《自动控制原理》z变换与z反变换

7-3 z 变换与z 反变换

引言：

● 连续系统的分析：拉氏变换 传递函数 ● 用拉氏变换的优点： ……

● 离散系统：能否拉氏变换？有什么问题？如何改进？ ● 新理论/方法 如何产生？

一、离散信号的拉氏变换及其问题

设连续信号)(t e 是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为

⎰∞

-=0

)()(dt e t e s E st

由于0

⎰∞

∞

--=dt e t e s E st

)()(

对于采样信号)(*

t e ，其表达式为

∑∞

=-=0*

)

()()(n nT t nT e t e δ

故采样信号)(*

t e 的拉氏变换

]

)([)()]()([)()(0

*

*

⎰∑⎰∑⎰∞

∞

--∞

=∞

∞

--∞

=∞

∞

---=-==dt e nT t nT e dt e nT t nT e dt e t e s E st

n st

n st

δδ（7-20）

由广义脉冲函数的筛选性质

⎰

∞

∞

-=-)()()(nT f dt t f nT t δ

故有

snT

st e

dt e nT t -∞

∞

--⎰

=-)(δ

于是，采样信号)(*

t e 的拉氏变换可以写为

nsT

n e

nT e s E -∞

=∑=0

*

)()( (7-21)

和连续信号比较： ⎰∞

-=0)()(dt e t e s E st

)(1)(t t e =时: s dt e s E st

1

*1)(0

=

=⎰∞

-

例7-3 设)(1)(t t e =，试求)(*

t e 的拉氏变换。 解 由式(7-26)，有

...

1)()(20*

+++==--∞

=-∑Ts

Ts

n nsT

e

e

e

nT e s E

一个无穷等比级数，公比为Ts

e

-，求和后得闭合形式

1,111)(*

<-=-=Ts

Ts

Ts

Ts e e e e s E 比较： s dt e s E st

1*1)(0=

=⎰∞-

显然，)(*

s E 是Ts

e 的有理函数。但是s 的超越函数

例7-4[没有] 设,0,)(≥=-t e t e at

为常数，试求t e *的拉氏变换。

解 由式(7-5)，有

1

,11)()()(0

)(0*

<-=-===+--+-∞

=+-∞

=--∑∑T

a aT Ts Ts

T a s n T

a s n nsT

anT e

e

e e e e

e

e

s E σ

式中，σ为S 的实部。上式也是Ts

e 的有理函数。

例7-5[没有] 设0,)(2≥-=--t e e t e t

t ，试求采样拉氏变换)(*

s E 。

解 对于给定的)(t e ，显然有

)2)(1(1

)(++=

s s s E

而由式(7-5)，可得

))(()(1111)()(22)2()1(02*

T

Ts T Ts Ts

T T T s T s n nsT

nT

nT

e e e e e

e e e e e

e

e

s E ----+-+-∞

=------=---=-=∑

上述分析表明，只要)(t E 可以表示为S 的有限次多项式之比时，总可以

用式(7-5)推导出)(*

s E 的闭合形式。

分析：在上式中，各项均含有Ts

e 因子，尽管可以得到Ts

e 的有理函数，

但却是一个复变量S 的超越函数。

问题：书写、计算不方便，不便于进行分析和设计。 如何改进？

二、z变换的定义

为便于应用，令变量

Ts

e

z=

式中，T为采样周期；z是在复平面上定义的一个复变量,z=u+jv。

将Ts e记为z后，则采样信号)(*t

e的z变换定义为

(7-28)

记作:

)]

([

)]

(

[

)

(*t e

Z

t

e

Z

z

E=

=

后一记号是为了书写方便，并不意味着是连续信号)(t e的z变换，而是仍指采样信号)(*t

e的z变换，通常称为z变换算子。

应当指出，z变换仅是一种在采样拉氏变换中，取sT e

z=的变量置换。