2017考研数学一真题及答案

2017考研数学一真题及答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1

）若函数1,0(),0x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则（ ） ()()11()2

2()02

A ab

B ab

C ab

D ab =

=-==

【答案】A

【解析】001112lim lim ,()2x x x

f x ax ax a

++→→-==Q 在0

x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.

（2）设函数()f x 可导，且'

()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >-<->-<-

【答案】C

【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨

>⎩Q 或()0

(2)'()0

f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足

(2)，所以选C 。

（3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6()4()2A B C D

【答案】D 【解析】

2(1,2,0)

122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333

f u gradf xy x z gradf

gradf u ∂=⇒=⇒

=⋅=⋅=∂

2

选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）

()

s

0000()10

()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>

【答案】B

【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为

120

(t),(t),t t v dt v dt ⎰

⎰则乙要追上甲，则

210

(t)v (t)10t v dt -=⎰

，当025t =时满足，故选C.

（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）

()()()()22T T T

T A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆

不可逆

【答案】A

【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T

E x 有非零解，故0αα-=T E 。

即αα-T E 不可逆。选项B,由()1ααα=T

r 得ααT 的特征值为n-1个0，1.故αα+T E 的

特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。

（6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

,则（ ）

()()(),,(),,A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与相似与相似

与相似与不相似

与不相似与相似与不相似与不相似

【答案】B

【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1

因为3(2)1r E A --=，∴A 可相似对角化，且100~020002A ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

由

0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.

因为3(2)2r E B --=，∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化， ∴~A C ，且B 不相似于C

（7）设,A B 为随机概率，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ）

()()()()()()

()()()

()()()

A P

B A P B A B P B A P B A

C P B A P B A

D P B A P B A ><><

【答案】A

【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。

（8）设12,(2)n X X X n ⋅⋅⋅≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i i X X n ==∑，则下

列结论中不正确的是（ ）

()()22221122221

()()2()()()()n

i n i n

i i A X B X X C X X D n X μχχχμχ==----∑∑服从分布

服从分布

服从分布

服从分布

【答案】B 【解析】

4

2212

221

222

21(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C 1

~(,)(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B 2

i n

i i n

i i n X N X N X n A n S X X n X N X N n X D n

X X N μμμχχμμμχχ==-⇒-⇒-=--⇒---⇒∑∑:::::正确

，正确，

正确,

故错误.

由于找不正确的结论，故B 符合题意。

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 已知函数2

1()1f x x

=+，则(3)

(0)f =__________ 【答案】(0)6f =- 【解析】

2222

00

'''23'''2

11()()(1)11()()(1)2(21)(22)(0)0

n

n n

n n n n n f x x x x x f x n n n x f ∞∞

==∞

-====-=-+--=---⇒=∑∑∑

(10) 微分方程'''

230y y y ++=的通解为y =_________

【答案】12()x y e c c -=+，（12,c c 为任意常数）

【解析】齐次特征方程为2

1,22301λλλ++=⇒=-

故通解为12()x e c c -+ (11) 若曲线积分

221

L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}

22

(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则 a =__________

【答案】1a = 【解析】

222222

22,,(1)(1)P xy Q axy y x y x x y ∂-∂==∂+-∂+-由积分与路径无关知1P Q a y x

∂∂=⇒=-∂∂