南京大学2019年高数B(A)卷试题含答案
2018-2019《大学数学微积分B1》试卷及答案
保密★启用前2018-2019学年第一学期期末考试《高等数学BⅠ》考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 1 页 （共 5 页）一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. 1lim(1)nn n →∞+=（ B ）.（A ）0 （B ）1 （C ）e （D ）1e2. 设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→−−=−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率等于（ C ）.（A ）2 （B ）1− （C ）2− （D ）123. 设0()()()d xF x x t f t t =−⎰ ()f x 为连续函数，且(0)=0()0f f x '>，，则()y F x =在0+∞（，）内（ A ）.（A ）单调增加且为下凸 （B ）单调增加且为上凸 （C ）单调减少且为下凸 （D ）单调减少且为上凸 4. 曲线221e 1e−−+=−x x y （ D ）.（A ）没有渐近线 （B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若ln ()sin f t t =，则()d ()tf t t f t '=⎰（ A ）. （A ）sin cos ++t t t C （B ）sin cos −+t t t C （C ）sin cos ++t t t t C （D ）sin +t t C6. 使不等式1sin d ln xtt x t>⎰成立的x 的范围是（ C ）. （A ）π(1,)2（B ）π(,π)2 （C ）(0,1) （D ）(π,+)∞《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 2 页 （共 5 页）二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．7. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x −+是比sin n x 高阶的无穷小，而sin n x 是比2e 1x −高阶的无穷小，则正整数n 等于 3 .8．设函数()y y x =由方程2e cos()e 1x y xy +−=−所确定，求d d x yx== 2− .9. 函数()ln 12=−y x 在0=x 处的(2)n n >阶导数()(0)n f = 2(1)!n n −⋅− . 10. 221d x x x −−=⎰116． 11. 121e d x x x−∞=⎰ 1 ． 12. Oxy 平面上的椭圆22149x y +=绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程是 222149x y z ++= . 三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.（本题满分10分）求函数3sin ()xf x x xπ=−的间断点，并判断间断点的类型. 【解】因为3sin sin ()(1)(1)x xf x x x x x x ππ==−−+，显然0,1,1x =−为间断点. 2分 于是lim ()lim(1)(1)x x xf x x x x →→π==π−+， 4分1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →−→−→−ππππ=−=−=+ 6分 1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →→→ππππ===−−， 8分 所以0,1,1x =−是第一类中的可去间断点. 10分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 3 页 （共 5 页）14.（本题满分10分）设cos sin ,sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=−⎩，求224d d t y x π=.【解】由题意，得4d (sin cos )cos cos sin d tan , 1.d (cos sin )sin sin cos d t y t t t t t t t yt x t t t t t t t x π='−−+===='+−++ 5分222324d d tan d 1d ,d d d cos d t y t t yx t x t t x π==⋅==π10分15.（本题满分10分）求x ． 【解】设tan ,,22x t x ππ=−<<，则2d sec d x t t =，于是 3分 原式2= 5分 2cos d sin tt t=⎰2sin dsin csc t t t C −==−+⎰ 9分C =+. 10分16．（本题满分10分）求函数3226187y x x x =−−−的极值.【解】2612186(3)(1),y x x x x '=−−=−+ 2分 令0,y '=得驻点123, 1.x x ==− 5分 又1212,(3)240,(1)240,y x y y ''''''=−=>−=−< 8分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 4 页 （共 5 页）所以极大值(1)3y −=，极小值(3)61y =−. 10分17.（本题满分10分）求由曲线y =1,4,0x x y ===所围成的平面图形的面积及该图形绕y 轴旋转一周所形成的立体的体积.【解】（1） 1S x =⎰2分432121433x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 5分 （2） 解法1： 412y V x =π⎰ 7分4521412455x ⎡⎤π==π⎢⎥⎣⎦ 10分解法2： 24132d y V y y =π−π−π⎰ 7分1245=π 10分18.（本题满分8分）求过直线50:40x y z L x z ++=⎧⎨−+=⎩，且与平面48120x y z −−+=交成π4角的平面方程．【解1】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=， 即2=，由此解得0λ=或43λ=−. 6分《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 5 页 （共 5 页）将0λ=或43λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为40207120x z x y z −+=++−=，. 8分 【解2】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=即2=，由此解得34λ=−. 6分 将34λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为207120x y z ++−=. 7分另外，40x z −+=也是所求平面方程. 8分19.（本题满分6分）设函数()f x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,f f ==(2π)2f =. 试证明在(0,2π)内至少存在一点ξ，使()()cos 0f f ξξξ'+=.【证】 构造函数sin ()()e x F x f x =. 2分 因为()F x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,(2π)2F F F ===. 3分因为2是介于(0)1F =与(π)3F =之间的，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在(0,π)内存在一点c 使得()2(2π)F c F ==． 5分于是在[],2πc 上函数()F x 满足罗尔定理的条件，所以[]sin ()()()cos e 0,(,2π)(0,2π)F f f c ξξξξξξ''=+=∈⊂.则原结论成立． 6分。
【精品高考数学试卷】2019年江苏省高考数学试卷+答案
2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B =I ． 2．（5分）已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ． 3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．4．（5分）函数276y x x =+-的定义域是 ．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．8．（5分）已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ．9．（5分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 ．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0) y xxx=+>上的一个动点，则点P到直线0x y+=的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y lnx=上，且该曲线在点A处的切线经过点(e-，1)(e-为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在ABC∆中，D是BC的中点，E在边AB上，2BE EA=，AD与CE交于点O．若6AB AC AO EC=u u u r u u u r u u u r u u u rg g，则ABAC的值是．13．（5分）已知tan23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是．14．（5分）设()f x，()g x是定义在R上的两个周期函数，()f x的周期为4，()g x的周期为2，且()f x是奇函数．当(0x∈，2]时，2()1(1)f x x--，(2),01,()1,12,2k x xg xx+<⎧⎪=⎨-<⎪⎩„„其中0k>．若在区间(0，9]上，关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若3a c=，2b=，2cos3B=，求c的值；（2）若sin cos2A Ba b=，求sin()2Bπ+的值．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，D，E分别为BC，AC的中点，AB BC=．求证：（1）11//A B平面1DEC；（2）1BE C E⊥．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于．．．圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C ，D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <„，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M „． 20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．（1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和． ①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m „时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，(2B ，)2π，直线1的方程为sin()34πρθ+=． （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 23．（10分）设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =． （1）求n 的值；（2）设(1n a +=+a ，*b N ∈，求223a b -的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n n n n M A B C =U U ．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离． （1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n …，求概率()P X n „（用n 表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.【解答】解：{1A =-Q ，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈， {1A B ∴=-I ，0，1，6}{|0x x >I ，}{1x R ∈=，6}．故答案为：{1，6}．【解答】解：(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++Q 的实部为0， 20a ∴-=，即2a =．故答案为：2．【解答】解：模拟程序的运行，可得 1x =，0S = 0.5S =不满足条件4x …，执行循环体，2x =， 1.5S = 不满足条件4x …，执行循环体，3x =，3S = 不满足条件4x …，执行循环体，4x =，5S = 此时，满足条件4x …，退出循环，输出S 的值为5． 故答案为：5．【解答】解：由2760x x +-…，得2670x x --„，解得：17x -剟．∴函数y =[1-，7]．故答案为：[1-，7]．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为： 1(6788910)86x =+++++=，∴该组数据的方差为：222222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63S =-+-+-+-+-+-=．故答案为：53．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数2510n C ==，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：1123227m C C C =+=，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710m p n ==． 故答案为：710． 【解答】解：Q 双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，∴221631b-=，解得22b =，即b又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是y =．故答案为：y =．【解答】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩． ∴818788(5)56162dS a ⨯=+=⨯-+=． 故答案为：16．【解答】解：Q 长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，∴11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=， ∴三棱锥E BCD -的体积：13E BCD BCD V S CE -∆=⨯⨯1132BC DC CE =⨯⨯⨯⨯ 1112AB BC DD =⨯⨯⨯ 10=．故答案为：10．【解答】解：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +，由20411x -=-，解得002(0)x x =>． ∴曲线4(0)y x x x =+>上，点(2,32)P 到直线0x y +=的距离最小， |232|42+=．故答案为：4．【解答】解：设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1y x'=， ∴001|x x y x ='=，则该曲线在点A 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-， Q 切线经过点(,1)e --，∴0011elnx x --=--， 即00elnx x =，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ．故答案为：(,1)e ．【解答】解：设()2AO AD AB AC λλ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，()AO AE EO AE EC AE AC AE μμ=+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1(1)3AE AC AB AC μμμμ-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r∴1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，1166()()43AO EC AB AC AB AC =⨯+⨯-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r g22312()233AB AB AC AC =-++u u ur u u u r u u u r u u u r g 221322AB AB AC AC =-++u u uru u u r u u u r u u u r g ，Q 221322AB AC AB AB AC AC =-++u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g ，∴221322AB AC =u u ur u u u r ，∴223AB AC=u u u r u u u r ， ∴3ABAC=． 故答案为：3 【解答】解：由tan 23tan()4απα=-+，得tan 23tan tan41tan tan4απαπα=-+-， ∴tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin 215tan ααα==+，2213cos215tan tan ααα-==-+， 42322sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=⨯-⨯=； 当1tan 3α=-时，22tan 3sin 215tan ααα==-+，2214cos215tan tan ααα-==+， 32422sin(2)sin 2cos cos2sin 444525210πππααα∴+=+=-⨯+⨯=． 综上，sin(2)4πα+的值是2．故答案为：2． 【解答】解：作出函数()f x 与()g x 的图象如图，由图可知，函数()f x 与1()(122g x x =-<„，34x <„，56x <„，78)x <„仅有2个实数根；要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()f x =(0x ∈，2]与()(2)g x k x =+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)k k =>， Q 两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k =，∴13k <„．即k 的取值范围为1[3，4．故答案为：1[3．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【解答】解：（1）Q 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．3a c =，b =，2cos 3B =， ∴由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，解得c =． （2）Q sin cos 2A Ba b=， ∴由正弦定理得：sin sin cos 2A B Ba b b==， 2sin cos B B ∴=，22sin cos 1B B +=Q ，sin B ∴，cos B =sin()cos 2B B π∴+==． 【解答】证明：（1）Q 在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， //DE AB ∴，11//AB A B ，11//DE A B ∴，DE ⊂Q 平面1DEC ，11A B ⊂/平面1DEC ，11//A B ∴平面1DEC ．解：（2）Q 在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 的中点，AB BC =． 1BE AA ∴⊥，BE AC ⊥，又1AA AC A =I ，BE ∴⊥平面11ACC A ， 1C E ⊂Q 平面11ACC A ，1BE C E ∴⊥．【解答】解：（1）如图，22F A F B =Q ，22F AB F BA ∴∠=∠，22212F A a F D DA F D F D ==+=+Q ，1AD F D ∴=，则11DAF DF A ∠=∠， 12DF A F BA ∴∠=∠，则12//F D BF ，1c =Q ，221b a ∴=-，则椭圆方程为222211x y a a +=-， 取1x =，得21D a y a -=，则22112a a AD a a a -+=-=． 又152DF =，∴2152a a +=，解得2(0)a a =>．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知，3(1,)2D ，1(1,0)F -，∴2133224BF DF k k ===，则23:(1)4BF y x =-， 联立223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22118390x x --=． 解得11x =-或2137x =（舍)． ∴132y =-．即点E 的坐标为3(1,)2--．【解答】解：设BD 与圆O 交于M ，连接AM ，AB 为圆O 的直径，可得AM BM ⊥，即有6DM AC ==，6BM =，8AM =，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则(0,6)A -，(8,12)B --，(8,0)D - （1）设点1(P x ，0)，PB AB ⊥， 则1BP AB k k =-g ， 即10(12)6(12)1(8)0(8)x -----=-----g ，解得117x =-，所以(17,0)P -，22(178)(012)15PB =-+++；（2）当QA AB ⊥时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x ，0)， 则1QA AB k k =-g ，即20(6)6(12)100(8)x -----=----g ，解得292x =-，9(2Q -，0)， 由91782-<-<-，在此范围内，不能满足PB ，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径，所以P ，Q 中不能有点选在D 点；（3）设(,0)P a ，(,0)Q b ，由（1）（2）可得17a -„，92b -…， 由两点的距离公式可得22(8)144225PB a =++…，当且仅当17a =-时，||d PB =取得最小值15，又2236225QA b =+…，则321b …d 最小时，17a =-，321b =，17321PQ =+．【解答】解：（1）a b c ==Q ，3()()f x x a ∴=-， f Q （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---． 令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=． ()f x Q 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去． 1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去． 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去． 1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去． 3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，． 因此3a =，3b =-，213a bA +=∈， 可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-． （3）证明：0a =，01b <…，1c =，()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++． △22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+…．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：11(0,]3x =，2x =．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=Q ，可得：2111[(22)]3x b x b =+-，1111()()(1)M f x x x b x ==--222211111111(22)1()()()()[(21)2]33b x b x b x x x b x b x b x b +-=--=--=--+2222111(22)11[(21)2][(222)]339b x b b b x b b b x b b +-=--+=-+-++g ， 22132222()022b b b -+-=---<Q ，M ∴在1(0x ∈，1]3上单调递减，2221222524()932727b b b b M b b -+-+-∴++=剟． 427M ∴„． 【解答】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由245a a a =，321440a a a -+=，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩∴112a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 首项为1且公比为正数即数列{}n a 为“M -数列”； （2）①11b =Q ，1122n n n S b b +=-， ∴当1n =时，11121122S b b b ==-，22b ∴=， 当2n =时，212231122S b b b b ==-+，33b ∴=，当3n =时，3123341122S b b b b b ==-++，44b ∴=， 猜想n b n =，下面用数学归纳法证明； ()i 当1n =时，11b =，满足n b n =，()ii 假设n k =时，结论成立，即k b k =，则1n k =+时，由1122k k k S b b +=-，得 1(1)2221(1)222k k k k k k k k b S b k k k S b k++===++--gg ， 故1n k =+时结论成立，根据()()i ii 可知，n b n =对任意的*n N ∈都成立． 故数列{}n b 的通项公式为n b n =； ②设{}n c 的公比为q ，存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m „时，都有1k k k c b c +剟成立，即1k k q k q -剟对k m „恒成立， 当1k =时，1q …，当2k =2q ， 当3k …，两边取对数可得，1lnk lnk lnq k k -剟对k m „有解，即[][]1max min lnk lnklnq k k -剟，令()(3)lnx f x x x =…，则21()lnxf x x-'=， 当3x …时，()0f x '<，此时()f x 递减， ∴当3k …时，3[]3max lnk ln k =， 令()(3)1lnxg x x x =-„，则211()lnx x g x x --'=， 令1()1x lnx x φ=--，则21()x x xφ-'=， 当3x …时，()0x φ'<，即()0g x '<， ()g x ∴在[3，)+∞上单调递减，即3k …时，[]11min lnk lnm k m =--，则331ln lnmm -„， 下面求解不等式331ln lnmm -„，化简，得3(1)30lnm m ln --…， 令()3(1)3h m lnm m ln =--，则3()3h m ln m'=-， 由3k …得3m …，()0h m '<，()h m ∴在[3，)+∞上单调递减，又由于h （5）3543125810ln ln ln ln =-=->，h （6）36532162430ln ln ln ln =-=-<，∴存在0(5,6)m ∈使得0()0h m =，m ∴的最大值为5，此时13[3q ∈，145]．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 【解答】解：（1）3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q 231312222A ⎡⎤⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦115106⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）矩阵A 的特征多项式为： 231()5422f λλλλλ--==-+--，令()0f λ=，则由方程2540λλ-+=，得1λ=或4λ=，∴矩阵A 的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解答】解：（1）设极点为O ，则在OAB ∆中，由余弦定理，得 2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，AB ∴=（2）由直线1的方程sin()34πρθ+=，知直线l 过)2π，倾斜角为34π，又B )2π，∴点B 到直线l的距离为3?()242sin ππ-=． C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 【解答】解：131,21|||21|1,0231,0x x x x x xx x ⎧->⎪⎪⎪+-=-+⎨⎪-+<⎪⎪⎩剟， |||21|2x x +->Q ，∴31212x x ->⎧⎪⎨>⎪⎩或12102x x -+>⎧⎪⎨⎪⎩剟或3120x x -+>⎧⎨<⎩， 1x ∴>或x ∈∅或13x <-，∴不等式的解集为1{|3x x <-或1}x >．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【解答】解：（1）由0122(1)n n n nn n n x C C x C x C x +=+++⋯+，4n …， 可得22(1)2n n n a C -==，33(1)(2)6n n n n a C --==，44(1)(2)(3)24n n n n n a C ---==， 23242a a a =，可得2(1)(2)(1)(1)(2)(3)()26224n n n n n n n n n ------=g g， 解得5n =；（2）方法一、502233445555555(1C C C C C C a =++++=+ 由于a ，*b N ∈，可得024555391304576a C C C =++=++=，1355553944b C C C =++=， 可得222237634432a b -=-⨯=-；方法二、502233445555555(1C C C C C C a +=++++=+50122334455555555(1(((((C C C C C C -=+++++02233445555555C C C C C C =-+-+-，由于a ，*b N ∈，可得5(1a =-，可得225553(1(1(13)32a b -=+=-=-g ．【解答】解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值为1，2，X 的概率分布为2677(1)15P X C ===；2644(15P X C ==； 2622(2)15P X C ===；2622(15P X C ===； （2）设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点， 因为()1()P X n P X n =->„，所以只需考虑X n >的情况， ①若b d =，则AB n „，不存在X n >的取法；②若0b =，1d =，则AB X n >当且仅当AB = 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；③若0b =，2d =，则AB =X n >当且仅当AB 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；④若1b =，2d =，则AB X n >当且仅当AB = 此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况； 综上可得当X n >，X且2244(n P X C +==，2242(n P X C +==，可得2246()1((1n P X n P X P X C +=-=-==-„．。
【数学】2019年江苏卷数学高考试题及答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数y =的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线+y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中>0.若在区间(0，9]上，关于的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，bcos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系Oy 中，椭圆C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作轴的垂线l ，在轴的上方，l 与圆F 2222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （）的极大值为M ，求证M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数，当≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.y =8.16 9.10 10.411.(e, 1)13.1014.1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥轴，所以点A 的横坐标为1. 将=1代入圆F 2的方程(-1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥轴，所以EF 1⊥轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得121133b b x x +++==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b =，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c ≤b ≤c +1，所以1k k q k q -≤≤，其中=1，2，3，…，m .当=1时，有q ≥1； 当=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得=e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取q ==1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取=3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系Oy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N L令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得<-13； 当0≤≤12时，原不等式可化为+1–2>2，即<–1，无解； 当>12时，原不等式可化为+2–1>2，解得>1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB ≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)—数学(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）—数学（解析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔全卷总分值160分，考试时间120分钟〕参考公式： 棱锥的体积13V Sh=，其中S 为底面积，h 为高、 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．、 1、〔2018年江苏省5分〕集合{124}A =，，，{246}B =，，，那么A B =▲、【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2、〔2018年江苏省5分〕某学校高【一】高【二】高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取▲名学生、 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为假设干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3、〔2018年江苏省5分〕设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-〔i 为虚数单位〕，那么a b +的值为▲、【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117i i 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。
4、〔2018年江苏省5分〕下图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是▲、【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 2k 5k 4-+ 循环前0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2019年高考江苏卷数学真题试题(word版,含答案与解析)
2019年高考数学真题试卷（江苏卷）原卷+解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.（2019•江苏）已知集合，，则________.【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】集合，，借助数轴得：【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合。
2.（2019•江苏）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是________. 【答案】 2【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】设复数的实部为0，又【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数，从而求出复数的实部和虚部，再结合复数的实部为0的已知条件求出a的值。
3.（2019•江苏）下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.【答案】 5【考点】程序框图【解析】【解答】第一步：不成立；第二步：不成立；第三步：不成立；第四步：成立；输出的【分析】根据题中的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的S的值。
4.（2019•江苏）函数的定义域是________.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】函数，要是函数有意义，则函数的定义域为【分析】利用根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法求出函数的定义域。
5.（2019•江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.【答案】【考点】极差、方差与标准差【解析】【解答】设一组数据为6，7，8，8，9，10的平均数为方差为这组数据的平均数为：这组数据的方差为：【分析】利用已知数据结合平均数和方差公式求出这组数据的平均数和方差。
6.（2019•江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】设3名男同学为：2名女同学为：设选出的2名同学中至少有1名女同学的事件为A，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的基本事件为：共十种，选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件为：共七种，利用古典概型求概率的公式，得：【分析】根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。
2019年高考真题数学(江苏卷含答案)
精选文档2019 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题，共 20 题 )。
本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点。
3．请仔细查对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考据号与自己能否符合。
4．作答试题，一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡上的指定地点作答，在其余地点作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参照公式：样本数据 x1, x2 , , x n的方差 s21n n 12x i x ，此中 xi 1 nnx i．i 1柱体的体积 V Sh，此中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积 V1 Sh，此中S是锥体的底面积，h是锥体的高．3一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知会合 A { 1,0,1,6} ， B { x | x 0, x R } ，则A I B▲.2．已知复数(a 2i)(1 i) 的实部为0，此中i为虚数单位，则实数 a 的值是▲. 3．下列图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数y 7 6x x2的定义域是▲.5．已知一组数据6， 7， 8， 8， 9， 10，则该组数据的方差是▲ .6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中起码有 1 名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x2 y2 1(b 0) 经过点（3，4)，则该双曲线的b2渐近线方程是▲.8．已知数列{ a n}( n N * ) 是等差数列， S n是其前n项和.若 a2a5 a8 0, S9 27，则S8的值是▲.9．如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是120， E 为CC1的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是▲.410．在平面直角坐标系xOy中， P 是曲线y x ( x 0) 上的一个动点，则点P 到直线xx+y=0 的距离的最小值是▲ .11．在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（ -e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是▲ .12．如图，在△ ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.uuur uuur uuur uuur AB的值是▲.若AB AC 6AO EC ，则AC13．已知tanπ2，则 sin 2π的值是▲.tan 3 4414．设f ( x), g(x)是定义在 R 上的两个周期函数， f ( x) 的周期为4，g( x)的周期为2，且k( x 2),0 x 1f (x) 是奇函数.当 x (0, 2] 时， f ( x) 1 (x 1)2， g( x) 12 ，,1 x2 此中 k>0.若在区间 (0， 9]上，对于 x 的方程f ( x) g(x) 有8个不一样的实数根，则k 的取值范围是▲ .二、解答题：本大题共 6小题，合计90分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为a， b， c．（ 1）若 a=3 c， b= 2 ， cosB= 2，求 c 的值；3（ 2）若sin A cosB，求 sin( B ) 的值．a 2b 216．（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABC－ A1B1C1中， D ，E 分别为 BC， AC 的中点， AB=BC．求证：（ 1） A1B1∥平面 DEC1；（2）BE ⊥ C1E．17．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C: x2y21(a b 0) 的焦点为 1a2 b2 F（– 1、0），F2（ 1， 0）．过 F 2作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方， l 与圆 F2: (x 1)2 y2 4a2交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连接 AF1并延伸交圆 F2于点 B，连接 BF2交椭圆 C 于点 E，连接DF 1．已知 DF1=5．2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标．18．（本小题满分 16 分）如图，一个湖的界限是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥 AB（ AB是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修筑两段直线型道路PB、QA．规划要求 :线段 PB、QA 上的全部点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （C、 D 为垂足），测得 AB =10， AC=6， BD=12 （单位 :百米）．（ 2）在规划要求下，P 和 Q 中可否有一个点选在 D 处？并说明原因；（ 3）对规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为d（单位：百米） .求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16 分）设函数 f ( x) ( x a)( x b)( x c), a, b, c R 、f ' ( x)为f（x）的导函数．（1）若 a=b=c， f（ 4）=8，求 a 的值；（ 2）若 a≠ b，b=c，且 f（x）和 f ' ( x) 的零点均在会合{ 3,1,3} 中，求f（x）的极小值；（ 3）若a 0,0 b, 1,c 1 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤4．2720．（本小满分16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列” .（ 1）已知等比数列 { a n} (n N * ) 知足： a2a4 a5 , a3 4a2 4a4 0 ，求证:数列{ a n} 为“ M －数列”；（ 2）已知数列 { b n} 知足 : b11 2 21,b n，此中 S n为数列 { b n} 的前 n 项和．S nbn 1①求数列 { b n} 的通项公式；②设 m 为正整数，若存在“M －数列” { c n } ( n N * ) ，对随意正整数k，当 k≤ m 时，都有 c k剟b k c k 1成立，求m的最大值．数学Ⅱ ( 附带题 )21．【选做题】此题包含 A 、 B、 C 三小题，请选定此中两小题，并在相应的答题地区内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步．骤．A.[ 选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）已知矩阵 A 3 1 2 2（1）求 A2；（2）求矩阵 A 的特点值 .B.[ 选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点 A 3, , B 2, ，直线 l的方程为sin 3 .4 2 4（1）求 A， B两点间的距离；（ 2）求点 B到直线 l的距离 .C.[选修 4-5：不等式选讲 ]（本小题满分 10分）设 x R ，解不等式|x|+|2 x 1|>2 .【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，合计20 分．请在答题卡指定地区内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分 10 分）设(1x)n a0a1 x a2x2 L a n x n , n 4, n N *.已知a32 2a2 a4.（1）求 n的值；（ 2）设(13) n a b 3 ，此中a,b N*，求a 2 3b 2的值 .23（.本小题满分 10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)} ，B n (0,1),( n,1)},C n {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,( n,2)}, n N .令 M n A n U B n U C n.从会合M n中任取两个不一样的点，用随机变量 X表示它们之间的距离 .（1）当 n=1时，求 X的概率散布；2019 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ答 案一、填空题：此题考察基础知识、基本运算和基本思想方法 .每题 5分，合计 70分 . 1.{1,6}2.23.54.[ 1,7]5 6.7 7. y2x5.1038.169.1010.411. (e, 1)12. 313. 214. 1 ,210 34二、解答题15.本小题主要考察正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、引诱公式等基础知识，考察运算求解能力 .满分 14分 .解：（ 1）由于 a 3c, b2,cos B2 ，3由余弦定理 cos Ba2c 2 b 2 ，得 2 (3c)2c2( 2)2 ，即 c21 .2ac 3 2 3c c33.所以 c3（ 2）由于sin Acos B ，a 2b由正弦定理ab ，得 cos B sin B，所以 cosB 2sin B .sin Asin B 2bb4进而 cos 2 B(2sin B)2 ，即 cos 2 B4 1 cos 2 B ，故 cos 2 B.5由于 sin B0 ，所以 cosB 2sin B 0，进而 cos B2 5 .5所以 sin Bπ2 5.2cosB516.本小题主要考察直线与直线、直线与平面、平面与平面的地点关系等基础知识，考察空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.证明：（ 1）由于 D ，E 分别为 BC ， AC 的中点，所以 ED ∥AB .在直三棱柱 ABC-A 1 B 1C 1 中， AB ∥A 1B 1，所以 A 1B 1∥ ED .又由于 ED? 平面 DEC1 1 1 平面 DEC 1， A B ，所以 A1B1∥平面 DEC 1.（ 2）由于 AB=BC， E 为 AC 的中点，所以BE⊥ AC.由于三棱柱ABC-A1 B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面 ABC.又由于 BE? 平面 ABC，所以 CC1⊥ BE.由于 C1C? 平面 A1ACC1， AC? 平面 A1ACC1， C1C∩AC=C，所以 BE⊥平面 A1ACC1.由于 C1E? 平面 A1ACC1，所以 BE⊥ C1E.17.本小题主要考察直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考察推理论证能力、剖析问题能力和运算求解能力.满分 14分.解：（ 1）设椭圆 C 的焦距为2c.由于 F1(－1， 0)， F 2(1， 0)，所以 F 1F 2=2，c=1.又由于 DF1= 5， AF 2⊥x 轴，所以DF2= DF12 F1 F22 (5)2 223 ，2 2 2所以 2a=DF 1+DF 2=4，进而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.所以，椭圆 C 的标准方程为x2 y2 1 .4 3（ 2）解法一：由（ 1）知，椭圆 C：x2y2 1 ， a=2，4 3由于 AF 2⊥ x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2的方程 (x-1) 2+y2=16 ，解得 y=± 4. 由于点 A 在 x 轴上方，所以A(1，4).又 F1(-1， 0)，所以直线 AF1： y=2x+2.y 2x 2，得5x2 6x 11 0，由1)2 y2( x 16解得 x 1 或x 11.11 512将 x 代入 y 2x 2 ，得 y ，所以 B( 11,12) .又 F 2(1， 0)，所以直线 BF 2： y3(x 1) .554y3( x 1)13由4，得2，解得x1 或 xy 27x 6x 13 0.x 2 174 3又由于 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x 1 .将 x1 代入 y3( x 1) ，得 y3.所以 E( 1, 3).4 2 2解法二：由（ 1）知，椭圆 C ：x 2y 2 14 1 .如图，连接 EF .3由于 BF 2=2 a ，EF 1+EF 2=2a ，所以 EF 1 =EB ，进而∠ BF 1E=∠ B.由于 F 2A=F 2B ，所以∠ A=∠ B ，所以∠ A=∠ BF 1E ，进而 EF 1∥ F 2A.由于 AF 2⊥ x 轴，所以 EF 1⊥ x 轴 .x 13由于 F 1(-1，0)，由x 2y2，得 y.4 123又由于 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 y3 .23所以 E( 1,).18.本小题主要考察三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考察直观想象和数学建模及运用数学知识剖析和解决实质问题的能力.满分 16分 .解：解法一： （ 1）过 A 作 AEBD ，垂足为 E.由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形， DE BE AC 6, AE CD 8.'由于 PB ⊥ AB ，所以 cos PBDsin8 4 ABE.105BD 12所以 PB 15 .cos PBD 45所以道路 PB的长为 15（百米） .（2）①若 P在 D 处，由（ 1）可得 E在圆上，则线段 BE 上的点（除 B， E）到点 O的距离均小于圆 O的半径，所以 P选在 D 处不知足规划要求 .②若 Q在 D处，连接 AD ，由（ 1）知AD AE 2 ED 2 10 ，AD 2 AB2 BD 2 7，所以∠ BAD 为锐角 .进而 cos BAD 02AD AB 25所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 .所以， Q选在 D 处也不知足规划要求.综上， P和 Q均不可以选在 D处 .（ 3）先议论点 P的地点 .当∠ OBP<90°时，线段 PB上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径，点 P不切合规划要求；当∠ OBP≥90°，对线段时PB上随意一点 F ， OF ≥OB ，即线段 PB 上全部点到点 O的距离均不小于圆 O的半径，点 P切合规划要求 .设 P1为l上一点，且PB1 AB ，由（1）知， P1B=15，此时PD1 PB1 sin PBD1 PB1 cos EBA 15 39 ；5当∠ OBP>90°时，在△PPB中，PB PB1 1 由上可知， d≥15.再议论点 Q的地点 .由（ 2）知，要使得QA≥15，点 Q只有位于点15.C的右边，才能切合规划要求.当 QA=15 时，CQQA2 AC 2 152 62 3 21 .此时，线段QA上全部点到点O的距离均不小于.综上，当 PB ⊥AB ，点 Q 位于点 C 右边，且 CQ= 3 21时， d 最小，此时 P ， Q 两点间的距离PQ=PD +CD +CQ=17+ 3 21.所以， d 最小时， P ， Q 两点间的距离为 17+ 3 21 （百米） .解法二：（ 1）如图，过 O 作 OH ⊥ l ，垂足为 H.以 O 为坐标原点，直线 OH 为 y 轴，成立平面直角坐标系 .由于 BD=12， AC=6，所以 OH =9，直线 l 的方程为 y=9，点 A ， B 的纵坐标分别为 3，- 3. 由于 AB 为圆 O 的直径， AB=10 ，所以圆 O 的方程为 x 2+y 2=25. 进而 A （ 4， 3）， B （- 4， - 3），直线 AB 的斜率为3.4由于 PB ⊥ AB ，所以直线 PB 的斜率为4 ， 425 3x直线 PB 的方程为 y.33所以 P （ - 13， 9）， PB( 13 4)2 (9 3)2 15 .所以道路 PB 的长为 15（百米） .（ 2）①若 P 在D 处，取线段 BD 上一点 E （ - 4， 0），则 EO=4<5 ，所以 P 选在 D 处不知足规划要求 .②若 Q 在 D 处，连接 AD ，由（ 1）知 D （ - 4， 9），又 A （ 4， 3），所以线段 AD ： y3x 6( 4剟x 4) .4在线段 AD 上取点 M （ 3，15），由于 OM3215232 42 5 ，44所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径 .所以 Q 选在 D 处也不知足规划要求 .综上， P 和 Q 均不可以选在 D 处 .（ 3）先议论点 P 的地点 .当∠ OBP<90°时，线段 PB 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径，点 P 不切合规划要求；当∠ OBP ≥ 90°时，对线段 PB 上随意一点 F ，OF ≥OB ，即线段 PB 上全部点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径，点 P 切合规划要求 .设 P 为 l 上一点，且 PBAB ，由（ 1）知， P B=15 ，此时 P （ - 13，9）；1111当∠ OBP>90°时，在 △ PPB 1 中， PB PB 1 15 . 由上可知， d ≥15. 再议论点 Q 的地点 .由（ 2）知，要使得 QA ≥15，点 Q 只有位于点 C 的右边，才能切合规划要求 .当 QA=15 时，设Q （ a ，9），由 AQ(a 4) 2 (9 3)215(a 4) ，得a= 4 3 21 ，所以 Q （ 4 3 21，9），此时，线段 QA 上全部点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径 .综上，当 P （ - 13， 9）， Q （ 43 21 ， 9）时， d 最小，此时 P ， Q 两点间的距离PQ 4321 ( 13) 17 3 21.所以， d 最小时， P ， Q 两点间的距离为17 3 21 （百米） .19．本小题主要考察利用导数研究函数的性质，考察综合运用数学思想方法剖析与解决问题以及逻辑推理能力．满分 16分．解：（ 1）由于 a b c ，所以 f (x) (x a)( x b)( xc) ( x a)3 ．由于 f (4) 8 ，所以 (4 a)38 ，解得 a2 ．（2）由于 bc ，所以 f ( x) ( x a)( xb)2x 3 (a 2b)x 2 b(2 a b) x ab 2 ，进而 f ' ( x) 3( x b) x2a b．令 f ' ( x) 0 ，得 xb 或 x 2a b ．33由于 a, b,2a b，都在会合 { 3,1,3} 中，且 a b ，3所以 2a b1,a 3,b3 ．3此时f ( x) ( x 3)(x 3)2 ， f ' ( x) 3(x 3)( x 1) ．令 f ' (x)0，得 x 3 或 x 1 ．列表以下：x(, 3)3( 3,1)1 (1,)f ' ( x)+–0 +f ( x)Z极大值]极小值Z所以 f ( x) 的极小值为 f (1) (1 3)(1 3)232 ．（3）由于 a0, c 1，所以f (x)x( x b)( x1) x3(b 1) x 2 bx ， f ' ( x) 3x 2 2(b 1)x b ．由于 0b 1 ，所以4(b1)2 12b (2 b 1)2 3 0 ，则 f ' (x) 有 2个不一样的零点，设为x 1 , x 2 x 1x 2 ．由 f ' (x)0，得 x 1 b 1b2b 1, x 2b 1b 2 b 1 ．33列表以下：x(, x 1 )x 1x 1 , x 2x 2( x 2 ,)f ' ( x)+0 –0 +f ( x)Z极大值]极小值Z所以 f ( x) 的极大值 M f x 1．解法一：M f x 1x 13 (b 1)x 12bx 13x 122(b 1)x 1 b x 1 b1 2 b 2 b1b(b 1)9x 13 992 b2b 1 (b 1) b(b1) 223b b 1 27 9 27b(b 1) 2( b 1)2 (b 1) 2 ( b(b 1) 1)3 27 27 27b(b 1) 2 4．所以M4 ． 27 272727解法二：由于 0 b 1 ，所以 x 1 (0,1) ．当 x(0,1) 时， f ( x) x(x b)( x1) x( x 1)2 ．令 g ( x) x(x1)2, x (0,1) ，则 g' ( x) 3 x1( x 1) ．31令 g' ( x) 0 ，得 x．列表以下：3x(0, 1) 1(1,1)333g' ( x)+0 –g ( x) Z极大值]所以当 x1时， g( x) 获得极大值，且是最大值，故g (x)max g 14 ．3327所以当 x (0,1) 时， f (x)g ( x)44，所以 M ．272720．本小题主要考察等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考察代数推理、转化与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力．满分16分．解：（ 1）设等比数列 { a n } 的公比为 q ，所以 a 1≠ 0， q ≠ 0.a 2a 4 a 5a 12 q 4a 1q 4a 1 1由4a 2 4a 1 0 ，得，解得．a 3a 1q 24a 1q 4a 1 0q 2所以数列 { a n } 为“ M —数列” .（ 2）①由于1 2 2 ，所以 b n0 ．S n b nb n1由 b 11,S 1 b 1 1222 .得1 ，则 b 21 b 21 22，得 S nb nbn 1，由b n b n 2(b n 1 b n )S n1当 n 2 时，由 b nS nSn 1，得bnb nbn 1b n 1bnb n，2 b n 1 2 b n b n 1整理得 b n 1 b n 1 2b n ．所以数列 { b n } 是首项和公差均为 1的等差数列 . 所以，数列 { b nnn N *.} 的通项公式为 b =n②由①知， b k =k ， k N * .由于数列 { c n } 为“M–数列 ”，设公比为 q ，所以 c 1=1， q>0.由于 c k ≤b k ≤c k+1 ，所以 q k1kq k，此中 k=12 3 ， ， m.， ，当 k=1时，有 q ≥ 1；当 k=2，3， ， m 时，有lnkln q ln k ．kk 1设 f （ x ） =ln x( x1) ，则 f ' (x) 1 ln x ．xx 2 令 f ' (x)0 ，得 x=e.列表以下：x (1,e)e (e + ∞ )，f ' ( x)+0 –（f x ）极大值由于 ln 2ln8 ln 9 ln 3 ，所以 f (k) max f (3) ln 3 ．2 6 6 33取 q33 ，当 k=1， 2 ， 3， 4， 5时，lnk,ln q ，即 k q k ，k经查验知 q k 1k 也成立．所以所求 m 的最大值不小于 5．若 m ≥6，分别取 k=3 ，6，得 3≤q 3，且 q 5≤6，进而 q 15≥ 243，且 q 15≤ 216，所以 q 不存在 .所以所求 m 的最大值小于 6.综上，所求 m 的最大值为 5．.21．【选做题】A ． [选修 4– 2：矩阵与变换 ]本小题主要考察矩阵的运算、特点值等基础知识，考察运算求解能力．满分10分．解：（ 1）由于 A3 12，2所以 A23 1 3 12 22 23 3 1 2 3 1 1 2=11 5． =3 2 2 2 12 210 6 2（ 2）矩阵 A 的特点多项式为f ( )3 125 4 . 22令 f () 0 ，解得 A 的特点值11,24 .B ． [ 选修 4– 4：坐标系与参数方程]本小题主要考察曲线的极坐标方程等基础知识，考察运算求解能力．满分 10分．解：（ 1）设极点为 O.在△ OAB 中， A （ 3， ）， B （2 ， ），42由余弦定理，得 AB =32 ( 2) 2 2 32 cos( 4 )5 .2（ 2）由于直线 l 的方程为sin() 3 ，4则直线 l 过点 (32, ) ，倾斜角为 3 ．42又 B(2,) ，所以点 Bl 的距离为 (322)3 ) 2 .2 到直线sin(4 2C ． [选修 4–5：不等式选讲 ]本小题主要考察解不等式等基础知识，考察运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当 x<0时，原不等式可化为x 1 2 x 2 ，解得 x<– 1：3当 0≤x ≤1时，原不等式可化为 x+1–2x>2，即 x<–1，无解；2当 x> 1时，原不等式可化为 x+2 x –1>2 ，解得 x>1.2综上，原不等式的解集为{ x | x1或 x 1} .322.【必做题】本小题主要考察二项式定理、组合数等基础知识，考察剖析问题能力与运算求解能力，满分 10分．解：（ 1）由于 (1x)n C n 0 C 1n x C n 2 x 2 L C n n x n ，n 4 ，所以 a 2C n2n(n 1), a 3 C n 3n( n 1)(n 2) ，26a 4 C n 4 n( n1)(n 2)( n 3) ．24由于 a 32 2a 2 a 4 ，所以 [n(n1)(n 2) ] 2 2 n(n 1) n( n 1)(n 2)(n 3) ，6 2 24解得 n 5．（ 2）由（ 1）知， n 5 ．(13) n (1 3) 5C 50 C 15 3 C 52( 3)2 C 53 ( 3)3 C 54( 3)4 C 55( 3)5a b 3 ．解法一：由于 a, bN * ，所以 a C 50 3C 52 9C 54 76, bC 51 3C 53 9C 55 44 ，进而 a 2 3b 2 7623 44232 ．解法二：(13)5 C 50 C 15( 3) C 52 ( 3)2 C 53( 3) 3 C 54( 3)4 C 55 ( 3)5C 50 C 15 3 C 52 ( 3)2 C 53 ( 3)3 C 54 ( 3)4 C 55( 3)5 ．由于 a, b N * ，所以 (1 3) 5a b 3 ．所以 a 23b 2( a b 3)( a b 3) (1 3) 5(13) 5 ( 2)532 ．23．【必做题】本小题主要考察计数原理、古典概型、随机变量及其概率散布等基础知识，考察逻辑思想能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当n 1时， X 的全部可能取值是1，2，2，5 ．X 的概率散布为P(X 1) 77,P(X 2) 4 4 ，C62 15 C62 15P(X 2) 2 2,P(X 5) 2 2 ．C62 15 C 62 15（ 2）设A(a，b)和B(c，d )是从M n中拿出的两个点．由于 P(X n) 1 P( X n) ，所以仅需考虑X n 的状况．①若 b d ，则AB n ，不存在 X n 的取法；②若 b 0 ，d 1，则AB (a c) 2 1 n2 1，所以 X n 当且仅当AB n2 1，此时 a 0，c n 或 a n，c 0，有2 种取法；③若 b 0 ，d 2，则AB (a c)2 4 n2 4，因为当 n 3 时，(n 1)2 4 n ，所以X n 当且仅当ABn2 4，此时 a 0 ，c n 或a n ，c 0 ，有2种取法；④若 b 1，d 2 ，则AB (a c) 2 1 n2 1，所以 X n 当且仅当AB n2 1，此时 a 0，c n 或 a n，c 0 ，有 2 种取法．综上，当X n 时， X 的全部可能取值是n2 1 和n2 4 ，且P( X n2 1) 4 ,P(X n2 4) 2 ．C2n2 4 C2n2 4P( X n) 1 P(X n2 1) P( X n2 4) 1 6所以，C2n2 4 ．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
(Word版)2019年(江苏)高考数学真题试卷(附答案)
为虚数单位，则实数a的值是且公比为正数的等比数列为16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x轴，所以DF2=222211253()222DF F F-=-=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2， 因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1. 因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.），因为OM=，其中*a-,a b∈N，求23A=点集{(0,0),(1,0),(2,0),n=1时，求X的概率分布；）对给定的正整数n（n≥3。
2019年高考数学江苏卷-答案
11．【答案】 (e, 1)
【解析】设
A x0 ,ln
x0
，又
y
1 x
，则曲线
y
ln
x
在点
A
处的切线方程为
y
ln
x0
1 x0
x
x0
，将 (e, 1)
1
e
代入得， 1 ln x0 e x0 ，化简得 ln x0 ，解得 x0 e ，则点 A 的坐标是 (e,1) .
CC1 2
2
S四边形ABCD
120 12
10 .
【考点】空间几何体的体积
10．【答案】4
【解析】通解
设
P
x,
x
4 x
,
x
0
，则点
P
到直线
x
y
0
的
距离
d
4 xx
x
2
4 2x 2 x
2
4 2x
x
2
4 ，当且仅当
4 2x ，即 x 2 时取等号，故点 P 到直线 x y 0 的距离的最小值是 4.
x
优解
由 y x 4 (x 0) 得 y 1 4 ，令1 4 1，得 x 2 ，则当 P 点的坐标为 ( 2,3 2) 时，点 P 到直线
x
x2
x2
| 23 2|
x y 0 的距离最小，最小值为
4.
2
2 / 17
【考点】点到直线的距高公式、基本不等式的应用
5 / 17
2019年高考真题数学(江苏卷)Word版含解析
uuur
2
uuur2
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1
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2
3
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2
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g
AB
AC
g
AB
AC
g，
2
3
AB AC
AB AC
2
2
AB AC
3
1uuur2
3uuur2
uuur
3
uuur
AB
3.
得
AB
AC ,即
AB
AC ,故
2
2
AC
【点睛】此题考察在三角形中平面向量的数目积运算，浸透了直观想象、逻辑推理和数学运
x
2
x
1
xi
，此中
．
i
ni
1
i 1
柱体的体积VSh，此中S是柱体的底面积，h是柱体的高．
1
3
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分．请把答案填写在答题
．．
卡相应地点上
．．．．．．
1.已知会合A={－1,0,1,6}，Bx | x0, xR，则A∩B=_____.
【答案】{1,6}.
【分析】
【剖析】
由题意利用交集的定义求解交集即可.
【详解】由题知，AI B{1,6}.
【点睛】此题主要考察交集的运算，属于基础题.
2.已知复数(a
2i)(1
i)的实部为
0，此中i为虚数单位，则实数
a的值是_____.
【答案】2
【分析】
【剖析】
此题依据复数的乘法运算法例先求得
z，而后依据复数的观点，令实部为
0即得a的值.
完整word版,2019年高考真题数学(江苏卷含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：样本数据X1,X2，…,X n的方差S2 1 x X 2，其中X - X i •n i 1 n i 1柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的咼.锥体的体积V 1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的咼. 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.1 •已知集合A { 1,0,1,6} , B {x|x 0,X R}，则AI B ▲.2•已知复数(a 2i)(1 i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是▲.3•下图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲4•函数y 7 6x x 2的定义域是▲.5.已知一组数据 6, 7, 8, 8, 9, 10,则该组数据的方差是▲.6•从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.27.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2每 1(b 0)经过点(3, 4)，则该双曲线的 b渐近线方程是▲.&已知数列{a n }( n N *)是等差数列，S n 是其前n 项和若a ?a 5 a * 0,S 9 27 ,则S *的 值是 ▲ . A i B i C i D i 的体积是120, E 为CC i 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是 ▲x+y=0的距离的最小值是▲.11. 在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是厶9•如图，长方体 ABCDt10.在平面直角坐标系P 到直线12. 如图，在 A ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA , AD 与CE 交于点O .UJU ABEC ，则竺的值是 ▲ AC —14.设f(x), g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f (x)的周期为4, g(x)的周期为2,且f (x)是奇函数.当 x (0,2］时，f (x). 1 (x 1) , g(x)k(x 2),0 x 11 , -,1 x2 2其中k>0•若在区间(0, 9］上，关于x 的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k 的 取值范围是▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c .― 2(1) 若 a=3c , b= •• 2 , cosB=，求 c 的值；3…sin A cosB(2) 若，求sin(B -)的值.a 2b216. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D , E 分别为BC , AC 的中点，AB=BC . 求证：(1) A 1B 1// 平面 DEC 1； (2) BE 丄 C 1E .UJU UULT 若 AB AC uuu 6AO 13.已知tantan-，则sin 2-的值是 ▲3 417. (本小题满分14分)2 2 2F 2 (1, 0).过F 2作x 轴的垂线I ，在x 轴的上方，I 与圆F 2：(X 1) y 4a 交于点A ，与椭圆C 交于点D •连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E , 连结DF 1. 已知DF 1= 5 .2(1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求点E 的坐标.18. (本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥AB( AB 是圆O 的直径).规划在公路I 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路 PB 、QA .规 划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.已知点 A 、B 到 直线l 的距离分别为 AC 和BD (C 、D 为垂足)，测得 AB=10, AC=6, BD=12 (单位: 百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C:2 x ~~2a2右1(a b 0)的焦点为F (- 4、°),(2) 在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；(3) 对规划要求下，若道路 PB 和QA 的长度均为d (单位：百米)•求当d 最小时，P 、 Q 两点间的距离.19. (本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R 、f'(x)为 f (x )的导函数. (1) 若 a=b=c , f (4) =8，求 a 的值；(2) 若a 丰b , b=c ,且f (x )和f'(x)的零点均在集合｛ 3,1,3｝中，求f (x )的极小值；4(3)若a 0,0 b, 1,c 1，且f (x )的极大值为M ，求证：M <.2720. (本小满分 16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.*(1)已知等比数列｛a n ｝ (n N )满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4a 4 0 ,求证 澈列｛a n ｝ 为“ M —数列”；① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在“ M —数列” ｛c n ｝(n N *)，对任意正整数k ,当k < m 时, 都有c k 剟b k c k 1成立，求m 的最大值.数学H (附加题)21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步(2)已知数列｛bn ｝满足：011,s n2 b n2bn 1，其中S n 为数列｛b n ｝的前n 项和.骤.A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10 分)已知矩阵A(1 )求 A 2；(2)求矩阵A 的特征值.B. ［选修4-4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分) 在极坐标系中，已知两点 A 3,— ,B .2,，直线I 的方程为sin -3.4 24(1 )求A ，B 两点间的距离；(2)求点B 到直线I 的距离. C. ［选修4-5 :不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R ，解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域 内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.a b.3，其中 a,b N *，求 a 2 3b 2的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,(n,0)}B n (0,1),(n,1)},C n {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2)}, n N .令M n A n U B n U C ..从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.(1 )当n=1时，求X 的概率分布;22.(本小题满分10分)设(1 x)na 0 a 1x2a 2xn *a .x , n-4, n N .已知2 a32a 2a 4.(1 )求门的值；(2)设(1 x3)n2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 答案、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法•每小题5分，共计70分.571.{1,6}2.23.54.[ 1,7]5.-6.—7.y -2x3108.169.10 10.411.(e, 1) 12. 313.- 1 14.-辽 J103 4二、解答题15•本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力•满分14分. 解：（1）因为a 3c, b3sin A cos B（2）因为a2b由正弦定理ab得 cosBsin B ，所以cosB2s inBsin A sin B 2bb从而 cos 2B (2sinB)2, 2即 cos B 24 1 cos B ，故 cos2B 单516•本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力•满分14分.证明：（1）因为D , E 分别为BC , AC 的中点, 所以 ED // AB. 在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，AB // A 1B 1, 所以 A 1B 1 // ED.由余弦定理cos B2 2 , 2a c bac(3c)2 c 2 (迈)23c c，即c 2因为 sinB 0，所以 cosB 2sinB0，从而cos BncosB所以c将x=i代入圆F2的方程(x-i) 2+y2=i6，解得y= ± 4.因为点A在x轴上方，所以A(i, 4).又F i(-i , 0)，所以直线AF i：y=2x+2.由；x 2x 2i)2y2i6，得5x26x 11 0 ,解得xii代入2x 2，得i2 T，又因为ED?平面DEC i, A1B1 平面DEC i, 所以A i B i //平面DEC i.(2)因为AB=BC, E为AC的中点，所以BE丄AC.因为三棱柱ABC-A i B i C i是直棱柱，所以CC i丄平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CC i丄BE.因为C i C?平面A i ACC i, AC?平面A i ACC i, C i C n AC=C, 所以BE丄平面A i ACC i.因为C i E?平面A i ACC i,所以BE丄C i E.i7.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力满分i4分.解：(i)设椭圆C的焦距为2c.因为F i( —i , 0), F2(i , 0)，所以F i F2=2, c=i.5又因为DF i= , AF2丄x轴，所以2DF2= DF i2 F i F225)2 22因此2a=DF i+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为(2 )解法一:x2由(i)知，椭圆C:—4i , a=2,因为AF2丄x轴，所以点A的横坐标为i.ii因此B （11 J5).又 F 2(1 ,0), 所以直线 BF 2： y|(x1).3“1)y -(x由24 2得7x 26x 13 0 , 解得x1或x 13x y 1743又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以 X 1 .3 33 将 x 1 代入 y —(x 1)，得 y -.因此 E( 1,-).4 22解法二：x 2由（1）知，椭圆C :—4因为 BF 2=2a , EF 1+EF 2=2a ，所以 EF 1=EB , 从而/ BF 1E= / B. 因为 F 2A=F 2B ,所以/ A= / B , 所以/ A= / BF 1E ，从而 EF 1// F 2A.因为AF 2丄x 轴，所以EF 1丄x 轴.X 13 因为 F 1（-1, 0），由 x 2 y 2，得 y -.124 33又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以 y .23因此 E( 1,―).218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法（1）过A 作AE BD ，垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，DE BE AC 6, AE CD 8因为PB 丄AB ,所以 cos PBD sinABE —410 5 .1•如图，连结EF 1.因此道路PB 的长为15 （百米）（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B , E ）到点O 的距离均 小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求 ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知AD .. ―ED^ 10，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求• 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当/ OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当/ OBP > 90时，对线段PB 上任意一点F , OF 俎B ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均 不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求•设R 为I 上一点，且RB AB ，由（1）知，R B=15,3此时 PD PBsin PBD PB cos EBA 15 —9 ;5当/ OBP>90° 时，在△ PPB 中，PB PB 15. 由上可知，d > 15. 再讨论点Q 的位置•由（2 ）知，要使得QA > 15点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求 •当QA=15时,CQ QA 2 AC 2 . 152 62 3、、21 .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于所以PBBDcos PBD12a15.从而cos BAD2 2 2AD AB BD2 AD AB7 250 ,所以/ BAD 为锐角.综上，当PB 丄AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=3「21时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ=PD+CD + CQ=17+ 3 21.因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为17+3 21 (百米)• 解法二：(1)如图，过0作0H 丄I ，垂足为H.以0为坐标原点，直线 0H 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12, AC=6，所以0H=9，直线I 的方程为y=9，点A , B 的纵坐标分别为3, -3. 因为AB 为圆0的直径，AB=10，所以圆0的方程为x 2+y 2=25.3从而A ( 4, 3), B (-4, -3)，直线AB 的斜率为—.4因为PB 丄AB ，所以直线PB 的斜率为所以 P (-13, 9), PB ( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB 的长为15 (百米)(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (-4, 0),则EO=4<5，所以P 选在D 处不满足规 划要求• ②若 Q 在 D 处，连结 AD ，由(1)知 D (-4, 9),又 A (4, 3),3所以线段AD : y —x 6( 4剟x 4).4在线段AD 上取点M (3, 15)，因为0M , 321 5. 32 42 5 ,4 V 4所以线段AD 上存在点到点0的距离小于圆0的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求 综上，P 和Q 均不能选在D 处.直线PB 的方程为y253(3)先讨论点P的位置.当/ OBP<90°时，线段PB上存在点到点0的距离小于圆0的半径，点P不符合规划要求；当/ OBP > 90 °寸，对线段PB上任意一点F , OF RB,即线段PB上所有点到点0的距离均不小于圆0的半径，点P符合规划要求•设R 为I上一点，且RB AB，由(1)知，R B=15，此时R (-13, 9);当/ OBP>90°时，在△ PRB 中，PB RB 15.由上可知，d > 15.再讨论点Q的位置•由(2)知，要使得QAM5，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求•当QA=15时，设Q(a, 9),由AQ ,. (a 4)2 (9 3)2 15(a 4)，得a= 4 3一21，所以Q( 4 3 21 ,9)，此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P (- 13, 9), Q ( 4 3 21 , 9)时，d最小，此时P, Q两点间的距离PQ 4 3 何(13) 17 3何.因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17 ^21 (百米)•19 •本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力•满分16分.解：(1 )因为a b c,所以 f (x) (x a)(:x b)(x c) (x\3a) •因为f(4)8，所以(4 a)38，解得a 2(2) 因为b c,所以f(x)2(x a)(x b) x 3 2(a 2b)x2b(2a b)x ab ,从而f'(x)3(x b) x-•令f'(x)0 ,得x b或x 2a b332 a b因为a,b,旦卫，都在集合｛ 3,1,3｝中，且a b ,32a b 所以2^-b1,a 3,b 3 •3此时f(x) (x 3)(x 3)2, f'(x) 3(x 3)(x 1) •272 b 2 b1 (b 1)b(b 1) 9令f'(x)x 3或x 1 •列表如下:所以f(x)的极小值为f(l) (1 3)(1 3)2 32 .32(3)因为 a 0,c1，所以 f(x) x(x b)(x 1) x (b 1)x bx ,f'(x) 3x 2 2(b 1)x b .因为 0 b 1，所以 4(b 1)2 12b (2 b 1)2 3 0,则f'(x)有2个不同的零点，设为 x 1,x 2x 2 .由 f'(x) 0，得 x , 口必 L 一b b 1 .33所以的极大值1解法一:b(b 1) 2(b 1)2(b 1)2727M f x-!x ； (b 1)x ： 3x f 2(b1)为 b b(b 1)92b(b 1)2 4 4 •因此M -2727 2727解法二：因为0 b 1，所以x , (0,1) • 当 x (0,1)时，f(x)x(x b)(x 1)x(x 1)2 •2 1令g(x) x(x1)，x W)，则 g '(x)3 x3 (x1)•1令g'(x) 0,得x.列表如下:11 所以当x —时，g ( x)取得极大值，且是最大值，故 g(X )max g —3344所以当x (0,1)时，f(x) g(x) ，因此M -272720.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力•满分 解：(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1M 0, q^0.4 2716分.a 2a 4 a 5a 3 4a ? 4a 〔0，得2 4 a 1q2a 〔q4a 1q，解得4®q 4a 1a 1 1 q 2因此数列｛a n ｝为 M —数列”(2) ①因为1 S n2 b n2b n -，所以 1b n1 由—S n2b nb n1，得b n 6 12(b n 1 b n)，1S2J,则b2 2.b22当n 2时，b n bn 1bn 1bn由 b nSn S i 1，得 n 2 b b2 bb，2 bb2 bb整理得b n 1 b n 1 2b n . 所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列因此，数列｛b n ｝的通项公式为b n =n n N ②由①知，b k =k , k N .因为数列｛c n ｝为M -数列”设公比为q ,所以c i =1, q>0.因为 C k<b k<c k+1，所以 q k 1 kkq ,其中 k=1 , 2, 3，…，m 当k=1时，有q > 1;, ,亠 ln kln k 当k=2, 3，…，m 时，有 -ln qkk 1In x1 In x 设f (x )= (x 1)，则 f'(x)— xx令f'(x)0，得X=e.列表如下:经检验知q k 1 k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m 》6,分别取k=3 , 6,得3角3,且q 5<6从而q 15> 243且q 15< 216 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5.数学H (附加题)参考答案f(k)max罟，所以3f ⑶罟取 q 33，当 k=1，2， 3, 4, 5时, ln k ,k=lnq ，即 k q ，10分.321.【选做题】A .［选修4 - 2 :矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分3 1解：(1)因为A2 23 3 1 2 3 1 1 2 11 52 3 2 2 2 1 2 2 ： =10 6(2)矩阵A 的特征多项式为f()令f ( ) 0 ,解得A 的特征值11, 2 4 .B •［选修4 - 4:坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力•满分解：(1 )设极点为 0•在△ OAB 中，A (3,), B (、3 ,),42由余弦定理，得 AB=,. 32( /2)2 2 3 2 cosq J(2)因为直线I 的方程为 sin(-) 3 ,又BC-2—)，所以点B 到直线I 的距离为(3\2.2) sin(3) 242C .［选修4吒：不等式选讲］本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分1解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x< -所以A 23 13 1 2 2 2 210分.4.10分.则直线I 过点 (3-2，-) ，倾斜角为3_42.1当O$w —时，原不等式可化为 x+1 -x>2,即x< 无解;2 1当x>_时，原不等式可化为x+2x-1>2，解得x>1.2综上，原不等式的解集为 {x|x（2）由（1）知，n 5 .a b 、3 .解法一：因为 a,b N *，所以 a C 0 3C 5 9C ； 76, b C 5 3C 5 9C 5 44, 从而 a 2 3b 2 762 3 442 32 .解法二：(1 .3)5 c ； c 5( .3)c 5( .3)2 c ；( .3)3 c ；( G )4 c ：(、3)5c ； c 5,3c fe ，3)2 &(「3)3C ；(.3)4C 5C -3)5.因为 a,b N *，所以(1 、.3)5 a b 、3 . 因此 a 2 3b 2(a b . 3)(a b . 3) (1、、3)5 (1 .3)5 ( 2)5 32 .22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分.解：所以 (1)因为(1 x)n C 0 Qx Ux 2 Lc n x n ,n 4 ,n(n 1)(n 2)a 2a 4C ：c 2 n(n" a C ；cn2 ，a 3Cnn(n 1)(n 2)( n 3)24因为a ； 2a ?a 4，1)(n 2)]2 26解得n 5.n(n 1) 2n(n 1)(n 2)(n 3)24 c 2(.3)2c ；c3）3 c ：（ 一3）4 c ：（、3）5(2)设A(a ,b)和B(c , d)是从M n 中取出的两个点.因为P(X n) 1 P(X n)，所以仅需考虑X n 的情况. ① 若b d ，则AB n ,不存在X n 的取法；② 若 b 0 ,d 1，则 AB , (a c)2 1 、n 2 1,所以 X n 当且仅当 ABn 2 1， 此时a 0, c n 或a n ,c 0，有2种取法；③ 若 b 0,d 2,则 AB (a c)2 4 \ n 2 4 ,因为当 n 3 时，、(n 1)2 4 n ，所以X n 当且仅当AB .... n 2 4 ,此时a 0, c n 或解： (1 )当n 1时，X 的所有可能取值是1,2 ,2,5 •23 .【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识, 考查逻辑思维能力和推理论证能力•满分 10分.X 的概率分布为P (x 1)C 2右P(X ①44 C 215，P(X2)2 C 6215，p (x 2 2 2 C615④若b 1 ,d2，则 AB(a c)21 •一 n2 1 ,所以X n 当且仅当此时a 0, c n 或a n ,c 0，有2种取法•综上，当当Xn 时，X 的所有可能取值是、n 21 和 n 24，且P(Xn 2 1)24，P(Xn 24)2 2C 2n 4C2n 4 1赞P(X n) 1 P(X n 2 1)P(X -n 2 4)c 0，有2种取法;AB因此,2n 4a n , n 2 1 ,。
2019年江苏省高考数学试卷和答案
2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A ∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l 上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线l的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）23．（10分）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a 值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝8×（﹣5）+56＝16．故答案为：16．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）•（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x ≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k ＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cosB＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sinB＝cosB，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sinB＝，cosB＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cosB＝，∴由余弦定理得：cosB＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sinB＝cosB，∵sin2B+cos2B＝1，∴sinB＝，cosB＝，∴sin（B+）＝cosB＝．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D （﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B （﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），由（1）（2）可得a≤﹣17，b≥﹣，由两点的距离公式可得PB2＝（a+8）2+144≥225，当且仅当a＝﹣17时，d＝|PB|取得最小值15，又QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，a＝﹣17，b＝3，PQ＝17+3．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x ﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x ﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，令x1＝t∈，可得：b＝．M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，令x1＝t∈，可得：b＝．∴M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，M′＝．令g（t）＝﹣6t3+12t2﹣8t+2，g′（t）＝﹣18t2+24t﹣8＝﹣2（3t﹣2）2＜0，∴函数g（t）在t∈上单调递减，＝＞0．∴t•g（t）＞0．∴M′＞0．∴函数M（t）在t∈上单调递增，∴M（t）≤＝．20．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤q k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递减，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≥0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线l的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C （）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P （X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．。
2019年江苏省高考数学试卷-学生版+解析版
连结
DF1
．已知
DF1
5 2
．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）求点 E 的坐标．
-3-
18．（16 分）（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型 公路 l ，湖上有桥 AB( AB 是圆 O 的直径），规划在公路 l 上选两个点 P 、Q ，并修建两段直 线型道路 PB 、 QA ，规划要求：线段 PB 、 QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半 径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD(C 、D 为垂足），测得 AB 10 ，AC 6 ， BD 12 （单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下， P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米），求当 d 最小时， P 、 Q 两点间的距离．
【解答】解：由 7 6x x2 0 ，得 x2 6x 70 ，
解得： 1x7 ．
函数 y 7 6x x2 的定义域是 [1 ， 7] ．
故答案为： [1 ， 7] ．
5．（5 分）（2019•江苏）已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 2 ． 【解答】解：一组数据 6，7，8，9，10 的平数为： x 1 (6 7 8 9 10) 8 ，
S9 27 ，则 S8 的值是
．
9．（5 分）（2019•江苏）如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积是 120， E 为 CC1 的中点，
则三棱锥 E BCD 的体积是
．
2019年江苏卷数学高考试题文档版有答案-新编
段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆． O 的半径．已知点 A、B 到直线 l 的距离分别 为 AC 和 BD （ C、 D 为垂足），测得 AB=10 ，AC=6， BD=12 （单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下， P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米） .求当 d 最小时， P、 Q 两 点间的距离．
2x .
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分 题 .双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a, b 密切相关，事实上，标准方程中化 1 为 0，即得渐近线 方程 .
8.【答案】 16 【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前
8 项和即可 .
a2a5 a8 a1 d a1 4d a1 7d 0
19．（本小题满分 16 分）
设函数 f ( x) ( x a)( x b)( x c), a, b,c R 、 f ' ( x) 为 f（ x）的导函数．
（1）若 a=b=c， f（ 4） =8，求 a 的值；
（2）若 a≠b， b=c，且 f（x）和 f ' ( x) 的零点均在集合 { 3,1,3} 中，求 f（ x）的极小值；
C
2 5
10 种情况 .
若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有 C31C12 6 种情况，
若选出的 2 名学生都是女生，有 C22 1种情况，
61 7
所以所求的概率为
.
10 10
【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结
2019年江苏卷高考数学试题及答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ . 4．函数y =的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ . 10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲ . 13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标． 18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. 证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x轴，所以DF2=222211253()222DF F F-=-=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为221 43x y+=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：22143x y+=，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ=17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
2019年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析
【详解】设点
A
x0 ,
y0
，则
y0
ln
x0
。又
y
1 x
，
当x
x0 时,
y
1 x0
,
点
A
在曲线
y
ln
x 上的切线为
y
y0
1 x0
(x
x0 )
，
即
y
ln
x0
x x0
1，
代入点 e, 1
，得
1
ln
x0
e x0
1，
即 x0 ln x0 e ,
考查函数 H x x ln x ,当 x 0,1 时， H x 0 ，当 x 1, 时， H x 0 ，
11。在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（—e，-1) （e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是____。 【答案】（e,1） 【解析】 【分析】 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标。
-8-
2019 年高考真题——数学(江苏卷)+Word 版含解析(word 版可编辑修改)
所以该组数据的方差是 1 [(6 8)2 (7 8)2 (8 8)2 (8 8)2 (9 8)2 (10 8)2 ] 5 .
6
3
【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题。
6。从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_____.
（1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
（2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M ﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n ∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B ＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2] ＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。
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南京工业大学浦江学院 高等数学B 试题（A ）卷（闭）
2012―2013学年第一学期 使用班级 浦江学院12级 班级 学号 姓名
一、填空（每小题3分，共15分）
1、函数y =
的定义域是
2、函数sin ,0()1,0
x
x f x x x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩的连续区间为
3、函数1
y x x
=+（0x ≠）的单调减递减区间为 4、若0()f x '存在，则000()()
lim h f x mh f
x h
→+-＝
5、设常数,0>k 函数k e
x
x x f +-=ln )(在()+∞,0内零点个数为______________
二、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、下列各对函数中，为相同函数的一对是 （ ） (A )()()f x g x ==
(B )(),()arcsin(sin )f x x g x x == ；
(C )2
()ln ,()2ln f x x g x x == ； (D )2
()1cos 2,()2sin f x x g x x =-= 2、当0x x →时，(),()x x αβ均为无穷小量，下列变量中，当0x x →时，可能不是无穷小量的是 ( ) (A )()()x x αβ+； (B )()()x x αβ-； (C )()()x x αβ⋅； (D )
()
(()0)()
x x x αββ≠. 3、函数y =x 2+12x +1在定义域内( )
(A )单调增加 (B )单调减少 (C )图形上凹 (D )图形上凸
4、对于两个不同的正数x ,y ,当n >1时,( )式成立.
(A ) 22n n n x y x y ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ (B ) 22n
n n x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
(C ) 22n n n x y x y ++⎛⎫< ⎪⎝⎭ (D ) 22n
n n x y x y ++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
5、反常积分
2d ln x
x x +∞
⎰是（ ）
(A ) 0； (B ) 1-； (C ) 1； (D ) 发散的
三、计算(每小题7分，共49分)
1、2
21sin(1)lim 2x x x x →-+- 2、0
0ln(1sin )d lim 1cos x
x t t x
→+-⎰
3、已知2,0
(),0
⎧>=⎨≤⎩x e x f x x x ，求()f x '.
4、设函数()y y x =由方程2
ln 2+=y x y 确定，求 0d |d x y
x
= .
5
、设由
ln
arctan
x
y t
⎧⎪=
⎨
=
⎪⎩
确定了函数()
y f x
=，求
d
d
y
x。
6、计算
2
π
12
π
11
sin d x
x x
⎰7、2(31)ln d
x x x x
++
⎰
四、解答题（本题8分）求曲线3
y x，x =2, y =0所围成的图形，绕x轴旋转所得旋转体的体积。
五、解答题（本题8分）求y =sin x -x 在[-π,π]上的最大值与最小值。
六、证明题：（本题5分）设0≤x 1<x 2<x 3≤π,试用Lagrange 中值定理证明：
32
212132
sin sin sin sin x x x x x x x x -->--.
答案
一、填空题（每小题3分，满分15分） 1、(4,2)
(2,)--+∞ 2、(,)-∞+∞ 3、()()1,00,1-⋃ 4、
0m ()f x ' 5、2
二、选择题（每小题3分，满分15分） 1、D 2、D 3、C 4、A 5、D
三、计算（每题7分，共49分）
1、221sin(1)lim 2x x x x →-+-=2211lim 2
x x x x →-+-
=2
311(1)(1)1lim
lim (1)(2)2
x x x x x x x x →→-++==-++ 7分
2、0
ln(1sin )d lim
1cos x x t t x
→+-⎰=0ln(1sin )
lim
sin x x x
→+= 3分
0sin lim
x x
x
→==1 7分
3、当0x <时()2f x x '=； 当0x >时()x
f x e '=； 4分
()f x 在0x =处不连续，故()f x 在点0x =不可导；
于是，2,0
(),0
x
x x f x e x <⎧'=⎨
>⎩，在0x =处，()f x 的导数不存在. 7分 4、2
ln 2y y
y x y '=-
+. 3分 0d |d x y x
=
= 7分 5、22
d 1
d 1d 1d d d 1y y t t x t x t
t t
+===+ 7分
6、
222
π
ππ1112ππ
π11111sin d sin d()[cos ]1x x x x x x =-==⎰
⎰ 7分 7、23213
(31)ln d ln d()32x x x x x x x x ++=++⎰⎰
3232323213131()ln ()d 32321313
()ln 3294
x x x x x x x x x x x x x x x x C =++-++⋅=++---+⎰ 7分 四、解答题
1、（本题8分）2
2
260
128d d 7
π
π
π===
⎰
⎰x V y x x x 8分 2、（本题8分）解：cos 1,00y x y x ''=-=⇒=. 4分
(),(0)0,()y y y ππππ-===-
∴在],[ππ-上， ππππ-===-=)(,)(min max y y y y 8分
五、证明题（本题5分）
证明：设()sin ,0f x x x π=≤≤，则()[0,],()(0,)f x C f x D ππ∈∈. 由Lagrange 中值定理,112223(,),(,),.:x x x x s t ξξ∃∈∈
'21
1121sin sin ()cos x x f x x ξξ-==-,'322232
sin sin ()cos x x f x x ξξ-==-,
由于0≤x 1<ξ1<x 2<ξ2<x 3≤π,cos ξ1>cos ξ2,故
32
212132
sin sin sin sin x x x x x x x x -->
--.
5分。