贝塞尔函数 柱函数
3.4 特殊函数及其应用(柱函数)
阶贝塞尔方程
二 阶贝塞尔方程的解
• x 2 y xy ( x 2 v 2 ) y 0 两个线性无关的解：
y( x) C1 J ( x) C2 J ( x),
v 整数或半整数
• x 2 y xy ( x 2 m 2 ) y 0 两个线性无关的解：
d x n J n ( x) x n J n 1 ( x) dx d n x J n ( x) x n J n1 ( x) dx 2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x) x J n1 ( x) J n1 ( x) 2 J n ( x)
例1 求下列微积分
(1)
d n x N n ( x) x n N n 1 ( x) dx d n x N n ( x) x n N n 1 ( x) dx 2n N n 1 ( x) N n 1 ( x) N n ( x) x ' N n 1 ( x) N n 1 ( x) 2 N n ( x)
xJ n ( x) nJ n ( x) xJ n 1 ( x) xJ n ( x) nJ n ( x) xJ n 1 ( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2 J n ( x)
J n 1 ( x) J n 1 ( x)
2n J n ( x) x
n 1
J n ( x)
(1) x m 0 m! ( n m 1) 2
m
n2m
J ( x) cos J ( x) N n ( x) lim n sin
性质4 初值
数学物理方法2课件：第十三章-柱函数-渐近表示式
ν
Jν ( x) + Jν′ ( x) = − Jν +1 ( x)
π
2
由此可以推出： 2 由前面的讨论，可以知道：当ν =1/ 2时，有： J1/2 ( x) = 这样可以得到： 2 这样，再由前面得到的递推关系，有： A0 = A1/2 = 所以最后得到 所以最后得到： 2 ⎛ νπ π ⎞ Jν ( x) ≈ sin ⎜ x − − ⎟ πx 2 4⎠ ⎝ 2 A1/2 = 2 2 2 π⎞ ⎛ sin x = cos ⎜ x − ⎟ πx πx 2⎠ ⎝ , θ1/2 = − Aν =A0 , θν = θ 0 −
d 2 y 1 dy d ⎛ ν2 ⎞ + + ⎜1 − 2 ⎟ y = 0 2 dx x dx ⎝ x ⎠
⎛ 1 − 4ν 2 ⎞ x → ∞ g ′′( x) + g ( x) = 0 = g ′′( x) + ⎜1 + g ( x ) 0 ⎟ x2 ⎠ ⎝
y ( x) ∼ 1 cos ( x + θν ) x
其中 θν 为相角，是待定的常数，但与 ν 有关。
Jν ( x) ∼
1 cos ( x + θν ) x
x 其中Aν 及θν 是两个待定的常数。将上式两边再对x求导，可以得到 x A ≈ − ν sin ( x + θν ) x 另一方面，由递推关系 Jν′ ( x) ≈ − Aν sin ( x + θν ) − 1 Aν cos ( x + θν ) 2x x
3. 贝塞尔函数的渐近表示式 主要是讨论当变量 x→ ∞ 时，柱函数的的渐近行为。先看一下贝塞尔 函数的渐近行为。令
y ( x) = g ( x) / x y ′ = g ′ / x1/ 2 − g / ( 2 x 3/2 ) y ′′ = g ′′ / x1/ 2 − g ′ / x 3/ 2 + 3 g / ( 4 x 5/2 )
贝塞尔函数
贝塞尔函数
贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。
通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：
这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。
由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，因此需要两个独立的函数来表示其标准解函数。
通常，第一种贝塞尔函数和第二种贝塞尔函数用于表示标准解函数：
注意，由于在x=0 时候是发散的（无穷），当取x=0 时，相关系数必须为0时，才能获得有物理意义的结果。
贝塞尔函数的特定形式随上述方程式中的任何实数或复数α发生变化（相应地，α称为相应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情况是α为整数n，相应的解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。
贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数渐进表达式
贝塞尔函数渐进表达式贝塞尔函数 (Bessel Function) 是一类重要的特殊函数，它在许多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、数学等等。
贝塞尔函数的渐进表达式在各种文献和教材中都有不同的表述和推导，其中最常见的是第一类和第二类柱函数的渐近表达式。
第一类柱函数，即贝塞尔函数 (Bessel Function)Jnu(x),在 x 趋近于正无穷时，其渐进表达式为:$$J_{u}(x)simfrac{1}{x}expleft(-x^{2}ight)left(frac{2x}{pi}ight)^{frac{u}{2}}$$其中 $u$ 是贝塞尔函数的阶数，$sim$ 表示当 $xightarrowinfty$ 时的极限。
第二类柱函数，即诺伊曼函数 (Neumann Function)Nnu(x),在 x 趋近于正无穷时，其渐进表达式为:$$N_{u}(x)simfrac{2}{pi x}expleft(-x^{2}ight)sum_{k=0}^{infty}frac{left(frac{x}{2}ight)^{2k}}{Gamma(u k+1)}$$其中 $u$ 是贝塞尔函数的阶数，$sim$ 表示当 $xightarrowinfty$ 时的极限。
第三类柱函数，即汉克尔函数 (Hankel Function)H${}_{u}$(x),在 x 趋近于正无穷时，其渐进表达式为:$$H_{u}(x)simfrac{1}{x}expleft(-x^{2}ight)left(frac{2x}{pi}ight)^{frac{u+1}{2}}$$其中 $u$ 是汉克尔函数的阶数，$sim$ 表示当 $xightarrowinfty$ 时的极限。
需要注意的是，这些渐近表达式仅仅是贝塞尔函数在一些特定的条件下的渐进表达式，并不是贝塞尔函数的所有渐进表达式。
此外，贝塞尔函数还有很多其他的定义和性质，都可以通过不同的数学工具和方法进行研究和探究。
第十六章 贝塞尔函数
（2） 当 不是整数时 ，得到一个特解为
x y1 (1) 2 m 2 k ! ( k 1) k 0
k
2 k
称之为 n 阶第一类贝塞尔函数，记作
1 x 2k J ( x ) ( 1) ( ) k ! ( k 1) 2 k 0
k
（3）当 v =正整数n或零时，有 (n m 1) (n m )!
2n (1) J n1 ( x ) J n ( x ) J n 1 ( x ) ; x 1 ' ( 2) J n ( x ) [ J n1 ( x ) J n1 ( x )] ; 2 ( 3) ( 4) x J n ( x ) nJ n ( x ) xJn1 ( x ) ; x J n ( x ) xJn1 ( x ) nJ n ( x ) ;
(16.11)
(16.13)
令x kr , y( x ) R( r )，则式（16.11）变为 d y dy 2 2 x x ( x ) y 0 2 dx dx
2 2
式（16.13）称为v阶Bessel微分方程
二、Bessel方程的解-Bessel函数
d y dy 2 2 x x ( x ) y 0 2 dx dx
(k 1)! (k 1)k!
(3 1)! 4! (3 1)3!
2( k 1) x 2 k 1 ( 1) 2 k 2 2 ( k 1)!( k 1)!
k 2 k 1 2 ( k 1 ) x ( 1)k 2 k 2 2 k! ( k 1)(k 1)!
k
n=1 ；m=0→∞ ：
x x3 x5 x7 x 2 k 1 k J1 ( x ) 3 5 7 (1) 2k 1 2 2 2! 2 2! 3! 2 3! 4! 2 k!( k 1)!
贝塞尔函数 柱函数
成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）
设 u(x, y, t) = u(r,j, t) = T (t)U (r,j ) ，对泛定方程分离变量（取 l = k2 ）得
T ¢¢ + k 2a2T = 0 （14.1.2）
ì ï í
U r¢¢
+
1 r
U r¢
+
1 r2
Uj¢¢
+
k 2U
=
0
ïîU |r=l = 0
ìíîHHnn((12))
( x) ( x)
= =
Jn Jn
(x) (x)
+ -
i i
× ×
Nn Nn
(x) (x)
14.3 贝塞尔函数的基本性质
14.3.1 贝塞尔函数的递推公式
由贝塞尔函数的级数表达式（14.2.1）容易推出
d [ Jn ( x) ] = - Jv+1 (x)
dx xn
xv
d dx
+ 0
u
yy
)
ï u(x, y,t) |t=0 = j (x, y)
ïî ut (x, y, t) |t=0 =y (x, y)
(0 £ x2 + y2 < l2 ,t > 0) (t ³ 0)
（14.1.1）
其中 l 为已知正数，j(x, y),y ( x, y) 为已知函数．这个定解问题因宜于使用柱坐标，从而构
14.1 贝塞尔方程及其解
14.1.1 贝塞尔方程
拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程，由于贝塞尔方程的 普遍性，我们还能从其它典型的数学物理定解问题来导出贝塞尔方程的一般形式．
贝塞尔函数 柱函数
，令 m 1
则
d dx
[ x m1J m1 ( x)]
xm1Jm (x)
两边积分，故得到
xm1Jm1(x)
x 0
x m1J m
( x)dx
其中取 m 1 ，即为（22.3.18）式。
20.3.2 贝塞尔函数与本征问题
拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量，得到了方程(14.6.7) 即
d2R
( x ) 2k 1) 2
式中 (x) 是伽马函数．满足关系
（20.2.1）
( k 1) ( k)( k 1)L ( 2)( 1)( 1)
当 为正整数或零时， ( k 1) ( k)!
当 取整数时 ( k 1) ,(k 0,1, 2,, 1)
所以当 n 整数时，上述的级数实际上是从 k n
将 (20.3.7)与（20.3.8）相加或相减消去 Z 1 或 Z 1 分别得到
Z
(
x)
x
Z
(
x)
Z
1
(
x)
(20.3.9)
Z
1
(
x)
x
Z
(
x)
Z
(
x)
（20.3.10）
将(20.3.9) 式中的 换成 1，得到
Z
(x)
Z1 ( x)
1 x Z
1 ( x)
（20.3.11）
将 （20.3.10）代入上式，立即得到 Z (x) 满足 阶贝塞尔方程．
Jm (k 0 ) 0 则
J m ( x) 0 就是决定本征值的方程.
若用
x(m) n
表征 Jm (x) 0
的第
n
个正根，于是本征值
(m) n
11.2 贝塞尔方程
2
d R dx
2
2
x
dR dx
x m
2
2
R 0
（11.4.1）
数学物理方法
令 i x , y ( ) R ( x ) 代入上式，则得到贝塞尔方程
y y m
2 2 2
y0
（11.4.2）
令 i x , 即可得到虚宗量贝塞尔方程的解。 定义虚宗量贝塞尔方程的解具有如下形式
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴， 定解问题表为
2u 0 u 0, 0 u z 0 f 1 ( ), u
zL
f2 ( )
本例是圆柱内部的拉普拉斯方程定解问题， 柱侧是齐次的第 二类边界条件，故考虑 0 的情况。
况应舍弃。 故把特解叠加起来，有
v
Ap I0 (
p L
) sin
p z L
p 1
为确定系数，将上式代入柱侧的边界条件 q0 p p p z I '0 ( 0 ) sin Ap
p 1
L
L
L
k
数学物理方法
例 2 半径 0 ，高 L 的导体圆柱壳，用不导电的介质将柱壳 的上下底面和侧面隔离开，柱壳侧面电势为 u 0 z / L ，上底 面电势为 u 1 ，下底面接地，求柱壳外电势分布
v [ A J 0 ( ) B N 0 ( )]e
a t
2
A J 0 ( 1 ) B J 0 ( 1 ) 0 代入边界条件， ，从而解 AJ 0 ( 2 ) BJ 0 ( 2 ) 0
出本征值 ，从而定出相应系数，得解。
第五章-贝塞尔函数讲解
2 sin x
x
J
1 2
x
2 cos x
x
1 0.8 0.6 0.4 0.2
J0 J5
-0.2 -0.4
2
4
6
8
10
5.1.2.虚宗量贝塞耳方程
n 阶虚宗量贝塞耳方程
x2
d 2R dx 2
x
dR dx
(x2
n2 )R
0
ix
2
d 2R
d 2
dR
d
( 2
m
1
J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数
(5.19)
Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表 示为：
y x AJn x BJn x
(5.20)
令 A cot n , B csc n，则 (5.20)可写成
第二个线性 无关特解
2
ak
ak 2
0
由于 a0 0，可得 s1 n s2 n ,需要分别讨论：
(5.14) (5.15) (5.16)
情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代 入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：
ak
ak 2
k 2n k
d dx
xn
Jn
x
xn
J n1
x
d dx
x
n
J
n
x
x
n
J
贝塞尔函数 柱函数
6-2 贝塞尔函数柱函数在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程．通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数．贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．6.1 贝塞尔方程及其解6.1.1 贝塞尔方程拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。
考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题222222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,)tt xx yy x y l t tt u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ϕψ+===⎧=+≤+<>⎪=≥⎪⎨=⎪⎪=⎩（6.1.1）其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ϕψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）设(,,)(,,)()(,)u x y t u t T t U ρϕρϕ==）得220a T =（6.1.2）22100 U U k U ρϕρ′′′++=（6.1.3）再令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，得到2ν′′Φ+Φ=(6.1.4)2222()0R R k R ρρρν′′++−=（6.1.5）于是(6.1.5)得到22d ()0d y x x y xν+−=（6.1.6）边界条件为()|()0l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为ν阶贝塞尔微分方程．这里νx和可以为任意数．6.1.2贝塞尔方程的解通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：（1）当ν≠整数时，贝塞尔方程(6.1.6)的通解为()J ()J ()y x A x B x νν−=+（6.1.7）其中,A B 为任意常数，J ()x ν定义为ν阶第一类贝塞尔函数但是当n ν=整数时，有J ()(1)J ()nn n x x −=−故上述解中的J ()n x 与J ()n x −是线性相关的，所以(6.1.7)成为通解必须是ν≠整数.（2）当ν取任意值时：定义第二类贝塞尔函数N ()x ν，这样贝塞尔方程的通解可表示为()J ()N ()y x A x B x νν=+（6.1.8）(3) 当ν取任意值时：由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的第三类贝塞尔函数H ()x ν，又称为汉克尔函数．(1)(2)H ()J ()iN ()H ()J ()iN ()x x x x x x νννννν⎧=+⎨=−⎩（6.1.9）分别将(1)(2)H ,H νν称为第一种和第二种汉克尔函数．于是贝塞尔方程的通解又可以表示为(1)(2)(H ()H ()y x A x B x νν=+（6.1.10）最后，总结ν阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：（i ）()J ()J () (y x A x B x ννν−=+≠整数）（ii ）()J ()N ()(y x A x B x ννν=+可以取任意数）（iii ）(1)(2)()H ()H ()(y x A x B x ννν=+可以取任意数）6.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质6.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式第一类贝塞尔函数J ()x ν的级数表示式为2201()1)2()!(1)2kkkk x x k k ννν∞+−+=Γ−++∑∑（6.2.1）伽马函数．满足关系()(1)(2)(1)(1)k k ννννν++−++Γ+"当ν为正整数或零时，(1)()!k k ννΓ++=+当ν取整数时(1),(0,1,2,,1)k k ννΓ−++=∞=⋅⋅⋅−所以当n ν=整数时，上述的级数实际上是从k n=的项开始，即, (0)n ≥(6.2.2)22011)()!(1)21(1)(), ()!(1)2kn kln lx k n k x l k n l n l −+∞+=Γ−++−=−Γ++∑(6.2.3)所以J ()(1)J ()nn n x x −=−（6.2.4）同理可证J ()J ()n n x x −=−（6.2.5）因此有重要关系J ()(1)J ()nx x −=−（6.2.6）贝塞尔函数表示式246223511()()()2(2!)2(3!)211()()2!22!3!2x x x x x −+−+−+−""当x 很小时(0)x →，保留级数中前几项，可得1J ()(),(1,2,3,)2(1)x x νννν≈≠−−−⋅⋅⋅Γ+（6.2.7）特别是0J (0)1,J (0)0 (=1,2,3,)n n ==⋅⋅⋅(6.2.8)32π)()π42o x x ν−−+（6.2.9）试证半奇阶贝塞尔函数122J ()s in πx x x=(6.2.1)有而13135(21)()π22k k k +⋅⋅⋅⋅+Γ+="(21)!k +2sin πx x122J ()cos πx xx−=121212220J ()(1)12!(1)2k kk k x x k k +∞+==−Γ++∑6.3 贝塞尔函数的基本性质6.3.1 贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（6.2.1）容易推出1J ()J ()d []v x x ν+=−(6.3.1))(6.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式.诺伊曼函数N()v x 也应该满足上述递推关系若用()v Z x 代表v阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d [()]()d v vv v x Z x x Z x x−=(6.3.3)d [()]()v vx Z x x Z x −−=−(6.3.4)1)()()v v vx Z x Z x x+−=−(6.3.5)1()()v v vZ x Z x x−=(6.3.6)从(6.3.5)和(6.3.6)消去Z ν或消去Z ν′可得11()()2()v v v Z x Z x Z x +−′=−112()()()v v v vZ x Z x Z x x+−=−+即为从)(x Z 和)(x Z 推算)(1x Z v +的递推公式.1()2()v v vZ x Z x x++=（6.3.7）1)()2()v Z x Z x ν+′−=（6.3.8）任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数例6.3.1证明柱函数满足贝塞尔方程【证明】以满足（6.3.7）和（6.3.8）这一组递推公式来进行证明：将(6.3.7)与（6.3.8）相加或相减消去1Z ν+或1Z ν−分别得到()()()Z x Z x Z x ν′+=(6.3.9)x（6.3.10）换成1ν+，得到ν111()()x Z x x νν+++′+（6.3.11）将（6.3.10）代入上式，立即得到()Z x ν满足ν阶贝塞尔方程．例6.3.2 求2J ()d x x x∫【解】根据公式(6.3.8)11()()2()v v Z x Z x Z x ν−+′−=有201J ()J ()2J ()x x x ′=−20111111010J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c′=−=−−′=−+=−−+∫∫∫∫∫例6.3.3 证明下式成立1110J ()d J ()xm m m m x x x x x +++=∫(6.3.17)特别是22J ()d J ()xx x x x x =∫(6.3.18)】利用递推公式(6.3.2)即1J ()vv x x −=，令1m ν=+则两边积分，故得到111d [J ()]J ()d m m m m x x x x x+++=1J ()d m x x∫1，即为（22.3.18）式。
第十一章 贝塞尔函数
二、本征值问题
二、本征值问题
可以证明如下的正交关系：
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
三、应用
例题：半径为a的均匀导热介质球，原来的温度为u0 （常量）。将它放入冰水中，使球面温度保持 为 。求球内温度的变化。
三、应用
三、应用
二、柱函数：
二、柱函数：
二、柱函数：
% Fig1d21.m
y=bessely(0:1,(0:0.2:10)'); plot((0:0.2:10)',y(:,1),'b-',(0:0.2:10)',y(:,2),'r--*') grid on text(1.8,0.6,'N_0') text(4.7,0.3,'N_1') title('\fontsize{20}诺伊曼函数N_{0,1}的图形') xlabel('\fontsize{20}x') ylabel('\fontsize{20}N_m(x)')
二、柱函数：
ylabel('\fontsize{20}y') zlabel('\fontsize{20}u') title('\fontsize{20}贝塞尔函数的母函数等式左边的图形') view(34,44)
w=0; for k=-20:20 u=besselj(k,2).*z.^k; %x=2 w=w+u; end subplot(122) cplxmap(z,w) xlabel('\fontsize{20}x')
贝塞尔函数释疑
数理方程中与贝塞尔函数有关的问题据百度百科介绍：贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。
20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。
1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。
1812年当选为柏林科学院院士。
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。
他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。
此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。
（图片来自维基百科）一、 贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、 贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、 贝塞尔函数与伽马函数 四、 贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔函数介绍。
贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加一、贝塞尔方程与贝塞尔函数Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程0)(22222=-++y v x dx dy x dxy d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。
该方程的解无法用初等函数表现。
数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。
贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。
通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数m v m m v xm v m x J 20)2()1(!)1()(+∞=∑++-=Γ贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。
电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter20
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x)
(20.3.5)
Z
v x
Zv
(x)
Z v 1 ( x)
(20.3.6)
从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z 或消去 Z 可得
Zv1
(
x)
Zv
1
(
x)
2Z
v
(x)
Zv 1 ( x)
Zv 1 ( x)
2v x
Zv
(x)
即为从 Z v1 (x) 和 Z v (x) 推算 Zv1(x) 的递推公式.
上式也可以写成为
Zv1
(
x)
Zv1
(
x)
2
v x
Zv
(
x)
Zv1(x) Zv1(x) 2Z (x)
（20.3.7） （20.3.8）
任一满足一组递推关系的函数 Z v (x) 统称为柱函数．
例 20.3.1 证明柱函数满足贝塞尔方程
【证明】 以满足 （20.3.7）和 （20.3.8）
这一组递推公式来进行证明：
) n ]
N (x) 的级数表示为
N
(x)
2 [
π
ln
x 2
]J
n
(
x)
1 π
n1 k 0
(n
k 1)! ( x )m2k k! 2
1 (1)k {(k) (m k)}( x )m2k
π k0 k !(m k)!
2
20.2.3 第三类贝塞尔函数
第三类贝塞尔函数（又称为汉克尔（Hankel）函
即
(
x(m) 1
)2
(
x(m) 2
)2
(
x(m) n
)2
0
柱贝塞尔函数拐点值与各阶次模态截止频率计算(用于管道声模态计算)
1234500 3.8327.01510.17713.32911.841 5.3228.53611.71114.86923.054 6.7059.96513.16816.34934.1988.01711.34514.57917.77645.3129.28112.67515.95619.19656.41510.50213.96917.30420.56167.47711.70615.24818.62321.91878.57612.93416.52919.94323.27489.64914.12117.78121.23224.591910.71115.29119.00922.50525.8951011.77416.45220.22923.76527.19m 本表格用于管道声模态计算。
当管道截面相对较小，计算频率也不高时，声音在管道出口处可认为是以平面波的方式进行传播，即（m=0,n=1）。
当管道截面较大或者声音频率较高时，声音传播路径将发生变化，从而不完全沿管路的轴线方向进行传播。
通常，如果管道直径大于声音最高频率对应波长的一半时，就应该考虑这种效应，从而平面波理论就不再使用，必须使用管道声模态相关理论。
柱贝塞尔函数拐点值（Xmn ）Radial order n截止频率Kmn=Xmn/a 声速C=343.20温度C=20平均流速V=40计算频率f=5000马赫数Ma=0.117圆管半径a=0.0438直径d=0.0876拐点值Xmn= 1.841Kmn=42.03截止频率f=2157.955000波长λ=0.06864半波长=0.03432反向计算Xmn要改变红色变量 4.265627499f=c*Kmn*((1-Ma)^0.5)/2π当d>半波长时，要采用管道声模态计算。
选取值自动计算值输入值。
15第十五章 贝塞尔函数
16
§15.2 贝塞尔函数的性质
1. Jn(x) 的母函数
∑ exp[( t
−
1) t
x 2
]
=
∞
Jn(
n=−∞
x)
t
n
∑ ∑ 证明：exp[( t − 1 ) x ] = ∞ t k ( x )k ∞ ( − t )−m ( x )m
t 2 k=0 k! 2 m=0 m! 2
n=k−m ⇒
∑ ∑ ∑ =
Jν ( x), J−ν ( x) 线性无关
11
•对ν=n 为整数，通解 y(x) = cn Jn( x) + dn Nn(x)
诺依曼函数
Nν ( x)
=
cos(ν
π ) Jν ( x) − sin(ν π )
J −ν ( x)
洛必达法则
⇒
Nn(x) =
1 [ Jν (x) − (−1)n π ∂ν
∑ ν阶 Bessel 函数
Jν(x)
=
∞ k=0
k!
(−1)k Γ(k + ν
+
1)
x 2
ν + 2k
• 对任何 x≠0，级数绝对收敛
• 推广到负整数ν= –n ，应用 Γ(k − n + 1) = ∞, k < n
J−n(
x)
=
lim
ν →−n
Jν
(x)
= (−1)n J n( x)
10
3. 贝塞尔方程的通解
≡ k2
= −n2
Z ′′ = k 2 Z
Z(z) = ek z or e−k z (k ≠ 0?)
Φ′′ = − n2 Φ
贝塞尔函数
1 2
J 1 2 ( x)
Ynx n1 2 x dx x 2
n
J n1 2 ( x)
（与
J ( n1 2) ( x)
不一样！）
Y( n1 2) ( x)
2
( m 1, 2,) 的正交性。
rJ
0
R
n
(
m
(n)
R
r ) Jn(
k
( n)
R
r )d r
0, 2 2 R R 2 ( n) 2 (n) J ( ) J ( ), n 1 m n1 m 2 2
mk mk.
Jn (
m ( n)
R
r)
m 1 在【0，R】上，带权重r正交。
数值解，再用（1）式求
J v ( x)
的
当n为正整数或零时， 表达式为
，整数阶Bessel函数
(n k 1) (n k )!
（ 2）
k n 2 k
J n ( x)
(1) x J n ( x) k 0 k!(n k )! 2
第一类贝塞尔函数
k
n2k
nv
J v ( x)
k
（ 1）
(1) x J v ( x) k 0 k!(v k 1) 2
n 2 k
第一类贝塞尔函数
求
1.先求的
的方法： J v (x )
2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。
(v k 1)
当为整数时，例如， v n，
Yn ( x) lim
n
第五章-贝塞尔函数讲解
Jn R 0
(5.34)
由于(5.34)式可知：当 取不同值时，Jn(x)有零值,即贝塞尔
函数的零点。
1. Jn(x)有无穷多个零点,关于原点对称分布。 2. Jn(x)的零点和Jn+1(x)的零点是彼此相间分布，且Jn(x)的零 点更靠近坐标原点。 3. 当x趋于无穷大时，Jn(x)两个零点之间的距离接近于π。
y1
x
Jn
x
1m
m0
2n2m
xn2m
m!n
m
1
(5.18)
Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数
取s2=-n时：
a0
1
2n n
1
可以得到方程另一个特解
y2
x
Jn
x
1m
m0
2n2m
xn2m
m! n
在极坐标系中：
2u 1 u 1 2u
r
2
r
r
r2
2
0
u rr0 f
分离变量
u(r, ) R(r)( )
0 r r0
化简引入常量
R '' 1 R ' 1 R '' 0
r
r2
r2R '' rR ' R 0 '' 0
Jn
kn
R
r
dr
0
m k
三 贝塞耳函数的模
定义积分：
R 0
数学物理方法——柱函数
(0 n
)
)
4
1 2
b
2
J
2 1
(
x
(0 n
)
)
x3J1
+
2x2J0
−
4 xJ
1
x
( n
0
)
0
=
(
x
(0 n
)
2b2
)
4
J
2 1
(
x
(0 n
)
)
[(
x
(0 n
)
)3
−
4
x
(0 n
)
]
J
1
(
x
(0 n
)
)
有界和第二类边界条件
本征值问题为：
⎪⎧ ( ρ R ' )' −
⎨
m2 ρ
R
+
k 2ρ
R
=
0,
fn
Rn (ρ ) =
∞ n =1
fn
J 0 ( xn(0) ρ / b)
∫ f n
=
1
(
N
0 n
)
2
b ρ 2Rn (ρ )ρdρ
0
∫ ∫ =
b4
(
x
(0 n
)
)
4
(
N
0 n
)
2
x
( n
0
)
x 3 J 0 ( x ) dx
0
x3J0dx = x3J1 + 2x2J0 − 4xJ1
[ ] =
b4
(
x
♦ 根据边界条件可以得出本征值：
kn
=
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成柱面问题． （由于是二维问题，即退化为极坐标） 设 u ( x, y, t ) = u ( r , j , t ) = T (t )U ( r , j ) ，对泛定方程分离变量（取 l = k ）得
2
T ¢¢ + k 2 a 2 T = 0 （14.1.2） ì ¢¢ 1 ¢ 1 ¢¢ 2 ï U r + r U r + r 2 U j + k U = 0 í ïU | = 0 î r =l
(14.2.3) （14.2.4） （14.2.5） （14.2.6）
= ( -1) n å ( -1) l
l = 0
所以
J - n ( x ) = ( -1) n J n ( x )
同理可证
J - n ( x ) = J n (- x )
因此有重要关系
J n ( - x) = ( -1) n J n ( x )
（14.2.1）
J -n ( x ) = å ( -1) k
k = 0
式中 G ( x) 是伽马函数．当 n = n 整数时，上述的级数实际上是从 k = n 的项开始，即
¥
J n ( x ) = å (-1) k
k = 0
1 x ( ) n + 2 k , ( n ³ 0) k !( n + k )! 2
14.3 贝塞尔函数的基本性质
14.3.1 贝塞尔函数的递推公式
由贝塞尔函数的级数表达式（14.2.1）容易推出
d Jn ( x) J ( x ) [ n ] = - v +1 v dx x x d v [ x J v ( x)] = x v J v -1 ( x ) dx
（14.1.4）
d 2 y d y + x + ( x 2 -n 2 ) y = 0 2 dx dx y ( k r ) |r =l = y ( kl ) = 0 . 边界条件为 x2
（14.1.5）
方程（14.1.5）称为n 阶贝塞尔微分方程．这里n 和 x 可以为任意数．
14.1.2
) 与 是我们应该注意到：当 n = n 整数时，有 J - n ( x ) = ( -1) J n ( x ) ，故上述解中的 J n ( x J - n ( x ) 是线性相关的，所以(14.1.6)成为通解必须是n ¹ 整数. （2）当n 取任意值时： N ( x ) ，这样贝塞尔方程的通解可表示为 定义第二类贝塞尔函数 n y ( x) = AJn ( x) + BNn ( x )
(1) ì Hn ( x) = Jn ( x) + iNn ( x ) í (2) îHn ( x ) = Jn ( x) - iNn ( x) （14.1.8） (1) ( 2) 并分别将 Hn , Hn 称为第一种和第二种汉克尔函数． 最后，总结n 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式： n ¹ 整数） （i） y ( x) = AJn ( x ) + BJ -n ( x) (
第十四章
贝塞尔函数 柱函数
贝塞尔函数( 也称为圆柱函数) 是现代科学技术领域中经常遇到的一类特殊函数． 1732 年伯努利研究直悬链的摆动问题，以及 1764 年欧拉研究拉紧圆膜的振动问题时，都涉及到 这类函数．1824 年德国数学家贝塞尔（F.W.贝塞尔, 1784~1846）在研究天文学问题时又遇到了这类函数，并首次系统地研究了这类函数．因此 人们称这类 函数为贝塞尔函数，并被广泛应用到数学、物理、光通信和其它科 学技术领域之中． 在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得 到了一种特殊类型的常微分 方程:贝塞尔方程．通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝 塞尔函数．贝塞尔函数具有 一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交 完备性．
14.2.2 第二类贝塞尔函数
第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数或第二类柱函数）定义为
Nn ( x) =
cos( n π)Jn ( x) - J -n ( x ) sin( n π) J n ( x ) 线性无关
（14.2.7）
这样定义的的理由是它既满足贝塞尔方程，又与
J ( x ) 线性独立； （i）当n ¹ 整数时，显然它与 n
(1)
(2)
14.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质
14.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式
第一类贝塞尔函数（也可直接简称为贝塞尔函数，或第一类柱函数） Jn ( x ) 的级数表示 式为
¥
Jn ( x ) = å ( -1) k
k = 0 ¥
1 x n + 2 k ( ) k ! G(n + k + 1) 2 1 x -n + 2 k ( ) k !G ( -n + k + 1) 2
d - v [ x Z v ( x)] = - x - v Z v +1 ( x ) dx
把两式左端展开, 又可改写为 (14.3.3) (14.3.4)
v Z v ( x ) = - Z v +1 ( x ) x v Zn¢ + Z v ( x) = Z v -1 ( x ) x 从(14.3.5)和(14.3.6)消去 Zn 或消去 Zn¢ 可得 Zn ¢ ( x) ¢ ( x) Z v +1 ( x ) = Z v -1 ( x ) - 2 Z v 2 v Z v +1 ( x) = - Z v -1 ( x) + Z v ( x ) x
再令 U ( r , j ) = R ( r ) F (j ) ，得到
（14.1.2）
F ¢¢ + n 2 F = 0 (14.1.3) 2 2 2 2 r R¢¢ + r R¢ + (k r -n ) R = 0
令 k r = x, R ( r ) = y ( x ) 于是(14.1.5)得到
例 14.3.1 求
（14.3.7） （14.3.8）
ò xJ
2
( x )dx
【解】 根据公式 (14.3.8) Z v -1 ( x) - Z v +1 ( x) = = J 0 ( x) - 2J1
ò xJ
2
¢ ( x)dx = xJ1 ( x) - 2[ xJ1 ( x ) - ò J1 ( x)dx ( x )dx = ò xJ 0 ( x)dx - 2ò xJ1 ]
(14.2.2)
而
¥
J - n ( x ) = å ( -1) k
k = n ¥
1 x - n + 2 k ( ) k !G( - n + k + 1) 2 1 x ( ) n + 2 l , (l = k - n ) l ! G( n + l + 1) 2
(14.3.9)
d dJ m m [r ] + {[k (j m ) ]2 - 2 }J m (k (j m ) r ) = 0 dr dr r
将(14.3.9)乘以 用分部积分法得到
2
(14.3.10)
J m (k
( m ) j
r ) ，将(14.3.10)乘以 J m ( k r ) ，然后两式相减，再积分，利
(14.3.5) (14.3.6)
x ) 和 Z v ( x ) 推算 Z v +1 ( x ) 的递推公式. 即为从 Z v -1 ( 上式也可以写成为 v Z v -1 ( x) + Z v +1 ( x ) = 2 Z v ( x ) x Z v -1 ( x) - Z v +1 ( x) = 2 Zn¢ ( x) ) 统称为柱函数． 任一满足一组递推关系的函数 Z v ( x
(14.3.1) (14.3.2)
) 和汉克尔函数也应该满足 以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数 Nv ( x 上述递推关系．
) 代表 v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有 若用 Z v ( x
d v [ x Z v ( x)] = x v Z v -1 ( x ) dx
( m ) i
{[ki( m ) ]2 - [k (j m ) ]2 }ò J m (ki( m ) r )J m (k (j m ) r ) r d r
0
r 0
故当
ki( m )
d d r = [ r J m (ki( m ) r ) J m (k (j m ) r ) - r J m (k (j m ) r ) J m (ki ( m ) r )] |0 = 0 dr d r ¹ k (j m ) 时
Hn ( x ) ，又
可以取任意数） （ii） y ( x) = AJn ( x ) + BNn ( x) (n
可以取任意数） （iii） y ( x) = AHn ( x ) + BHn ( x) (n 注明：第一、第二、第三类贝塞尔函数分别称为贝塞尔函数、诺依曼函数、汉克尔函数， 还可以分别简称为第一、第二、第三类柱函数．
（ii）当n = n （整数）时，可以用洛必达法则求极限的办法来证明它也与 独立，且其结果与用级数法寻找的第二个线性独立的解一致．
Jn ( x ) 线性
图 20.1
14.2.3 第三类贝塞尔函数
第三类贝塞尔函数（又称为汉克尔（Hankel）函数，或第三类柱函数） ，根据其定 义式即
(1) ì Hn ( x) = Jn ( x ) + i × Nn ( x ) í (2) îHn ( x) = Jn ( x ) - i × Nn ( x )
14.1 贝塞尔方程及其解
14.1.1 贝塞尔方程
拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程，由于贝塞尔方程的 普遍性，我们还能从其它典型的数学物理定解问题来导出贝塞尔方程的一般形式． 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题