｍ）＋Ｅ（Ｙ＋１２）＋Ｆ＝０．又直线ＭＮ过点Ｐ，所以有Ａｍｘ０＋Ｃｎｙｏ＋Ｄ（‰ ＋ｍ）＋
由以上两式可知点Ｑ（ｍ，ｎ）在直线ＭＮ上，即直线ＭＮ必过极点Ｐ．
推论１对于椭圆＋旨＝１，则极点Ｐ（。，ｙｏ）对应的
ｎ
０
极线方程为＋：１．
口
Ｄ
若极点为焦点Ｆ（ｃ，０），则由极线定义知点Ｆ（Ｃ，０）所对
应的极线ｚ：＋＝１，即１：：，故极点Ｆ（ｃ，０）所对
点，则直线ＭＮ必过极点Ｐ．
证明设极点为Ｐ（‰ ，Ｙｏ），则极线Ｚ：Ａｘ０＋Ｃｙｏｙ
Ｄ（＋０）＋Ｅ（Ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０．
（１）方程Ａ＋＋２Ｄｘ＋２＋Ｆ＝０两边对求导得
Ａｘ＋Ｃｙｙｔ＋Ｄ＋Ｅｙｔ：０，
所以ｙ＝一Ａｘ＋Ｄ故＝一Ａｘｏ＋Ｄ故圆锥曲线在点Ｐ
Ｃ２≠０），则称点Ｐ（‰，Ｙｏ）和直线ｆ：Ａｘ０＋Ｃｙｏｙ＋Ｄ（＋
‰ ）＋Ｅ（ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０是圆锥曲线ｃ的一对极点和极线．

极点极线公式[001]

极点极线公式极点极线公式是解析几何中的一种重要工具，它在描述圆和直线之间的关系时具有广泛的应用。

本文将介绍极点极线公式的基本概念、推导方法以及其在几何学中的应用。

首先，我们来了解一下什么是极点和极线。

在二维平面上，任意一条直线都可以找到与之对应的一个点，这个点被称为直线的极点。

反之，对于任意一个点，我们可以找到与之对应的一条直线，这条直线被称为点的极线。

极点和极线是一一对应的关系，它们之间存在着一种重要的几何性质。

接下来，我们来推导一下极点极线公式的具体表达形式。

假设我们有一个圆，圆心坐标为（a，b），半径为r。

对于圆上的任意一点（x，y），该点的极线可以表示为下面的方程式：(x-a)² + (y-b)² = r²在上面的方程式中，（a，b）表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

这个方程式被称为极点极线公式，它能够准确地描述出圆和直线之间的几何关系。

极点极线公式在几何学中具有广泛的应用。

其中一个重要的应用是求解两个圆的交点。

通过将两个圆的极点极线方程式相减，我们可以得到两个圆的交点坐标。

这一方法在计算机图形学中常常被用来进行圆形的裁剪和相交检测。

此外，极点极线公式还可以用来求解一条直线与一个圆的切点。

通过将直线的方程式带入圆的极点极线方程式，我们可以得到切点的坐标。

这个方法在几何设计和仿真领域中非常有用，可以帮助我们准确地确定直线与圆的交点。

总之，极点极线公式是解析几何中的一项重要工具，它通过描述圆和直线之间的关系帮助我们解决了许多实际问题。

了解极点极线公式的基本概念、推导方法和应用领域对于我们深入理解几何学的原理和方法具有指导意义。

在实际应用中，我们可以通过灵活运用极点极线公式来解决各种与圆和直线相关的几何问题，从而更好地应对工程设计、计算机图形学等领域中的挑战。

极点与极线的调和性在高考中的应用

极点与极线的调和性在高考中的应用在高考数学中，极点与极线的调和性是一个重要的概念。

它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。

本文将从极点与极线的定义、调和性、应用等方面进行探讨，帮助考生更好地理解和掌握这一概念。

极点是指在一个函数图像上，一个点所对应的函数值。

而极线是指过这个点所作的切线与x轴的交点的横坐标。

在高考数学中，极点与极线通常指的是函数的极值点和临界点。

极点与极线的调和性是指在一定条件下，函数的极值点和临界点的位置之间存在一定的关系。

在高考数学中，通常会考察函数的单调性、最值等问题，这些问题都与极点与极线的调和性有关。

在高考数学中，最值问题是一个常见的题型。

利用极点与极线的调和性，可以将函数进行分解，从而得到函数的最小值或最大值。

例如，对于一个二次函数y=ax^2+bx+c，可以利用极点与极线的调和性求出其最小值或最大值。

不等式是高考数学中的另一个重要题型。

利用极点与极线的调和性，可以将不等式转化为函数的最值问题，从而得到不等式的解。

例如，对于一个不等式x^2+bx+c>0，可以利用极点与极线的调和性求出其解集。

方程是高考数学中的另一个重要题型。

利用极点与极线的调和性，可以将方程转化为函数的最值问题，从而得到方程的解。

例如，对于一个方程ax^2+bx+c=0，可以利用极点与极线的调和性求出其解。

极点与极线的调和性是高考数学中的一个重要概念。

它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。

考生需要熟练掌握极点与极线的定义、调和性、应用等方面，才能更好地理解和掌握这一概念。

考生还需要注意一些常见的错误和易错点，如忽视函数的定义域、不考虑函数的单调性等。

只有全面掌握这一概念，才能在高考数学中取得好成绩。

极点和极线是解析几何中的重要概念，它们对于描述和解决圆锥曲线问题具有重要的应用价值。

通过理解极点和极线的性质，我们可以更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。

基于射影几何的极点和极线理论应用与研究

基于射影几何的极点和极线理论应用与研究陈方玉;曾昌涛【摘要】针对目前高考试题在解析几何题目的命制特点,提出从射影几何的高等数学观点下处理近年全国各地高考数学试题中的解析几何解答题的思路,发现试题命制的高等几何背景;利用极点和极线理论对中学解析几何的点、线关系进行高观点认知,借助极点、极线理论,如概念认知、配极原则等,加强解析几何问题中定点、定直线类问题的纵向探究.只有居高临下方能势如破竹地为中学教师在解析几何试题的命制和教学提供思路,为学生在处理类似问题时寻找破题的有力工具,引导教师平时注意挖掘高等数学在中学数学中的应用,思考高等数学在中学数学的指导意义.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】7页(P36-41,53)【关键词】解析几何;极点;极线;配极原则;试题背景【作者】陈方玉;曾昌涛【作者单位】重庆市第八中学校,重庆400030;重庆市第八中学校,重庆400030【正文语种】中文【中图分类】O123在此从1道重庆市2016年“一诊”考题说起，题目如下：引例 (重庆2016年“一诊”16题)如图1所示，过直线x+y=2上任意一点P向圆C:x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为 .图1 引例圆C坐标图Fig.1 Coordinatc chart of Circle C of introductive example首先给出解析法：解答设点P(t，2-t)，则经过O，A，P，B4点的圆的方程为即x2-tx+y2-(2-t)y=0联立得两圆的相交弦AB方程为tx+(2-t)y=1(也可直接由切点弦方程的公式直接给出)，而直线OP方程：(2-t)x-ty=0联立得点则点Q到直线l的距离为∵t2-2t+2∈[1，+∞)，∴∴此题解析法关注点Q坐标的表示以及距离d的取值范围的求解，思路清晰，但计算比较繁琐，其实可以探求此题的射影几何背景.其本质上是一种繁衍变换，为了从这个角度来思考问题，下面先介绍一些相关的概念和性质.1 调和点列设两点C，D内分与外分同一线段AB成同一比例，即则称点C和点D调和分割线段AB，或称点C是点D关于线段AB的调和共轭点，A，B，C，D为调和点列. 性质1 共轭性若点A，B被点C，D调和分割，同时点C，D也被点A，B调和分割.性质2 调和性最左(右)侧点到同侧三点的线段成调和关系：性质3 等比性若AB中点为M，则有MB2=MC·MD.2 极点、极线2.1 定义(1) 给定二次曲线Γ和点P，Q(P，Q不在曲线Γ上)，若点P，Q关于二次曲线Γ调和共轭，即P，Q两点连线与Γ交于点M，N，且则称P，Q关于曲线Γ互为共轭点，二次曲线Γ上的点自共轭.特别地，点P对有心二次曲线(设其中心为O)的调和共轭点为Q，且PQ通过中心O，则称点P变到点Q的变换称为反演变换，O为反演中心，P，Q互为反点.显然由调和点列的等比性，若P，Q互为反点，有OP·OQ=OR2成立.结合完全四边形的性质，还可以得到一个有趣的结论：如图2所示，A，B是圆锥曲线C的一条对称轴l上的两点(不在C上)，若A，B关于C调和共轭，过B任作C的一条割线，交C于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.图2 圆锥曲线CFig.2 Diagrammatic sketch of Conic C(2) 不在二次曲线Γ上的定点P关于二次曲线的调和共轭点轨迹是一条直线，这条直线l叫做P关于此二次曲线的极线，P为这条直线l关于此二次曲线的极点.二次曲线Γ上的点P关于Γ的极线为二次曲线在P处的切线.2.2 圆锥曲线中极线的方程在周兴明等的《高等几何》中证明过：齐次坐标下，点P(p1，p2，p3)关于二阶曲线的极线方程为所以点P(x0，y0)关于二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的极线方程为即(2Ax0+By0+D)x+(Bx0+2Cy0+E)y+Dx0+Ey0+2F=0.特别地：(1) 对于椭圆与点P(x0，y0)对应的极线方程为(2) 对于双曲线与点P(x0，y0)对应的极线方程为(3) 对于抛物线y2=2px，与点P(x0，y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).事实上，圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到P(x0，y0)对应的极线方程.由此还可以看出：圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线.2.3 配极原则如果点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P配极原则是一种特殊的对偶原则，规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应.由配极原则，不难得到共线点的极线必共点，共点线的极点必共线.由此，可以解决文章开头提出的问题，解析如下：解析由题知，P，Q关于圆C:x2+y2=1互为反演点，在直线x+y=2上取特殊点P0(1，1)，P0的反演点为由配极原则知，直线x+y=2上任意一点P的极线AB 都经过Q0；显然如图3，AB的中点Q到直线x+y=2的距离取值范围为图3 引例解析坐标图CFig.3 Coordinate chart of analysis of introductive example2.4 极线的作图方法若一个三角形每一个顶点关于二次曲线的极线都是其对边(每边的极点也是其所对顶点)，则称三角形为自极三角形.内接于二次曲线Γ的完全四点形ABCD的对边三点形△PQR为自极三角形(如图4).由此，可以得到定点P关于二次曲线Γ的极线的作法：图4 自极三角形Fig.4 Self-polar triangle如图5(a)，P为不在二次曲线Γ上的点，过点P引两条割线依次交二次曲线于4点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，则MN为点P对应的极线.在图5中，还得到了过二次曲线Γ外一点P切线的作法：如图5(b)，事实上，连接MN交二次曲线Γ于A，B两点，则PA，PB恰为二次曲线的两条切线.(a) (b)图5 极线作法示意图CFig.5 The sketch of plotting method of polar line3 极点、极线理论的应用极点、极线理论虽然在高中课标内没有要求，但作为圆锥曲线的一种基本特征，无论是在教材中还是在各地的高考试题和模拟试题中以此为背景的题目屡见不鲜，一线教师了解一些极点、极线理论，可以以较高的观点去看待试题，有利于中学数学教学中的优生指导和试题研究.3.1 极点、极线的直接应用：判断直线与圆锥曲线的位置关系例1 (人教A选修2-1习题2.3 B组4题)已知双曲线过点P(1，1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点?解析设A(x0，y0)，则由P是线段AB的中点得B(2-x0，2-y0)，而A，B在双曲线上，故两式相减得4x0-2y0=2，即而是点(2，2)对应的极线，但点(2，2)在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交矛盾”，故这样的直线不存在. 变式 (人教A选修2-1 2.4.2例6)已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P(-2，1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y2=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？例2 (2016年全国新课标卷(文科)20题)如图6，在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，点M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(I) 求除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.图6 例2抛物线C坐标图Fig.6 Coordinate chart of parabola C of example 2 解析(I)问中，可计算出所以直线ON方程为恰好是M(0，t)点关于抛物线的极线，而MO为抛物线的一条切线，所以MH也定是抛物线过M的另一条切线，所以直线MH与C只有H一个公共点.3.2 极点、极线性质的深层体现例3 (2015年全国1卷理科20题)曲线 C:x2=4y与直线y=kx+a(a>0)交于M，N两点.(I) 当k=0时，分别求C在点M，N处的切线方程；(II) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN，说明理由.解析 (I)略；在(II)中，直线y=kx+a与y轴的交点为Q(0，a)，它关于抛物线的共轭点是其关于顶点的对称点P(0，-a)，则根据调和共轭的性质知：P(0，-a)满足∠OPM=∠OPN.类似的，2015年福建文科第19题、2015年四川理科第20题都是利用本题中调和共轭点的这一性质进行命制的.例4 (2010年江苏文、理科18题)在平面直角坐标系xOy中，如图7，已知椭圆的左、右顶点为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(I) 设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；(II) 设求点T的坐标；(III) 设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).图7 例4椭圆坐标图Fig.7 Coordinate chart of ellipse of example 4解析对于(III)，当t=9时，T的坐标为(9，m)，连接MN，设直线AB，MN交点为K，根据极点、极线定义知，点T对应的极线经过K，又点T对应的极线方程为即此直线恒过x轴上的定点K(1，0)，从而直线MN也恒过定点K(1，0).例5 (2011年四川理科21题)如图8，椭圆两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(I) 当时，求直线l的方程；(II) 当P异于A，B两点时，求证：为定值.图8 例5椭圆坐标图Fig.8 Coordinate chart of ellipse of example 5解析设点P的反点为M，则由反演性质知：OB2=OP·OM，即OP·OM=1，于是点M坐标为而Q恰在P对应的极线上，所以类似地，2008年安徽理科第22题、2011年山东文科第22题、2011年四川文科第21题、2012年北京理科第19题也是利用极点、极线的寻找或者性质为背景命制，另外，还可以看到极点、极线的理论在面对解析几何中定值、定点问题的处理时，往往会带来意想不到的解题思路或者突破口.例6 (1995年全国卷理科26题)如图9，已知椭圆直线是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=，当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.图9 例6椭圆C坐标图Fig.9 Coordinate chart of ellipse C of example 6解析由题，点P，Q互为反点，点Q是点P的极线与射线OP的交点.设P(12t，8-8t)，则点P的极线方程为即tx+(1-t)y=2，与射线联立消去t得2x2+3y2=4x+6y.此题其实是对反演变换的一种推广，广义反演变换把通过反演中心的直线仍然变为直线本身，把不通过反演中心的直线变成通过反演中心，对称轴与基椭圆的对称轴平行且与基椭圆相似的椭圆.类似地， 2015年北京理科第19题也是以反演变换和反演点性质为背景命制.例7 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2.证明由点对应的极线方程分别是由F，A，B3点共线，则对应的3条极线共点，将代入后面两式得两式相除得变式 (2006年全国2卷理科21题)已知抛物线x2=4y的焦点为F，A，B是抛物线的两动点，且过A，B两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P.(I) 证明为定值；(II) 设△ABP的面积为S，写出S=f(λ)的表达式，并求S的最小值.相比例1—例4中以极点、极线为背景命制试题，例5及变式是对极点、极线中配极原则的应用. 如果用类似的处理方法解决2005年江西理科第22题，会使运算过程大幅度简化，也会给认识问题本质提供方向.当然以上解析直接作为解题的解答过程显然是不合适的，但上述分析过程可以帮助教师和高水平的学生理解试题的背景或者探求解题的方向. 我们一直相信：一个有科学精神的人，在研究一个问题的时候，第一件事就是遥望一下这个问题的结果！问题研究的过程，从来都是“大胆猜想，小心论证”的过程.4 结束语极点、极线理论在高等几何中对二次曲线描述是极为重要的一个基本特征. 教师可以通过对二次曲线在射影几何的观点下多加研究，引导学生用射影几何的方法处理中学解析几何问题. 这样既能帮助学生利用旧知识去理解新知识，反过来又能用新知识解决旧问题，使新旧知识结合起来，这无疑对于指导学生从更高层次理解中学数学内容，从而更深层次地把握几何知识的内在联系和本质有积极的意义.参考文献(References)：【相关文献】[1] 周兴和，杨明升. 高等几何(第三版)[M]. 北京：科学出版社，2015ZHOU X H，YANG M S. Advanced Geometry (Third Edition)[M]. Beijing: Science Press，2015[2] 沈文选，杨清桃. 高中数学竞赛解题策略几何分册[M]. 杭州：浙江大学出版社，2012SHEN W X， YANG Q T. Geometric Section of Problem Solving Strategy in Senior High School Mathematics Competition[M]. Hangzhou: Zhejiang University Press， 2012[3] 李三平. 高观点下的中学数学[M].西安：陕西师范大学出版社，2013LI S P. High School Mathematics under High Viewpoint[M]. Xi’an:Shaanxi Normal University Press， 2013[4] 苏步青.高等几何讲义[M].上海：上海科学技术出版社，1964SU B Q. Lectures on Advanced Geometry[M]. Shanghai: Shanghai Science and Technology Press， 1964[5] 单墫. 解析几何的解题技巧[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009SHAN Z. Solving Skills of Analytic Geometry[M]. Hefei: University of Science & Technology China Press， 2009[6] 樊真美. 95年高考试题轨迹题的引申——广义反演变换[J]. 南京高师学报，1996(12):1-6 FAN Z M. The Extension of 95 Year College Entrance Examination Questions Generalized Inverse Transform [J]. Journal of Nanjing Normal University， 1996 (12) :1-6[7] 李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用[J]. 数学通讯，2012(4):41-45LI F H. 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2023全国乙卷理科第20题极点极线

2023全国乙卷理科第20题极点极线【导读】极点与极线是解析几何中的重要概念，它们在数学领域中有着广泛的应用。

本文将深入探讨极点与极线的定义、性质和应用，并共享对这一主题的个人理解。

【正文】一、极点与极线的定义1. 极点的定义极点是与给定圆的两条切线相交的一个点，这两条切线是从极点到圆上的两个不同点的切线。

在平面直角坐标系中，给定一点 P(x1, y1)，以及一个圆 C：(x - a)² + (y - b)² = r²。

点 P 是圆 C 的极点，当且仅当从 P 到圆 C 上的任意一点 Q 的斜率相等。

即∠OPQ为直角，其中O(a, b) 是圆 C 的圆心。

2. 极线的定义过给定点和给定圆的两条切线所确定的交点的轨迹叫做极线。

根据定义，极线是由圆 C 的所有极点所决定。

在平面直角坐标系中，假设圆的方程是(x - a)² + (y - b)² = r²，圆的极线可以表示为下面形式的方程：xx1 + yy1 = a(x + x1) + b(y + y1) + r²。

这里，(x1, y1) 是圆的极点。

二、极点与极线的性质1. 极点的性质（1）极点坐标的性质通过上述定义，可得到极点P(x1, y1) 的坐标对称形式是P′(-x1, -y1)。

意味着，极点 P 关于圆心 O 对称。

（2）极点的存在性对于给定圆 C，如果有直角坐标系中的点 P（x，y）满足OP⊥OQ，那么点 P 就是圆 C 的极点。

2. 极线的性质（1）极线的对称性已知圆 C 关于 X 轴和 Y 轴的极线方程为 a1x + b1y + c1 = 0 和 a2x + b2y + c2 = 0。

易得，关于 X 轴和 Y 轴的两条极线方程互为对称。

（2）极线的交点性质两条极线的交点坐标为(-ab/a1 - a2, -ab/b1 - b2, 非常重要)。

三、极点与极线的应用1. 应用一：极点极线在密码学中的应用极点极线广泛应用于密码学领域，尤其是在椭圆曲线密码学中。

极点极线的简单应用

极点极线的简单应用内容摘要：我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。

在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。

其实这些问题都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。

关键词：极点极线调和点列完全四边形不知道大家在平时做题的时候有没有将题目分类的习惯，这样可以让我们能够对一些类似的题目的做法给出一些比较方便简洁的做法。

让我们以后在遇到类似的问题的时候就可以比较迅速的找到突破口，这也是一种在学习数学中必不可少的方法。

以下就是我和其他几位同学总结的有关于我们在解平面几何以及平时看书所得到一些东西，拿出来和大家交流一下，希望能够对其他人提供一些帮助。

我们总结的的方法就是大家比较熟知但却比较难的一种解法——极点极线。

一、定义我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。

在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。

如下面的这道题：如左图（1）所示，PS 、PT 与⊙O 相切于S 、T 两点，PAB 为圆的任意一条割线，交ST 于M ，求证：P 、A 、M 、B 四点成调和点列。

解：设OP 交ST 于L 。

联结AL 、AO 、BL 、BO ，则由圆幂定理可知2PA PB PL PO PS ⋅=⋅=ALBO ∴四点共圆从而PLA OBA OAB OLB∠∠∠∠＝＝＝即LP 是ALB ∠的外角平分线但是PL ⊥LM ，故LM 是ALB ∠的内角平分线。

AM AC AP MB LB PB∴==即PAMB 是调和点列。

（1）由于PAB 的任意性，但是上面的证法利用了特殊的一条割线，不能十分充分的证明对于任意的PAB ，他与ST 的交点M ，PABM 成调和点列。

于是我们寻找另外的方法。

通过正弦定理与三角形的相似来证明上题：sin sin PA PS PSA AM SM AST ⋅∠=⋅∠∵，sin sin PB PS PSA BM SM BST⋅∠=⋅∠由正弦定理得PA PS AS AM SM AT =⋅，PB PS SB BM SM BT=⋅PSA PBS ∆∼∆∵PAT PBT∆∼∆AS AT SB BT∴=PA PB AM BM ∴=由此看出上述的接论是成立的。

第44讲解析几何中的极点极线问题(解析版)

第44讲解析几何中的极点极线问题参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•柯桥区模拟）过点(1,1)M 的两条直线1l ，2l 分别与双曲线2222:1(1,1)x y C a b a b-=>>相交于点A ，C 和点B ，D ，满足AM MC λ=，(0BM MD λλ=>且1)λ≠．若直线AB 的斜率2k =，则双曲线C 的离心率是( ) AB1C ．2D【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则11(1,1)AM x y =--，33(1,1)MC x y =--，22(1,1)BM x y =--，44(1,1)MD x y =--，AM MC λ=，(0BM MD λλ=>且1)λ≠，//AB CD ∴，则2AB CD k k ==．∴131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()2(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，12341234()()x x x x y y y y λλ∴+++=+++，2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， ∴2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，即2122122x x b a y y +=⋅+， ∴2212122()()0a y y b x x +-+=，则2121222()a y y x x b ++=，同理可得：2234342()()0a y y b x x +-+=，则2343422()a y y x xb ++=，∴2234121234222()2()()a y y a y y y y y y b b λλ+++⋅=+++，0λ>且1λ≠，∴2221a b=，即222a b =，∴双曲线的离心率c e a ==故选：D ．2．（2021•武汉模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>，且1)λ≠，若λ变化时，AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为( )A ．12BCD【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 、4(D x ，4)y ，由AM MC λ=，即1(2x -，131)(2y x λ-=-，31)y -，则1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，则123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ+++=+++，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+，即21221212x x b a y y +-=-⨯+，则221212()2()a y y b x x +=+①，同理可得223434()2()a y y b x x +=+②，①+②得2212341234[()()]2[()()]a y y y y b x x x x +++=+++，又123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ∴+++=+++，∴22221a b =，则2214b a =，则椭圆的离心率c e a ==，故选：D ．3．（2021•武汉模拟）已知A ，B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，)B ，则直线AP ，BQ 的斜率之比:(AP BQ k k = ) A ．13-B ．3-C ．23-D ．32-【解答】解：由已知得双曲线:1a Γ=，b =，2c =．故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=，∴121222129,3131m y y y y m m +==--，两式相比得121234y y m y y +=⨯①， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②，将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-．故:3AP BQ k k =-．故选：B ．4．（2021•湖北月考）已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为A ，B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点（异于A ，)B ，若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为1k ，2k ，则12:(k k = )A ．13B ．3C ．12D ．2【解答】解：由椭圆的方程可知：24a =，所以2a =，则(2,0)A -，(2,0)B ，设1(Q x ，1)y ，2(P x ，2)y ，设直线PQ 的方程为：4x my =-，则2222AP y k k x ==+，直线BQ 的方程为：11(2)2y y x x =-⋯-①，直线AP 的方程为：()2222y y x x =+⋯+②，联立①②解得：12211221121212211221122(2)2(2)2(6)2(2)262(2)(2)(6)(2)3y x y x y my y my my y y y x y x y x y my y my y y -++-+---===--++--+--，所以1212122664(*)3my y y y x y y +-+=-，联立方程224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 化简可得：22(2)8120m y my +-+=，所以121222812,22m y y y y m m +==++，所以12123()2my y y y =+，代入(*)式得121293433y y x y y -+==-，因为14y k x =+，22yk x =+，所以122221114433k x k x x +==-=-=++，故选：A ．二．填空题（共4小题）5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>内有一点(2,1)M 过点M 的两条直线分别与椭圆E 相交于A ．C 和B ，D 两点若||||||||MA MB MC MD =，若直线AB 的斜率为12-，则该椭圆的离心率为【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 、4(D x ，4)y ，由||||||||MA MB MC MD =，可设AM MC λ=，BM MD λ=，即1(2x -，131)(2y x λ-=-，31)y -，则1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，则123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ+++=+++，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得2121221212y y x x b x x a y y -+=--+，即21221212x x b a y y +-=-+，则221212()2()a y y b x x +=+①，同理可得223434()2()a y y b x x +=+②，①+②得2212341234[()()]2[()()]a y y y y b x x x x +++=+++，又123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ∴+++=+++，∴22221a b =，则2214b a =，则椭圆的离心率c e a ===，． 6．（2021•龙凤区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>内一点(2,1)M ，过点M 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>且1)λ≠，若λ变化时直线AB 的斜率总为23-，则椭圆的离心率为．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AM MC λ=，1(2x ∴-，131)(2y x λ-=-，31)y -，即13132(2)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩， ∴1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得，2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，12341234()()2[()()]x x x x y y y y λλ∴+++=+++，A ，B 两点均在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减整理得，2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即21221223x x b a y y +-=-⋅+， 2212123()2()b x x a y y ∴+=+①，同理可得，2234343()2()b x x a y y +=+②，①+②λ⨯得，22123412342[()()]3[()()]a y y y y b x x x x λλ+++=+++，又12341234()()2[()()]x x x x y y y y λλ+++=+++，∴222321a b =，即2213b a =， ∴离心率c e a ==．7．设F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，过椭圆C 外一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若90PFM ∠=︒，则点P 的轨迹方程为 4()x y R =∈ ．【解答】解：设切点0(M x ，0)y ，则椭圆的切线方程为：00143x x y y+=．设(,)P x y ，90PFM ∠=︒，00(1)(1)0x x yy ∴--+=．联立解得：4x =．∴点P 的轨迹方程为：4x =．故答案为：4()x y R =∈．8．（2021•南通模拟）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2作圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 22154x y += ．【解答】解：设过点1(1,)2的圆221x y +=的切线为1:(1)2l y k x -=-，即102kx y k --+=①当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为1x =，恰好与圆221x y +=相切于点(1,0)A ； ②当直线l 与x 轴不垂直时，原点到直线l的距离为：1||1k d -+==，解之得34k =-，此时直线l 的方程为3544y x =-+，l 切圆221x y +=相切于点(B 35，4)5；因此，直线AB 斜率为14052315k -==--，直线AB 方程为2(1)y x =-- ∴直线AB 交x 轴交于点(1,0)A ，交y 轴于点(0,2)C ．椭圆22221x y a b+=的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)1c ∴=，2b =，可得2225a b c =+=，椭圆方程为22154x y += 故答案为：22154x y +=．三．解答题（共32小题）9．（2021•朝阳区校级期中）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线D 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知P ，Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）点3(1,)2D 在椭圆C 上，∴229141a b +=，又直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -，∴223392241114b a a a ⋅==-+--，解得24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）设:1PQ x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，∴122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， ∴直线AP 的直线方程为1122x x y y +=-， BQ 的直线方程为2222x x y y -=+，联立，解得4M x =，同理，4N x =，∴直线MN 的方程为4x =．10．（2021•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点3(1,)2，离心率为12，点B ，C 分别是椭圆E 的左、右顶点，点P 是直线:4l x =上的一个动点（与x 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当直线PB 过椭圆E 的短轴顶点(0,)b 时，求PBM ∆的面积．【解答】解：（1）由题意22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，因为222a b c =+，得2a =，b =1c =．所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）直线PB的方程为2)y x +，得P ．所以直线PC的方程2)y x =-，联立方程组222)3412y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，化简得2518160x x -+=，解得12x =，285x =，得点8(,5M ．又点M 到直线PB的距离d =，||PB =所以12PBM S ∆=⨯=．11．（2021•邗江区校级期中）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，右焦点F ，1BF =，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，M 在x 轴上方．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记AFM ∆，BFN ∆的面积分别为1S ，2S ，若1232S S =，求k 的值；（3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求213()k k k -的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2(0)c c >．依题意可得12c e a ==，1a c -=，解得2a =，1c =．故2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．若1232S S =，则121||||3212||||2AF y BF y =，即有212y y =-，① 设直线MN 的方程为1(0)x my m =+>，与椭圆方程223412x y +=，可得22(43)690m y my ++-=，可得122643m y y m +=-+，122943y y m =-+，② 将①代入②可得22843m m =+，解得m =，则k ；（3）由（2）得 1223243D y y m y m +==-+，24143D Dx my m =+=+，所以直线OD 的方程为34my x =-，令4x =，得3E y m =-，即(4,3)E m -．所以3341mk m -==--．所以221122112211222132122112121212(2)(3)(1)31()()()22(2)(2)(3)(1)33y y y y my x y y my my m y y my k k k k k m k x x x x my my m y y my my ++++++-=+=+===-++-+--+-2222222122222212122222229(1)9(1)33(1)3343439612(1)()344344434343m m my my m y y my m m m m m m y y m y y my my my m m m ++-+-+++++====+-+-+-+-+-++++．12．（2021春•射洪市期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为F '，F ，A 、B分别是椭圆C 的左、右顶点，短轴为，长轴长是焦距的2倍，过右焦点F且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．（1）若1k =时，记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，求2212129S S S S +的值；（2）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在常数λ使21k k λ=成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为2b =，所以b =又因为2a c =，所以2a =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=．设点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，且(2,0)A -，(2,0)B ，因为1k =，所以MN 的方程为1y x =-，联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27690y y +-=，所以121269,77y y y y +=-=-，又221212121212212121113||91||9922(3)()111||3||22y y S S S Sy yS S S S y y y y ⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+=-+⋅⋅⋅⋅，因为22212121212211212()2187y y y y y y y y y y y y y y ++-+===-所以原式547=．（2）假设存在常数λ使21k k λ=成立，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+，又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 22222222222222222222222241281218462()233()434343433464128462()243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k -----+---++++++====-----+---++++++，因此，213k k =，故3λ=．13．（2021•全国模拟）椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，规定直线2a x c=为椭圆E 的右准线，椭圆E 上的任意一点到右焦点F 的距离与其到右准线的距离之比为ca．已知椭圆22:143x y E +=．（1）若点(1,1)D -，P 是椭圆E 上的任意一点，求||2||PD PF +的最小值；（2）若M ，N 分别是椭圆E 的左、右顶点，过点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 非顶点），证明：直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线上．【解答】解：（1）根据条件可得椭圆E 的右准线为4x =，12c e a ==，若PA 垂直于右准线，如图，则||||PF e PA =，即||2||PA PF =，所以||2||||||PD PF PD PA +=+，故当仅当D ，P ，A 三点共线时，||||PD PA +最短，即为D 到右准线的距离5d =，故||2||PD PF +的最小值为5；证明：（2）由题意，设:1l x ky =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：(324)2690k y ky ++-=，则122634k y y k +=-+，122934y y k =-+，又(2,0)M -，(2,0)N ，则11:(2)2y AM y x x =++，22:(2)2y BN y x x =--，当4x =时，11116623AM y y y x ky ==++，22222221BN y y y x ky ==--，而2212121122121212121212964()6()62666646()3434031(3)(1)(3)(1)(3)(1)kk y y ky y y ky y y ky y y y k k ky ky ky ky ky ky ky ky ⋅--⋅-----+++-====+-+-+-+-，即AM BN y y =，所以直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线4x =上，得证．14．（2021•南平二模）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>．（Ⅰ）若椭圆Tz 轴的直线被椭圆截得弦长为83． ①求椭圆方程；②过点(2,1)P 的两条直线分别与椭圆F 交于点A ，C 和B ，D ，若//AB CD ，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设0(P x ，0)y 为椭圆T 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆T 交于点A ，C 和B ，D ，且//AB CD ，类比（Ⅰ）②直接写出直线T 的斜率．（不必证明）【解答】解：（Ⅰ）①椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>，椭圆Tz 轴的直线被椭圆截得弦长为83， ∴222228359b a a b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，⋯（2分） ∴椭圆T 的方程为22194x y +=．⋯（3分）②设点11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y AP PC λ=．则132(2)x x λ-=-，131(1)y y λ-=-，故132(1)x x λλ+-=，13(1)y y λλ+-=．⋯（5分）点C 在椭圆上，∴2233194x y +=，则221122[2(1)][(1)]194x y λλλλ+-+-+= 整理得22221111241(1)()2(1)()949494x y x y λλλ++-++++=⋯（6分）由点A 在椭圆上知2211194x y +=，故2211241(1)()2(1)()19494x y λλλ++-++=-．①⋯（7分）又//AB CD ，则BP PD λ=．同理可得2222241(1)()2(1)()19494x y λλλ++-++=-．②⋯（8分）①-②得212121()()094x x y y -+-=．由题意可知12x x ≠，则直线AB 的斜率为212189y y k x x -==--．⋯（10分）（Ⅱ）直线AB 的斜率为2020b x a y -．⋯（13分）15．（2021•安徽模拟）设0(P x ，0)y 为椭圆214x y +=内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两直线分别与椭圆交于A ，C 和B ，D ，若//AB CD ．（Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF ．【解答】解：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，23)(y C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AP PC λ=，则01300130()()x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩，∴013013(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，点C 在椭圆上，∴223314x y +=，即22010122[(1)][(1)]14x x y y λλλλ+-+-+=，整理得22222222201100101111(1)()(1)(4)()()4244x x x y x x y y y y λλλλ++-++++=++=，又点A 在椭圆上，∴221114x y +=，从而可得222220001011(1)()(1)(4)1142x y x x y y λλλλ++-++=-=-①又//AB CD ，故有BP PD λ=．同理可得22220002021(1)()(1)()142x y x x y y λλλ++-++=-②②-①得012012()4()0x x x y y y -+-=，P 点不在坐标轴上，00x ∴≠，00y ≠，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率0121204x y y k x x y -==--，为定值；（Ⅱ）直线EF 的方程为0000()4x y x x y y =--+，代入椭圆方程得220000[()]144x x x x y y +--+=，整理得到2222222000000022004(4)101682x y x x y x x x y y y ++-++-=， ∴220002220020(4)82416E F x x y y x x x x y y +-+=-=+，故EP PF =．16．（2021•安阳三模）已知椭圆M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其短轴长为2，离心．点0(P x ，0)y 为椭圆M 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且//AB CD ．（Ⅰ）求椭圆M 的标准方程；（Ⅱ）证明：直线AB 的斜率为定值．【解答】（Ⅰ）解：短轴长为2， 2a ∴=，1b =，焦点在x 轴上，∴椭圆M 的标准方程2214x y +=；（Ⅱ）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AP PC λ=，013(1)x x x λλ+-∴=，013(1)y y y λλ+-=，点C 在椭圆上，∴223314x y +=，又点A 在椭圆上，∴221114x y +=，从而可得22220001011(1)()(1)(4)142x y x x y y λλλ++-++=-①又//AB CD ，故有BP PD λ=．同理可得22220002021(1)()(1)()142x y x x y y λλλ++-++=-②②-①得012012()4()0x x x y y y -+-=，P 点不在坐标轴上，00x ∴≠，00y ≠，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率0121204x y y k x x y -==--，为定值． 17．（2021•南昌一模）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为(0)k k ≠的动直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l '过点1(A x ，1)y ，且点F 关于直线l '的对称点1(R x ，1)-．（1）求抛物线E 的方程，并证明直线l '是抛物线E 的切线；（2）过点A 且垂直于l '的直线交y 轴于点G ，AG ，BG 与抛物线E 的另一个交点分别为C ，D ，记AGB ∆的面积为1S ，CGD ∆的面积为2S ，求21S S 的取值范围．【解答】解：（1）1(R x ，1)-在定直线:1m y =-上，||AR 表示A 到直线m 的距离，因为F 关于l '的对称点为R ，故||||AF AR =，即抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线m 的距离，直线m 即为准线，所以12p -=-，即1p =，抛物线的方程为24x y =；证明：12FR k x =-，因为FR l '⊥，所以l '的斜率为12x ，由24x y =可得12y x '=，点A 处的切线的斜率为112x ，故直线l '是抛物线E 的切线；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则3421121||||sin ||||21||||||||sin 2CG DG CGD x x S CG DG S AG BG x x AG BG AGB ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠， 22313113313112444ACx x y y x x k x x x x x --+====---，则3118x x x =--，设直线l 的方程为1y kx =+，与24x y =联立，可得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-，214x x =-，则AC 的方程为21112()4x y x x x -=--，令0x =，可得2124x y =+，即21(0,2)4x G +，因为A ，G ，C 三点共线，可得3118x x x =--，又B ，G ，D 三点共线，且2(B x ，22)4x ，4(D x ，24)4x ，224(0,2)G x +，所以22224224244BD DGx x x x k k x +-+===-，可得4322816x x x =--，故13342122112128816()()x x x S x x x S x x x x ----==，将124x x =-，124x x =-，代入上式，化简可得22412211416()4S S x x =++>，所以21S S 的取值范围是(4,)+∞． 18．（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(1,1)P -的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．（Ⅰ）求斜率k 的取值范围；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意设直线l 的方程为1(1)(0)y k x k -=+≠，即1y kx k =++，联立241y x y kx k ⎧=⎨=++⎩，得22222(2)(1)0k x k k x k ++-++=，所以21222(2)k k x x k +-+=-，2122(1)k x x k +=，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则120x x +>，120x x >，所以△22224(2)4(1)0k k k k =+--+>，解得k <<0k ≠，所以k的取值范围为15((0,)2-+．（Ⅱ）由题知，1(k M k+-，0)，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，由（Ⅰ）知，124y y k +=，1244y y k=+，因为直线l 与x 轴交于M ，1(1M k--，0)，因为直线CD 过点M 且斜率为2k -，所以直线CD 的方程为12(1)y k x k=-++，联立212(1)4y k x ky x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得22440y y k k +++=，所以342y y k+=-，3444y y k =+，所以△2444(4)0k k =-+>，即k <<0k ≠，所以131322313131444AC y y y y k y x x y y y --===-+-，所以直线AC 的方程为11134()y y x x y y -=-+，所以21311111313131313134444y y x y y x y x y x y y y y y y y y y y y y =-+=-+=+++++++①，所以直线BD 的方程为2424244y y y x y y y y =+++②，联立①②得13241313242444y y y y x x y y y y y y y y +=+++++，解得132413242413114()y y y y x y y y y y y y y -=-++++，所以2413241313244()()()x y y y y y y y y y y y +--=+-+，因为1234y y y y =，所以124x y y =，所以点N 的横坐标为1201154y y x k==+=-，所以16k =-．19．（2021•新津县校级月考）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且||3AF =．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，以点F 为圆心作与直线GA 相切的圆F ，求圆F 的半径，判断圆F 与直线GB 的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的定义得||22p AF =+．因为||3AF =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =；（2）证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ．因为点(2,)A m 在抛物线2:4E y x =上，所以m =±由抛物线的对称性，不妨设(2A ，，由(2A ，，(1,0)F 可得直线AF 的方程为1)y x =-，由得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1(2B ，又(1,0)G -，故直线GA 的方程为30y -+，从而r ==．又直线GB 的方程为30y ++=，所以点F 到直线GB 的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．20．（2015•四川）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为∴点1)在椭圆E 上，又，∴22222211a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a =，b =， ∴椭圆E 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立．理由如下：当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，如果存在定点Q 满足条件，则有||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =． Q ∴点在直线y 轴上，可设0(0,)Q y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，则M 、N的坐标分别为、(0,，又||||||||QM PM QN PN =，∴=01y =或02y =． ∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)．法一：下面证明：对任意直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =．当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=， △22(4)8(12)0k k =++>， 122412k x x k ∴+=-+，122212x x k =-+， ∴121212112x x k x x x x ++==，已知点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为2(x -，2)y ，又11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111QB y kx k k k x x x x '--===-+=---， AQ QB k k '∴=，即Q 、A 、B '三点共线，∴12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='．法二：当斜率存在时，过点A 作AA y '⊥轴，垂足为A '，过点B 作BB y '⊥轴，垂足为B '，易知//AA BB ''，则△AA P '相似于△BB P '，则PA AA PB BB'='，若证上命题，则需证直线QA 与直线QB 交于点(0,2)Q 时关于y 轴对称，则要证0QA QB k k +=，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=， △22(4)8(12)0k k =++>， 122412k x x k ∴+=-+，122212x x k =-+，∴121212112x x k x x x x ++==， 11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111QB y kx k k k x x x x --===-=-+，可证得0QA QB k k +=，所以QAA '∆相似于QBB '∆ 进而得证：QA AA PAQB BB PB'=='，当斜率不存在时，由上可知，结论也成立．故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立．21．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点0(P x ，0)y 为直线l 上一定点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为，∴=解得1c =或5c =-，（舍)，∴抛物线C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2x y '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简，得2002480x x x x -+-=，设1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，则1x ，2x 是以上方程的两根，1202x x x ∴+=，12048x x x =-，1242AB x x x k +==，直线AB 为：2011()42x x y x x -=-，化简，得：00220x x y y --=，定点(2,2)Q ．22．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为2，∴=解得1c =或5c =-，（舍)，∴抛物线C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2x y '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简，得2002480x x x x -+-=，设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，则1x ，2x 是以上方程的两根，1202x x x ∴+=，12048x x x =-，2212012124442ABx x x x x k x x -+===-，直线AB 为：21121()44x x x y x x +-=-，化简，得：00220x x y y --=，定点(2,2)Q ．（Ⅲ）设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，过A 的切线2111()24x x y x x =-+，过B 的切线2222()24x x y x x =-+，交点12(2x x M +，12)4x x 设过Q 点的直线为(2)2y k x =-+联立2(2)24y k x x y =-+⎧⎨=⎩，得24880x kx k -+-=，124x x k ∴+=，1282x x k =-，(2,22)M k k ∴-， 2y x ∴=-．∴点M 满足的轨迹方程为20x y --=．23．（2021•越秀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H ．设抛物线C 的焦点为F ．（1）若点(2,)A m 在抛物线C 上且||3AF =，求抛物线C 的方程；（2）证明||||OH ON 为定值．【解答】解：（1）若点(2,)A m 在抛物线C 上且||3AF =，由抛物线的焦点(2p F ，0)，准线方程为2px =-，可得232p+=，解得2p =，则抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：将直线:l y t =与抛物线方程22y px =联立，解得2(2t P p，)t ，M 关于点P 的对称点为N ，∴222N M x x t p +=，2N M y y t +=，2(t N p∴，)t ，ON ∴的方程为py x t=，与抛物线方程联立，解得22(t H p，2)t ，∴||||2||||H N y OH ON y ==为定值． 24．（2021•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设(,)P m n ，21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为2212(8y y +，12)2y y +，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上，可得21214()422y m n y ++=⋅， 222214()422m y n y ++=⋅，化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280y ny m n -+-=的两根，可得122y y n +=，2128y y m n =-，可得122y y n +=，则PM 垂直于y 轴；（另解：设PA ，PB 的中点分别为E ，F ，EF 交PM 于G ，EF 为PAB ∆的中位线，//EF AB ，又M 为AB 的中点， G 为EF 的中点，设1:AB y kx b =+，2:EF y kx b =+，由24y x =，1y kx b =+，2y kx b =+，解得4M P y y k==，所以PM 垂直于y 轴）（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214n m +=，10m -<，22n -<<，由（Ⅰ）可得122y y n +=，2128y y m n =-，由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =⋅- 22121()28y y m +=-2211[(4162)]162n m n m =⋅-+-24n m =-可令t ==可得12m =-时，t ；1m =-时，t 取得最小值2，即25t ，则3S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∆面积的取值范围为．25．（2021•金安区校级期末）如图所示，已知点0(P x ，0)y 是y 轴左侧一点，抛物线2:4C y x=上存在不同的两点211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，AB 中点为M ，PA ，PB 的中点均在C 上．（1）求证：1202y y y +=；（2）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求||PM 长度的取值范围．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ，因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程22014()422y x y y ++=⋅，即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根为1y ，2y ，所以1202y y y +=．（2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以22121144(2y y M +，12)2y y +，即2212(8y y M +，0)y ，∴2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，又22014y x +=，0x <，∴2200000||3(1)3333(10)PM x x x x x =--=--+-< ∴15||[3,]4PM ∈． 26．（2021•杨浦区期末）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B ，满足PA ，PB 的中点均在抛物线C 上（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(P P x ，)P y ，(M M x ，)M y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值．【解答】（1）解：由抛物线2:4C y x =，得24p =，则2p =，∴抛物线C 的焦点到准线的距离为2；（2）证明：(P P x ，)P y ，设21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为(M M x ，)M y ，则2212(8y y M +，12)2y y +，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上，可得21214()422P P y x y y ++=，22224()422P P y x y y ++=，化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280P P P y y y x y -+-=的两根，可得122P y y y +=，2128P P y y x y =-，可得122P M y y y y +==；（3）解：若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214P P y x +=，10P x -<，22P y -<<，由（2）可得122P y y y +=，2128P P y y x y =-，由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =- 2212121()()28P y y x y y +=-+ 222211[(4162)]4324162P P P P P P P y x y x y x y =-+--+24P P y x =-令t =，得12P x =-时，t ．1P x =-时，t 取得最小值2，即25t ，则34S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∴∆面积的最小值为27．（2021•怀化一模）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，21(A y ，1)y ，22(B y ，2)y ，因为直线PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2200()22y y y y ++=的两个根，即220002220y y y y y -+-=，的两个不同的实数根，所以1202y y y +=，所以PM 垂直于y 轴．（2）根据题意可得1(4F ，0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则211x y =，222x y =，所以22121212126x x y y y y y y +=+=，则123y y =-或122y y =，因为A ，B 位于x 轴的两侧，所以123y y =-，设直线AB 的方程为x ty m =+，联立2x ty my x=+⎧⎨=⎩，得20y ty m --=，所以123y y m =-=-，则3m =，所以直线过定点(3,0)，所以1212111143||4||224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11211111131339()()2226222222y y y y y y y y y =⨯-+=⨯+=+⨯，当且仅当11922y y =，即132y =时取等号，故124S S +的最小值为6．28．（2021秋•通州区期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点)P ，直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=①11,22c e a ==又所以②由①②得21c =，24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=⋯．（4分）（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标(1,0)F ，显然直线AB 斜率存在，设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-③⋯．（5分）代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=⋯．（6分）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④⋯．（7分）在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而1212123322,11y y k k x x --==--，33312412k k k -==--，⋯．（9分）又因为A 、F 、B 共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==--，所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=--++⑤将④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++，⋯（12分）又312k k =-，所以1232k k k +=，即1k ，3k ，2k 成等差数列．⋯．（13分）29．（2013•江西）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =，直线l的方程为4x =．（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点)P ，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，可得22191(0)4a b a b +=>>① 由离心率12e =得12c a =，即2a c =，则223b c =②，代入①解得1c =，2a =，b = 故椭圆的方程为22143x y +=（2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-③代入椭圆方程22143x y +=并整理得2222(43)84120k x k x k +-+-=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+④ 在方程③中，令4x =得，M 的坐标为(4,3)k ，从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==-- 注意到A ，F ，B 共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==-- 所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⨯-++⑤④代入⑤得22122222823432214128214343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++ 又312k k =-，所以1232k k k += 故存在常数2λ=符合题意方法二：设0(B x ，00)(1)y x ≠，则直线FB 的方程为00(1)1y y x x =-- 令4x =，求得003(4,)1y M x - 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-，联立2200143(1)1x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得0058(25x A x --，003)25y x -，则直线PA 的斜率00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为020232(1)y k x -=-所以000001230002252321222(1)2(1)2(1)y x y y x k k k x x x -+--++=+=⨯=---，故存在常数2λ=符合题意30．（2021•张掖期末）如图，椭圆的两顶点(1,0)A -，(1,0)B ，过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（1）当||CD =l 的方程；（2）当点P 异于A ，B 两点时，求证：点P 与点Q 横坐标之积为定值．。

调和点列与极点极线(解析几何)(解析版)

调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【答案】B .【解析】因为 ax +by =1 是圆 x 2+y 2=1 的切点弦方程, 所以直线与圆相交, 故选 B .类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【答案】 x9+y 2=1.【解析】该题实质上就是求椭圆 x 29+y 25=1 内一点 M (1,2) 对应的极线方程，答案为 x9+y 2=1.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB|=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.【答案】 (1)x 24+y 22=1;(2) 见解析.【解析】(1)由题意得：c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2-b 2 ，解得a 2=4b 2=2 ，所求椭圆方程为x24+y 22=1.(2) 解法 1: 定比点差法设点 Q 、A 、B 的坐标分别为 (x ,y ),x 1,y 1 ,x 2,y 2由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |, 则 λ>0 且 λ≠1又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 从而 AP =-λPB ,AQ=λQB 于是 4=x 1-λx 21-λ,1=y 1-λy 21-λ,x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ,从而:4x =x 21-λ2x 221-λ2⋯⋯⋯⋯(1)y =y 21-λ2y 221-λ2⋯⋯⋯.. (2)又点 A 、B 在椭圆 C 上，即:x 21+2y 21=4⋯⋯⋯⋯⋯(3)x 22+2y 22=4⋯⋯⋯⋯⋯(4)(1)+(2)×2, 并结合(3)(4)得 4x +2y =4,即点 Q (x ,y ) 总在定直线 2x +y -2=0 上.解法 2：构造同构式设点 Q (x ,y ),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |,又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 可设 PA =-λAQ ,PB =λBQ(λ≠0,±1)于是 x 1=4-λx 1-λy 1=1-λy 1-λ (1), x 2=4+λx 1+λy 2=1+λy 1+λ(2)由于 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆 C 上, 将(1)(2)分别代入 C 的方程 x 2+2y 2=4,整理得:x 2+2y 2-4 λ2-4(2x +y -2)λ+14=0(3)x2+2y 2-4 λ2+4(2x +y -2)λ+14=0(4)(4)-(3)得:8(2x +y -2)λ=0,∵λ≠0,∴2x +y -2=0,即点 Q (x ,y ) 总在定直线 2x +y -2=0 上.解法 3：极点极线由 |AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB | 可得 AP PB =AQ QB,说明点 P ,Q 关于桞圆调和共轭, 点 Q 在点 P 对应的极线上,此极线方程为4⋅x4+1⋅y 2=1, 化简得 2x +y -2=0.故点 Q 总在直线 2x +y -2=0 上.【注】点 Q 的轨汖方程为 2x -y -2=0( 在椭圆内的部分)类型3：证明直线过定点或三点共线【例4】如图, 过直线l :5x -7y -70=0上的点P 作椭圆x 225+y 29=1的切线PM 和PN , 切点分别为M ,N , 连结MN .(1)当点P 在直线l 上运动时, 证明：直线MN 恒过定点Q ;(2)当MN ⎳l 时, 定点Q 平分线段MN .【答案】见解析.【解析】解法 1: 常规解法(1) 证明：设 P x 0,y 0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 .则椭圆过点 M ,N 的切线方程分别为:x 1x 25+y 1y 9=1,x 2x25+y 2y 9=1.因为两切线都过点 P, 则有:x1x025+y1y09=1,x2x025+y2y09=1.这表明 M,N 均在直线 x0x25+y0y9=1 (1)上.由两点确定一条直线知, 式(1)就是直线 MN 的方程, 其中 x0,y0满足直线 l 的方程.当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x0 取遍一切实数，相应的 y0 为 y0=57x0-10 .代入(1)消去 y0 得 x025x+5x0-7063y-1=0 (2)对一切 x0∈R 恒成立.变形可得 x0x25+5y63-10y9+1=0 ,对一切 x0∈R 恒成立,故有x25+5y63=010y9+1=0⇒x=2514y=-910故直线 MN 恒过定点 Q2514,-910 .(2)当 MN⎳l 时,由式(2)知 x0255-5x0-7063-7≠-1-70. 解得 x0=4375533 . 代入(2),得 MN 的方程5x-7y-53335=0 (3)将此方程与椭圆方程联立,消去 y 得 53325x2-5337x-1280681225=0 .由此可得, 此时 MN 截圆所得弦的中点横坐标恰好为点 Q2514,-910的横坐标, 即x=x1+x22=--53372×53325=2514代入(3)式可得弦中点纵坐标恰好为点 Q2514,-910的纵坐标,即y=57×2514-5337×35=1491252-5332=-910这就是说, 点 Q2514,-910平分线段 MN.解法 2:(1) 动点 P 在定直线 l 上, 则相应的切点弦过定点, 可知定点 Q 必为极点,于是只需求极点即可:由 5x-7y-70=0⇔x14-y10=1, 得到极点坐标 Q2514,-910, 即为所求定点.(2) 由椭圆内一点极线方向与以极点为中点弦的方向相同, 也即 OQ 与极线方向共轭, 即得结论 (2).【注】“极点在已知直线上，则极线过定点”. 这是一类常考的直线过定点问题.【例5】已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点, G为E的上顶点, AG⋅GB=8,P为直线x=6上的动点, PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点.【答案】(1)x29+y2=1;(2) 见解析【解析】(1)易得椭圆 E 的方程为 x29+y2=1;(2)利用极点极线角度 1: 如下图, 设 CD 交 AB 于 Q,AD 交 CB 于 R, 则 QR 为 P 对应的极线,即点 Q 在点 P 对应的极线上. 极点 P(6,t) 对应的极线方程为 6x9+ty=1,即 2x3+ty=1, 极线恒过定点32,0, 故直线 CD 也过定点 32,0.角度 2: 如图, 设 CD 交 AB 于 Q(m,0),则点 P(6,t) 在点 Q(m,0) 对应的极线上，极点 Q(m,0) 对应的极线方程为 mx9+0⋅y=1, 即 x=9m, 由9m=6 得 m=32, 所以直线 CD 过定点 Q32,0.角度 3: 如图, 设直线 x=6 交 x 轴于点 H, 由极点极线的性质可知: |OQ|⋅|OH|=|OB|2即 6|OQ|=32, 所以 |OQ|=32, 故直线 CD 过定点 Q32,0.【注】本题的背景是极点极线, 上面解法从三个不同角度进行了“秒杀”，令人回味无穷. 极点极线是高等几何中的内容, 高中数学教材中虽然没有介绍相关的定义及性质, 但是以此为背景的高考和竞赛试题层出不穷、常考常新. 我们用其他解法求解本题时，可以用求极线对应极点的解法得到这个定点, 目标已然心中有数, 那么就能降低运算难度，避免计算错误.类型4:证明两直线垂直【例6】已知A(-2,0),B(2,0), 点C是动点, 且直线AC和直线BC的斜率之积为-3 4.(1)求动点C的轨迹方程;(2)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P , 与直线x =4相交于点Q , 且F (1,0), 求证:∠PFQ =90∘.【答案】 (1)x 24+y 23=1(y ≠0);(2) 证明见解析.【解析】(1)设 C (x ,y ), 则依题意得 k AC ⋅k BC =-34, 又 A (-2,0),B (2,0),所以有 y x +2⋅y x -2=-34(y ≠0),整理得 x 24+y 23=1(y ≠0), 即为所求轨迹方程.(2)解法 1:设直线 l :y =kx +m , 与 3x 2+4y 2=12 联立得3x 2+4(kx +m )2=12 ,即 3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0 ,依题意 Δ=(8km )2-43+4k 2 4m 2-12 =0，即 3+4k 2=m 2,∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2, 得 x 1=x 2=-4km 3+4k2,∴P -4km 3+4k 2,3m 3+4k2 , 而 3+4k 2=m 2, 得 P -4k m ,3m , 又 Q (4,4k +m ),又 F (1,0), 则 FP ⋅FQ =-4k m -1,3m ⋅(3,4k +m )=0. 知 FP⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘.解法 2:设 P x 0,y 0 ,则曲线 C 在点 P 处切线 PQ :x 0x 4+y 0y 3=1 , 令 x =4 ,得 Q 4,3-3x 0y 0, 又 F (1,0) , ∴FP ⋅FQ =x 0-1,y 0 ⋅3,3-3x 0y 0 =0 ,知 FP ⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘ . 解法 3:x =4 为椭圆的右准线, 椭圆右焦点为 F (1,0),由椭圆极点极线性质 5 可知:PF ⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘.【注】模型：已知椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点为 F , 直线 l 与椭圆 C 相切于 P , 且与右准线交于点 Q , 则有 PF ⊥FQ .类型5:证明向量数量积(或线段长度之积)为定值【例7】如图, 椭圆有两顶点A (-1,0),B (1,0), 过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点, 并与x 轴交于点P , 直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |=322时, 求直线l 的方程A (-1,0);(2)当点P 异于A 、B 两点时, 求证：OP ⋅OQ为定值.【答案】 (1)y =±2x +1； (2) 定值为 1 .【解析】解法 1:设 P (t ,0), 则点 P 的极线过 Q . 易得椭圆方程 x 2+y 22=1, 则 P 的极线为 0⋅y 2+tx =1, 即 x =1t .于是点 Q 在直线 x =1t 上, 设 Q 1t ,y 0 , 则 OP ⋅OQ =(t ,0)⋅1t ,y 0 =t ⋅1t+0⋅y 0=1.解法 2:根据极点极线几何性质, 点 p 关于敉圆 x 2+y 22=1 的极线为过点 Q 且与 x 轴垂直的直线上.设该直线交 x 轴于 Q , 由 “调和点列” 的 “等比性” , 可知 OQ ⋅OP =OB 2, 从而 OP ∙OQ=1.类型6:与斜率有关的定值问题【例8】设P x 0,y 0 为桞圆x 24+y 2=1内一定点(不在坐标轴上), 过点P 的两条直线分别与椭圆交于点A ,C 和B 、D , 且AB ⎳CD .(1)证明:直线AB 的斜率为定值;(2)过点P 作AB 的平行线, 与椭圆交于E 、F 两点, 证明：点P 平分线段EF .【答案】见解析【解析】(1)因为 AB ⎳CD , 所以点 P 对应的极线 x 0x4+y 0y =1 平行于 AB ,即 AB 的斜率是 -y 04x 0(定值);(2) 直线 EF :y =-x 04y 0x -x 0 +y 0, 代入椭圆x 24+y 2=1, 得x 24+-x 04y 0x -x 0 +y 02=1x 20+4y 2016y 20⋅x 2-x 0x 20+4y 20 8y 20⋅x +x 4016y 20+x 202+y 20-1=0则x E +x F =--x 0x 20+4y 20 8y 20x 0x 20+4y 28y 20=2x 0此时点 P 是 EF 中点, 即点 P 平分线段 EF .【例9】如图, 椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0的离心率为22, 直线l :y =12x 与椭圆E 相交于A 、B 两点, AB =25,C 、D 是椭圆E 上异于A 、B 的任意两点, 且直线AC 、BD 相交于点M , 直线AD 、BC 相交于点N , 连结MN .(1)求椭圆E 的方程;(2)求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】 (1)x 26+y 23=1;(2) 见解析.【解析】 (1)x 26+y 23=1.( 过程略)(2) 设点 N 的坐标为 (m ,n ), 直线 DC 与 BA 交于点 P ,则 MP 为点 N 对应的极线, 其方程为 mx 6+ny 3=1. 结合 y =12x , 得到 P 点坐标为 6m +n ,3m +n . 所以, 点 P 对应的极线 MN 的方程为 16⋅6m +n x +13⋅3m +n x =1, 即 x +y =m +n ,所以直线 MN 的斜率为定值 -1.【注】本题需要极点、极线之间的两次转化, 通过点 P 在点 N 对应的极线上, 以及 MN 是点 P 对应的极线, 使问题得以解决.【例10】四边形ABCD 是椭圆x 23+y 22=1的内接四边形, AB 经过左焦点F 1,AC ,BD 交于右焦点F 2, 直线AB 与直线CD 的斜率分别为k 1,k 2.(1)证明:k 1k 2为定值;(2)证明：直线CD 过定点, 并求出该定点的坐标.【答案】见解析.【解析】(1)设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,D x 4,y 4则直线 AC 的方程为 x =x 1-1y 1y +1, 代入椭圆方程 x 23+y 22=1 整理得2-x 1 y2+x 1-1 y 1y -y 21=0∵y 1⋅y 3=-y 212-x 1,∴y 3=y 1x 1-2, 从而 x 3=x 1-1y 1y 3+1=2x 1-3x 1-2,故点 C 2x 1-3x 1-2,y 1x 1-2, 同理,点 D 2x 2-3x 2-2,y 2x 2-2 . 因为三点 A 、F 1,B 共线,所以 y 1x 1+1=y 2x 2+1, 从而 x 1y 2-x 2y 1=y 1-y 2.从而k 2=y 4-y 3x 4-x 3=y 2x 2-2-y 1x 1-22x 2-3x 2-2-2x 1-3x 1-2=y 2x 1-2 -y 1x 2-2 2x 2-3 x 1-2 -2x 1-3 x 2-2=x 1y 2-x 2y 1 +2y 1-y 2x 1-x 2=3y 1-y 2 x 1-x 2=3k 1故k 1k 2=13 .(2)解法 1:由(1)知:C 2x 1-3x 1-2,y 1x 1-2,D 2x 2-3x 2-2,y 2x 2-2,设直线 CD 交 x 轴于点 M x 0,y 0 ,则x 0=x 3y 4-x 4y 3y 4-y 3=2x 1-3x 1-2⋅y 2x 2-2-2x 2-3x 2-2⋅y 1x 1-2y 2x 2-2-y 1x 1-2=2x 1-3 y 2-2x 2-3 y 1y 2x 1-2 -y 1x 2-2 =2x 1y 2-x 2y 1 +3y 1-y 2 x 1y 2-x 2y 1 +2y 1-y 2=5y 2-y 1 3y 1-y 2 =53故直线 CD 过定点 53,0.解法 2:设 AB ,DC 交于点 P , 则 P 在 F 2 对应的极线1⋅x 3+0⋅y 2=1 即 x =3 上，可设 P (3,m ),由对称性可知：直线 CD 过定点必在轴上，不妨设定点为 T (t ,0), 则 k 1=k PF 1=m 4,k 2=k PT =m3-t,由(1)知 k 1k 2=13, 得 3-t 4=13⇒t =53, 所以 T 53,0 , 故直线 CD 过定点 53,0 .类型7:等角问题【例11】设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F , 过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时, 求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点, 证明:∠OMA =∠O MB .【答案】(1)AM 的方程为 y =-22x +2 或 y =22x -2;(2) 证明见解析.【解析】(1)由已知得 F (1,0),l 的方程为 x =1.由已知可得, 点 A 的坐标为 1,22 或 1,-22 . 所以 AM 的方程为 y =-22x +2 或 y =22x -2.(2)解法 1:设直线 l 的方程为:x =my +1,A x 1,y 1 ,B x 2,,y 2 ,k AM =y 1-0x 1-2,k BM =y 2-0x 2-2联立方程组得:x =my +1x 22+y 2=1, 消去 x 并整理得:m 2+2 y 2+2my -1=0(1)因为点 F 为椭圆的右焦点, 所以方程(1)有两个实数根分别为 y 1,y 2.由韦达定理可得:y 1+y 2=-2m 2+m 2,y 1y 2=-12+m 2因为:k AM +k BM =y 1-0x 1-2+y 2-0x 2-2=y 1my 1-1+y 2my 2-1=2my 1y 2-y 1+y 2 my 1-1 my 2-1整体代入可得:k AM +k BM =2my 1y 2-y 1+y 2 my 1-1 my 2-1 =-2m 2+m 2+2m2+m 2my 1-1 my 2-1 =0则直线 AM 的倾斜角与直线 BM 的倾斜角互补, 故 ∠OMA =∠O MB .解法 2:过点 A ,B 分别作椭圆右准线的垂线, 垂足分别为 A 1,B 1(如图所示)由椭圆的第二定义可得: e =AF AA 1=BF BB 1, 所以有: AFBF =AA 1BB 1(1),因为 AA 1⎳x 轴⎳ BB 1 ,所以 AFBF =A 1M B 1M(2) 由(1)(2)得AA 1BB 1=A 1M B 1M ,即有 AA 1A 1M=BB 1B 1M 且 ∠AA 1M =∠BB 1M ，所以 △AA 1M ∼ΔBB 1M , 即可得 ∠AMA 1=∠B MB 1,故 ∠OMA =∠O MB .【例12】如图, 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F , 点-1,32 在椭圆C 上, 过原点O 的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点, 且|MF |+|NF |=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P (1,0),Q (4,0), 过点Q 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点, 证明:∠APO =∠BPQ【答案】(1)x24+y2=1；(2) 见解析.【解析】(1) 如图, 取椭圆 C 的左焦点 F , 连 MF ,NF , 由椭圆的几何性质知 |NF|=MF, 则MF+|MF|=2a=4, 得 a=2, 将点 -1,3 2代入椭圆 C 的方程得:1a2+34b2=1, 解得:b=1, 故椭圆C 的方程为:x24+y2=1.(2) 设点 A 的坐标为 x1,y1, 点 B 的坐标为 x2,y2解法 1:y1x1-4=y2x2-4⇒y21x1-42=y22x2-42⇒1-x214x1-42=1-x224x2-42⇒4-x21x2-42=4-x22x1-42⇒2x1x2x1-x2-5x21-x22+8x1-x2=0因为 x1≠x2, 所以 2x1x-5x1+x2+8=0所以k x1-4x1-1+k x2-4x2-1=k x1-4x2-1+k x2-4x1-1x1-1x2-1=k2x1x2-5x1+x2+8x1x2-x1+x2+1=0所以直线 AP 与 BP 的斜率互为相反数, 故 ∠APO=∠BPQ.解法 2:设直线 AB 的方程为 x=ty+4, 联立方程x2+4y2=4x=ty+4, 消去 x 得:t2+4y2+8ty+12=0则y1+y2=-8tt2+4y1y2=12t2+4, 所以y1y2y1+y2=-32t, 所以 2ty1y2=-3y1+y2所以k AP+k BP=y1x1-1+y2x2-1=y1ty1+3+y2ty2+3=2ty1y2+3y1+y2ty1+3ty2+3=-3y1+y2+3y1+y2ty1+3ty2+3=0所以直线 AP 与 BP 的斜率互为相反数, 故 ∠APO=∠BPQ.类型8:三斜率成等差数列引理:二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线PQ交于点P,Q, 定点O在直线PQ 上, PQ 与O 点关于曲线C 的极线交于点R . 曲线C 上有两动点A ,B , 且直线AO 、BO 分别交曲线Γ于点C , D , 直线AB ，CD 分别交PQ 于点M ,N . 则M ,O ,N ,R 成调和点列.【证明】延长XO 交BC 于点E , 由定理5可知：B ,E ,C ,Y 成调和点列(完全四边形中的调和点列), 故M ,O ,N ,R 也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).【例13】椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1,P 的坐标是x 0,0 ,Q 点在P 关于椭圆的极线x =a 2x 0上. 过P 作直线交椭圆于点A ,B . 求证：直线AQ ,PQ ,BQ 的斜率成等差数列.该结论对于拋物线, 双曲线同样适用. 特别地，当Q 点在x 轴上时, 就是等角线, 此时PQ 斜率为0 , PQ 平分∠AQB .【答案】见解析.【解析】解法 1:作出以下辅助线:作 PR ⊥x 轴于 R , 设 AB 与 CD 交于点 P , 由引理可知:M 、P 、N 、R 成调和点列,于是有:1RM +1RN =2RP所以k AQ +k cQ =k MQ +k NQ =QR RM +QR RN =2QR RP =2k PQ 即直线 AQ ,PQ ,BQ 的斜率成等差数列.解法 2:由 A 、P 、B 共线可得： k PA =k PB , 即y A x A -x 0=y B x B -x 0所以y2Ax A-x02=y2Bx B-x02即a2b2-b2x2Aa2x A-x02=a2b2-b2x2Ba2x B-x02化简可得:2x0x A x B-x20+a2x A+x B+2a2x0=0恒等变形后得到:x0a2-x0x A+x0a2-x0x B=2x0a2-x20注意到恒等变形:x0a2-x0x A-x0a2-x20=-x20x0-x Aa2-x0x Aa2-x20于是我们将 (1)式等号的右边的式子移到左边, 还可以得到一个与(1)式等价的(2)式:x0-x Aa2-x0x A+x0-x Ba2-x0x B=0则y Ax Q-x A+y Bx Q-x B=y Aa2x0-x A+y Ba2x0-x B=x0y Aa2-x0x A+x0y Ba2-x0x Bk AQ+k BQ=y Q-y Ax Q-x A+y Q-y Bx Q-x B=y Q⋅1x Q-x A+1x Q-x B-y A xQ-x A+y Bx Q-x B所以=y Q⋅x0a2-x0x A+x0a2-x0x B-k AB⋅x0⋅x0-x Aa2-x0x A+x0-x Ba2-x0x B=y Q⋅x0a2-x0x A+x0a2-x0x B=2y Q x0a2-x20=2y Qx Q-x0=2k PQ故直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列.【例14】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过焦点F任作一直线交椭圆C于A,B两点, 交F相应的准线于点M,P为过F与x轴垂直的直线上的任意一点, 则直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.【答案】见解析【解析】易知 A,B,F,M 成调和点列, 从而直线 PA,PB,PF,PM 成调和线束, 又因为 PF⊥x 轴, 故由定理 3 知 k1,k2,k3 成等差数列.【注】类似地, 可得下面结论成立：已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过点 E(t,0)(0<t<a) 任作一直线交椭圆 C 于 A,B 两点, 交直线 l:x=a2t 于点 M,P 为椭圆上的点且满足 PE⊥x 轴, 则直线 PA、PM、PB 的斜率成等差数列.【例15】如下图, 椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点为A 1,B 1,Q 为直线x =m 上一点, QA 1,QB 1分别于椭圆交于点A ,B , 过点P 作直线交桞圆于A ,B 两点, 直线AB 与x 轴交于点P , 与直线x =m 交于点M , 记直线QA 1,QB 1,QP 的斜率分别为k 1,k 2,k 0, 则:(1)k 1,k 0,k 2成等差数列;(2)x P xQ =a 2.【答案】见解析.【解析】由完全四边形性质可知 Q 在 P 的极线 x =m 上, 则 P ,H 调和分割 A 1B 1.而 k 1+k 2=2k 0⇔QH A 1H+QH B 1H =2×QH PH ⇔A 1H HB 1=A 1P PB 1⇔P ,H 调和分割 A 1B 1⇔|OP |⋅|OH |=OB 1 2⇔x P x Q =a 2, 于是(1)(2)成立.【注】设与直线 AB 与直线 x =m 交于点 M , 则 P ,M 调和分割 BA .【例16】椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 1,32 , 离心率e =12.(1)求椭圆的方程;(2)设P 是直线x =4上任意一点, AB 是经过椭圆右焦点F 的一条弦(不经过点M ). 记直线PA ,PF ,PB 的斜率依次为k 1,k 2,k 3. 问：是否存在常数λ, 使得k 1+k 3=λk 2. 若存在, 求λ的值;若不存在, 说明理由.【答案】 (1)x 24+y 23=1； (2) 见解析【解析】(1)易知椭圆为 x 24+y 23=1.(2) 设直线 AB 方程为 x =ty +1, 点 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由 x 24+y 23=1x =ty +1消去 x , 整理得:3t 2+4 y 2+6ty -9=0.则 y 1,y 2 为上述方程的根, 设 s =y 1+y 2=-6t 3t 2+4,p =y 1y 2=-93t 2+4 于是 s p =6t 9, 即有:t =3s 2p 设点P 的坐标为 (4,m ), 则 k 2=m 3,k 1+k 3=m -y 14-x 1+m -y 24-x 2=m -y 13-ty 1+m -y 23-ty 2=6m -(3+mt )y 1+y 2 +2ty 1y 29-3t y 1+y 2 +t 2y 1y 2=6m -3+m 3s 2p s +23s 2p p 9-33s 2p s +3s 2p2p =6m -3ms 22p 91-s 24p=2m 3=2k 2这表明存在常数 λ=2, 使得 k 1+k 3=λk 2.【注】本题中, 点 P 所在直线刚好为椭圆的右准线. 如图, 设直线 PA ,PB 与 x 轴交于 C ,D , 准线与 x 轴交于点 E . 则本题结论用图中线段可表示为 EP CE +EP DE =2⋅EP FE , 即 2EF =1EC+1ED . 这表明 (C ,D ;F ,E )为调和点列, 由定理 3 知 k 1,k 2,k 3 成等差数列, 即 k 1+k 3=2k 2.。

中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

2x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义A1.1 几何定义如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FGFNEP交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线.若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线.由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点H BG M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法.图 11.2 代数定义已知圆锥曲线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ，则称点 P( x , y ) 和直线0 0l : A x +C y + y (D x ) + (E y) +y 是圆锥曲线 Γ 的一对极点和极线.0 0 0 0x + x事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此)0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程.特别地：(1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y= 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1；0 0(2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1；0 0(3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x + x) . 0 0§2.极点与极线的基本结论定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 Γ 上时，则极线 l 是曲线 Γ 在 P 点处的切线；(2)当 P 在 Γ 外时，则极线 l 是曲线 Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当 P 在 Γ 内时，则极线 l 是曲线 Γ 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy ' + 2D + 2Ey ' = 0 ，解得 y ' = -，于是曲线 Γ 在 P 点处的切线斜率Cy + EAx + D Ax + D为 k =- ，故切线 l 的方程为 y - y =-0 0 0 0( x - x ) ，化简得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ，又点 P 在曲线 Γ 上，故有 00 0Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 Γ 在 P 点Mx + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0)Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，处的切线为 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .0 0 0 0(2)设过点 P 所作的两条切线的切点分别为M ( x , y ), N ( x , y ) ，则由 (1)知，在点1 12 2M , N 处的切线方程分别为 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0=F1 1 1 1Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又点2222P 在切线上，所以有Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 10 111Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ，0 20 222P观察这两个式子，可发现点M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直线1122 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上，N图 2又两点确定一条直线，故切点弦 MN 所在的直线方程为Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .(3)设曲线 Γ 过 P( x , y ) 的弦的两端点分别为 S ( x , y ), T ( x , y ) ，则由(1)知，曲线在1122这两点处的切线方程分别为 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和1111Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，2 2 2 2 设两切线的交点为 Q(m , n ) ，则有T.1111Q(m,n)2222观察两式可发现S ( x , y ), T ( x , y ) 在直线1122Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上，S图 3又两点确定一条直线，所以直线 ST 的方程为 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ，又直线 ST 过点 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而点0 0 0 0 0 0Q(m , n ) 在直线 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 上.0 0 0 0所以两切线的交点的轨迹方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 .0 0 0 0定理 2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P ，则这些极线相应的极点共线于点 P 相应的极线，反之亦然.PB点 P 的极线点 P 的极线PA图 4(1)即极点与极线具有对偶性.如图 4(1)(2)所示.图 4(2).) 22 a 2 b 2 c2y 2 y证明：由于 F ( ,0) , A( 1 , y ) ， B( 2 , y ) ，故 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 12 2 22 y y 2 - p 2 OC = y p ( , , ( )kOC = +py p py§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现 3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线如果圆锥曲线是椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1 ，当 P( x , y ) 为其焦点 F (c , 0 时，极线 0 0x x y y a 2 x 2 y 20 + 0 = 1 变为 x = ，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线 - a b 2 c a b 2= 1 ，当x x y y a 2P( x , y ) 为其焦点 F (c,0) 时，极线 0 - 0 = 1变为 x = ，恰是双曲线的准线；如果0 0 p圆锥曲线是抛物线 y 2 = 2 px ，当 P( x , y ) 为其焦点 F ( ,0) 时，极线 y y = p ( x + x) 变0 0 0 0 p为 x =- ，恰是抛物线的准线.23.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例 1】过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y , y ，求证： y y = - p 2 . 1 2 1 2三点对应的极线方程分别是p y 21 2Apy 2 y 2x =-， y y = p ( 1 + x) 和 y y = p ( 2 + x) ，12CO FBx由于 A, F , B 三点共线，根据定理 2 可知，对应的 p三条极线共点，将 x = -代入后面两式得2 图 51p 21 p2 y y 2 - p 2y y = y 2 - ， y y = y 2 - ，两式相除得 1 = 1⇒ y y = - p 2 . 12 1 222作为课本一习题，2001 年全国高考试卷 19 题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线 y 2 = 2 px 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于两点 A, B ，点 C在抛物线的准线上，且 BC 平行于 x 轴，证明直线 AC 必过原点.简证：如图 5，设 Ax y )Bx, y)1 122p，则 C (- , y 22 ，从而 k O A = y 1 = x 12 py ，1 -22=-点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例 2】(1)已知抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k ，问 k 为何值时，直线 l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线 x 2 -是线段 AB 的中点？y 2 2= 1 ，过点 P(1,1)能否作直线 l ，与双曲线交于 A, B 两点，且 Px + 0，故 ⎨， ⎩ 2ky + y = 2 x ⎪⎪ 0k 当 k ≠ 0 时， ⎨ ，直线 l 与抛物线有两个公共点 ⇔ P( x , y ) 在抛物线外2⎪ y = ⎩⎪⎪ 0 2故 ⎨ ，两式相减得 4 x - 2 y = 2 ，即 2 x - 0 = 1 ，而 2 x - = 1 ⎪(2 - x )2 - (2 - y 0 )2 = 1 2 2⎪⎩ 2. 解：(1)设点 P( x , -1), A( x , y ), B( x , y ) ，A, B, F 三点共线，故相应的三极线共点于 P( x , -1) ，代入极线方程得 ⎨ 1 0 x x = 2( y - 1) ⎩ 2 0解： (1)直线 l 的方程为 y - 1 = k ( x + 2) ，即 y = kx + 2k + 1 . 设直线 l 对应的极点为P( x , y ) ，则相应的极线应为 y y = 2( x + x ) x ，即 y = 0 0 0 0 2 y 0y ⎧1 x = +2 0 0⎪ 0 k ⇔ y 2 > 4 x ⇔ 0 0 4 1 1 1> 4( + 2) ，解得 -1 < k < 且 k ≠ 0 ；同理可求得当 k = -1 或 k = k 2 k 2 21或 k = 0 时直线与抛物线只有一个公共点；当 k < -1 或 k > 时直线与抛物线没有公共点.2(2)设 A( x , y ) ，则由 P 是线段 AB 的中点得 B(2 - x , 2 - y ) ，而 A, B 在双曲线上， 0⎧ y 2 x 2 - 0 = 1 2 y 2 y 0 0 00 是点 (2, 2) 对应的极线，但点 (2, 2) 在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景【例 3】(2006 年全国试卷 II21)已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且yBAF = λ F B(λ > 0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为 P .F(1)证明 FP ⋅ AB 为定值；(2)设 ∆ABP 的面积为 S ，写出 S = f (λ ) 的表达式，并求 S 的最小值.AOPx0 1 12 2图 6F , A, B 三点对应的极线方程分别为y = -1 ， x x = 2( y + y) ， x x = 2( y + y) ，由于1 1220 ⎧ x x = 2( y - 1) 1 2，两式相减得 ( x - x ) x = 2( y - y ) .1212又 FP = ( x , -2), AB = ( x - x , y - y ) ，故 FP ⋅ AB = x ( x - x ) - 2( y - y ) = 0 . 021212121 (2)设 AB 的方程为 y = kx + 1 ，与抛物线的极线方程 x x = 2( y + y) 对比可知直线 AB对应的极点为 P(2k , -1) ，把 y = kx + 1 代入 x 2 = 4 y 并由弦长公式得 AB = 4(1+ k 2) ，所以2y + - 21 k 设 AB : y -2 = k ( x - ) ，可化为 = x ，故直线 AB 对应的极点为2 = k k + ⎪⎪3 2⎪ k 2 - k + 4 + - 2 k 2 - + 2⎪ y = 22⎪⎩2 2 24 2 4 4FP ⋅ FA cos ∠AFP = = 24 4 = 4 4 = 1 2 4 . 1 FP ⋅ FA FPFP x 2 + ( x 2 - )24 41 1 x + xFP ⋅ FB 同理 cos ∠AFP = =S∆ABP = 1 2AB FP = 2(1+ k 2 ) 4(1+ k 2 ) .显然，当 k = 0 时， S 取最小值 4 .【例 4】(2005 江西卷 22)设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F ，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0上运动，过 P 作抛物线的两条切线 P A, PB ，且与抛物线分别相切于 A, B 两点.(1)求 ∆APB 的重心 G 的轨迹方程； yB与 (2)证明 ∠PFA = ∠PFB .解：(1)设点 P( x , y ), A( x , y ), B( x , y ) ，0 0 1 1 2 2y + y0 = x x 对比知直线 l : x - y - 2 = 0 对应的0 A FOP lx1极点为 ( , 2) ， P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应2图 71的极线 AB 必恒过点 ( , 2) .2k22 2 2k k k( , - 2 )，将直线 AB 的方程代入抛物线方程得 x 2 - kx + - 2 = 0 ，由此得 2 2 2x + x = k , y + y = k ( x + x - 1) + 4 = k 2 - k + 4 ， ∆APB 的重心 G 的轨迹方程为121212⎧k ⎪ x =1 ⎨，消去 k 即得 y = (4 x 2- x + 2) . k k 3 =3 3k k k(2)由(1)可设点 P( , - 2) ， A ( x , x 2 ), B( x , x 2 ) ，且 x + x = k , x x = - 2 ，所以1 12 2 1 2 1 2 1 1 1 FA = ( x , x 2 - ) ， FP = ( 1 2 , x x - ) ， FB = ( x , x 2 - ) .1 1 12 2 2 x + x 1 1 1 1 1 1 2 x + ( x x - )( x 2 - ) ( x x + )( x 2 + ) x x +1 1 21 12 1 1 FP ( x 2 + ) 1x x +1 2FP ⋅ FB FP14 .所以有 ∠PFA = ∠PFB .评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.A B2 a b 2 2ay )2 】(评析：该题实质上就是求椭圆 + 】( 点评析：显然该定直线为点 M ( , ) 对应的极线： + = 1 ..【例 5】(2002 澳大利亚国家数学竞赛)已知 ∆ABC 为锐角三角形，以 AB 为直径的⊙ K分别交 AC, BC 于 P , Q ，分别过 A 和 Q 作⊙ K 的两条切线交于点 R ，分别过 B 和 P 作⊙ K 的两条切线交于点 S ，证明点 C 在线段 RS 上.RR (-a,y 2)yCCPQSPS (a,y 1)QK下面将圆加强为椭圆，并给出证明.A图 8K B x证明：以 AB 为 x 轴，线段 AB 为 y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为 x 2 y 2 + a b 2= 1 ，- x y y并设点 S (a, y ), R(-a, y ) ，则 R 点对应的极线 AQ : + 2 = 1 ，代入椭圆方程解得点1 2a( y 2 - b 2 ) 2b 2 y yQ( , 2 ) ，直线 B Q: = - 2 ( x - a，同理我们可以得到直线 y 2 + b 2 y 2 + b 2 a 2 2y y - y 2 y yAP : y = 1 ( x + a) ，将直线 BQ 的方程与 AP 的方程联立解得 C ( 2 1 a, 1 2 ) ，可验a y + y y + y1 2 1 2y - y证其坐标满足直线 RS : y - y = 12 ( x - a) 的方程，所以三点共线. 1 评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1 ，而用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例 6】《中等数学》2006 年第 8 期 P 42)过椭圆 x 2 y 2+ = 1 内一点 M (3,2) 作直线 AB 25 9与椭圆交于点 A, B ，作直线 C D 与椭圆交于点 C, D ，过 A, B 分别作椭圆的切线交于点 P ，过 C, D 分别作椭圆的切线交于点 Q ，求 P , Q 连线所在的直线方程x 2 y 225 9= 1 内一点 M (3,2) 对应的极线方程，由定理 1立即可得答案为 3x 2 y+ = 1 .25 9【例 7 《中学数学》2006 年第 7 期新题征展 77)设椭圆方程为 x 2 1 1+ y 2 = 1 ， M ( , ) ，2 2 2过点 M 的动直线与椭圆相交于点 A, B ，点 A, B 处的切线相交于点 N ，求证点 N 的轨迹是一条定直线.1 1 x y2 2 4 2从例 6、例 7 可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐2 mk m 评析：由定理 1 知，该定理中定点 M (m ,0) ，直线l : x = 即为一对极点与极线，从4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【定理】【 2 】线段 PQ 是过椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 长轴上定点M (m ,0)( m ≠ 0, m ≠ ±a) 的弦，S , T 是长轴上的两个顶点，直线 SP , SQ 与直线 l : x = a 2 m交于 A( x , y ), B( x , y ) 两点，并且直线 PQ 的斜率 k 存在且不为零，则有A AB B2b 2 m 2b 2 - a 2b 2y + y =- , y y = . A B A B 2这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.a 2m另一方面来说，该定理是【例 1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极线的性质证明，文【3】则完全是定理 1 的一种特例.定理 1 和定理 2 反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3【4】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8【10】李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12【12】丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10【13】邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.111 、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。

从圆的切点与切线谈到圆锥曲线的极点与极线及其运用

从圆的切点与切线谈到圆锥曲线的极点与极线及其运用摘要：本文以圆的切点与切线为线索先探索圆的三类相伴的极点与极线，进而因势利导地介绍数学史中圆锥曲线的三类相伴的极点与极线，然后分门别类地例谈极点与极线在高考题与竞赛题中的应用，展示数学史的现实价值.关键词：极点；极线；笛沙格；高屋建瓴为了知识建构和数学探究的循序渐进，先让我们来看一个引例.引例（1）以圆x2+y2=R2上任一点P（x0，y0）为切点，作该圆的切线l（如图1），则切线方程是________；[x][O][y][l][P（x0，y0）]图1（2）过圆x2+y2=R2外任一点P（x0，y0）作该圆的两条切线（如图2），则两个切点的连线l的方程是________；[x][O][y][l][P（x0，y0）][A][B]图2（3）过圆x2+y2=R2所在平面内非圆心的一点P（x0，y0）任意作直线与该圆相交，再过两个交点分别作该圆的切线，则这两条切线的交点的轨迹是________.探索：（1）先考虑切点，设所求的切线方程为A（x-x0）+B（y-y0）=0，其中x+y=R2.当AB≠0时，由于过切点的半径与此切线垂直，则-1=?-，则A∶B=x0∶y0，则切线方程可以化为x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，即x0x+y0y=R2；当AB=0时，则切点在坐标轴上，验知切线方程也为x0x+y0y=R2.总之，以题设圆上的点P（x0，y0）为切点的切线方程是x0x+y0y=R2.（2）设两个切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则利用（1）的结论知两条切线PA，PB的方程分别为x1x+y1y=R2，x2x+y2y=R2，代入点P（x0，y0）的坐标得x1x0+y1y0=R2，x2x0+y2y0=R2，改写成直线过两点的形式为x0x1+y0y1=R2，x0x2+y0y2=R2.所以，符合题意的两个切点的连线方程是x0x+y0y=R2.（3）过题设一点P（x0，y0）任意作直线与圆x2+y2=R2相交，设两个交点分别为A，B，再过这两个交点作该圆的两条切线相交于点M（x′，y′），则利用（2）的结论知连线AB的方程是x′x+y′y=R2. 又因为连线AB必过点P （x0，y0），则x′x0+y′y0=R2，改写成动点M（x′，y′）在直线上的形式就是x0x′+y0y′=R2，所以符合题意的交点轨迹是直线x0x+y0y=R2（如图3）.回眸上述探索及结论，点P（x0，y0）虽然处于圆x2+y2=R2的不同位置，但都能推导出一条直线方程具有统一的形式x0x+y0y=R2. 于是可以顺畅理解，在射影几何上，把点P（x0，y0）与直线x0x+y0y=R2称为关于圆x2+y2=R2的相伴的极点与极线.同理，把点P（x0，y0）与直线+=1称为关于椭圆+=1的相伴的极点与极线；把点P（x0，y0）与直线-=1称为关于双曲线-=1的相伴的极点与极线；把点P（x0，y0）与直线y0y=p（x+x0）称为关于抛物线y2=2px的相伴的极点与极线.极点与极线，是法国数学家笛沙格（G.Desargues，1591～1661）于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中提出来的，其几何意义如下：（Ⅰ）二次曲线的切线与它的切点是该二次曲线的相伴的极线与极点；（Ⅱ）如果过一点P能作二次曲线的两条切线，再过两个切点作直线l，则点P与l是该二次曲线的相伴的极点与极线；（Ⅲ）如果过一点P能作一条直线与二次曲线相交，以这两点为切点作曲线的两条切线，这两条切线的交点的轨迹是直线l，则点P与直线l是该二次曲线的相伴的极点与极线.在近几年的统测题、高考题、竞赛题中，圆锥曲线的上述第（Ⅰ）（Ⅱ）类极点与极线已经成为专家命题的热点背景，而专家高屋建瓴地选用第（Ⅲ）类极点与极线作为命题背景也可窥见端倪.例1 （2014年辽宁高考题）已知点A（-2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A. B. C. D.解：由已知得-=-2，则p=4，F（2，0），则抛物线方程是y2=8x，过点A作直线与抛物线C在第四象限相切于另一点D（如图4），则经过这两个切点的连线BD的方程是3?y=4?（x-2）.[x][O][y][F][A][B][C][D]图4验知焦点F（2，0）在此直线上，即3×0=4×（2-2），则kBF=kBD=，故选D.补注：当抛物线的极点在准线上时，相应的极线（过此极点所引抛物线的两条切线的切点连线）必过焦点（还可推导出这两条切线互相垂直）.例2 （2014年清华大学等“华约”自主招生题）已知椭圆b2x2+a2y2=a2b2（其中a>b>0）与圆x2+y2=b2，过椭圆上一点M作圆的两条切线，切点分别为P，Q，连线PQ 与x轴、y轴分别交于点E，F，求△EOF面积的最小值.解：如图5，设M（x0，y0），则b2x+a2y=a2b2，且两切点连线PQ的方程是x0x+y0y=b2，其中x0y0≠0，则可求得两个交点E。

极点极线的性质及应用

极点极线的性质及应用极点极线是解析几何中的重要概念，它们与圆、直线以及双曲线的性质密切相关。

极点极线具有很多重要的性质和应用，下面将详细介绍。

首先，我们来看极点的定义。

在解析几何中，直角坐标系上的一个点P的极坐标(r，θ)中，r表示点P到原点O的距离，θ表示OP与x轴正半轴的夹角。

而极点就是确定这个点P的极坐标的原点O。

在直角坐标系中，极点是确定直线和圆的方程的重要参考点。

极点与极线之间是一一对应的关系。

给定一个极点，可以有无数条通过该点的直线，这些直线就是该极点的极线，而每一条直线都有唯一一个极点与之对应。

同样地，给定一条直线，可以有无数个通过该直线的极点，这些极点也形成了一条曲线，称为该直线的极线，而每一条极线都对应于唯一一条直线。

极点极线具有以下几个性质：1. 极线的方程：对于圆，极线是通过极点与圆相交的直线；对于双曲线，极线是通过极点且与双曲线相切的直线；对于直线，极线是垂直于该直线的直线。

由此可见，极线的方程与所对应的图形有关。

2. 极线的性质：极线上的任意点对应了一个直线，因此极线上的点与直线之间具有一一对应的关系。

这一性质使得极线可以用来表示直线。

3. 极点的性质：同样地，极点也有一些重要的性质。

例如，给定一条直线L，存在一个点P使得P到直线L的距离为定值，这个点P就是该直线的极点。

这个性质可以用来求解与已知直线距离相等的点。

4. 极线的交点：对于两个极点P₁和P₂，它们的极线分别为L₁和L₂。

两条极线相交于一个点Q，这个点Q称为极点P₁和P₂的极线的交点。

这个性质可以用来求解不同极点对应的极线的交点。

5. 极点的极坐标：给定一个极点P，其极坐标为(r，θ)，其中r表示点P到原点O的距离，θ表示OP与x轴正半轴的夹角。

这个性质可以用来描述极点在平面上的位置。

极点极线在几何问题求解中具有广泛的应用，下面以几个例子来说明其应用：1. 求解垂直平分线：给定一个线段AB，要求线段AB的中垂线。

高中数学函数极点与极线探秘

221极点与极线探秘第一讲极点和极线的定义及极点与极线的作图极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 一极点和极线的定义和性质在圆锥曲线方程中，以x x 0替换2x ，以20x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y +替换y ，即可得到点),(00y x P 的极线方程．已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.从定义我们共同思考和讨论几个问题:1．若点),(00y x P 在椭圆上，则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（1）对于椭圆()b a b y a x ≠=+12222，与点),(00y x P 对应的极线方程为12020=+b y y a x x ；当),(00y x P 为其焦点)0,(c F 时，极线12020=+b y y ax x 变成c a x 2=，恰是椭圆的右准线．（2）对于双曲线12222=-by a x ，与点),(00y x P 对应的极线方程为12020=+b y y a x x ；当),(00y x P 为其焦点)0,(c F 时，极线12020=-b y y a x x 变成ca x 2=，恰是双曲线的右准线．（3）对于抛物线22px y =，与点),(00y x P 对应的极线方程为)(00x x p y y +=．当),(00y x P 为其焦点)0,2(p F 时，极线)(00x x p y y +=变为2px -=，恰为抛物线的准线． 2.过椭圆上（外、内）任意一点),(00y x P ，如何作出相应的极线？（1）当点P 在圆锥曲线Γ上时，其极线时曲线Γ在点P 点处的切线；（2）当点P 在Γ外时，其极线l 时曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）；（3）当点P 在Γ内时，其极线l 时曲线Γ过点P 的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．注意：证明书写过程请参考下一讲《抛物线切线与阿基米德三角形》中的“导、差、代、联”即可，这里不作详述。

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解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义1.1 几何定义如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线.若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1可知，同理PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图1也给出了两切线交点P 对应的极线的一种作法. 1.2 代数定义已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x (另一变量y 也是如此)即可得到点00(,)P x y 极线方程.特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.§2.极点与极线的基本结论定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=的方程，两边求导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax Dy Cy E+'=-+，于是曲线Γ在P 点处的切线斜率为00Ax D k Cy E+=-+，故切线l 的方程为0000()Ax Dy y x x Cy E +-=--+，化简得220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有图1220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点处的切线为0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.(2)设过点P 所作的两条切线的切点分别为1122(,),(,)M x y N x y ，则由(1)知，在点,M N 处的切线方程分别为1111()()0Axx Cyy D x x E y y F ++++++=和2222()()0Axx Cyy D x x E y y F ++++++=，又点P 在切线上，所以有01011010()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=和 020220()Ax x Cy y D x x ++++20()0E y y F ++=，观察这两个式子，可发现点 1122(,),(,)M x y N x y 都在直线0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=上，又两点确定一条直线，故切点弦MN 所在的直线方程为0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.(3)设曲线Γ过00(,)P x y 的弦的两端点分别为1122(,),(,)S x y T x y ，则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为1111()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=和2222()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=，设两切线的交点为(,)Q m n ，则有1111()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=， 2222()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=，观察两式可发现1122(,),(,)S x y T x y 在直线()()0Axm Cyn D x m E y n F ++++++=上，又两点确定一条直线，所以直线ST 的方程为()()0Axm Cyn D x m E y n F ++++++=，又直线ST 过点00(,)P x y ，所以0000()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=，因而点(,)Q m n 在直线0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=上.所以两切线的交点的轨迹方程是0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.定理2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线，反之亦然.即极点与极线具有对偶性.如图4(1)(2)所示.图2Q (m,n )图3图4(1) 图4(2)§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现.3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线00221x x y y a b+=变为2a x c =，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b -=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线00221x x y y a b-=变为2a x c =，恰是双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线00()y y p x x =+变为2px =-，恰是抛物线的准线.3.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例1】过抛物线22y px =的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为12,y y ，求证：212y y p =-.证明：由于(,0)2pF ,211(,)2y A y p ，222(,)2y B y p ，故三点对应的极线方程分别是2px =-，211()2y y y p x p =+和222()2y y y p x p =+，由于,,A F B 三点共线，根据定理2可知，对应的三条极线共点，将2px =-代入后面两式得2211122p y y y =-，2222122p y y y =-，两式相除得22112222y y p y y p-=⇒-212y y p =-. 作为课本一习题，2001年全国高考试卷19题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线22y px =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于两点,A B ，点C 在抛物线的准线上，且BC 平行于x 轴，证明直线AC 必过原点.简证：如图5，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2(,)2p C y -，从而1112OA y p k x y ==，22OC yk p =-22y p=-，故22121122()20OA OC y y y p p k k y p py +-=+==，所以OA OC k k =，即直线AC 过原点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例2】(1)已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，问k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)P 能否作直线l ，与双曲线交于,A B 两点，且P 图5是线段AB 的中点？解：(1)直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即21y kx k =++.设直线l 对应的极点为00(,)P x y ，则相应的极线应为002()y y x x x =+，即00022x y x y y =+，故0000222ky ky y x =⎧⎨+=⎩，当0k ≠时，00122x ky k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线l 与抛物线有两个公共点⇔00(,)P x y 在抛物线外20024144(2)y x k k ⇔>⇔>+，解得112k -<<且0k ≠；同理可求得当1k =-或12k =或0k =时直线与抛物线只有一个公共点；当1k <-或12k >时直线与抛物线没有公共点.(2)设00(,)A x y ，则由P 是线段AB 的中点得00(2,2)B x y --，而,A B 在双曲线上，故2200220012(2)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，两式相减得00422x y -=，即002212y x -=，而2212y x -=是点(2,2)对应的极线，但点(2,2)在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景.【例3】(2006年全国试卷II21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P .(1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值.解：(1)设点01122(,1),(,),(,)P x A x y B x y -，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，代入极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以图6212(12ABP S AB FP k ∆==+显然，当0k =时，S 取最小值4.【例4】(2005江西卷22)设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y yx x +=对比知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为222324222233k k k x k k k k k y ⎧+⎪==⎪⎪⎨⎪-++--+⎪==⎪⎩，消去k 即得21(42)3y x x =-+. (2)由(1)可设点(,2)22k k P -，221122(,),(,)A x x B x x ，且1212,22k x x k x x +==-，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB AFP FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.图7【例5】(2002澳大利亚国家数学竞赛)已知ABC ∆为锐角三角形，以AB 为直径的⊙K 分别交,AC BC 于,P Q ，分别过A 和Q 作⊙K 的两条切线交于点R ，分别过B 和P 作⊙K 的两条切线交于点S ，证明点C 在线段RS 上.下面将圆加强为椭圆，并给出证明.证明：以AB 为x 轴，线段AB 为y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22221x y a b+=，并设点12(,),(,)S a y R a y -，则R 点对应的极线22:1y yx AQ a b -+=，代入椭圆方程解得点22222222222()2(,)a y b b y Q y b y b-++，直线2:()y BQ y x a a =--，同理我们可以得到直线1:()yAP y x a a=+，将直线BQ 的方程与AP 的方程联立解得211212122(,)y y y y C a y y y y -++，可验证其坐标满足直线121:()2y y RS y y x a a--=-的方程，所以三点共线.评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1】，而用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例6】(《中等数学》2006年第8期P 42)过椭圆221259x y +=内一点(3,2)M 作直线AB 与椭圆交于点,A B ，作直线CD 与椭圆交于点,C D ，过,A B 分别作椭圆的切线交于点P ，过,C D 分别作椭圆的切线交于点Q ，求,P Q 连线所在的直线方程评析：该题实质上就是求椭圆221259x y +=内一点(3,2)M 对应的极线方程，由定理1立即可得答案为321259x y +=. 【例7】(《中学数学》2006年第7期新题征展77)设椭圆方程为2212x y +=，点11(,)22M ，过点M 的动直线与椭圆相交于点,A B ，点,A B 处的切线相交于点N ，求证点N 的轨迹是一条定直线.评析：显然该定直线为点11(,)22M 对应的极线：142x y+=.从例6、例7可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐.x4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【2】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【定理】【2】线段PQ 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上定点(,0)(0,)M m m m a ≠≠±的弦，,S T 是长轴上的两个顶点，直线,SP SQ 与直线2:a l x m=交于(,),(,)A A B B A x y B x y 两点，并且直线PQ 的斜率k 存在且不为零，则有2222222,A B A B b m b a b y y y y mk m -+=-=.这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.评析：由定理1知，该定理中定点(,0)M m ，直线2:a l x m=即为一对极点与极线，从另一方面来说，该定理是【例1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极线的性质证明，文【3】则完全是定理1的一种特例.定理1和定理2反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3 【4】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8【10】李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12 【12】丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10【13】邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.11。