二次函数中考压轴题附答案(整理)

中 考 压 轴 题

1、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原

点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223

y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52

x =上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点

C 和点

D 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴225

4()32

m =⨯-+ ∴1

6

m =-

∴所求函数关系式为：22251210

()432633

y x x x =--=-+ （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，

∴5AB =

∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5

∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．

当5x =时，2210

554433y =

⨯-⨯+= 当2x =时，2210

224033

y =⨯-⨯+=

∴点C 和点D 在所求抛物线上．

（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则

5420k b k b +=⎧⎨

+=⎩

解得：48,33k b ==-．∴48

33y x =- ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ． 则2210433M y t t =-

+， 4833

N y t =-， ∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫

=-=---+=-+-=--+ ⎪⎝⎭

∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，

此时点M 的坐标为（72，12

）

2、如图，已知抛物线42

12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．

（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；

（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作

正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解

析式，并探究S 的最大值．

O

A

B

P

E

Q

F

x

y （第15题）

O

A

B

x

y

（第15题 备用）

P

E

Q

F M N

解：（1）令0=y ，得042

12

=++-

x x ，即0822=--x x ，解得21-=x ，42=x ，所以)0,4(A ．令0=x ，得4=y ，所以)4,0(B ．

设AB 为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+404b b k ，解得⎩

⎨⎧=-=41b k ，

所以直线AB 的解析式为4+-=x y ．

（2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ，

当点)2

,2(x x Q 在直线AB 上时，

42

2+-=x

x ，解得4=x 所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ．

（3）当点)2

,(x

x E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上）

42+-=x x ，解得3

8=x ． ①当3

8

2<≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ，

此时，42)4(-=+--=x x x PC ，

又PC PD =，所以22)2(22

1

-==∆x PC S PCD ，

从而，22)2(241--=x x S 884

7

2-+-=x x

7

8)716(472+--=x ．

因为387162<≤，所以当716=x 时，78

max =S ．

②当43

8

≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ，

此时，42

)42(+-=-+-=x x

x QN ，

又QN QM =，

所以22)4(2121-==∆x QN S QMN ，即2)4(21

-=x S ．

其中当38=x 时，9

8

max =S ．

综合①②得，当7

16=x 时，78

max =S ．

3、如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；

抛物线

c bx x y ++-=2

经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0） （1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）. ① 当

411=

t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； ② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．

图

1 图2