方差分析的原理

dfwithin (分母)
School of Psychology, Beijing Normal University
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4 T检验与F检验
假设我们在.05的显著水准下要检定虚拟假设： H0: u1=u2=u3 如果拆成下列三组虚拟假设： H0: u1=u2 , H0: u1=u3 , H0: u2=u3 每个假设被“接受”的机率为.95，三个假设全部 被接受的机率为.953 =.857，也就是说当假设为真 但被推翻的机率为(1 - 0.857) = 0.143 > 0.05 远高于显著水平。 ’=1-(1-)m
2 2 2
Response, X
Response, X
X3 X X1
Group 1
X3 X1 X2
X2
Group 2 Group 3
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Group 1
Group 2
Group 3
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4 T检验与F检验
如果只比较两组总体的平均值时，该采用T检验还是 F检验？ 检验Ｈ0: u1= u2 vs. H1: u1 u2 T检验：
t ( x1 x 2 ) sp 1 1 n1 n2 d.f. (n1-1 ) (n2 -1 )
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1 基本概念
离差(deviation)：代表任一观察值 Xi 与其平均 数的差，即 。 Xi X X 2 变异(variation)：离差的平方，即 ( X i X ) ； 若将所有变异加总，即构成离差的平方和(sum of square for deviation)。 方差(variance)：离差的平方和除以自由度，例如 ︰样本变异数，S ( X i X ) / n 1
3.1 变异的计算
Thinking Challenge 1 证明 SS=SSE+SST.
3.2 变异的比较
总体方差2的估计量
组间变异：
SSB MSB k 1
SST
n (X
j 1 j
k
j
X )2
Thinking Challenge 2 推导两种变异的期望
wk.baidu.com
k 1
j
SSB Sum of Squares Between Sum of Squares Treatment Among Groups Variation
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1
2009-9-8
3 分析逻辑
如果p组样本来自同一总体，那么从理论上说组间变 异应该等于组内变异（期望相等），因为两者均只 反映随机抽样误差 方差分析是透过各组样本内的变异与组间变异的比 较来检验各组平均值是否相等的一种方法。 3.1 变异的计算 3.2 变异的比较

F
Fa ( p1, np) Always One-Tail!
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F table
dfbetween (分子)
4 T检验与F检验
在比较多组总体的平均值时，我们通常不采用两两 比较的方式，主要的原因有二：
一、这种做法太浪费时间，因为比较几个总体可能产生很 多的比较组，例如比较五个总体的平均值差异，如果以两 两比较的方式，我们必须进行C52=10次的t-test。 二、如果每组的显著水准皆为α ，则全体比较的显著水准 会高于α 。
3.2 变异的比较 ANOVA test statistic F
If means are equal, F = MSB / MSW 1. Only reject large F!
Do Not Reject H0 0
MSB F MSW
Thinking Challenge 3 F分布的性质
Reject H0
3.1 变异的计算
SST X 11 X X 21 X X ij X ...
2 2 2
Response, X
X
Group 1
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Group 2
Group 3
SSW Sum of Squares Within Sum of Squares Error Within Groups Variation
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E(MSB) = 2 +
n (
j 1 j
k
2 2
2 研究假设
H0: 1=2=3=...=p
所有的总体均值相同 没有处理效应
f(X)
H1: 不是所有 j 都相同
至少有1个总体均值不同 存在处理效应 并非 12... p
1 = 2 = 3 f(X)
X
1 = 2 3
X
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如果H0为真，分子分母皆为总体方差的不偏估计式， 因此两者的比率会十分接近1。 如果H0为不真，则MSB会高估总体方差，F值会大于1。 F愈大，H0愈不可能为真。 如果假设为真，则F统计量依循自由度为(k-1)及(n-k)的 F 分布。
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K=2时one-way ANOVA检验等于t检验，且F=t2。
Thinking Challenge 4 证明 F=t2
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3
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纲要
1 基本概念 2 研究假设 3 分析逻辑 4 T检验与F检验
1 基本概念
实验设计中所衡量的基本对象称为“实验单位” (experimental unit)。 在不同条件下衡量实验单位的观察值，这些不同条 件称为“因素” (factor)。 各因子的不同表现程度称为“水平” (level)。 不同因子的某种特定水平组合称为“处理” (treatment)。
)
2
k 1
>= 2
组内变异： MSW E(MSE) = 2。
SSW N k
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2
2009-9-8
3.2 变异的比较 ANOVA test statistic F
• In One-way ANOVA, the test statistics is
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3.1 变异的计算
SSB n1 X 1 X n2 X 2 X n j X j X ...
2 2 2
3.1 变异的计算
SSW X 11 X 1 X 21 X 1 X ij X j ...
2009-9-8
方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA)
方差分析的原理
北京师范大学心理学院 骆 方 2009.9.8
1928年由英国统计学家R.A. Fisher 首先提出 ，方差分析又称为F检验。
比较各省在收入及教育年数上的差异。 大学中各年级的同学智商是否有别？ 三种不同的教学方法对学生的成绩是否有影响？