解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

王文彬

极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下：

§1.极点与极线的定义

1.1 几何定义

如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线.

若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.

由图1可知，同理PM 为点N 对应的极线，PN 为点

M 所对应的极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于 点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.

事实上，图1也给出了两切线交点P 对应的极线的一种作法. 1.2 代数定义

已知圆锥曲线22

:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.

事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2

x ，以02

x x +替换x (另一变量y 也是如此)

即可得到点00(,)P x y 极线方程.

特别地：

(1)对于椭圆22

221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b

+=；

(2)对于双曲线22

221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；

(3)对于抛物线2

2y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.

§2.极点与极线的基本结论

定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处的切线；

(2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点

弦所在直线)；

(3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.

证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=的方程，两边求

导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax D

y Cy E

+'=-+，于是曲线Γ在P 点处的切线斜率

为00Ax D k Cy E

+=-+，故切线l 的方程为0000()Ax D

y y x x Cy E +-=-

-+，化简得220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有

图1

220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点

处的切线为0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.

(2)设过点P 所作的两条切线的切点分别为1122(,),(,)M x y N x y ，则由(1)知，在点

,M N 处的切线方程分别为1111()()0Axx Cyy D x x E y y F ++++++=和2222()()0Axx Cyy D x x E y y F ++++++=，又点

P 在切线上，所以有

01011010()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=和 020220()Ax x Cy y D x x ++++20()0E y y F ++=，

观察这两个式子，可发现点 1122(,),(,)M x y N x y 都在直线

0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=上，

又两点确定一条直线，故切点弦MN 所在的直线方程为0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.

(3)设曲线Γ过00(,)P x y 的弦的两端点分别为1122(,),(,)S x y T x y ，则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为1111()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=和

2222()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=， 设两切线的交点为(,)Q m n ，则有

1111()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=， 2222()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=，

观察两式可发现

1122(,),(,)S x y T x y 在直线

()()0Axm Cyn D x m E y n F ++++++=上，

又两点确定一条直线，所以直线ST 的方程为()()0Axm Cyn D x m E y n F ++++++=，又直线ST 过点00(,)P x y ，所以0000()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=，因而点

(,)Q m n 在直线0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=上.

所以两切线的交点的轨迹方程是0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.

定理2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相

应的极线，反之亦然.

即极点与极线具有对偶性.如图4(1)(2)所示.

图

2

Q (m,n )

图3

图4(1) 图4(2)