直线的交点坐标与距离公式(讲义及答案)
数学直线的交点坐标与距离公式-讲义
数学课程讲义学科：数学专题：直线的交点坐标与距离公式考点梳理一、两直线的平行（一）由斜率判定设直线1l 和2l 不重合，斜率都存在, 斜率分别为1k 和2k ，那么：（二）对于直线的一般式一般地，对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有 方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A .二、两直线的垂直（一）由斜率判定如果两条直线1l 和2l 都有斜率， 12112211l l k k k k ⊥⇔=-⇔=- 21ααy 21l lO X（二）对于直线的一般式对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，有0212121=+⇔⊥B B A A l l三、点到直线的距离点P(x 0,y 0)到直线l :A x +B y +C=0的距离d =2200||B A C By Ax +++.四、两条平行直线间的距离两条平行线A x +B y +C 1=0与A x +B y +C 2=0的距离公式为d =2221||B A C C +-.金题精讲题一题面：求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程() A. 420x y --= B. 2x =C. 420x y --=，或1x =D. 420x y --=，或2x =题二题面：过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程是.题三题面：已知点P（2，－1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程，若不存在，请说明理由.题四题面：直线l与直线x－3y＋10＝0，2x＋y－8＝0分别交于点Ｍ，Ｎ，若ＭＮ的中点是（0，1），则直线l的方程是（）Ａ．x＋4y－4＝0Ｂ．4x＋y－4＝0 Ｃ．x－4y＋4＝0Ｄ．x－4y－4＝0题五题面：若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：原点到直线052=-+y x 的距离为( )A. 1B. 3C. 2D. 5题二 题面：两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为( ) A. 4B. 21313C. 51326D. 71020题三题面：已知点P(a,b)与Q(b-1,a+１)(a≠b -1)关于直线l 对称,则直线l 的方程是( )A. x ＋y ＝0B. x －y ＝0C. x ＋y －１＝0D. x －y ＋１＝0题四题面：已知直线l 与直线x ＋y －１＝0关于x 轴对称,那么直线l 的方程是_______.讲义参考答案金题精讲题一答案：C题二答案：4x-3y+9＝0题三答案：（1）x =2或3x －4y －10=0.（2）直线2x －y －5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为5.（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.题四答案：A题五答案：①⑤课后练习题一答案：D 详解：52152=+-=d .题二答案：D详解：把330x y +-=变化为6260x y +-=,则20d == 题三答案：D详解：因为直线PQ 的斜率为a b b a ---+11＝－１,故直线l 的斜率为１,线段PQ 的中点坐标为(21,21++-+a b b a ),由直线的点斜式方程得直线l 的方程为x －y ＋1＝0. 题四答案：x －y ＝１详解：直线x ＋y －１＝0关于x 轴的交点为(1, 0),其上一点(0,1)关于x 轴的对称点是(0,-1),由截距式得的直线l 的方程为x －y ＝１.。
2-3 直线的交点坐标与距离公式(精讲)(解析版)
2.3 直线的交点坐标与距离公式（精讲）考点一 交点【例1】（1）（2021·哈尔滨）直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（ ） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)（2）．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高二期末（理））斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为（ ） A ． 21y x =+B ．21y x =-C ．22y x =-D ． 22y x =+（3）．（2021·黑龙江哈九中高二期末（文））直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ） A ．()6,2--B ．1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,62⎛⎫--⎪⎝⎭（4）．（2021·全国高二课时练习）（多选）当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y －k ＋1＝0与直线l 2：ky －x －2k ＝0的交点可能是（ ） A ．(2，3) B ．(1，2) C ．11(,)22-D ．12(,)33-【答案（1）A （2）A （3）C （4）CD 【解析】由230,230,x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得1,1.x y =-⎧⎨=⎩所以直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为(－1，1)故选：A （2）联立42y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以两直线的交点坐标为()1,3，所求直线方程为()321y x -=-.整理为21y x =+.故选：A (3)直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，210k ∴+≠，联立方程：{210240kx y k x y -++=+-= ，解得24216121k x k k y k -=++=+⎧⎨⎩，即2402161021kx k k y k -=>++=<+⎧⎨⎩，解得：1126k -<<-.故选：C.（4）联立1020kx y k ky x k --+=⎧⎨--=⎩，得1211k x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，102k <<，01kk ∴<-，2101k k ->-，即交点在第二象限， 验证C 选项，11221112kk k k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，得13k =，成立，验证D 选项，11321213kk k k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，得14k =，成立，故选：CD【一隅三反】1．（2021·河北唐山市·高二期末）过点(,4)A a 和点(,2)B b 的直线与直线0x y m ++=垂直，则||AB =（ ）A ．B ．4C ．D ．2【答案】C【解析】因为过点(,4)A a 和点(,2)B b 的直线与直线0x y m ++=垂直， 所以421AB k a b-==-，即2a b -=，所以||AB ===故选：C 2．（2021·全国高二课时练习）(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（ ）A ．－163B ．－1C ．1D ．163【答案】AC【解析】由2123x y x ky -=⎧⎨+=⎩，得6414k x ky k +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以三条直线的交点为61,44k k k +⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 所以6134544k k k k+⋅+⋅=++，化简得2313160k k +-=， 解得1k =或163k =-，故选：AC3．（2021·全国高二专题练习）若直线l 1：y ＝kx ＋1与l 2：x －y －1＝0的交点在第一象限内，则k 的取值范围是（ ） A ．(1，＋∞)B ．(－1，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)【答案】B【解析】联立直线方程110y kx x y =+⎧⎨--=⎩，解得2111x kk y k ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，∵直线的交点在第一象限，201101kk k ⎧>⎪⎪-∴⎨+⎪>⎪-⎩，∴解不等式组可得11k -<<.故选：B考点二 三种距离【例2-1】（1）（2021·安徽池州市·高二期末（理））若直线1:30l x y -=与24:0l x y +-=交于点A ，且()2,0B ，则AB =___________．（2）（2021·浙江高二期末）点(2,0)到直线20x y ++=的距离为（3）．（2021·全国高二课时练习）两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为【答案】（1（2）3）1【解析】（1）联立30,40,x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=⎩，故()1,3A ，则AB ==．故答案（2）根据距离公式可得：点(2,0)到直线20x y ++=的距离d ===（3）两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为：1d ==【例2-2】（1）（2021·浙江）已知直线(2)(12)430m x m y m ++-+-=恒经过定点P ，则点P 到直线:3440l x y +-=的距离是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．7（2）．（2021·江西）若直线x ＋3y －9＝0与直线x ＋3y －c ＝0，则c 的值为（ ） A ．－1 B ．19 C ．－1或19 D ．1或－19【答案】（1）B （2）C【解析】（1）由直线方程(2)(12)430m x m y m ++-+-=变形为：(23)(24)0m x y x y --+++=，由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线(2)(12)430m x m y m ++-+-=恒经过定点(1,2)P --， 故点P 到直线:3440l x y +-=的距离是3d ==，故选：B.（2）由两平行线间的距离公式，d，所以| c －9|＝10，得c ＝－1或c ＝19．选：C.【一隅三反】1．（2021·江苏）点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝0的距离为（ ）A ．25BCD ．0【答案】B【解析】点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝05=，故选：B 32．（2021·全国高二专题练习）点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值为（ ） AB ．CD ．2【答案】B【解析】点O 到40x y +-=的距离为：d ==，所以OP的最小值为 B. 3．（2021·广西）(多选)若点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为1，则a 的值为（ ） A ．0 B ．103 C ．5 D ．－103【答案】AB【解析】点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为34115a --=故3515a -=，解得0a =或103a =故选：AB4．（2021·全国高二课时练习）在直线2350x y -+=上求点P ，使点P 到()2,3A，则P 点坐标是（ ） A ．()5,5 B ．()1,1-C ．()5,5或()1,1-D ．()5,5或()1,1-【答案】C【解析】设(),P x y ，所以PA ==即22460x y x y +--=，又因为点P 在直线2350x y -+=上，所以2350x y -+=，两式联立解得55x y =⎧⎨=⎩ 或11x y =-⎧⎨=⎩，所以P 点坐标是()5,5或()1,1-.故选：C5．（2021·湖南）过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行，则||AB 的值为_______．【解析】直线50x y -+=的斜率为1，过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行所以145AB a bk -==-，即1a b -=-所以||AB ===6．（2021·全国高二课时练习）已知,x y 满足30x y ++=，求()()2212x y ++-的最小值__. 【答案】8.【解析】由于()()2212x y ++-表示点(1,2)-与直线上的点的距离的平方， 转化()()2212x y ++-的最小值为点(1,2)-到直线30x y ++=距离的平方，由点到直线的距离公式，可得d ==所以22(1)(2)x y -+-的最小值为8. 故答案为：8.7．（2021·全国高二课时练习）两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________.【解析】直线330x y +-=与直线610x my +-=平行，所以3126m m =⇒=，直线6260x y +-=与直线6210x y +-==． 8．（2021·全国高二专题练习）已知(3,2)A --，(1,4)B -到直线:10l x ay ++=的距离相等，则实数a 为________. 【答案】1或13- 【解析】两点(3,2)A --，(1,4)B -到直线:10l x ay ++=的距离相等，=化为|22||4|a a +=．224a a ∴+=±，解得1a =或13-．故答案为：1或13-．考点三 对称问题【例3-1】（点关于点对称）（1）（2021·全国高二单元测试）若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________.（2）（2021·全国高二课时练习）一条光线从点()1,1A -出发射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后经过点()2,5B ，则点P 的坐标为______.【答案】（1）10x y -+=（2）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）求得111AB a ak a a+-==---，∵点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，∴直线l 的斜率1，直线l 过AB 的中点2121,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为212122a a y x +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.（2）根据题意：()1,1A -关于x 轴的对称点为()1,1-- 而反射光线直线又过()2,5B ∴其直线为：()512521y x +=-++即：21y x =+， 当0y =时，12x =-，即点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【例3-2】（点关于线对称）（1）（2021·全国高二课时练习）点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是______. (2）．（2021·浙江高二期末）已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________. 【答案】（1）()2,2-（2）()1,1- ()1,3【解析】(1)设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ） 则MN 中点的坐标为（12x -，12y +），利用对称的性质得：K MN =11y x -+=﹣1，且 12x -﹣12y +﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2，∴点N 的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）． （2）由():10l mx y m m R ++-=∈，则()()110m x y m R ++-=∈， 令10x +=，则1x =-，1y =，所以点P ()1,1-，设Q 的坐标是()00,x y ，则0000111112022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪+-=⎪⎩，解得01x =，03y =，所以点Q 的坐标是()1,3.故答案为：()1,1-；()1,3【例3-3】（线关于点对称）（1）（2020·四川省泸县第二中学高二月考（文））直线l 与1l 关于点(11)，－成中心对称，若l 的方程是2360x y +-＝，则1l 的方程是__________（2）．（2020·全国高二课时练习）已知直线1:220l x y ++=与2:40l x by c ++=关于点(1,0)P 对称，则b c +=______.【答案】（1）2380x y +=＋（2）-10 【解析】（1）在直线1l 上任取一点(,)A x y ，则A 关于点(1,1)-对称点(2,2)B x y ---一定在直线:2360l x y +-=上， 故有2(2)3(2)60x y -+---=，即2380x y ++=．故直线l 的方程为2380x y ++=．故答案为：2380x y ++=．（2）在直线1:220l x y ++=上取点(1,0)M -，(0,2)N -，M ，N 关于点(1,0)P 对称的点分别为11(3,0),(2,2)M N .点11(3,0),(2,2)M N 在直线2:40l x by c ++=上，120,820c b c ∴+=++=，解得12,2c b =-=，10∴+=-b c .故答案为：10-【例3-4】（2021·全国高二专题练习）直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（ ） A ．4210x y --= B ．4210x y -+= C ．4210x y ++= D ．4210x y +-=【答案】A【解析】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则0001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=，即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=. 故选：A. 【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________． 【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005(1)1225122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩，所以所求对称点的坐标为(4,1)--．2．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________. 【答案】210x y --=【解析】设直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为l '， 在l '上任取一点(),P x y ，则点P 关于点(1,1)对称的点P '的坐标为()2,2x y --， 由题意可知点P '在直线230x y -+=上，故()()22230x y ---+=，整理可得210x y --=. 故答案为：210x y --=3．（2021·全国高二单元测试）已知点()3,8A -和()2,2B ，在x 轴上求一点M ，使得AM BM +最小，则点M 的坐标为（ ） A ．()1,0-B ．220,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．22,05⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,0【答案】D【解析】找出点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交于M 点，连接BM ，此时||||AM BM +为最短，由B 与B ′关于x 轴对称，(2,2)B ，所以(2,2)B '-，又(3,8)A -，则直线AB '的方程为822(2)32y x ++=--- 化简得：22y x =-+，令0y =，解得1x =，所以(1,0)M故选：D ．4．（2021·全国高二专题练习）已知直线10kx y k -++=过定点A ，则点A 关于30x y +-=对称点的坐标为（ ）A ．(2,4)B ．(4,2)C ．(2,2)D ．(4,4)【答案】A【解析】直线10kx y k -++=即(1)1y k x =++，故(1,1)A -，设点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(,)P x y ．则113022111x y y x -++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩． ∴点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(2,4)．故选：A ．5．（2021·浙江）直线21y x =+关于原点对称的直线方程是（ ）A ．21y x =-B ．21y x =--C ．21y x =-+D ．2y x =【答案】A【解析】点(0,1),(1,3)在直线21y x =+上，则(0,1),(1,3)---在所求直线上 所求直线的斜率3(1)210k ---==--，则所求直线方程为2(0)121y x x =--=-故选：A 6．（2021·广东湛江）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；（2）直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；（3）直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．【答案】（1）A ′334(,)1313-；（2）9x －46y ＋102＝0；（3）2x －3y －9＝0. 【解析】（1）设A ′(x ，y )， 则221,13122310,22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得33,134,13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A ′334(,)1313-. （2）在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则202310,22021,23a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得6,1330,13ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M′630(,)1313.设m与l的交点为N，则由2310,3260,x yx y-+=⎧⎨--=⎩得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.考点四交点和距离在几何中的运用【例4-1】（2021·全国高二专题练习）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5．【解析】（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．法一：∵AB==AC==5BC==∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．法二：∵3(1)0(1)12,11312AB AC k k ----==-==---． ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ．∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．（2）由（1）中法一得|AB |＝|AC |又∵∠A ＝90°，∴S △ABC ＝12|AB ||AC |＝12×5． 【例4-2】．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高二期末）已知直线l 过点P (2，3)且与定直线l 0：y =2x 在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点B (a ，0).（1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【答案】（1）12a >；（2）33y x =- 【解析】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，不能构成AOB ，此时322BP k a ==-，解得：12a =，所以12a ≠，又因为点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 再第一象限内交于点A ，所以12a >. （2）当直线l 的斜率不存在时，即()2,0B ,()2,4A ，此时12442S =⨯⨯=, 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x =-+ ，由于直线的斜率存在，所以12a >，且2a ≠， 又32BP k a=-，2k ∴>或0k <， 由()232y k x y x ⎧=-+⎨=⎩，得3264,22k k x y k k --==--，即3264,22k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=--， 即()()2412290S k S k ---+=， 当40S -≠时，()()21223640S S ∆=---≥，整理得()30S S -≥，得3S ≥，即S 的最小值为3，此时2690k k -+=，解得：3k =，则直线l 的方程为()32333y x x =-+=-即33y x =-【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a R ∈，以下结论正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO【答案】ABD【解析】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，12l l ∴⊥恒成立，A 正确；对于B ，对于直线1l ，当0x =时，1y =恒成立，则1l 过定点()0,1；对于直线2l ，当0y =时，1x =-恒成立，则2l 恒过定点()0,1-，B 正确；对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2l 方程知：()1,ax x ---不在2l 上，C 错误；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得：221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MO ∴==≤，即MOD 正确. 故选：ABD.2．（2021·全国高二课时练习）已知AO 是ABC 边BC 的中线，用坐标法证明()22222AB AC AO OC+=+．【答案】证明见解析 【解析】取BC 边所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图设(0)(0)()B a C a A m n -，，，，，，(其中0a >)，则222222222()()2()AB AC m a n m a n m n a +=+++-+=++，22222AO OC m n a +=++ 所以22AB AC +=222()AO OC +，即证.3．（2021·浙江高二期末）已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点M ．（Ⅰ）若l 经过点(5,0)A ，求l 的方程；（Ⅱ）若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）350x y +-=；（Ⅱ）240x y +-=【解析】（Ⅰ）25020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩， 所以点()2,1M ，若l 经过点(5,0)A ，则直线l 的斜率101253l k -==--， 所以直线l 的方程为()1053y x -=--， 整理可得350x y +-=.（Ⅱ）直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，不妨设直线l 的方程为1x y a b +=，即211a b+=，即211a b =+≥8ab ≥， 当且仅当4,2a b ==时取等号.所以142ABO S ab =≥， 此时直线l 方程为142x y +=，即240x y +-=. 故存在使ABO 面积最小的直线l ，直线l 方程为240x y +-=.。
直线的交点坐标与距离公式(有答案)
1．直线 与直线 之间的距离是
2．直角坐标系中第一象限内的点 到 轴， 轴及直线 的距离
都相等，则 值是．
3．直线 与 距离为．
4．直线 过点 ， 过点 ， // 且 与 间距离等于 ，求 与 的方程．
解设点P的坐标为(x,0)，
则根据点到直线的距离公式可得 ＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．
四、直线与直线的距离
例1、求下列两条平行直线之间的距离：
（1） 与 （2） 与
例2、求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
解∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
例2、求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程．
例条件？
课堂练习：
1．与直线 相交的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若三条直线 和 相交于一点，则 的值为_______．
3．（1）两条直线 和 的交点，且与直线 平行的直线方程为_______________．
即 解得 ∴P′
法二设点P′(x，y)，PP′⊥l于M，∵PP′的方程为(x＋4)＋2(y－2)＝0，即x＋2y＝0，(3分)
∴解方程组 得PP′与l的交点M ，由中点坐标公式得
得 (9分)故P′ .(12分)
三、点到直线的距离
例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝ x＋ ；(2)y＝6；(3)x＝4.
例3、已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状．
解因为|BC|＝ ＝ ＝1，|AB|＝2，|AC|＝ ＝ ，
所以有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．
高二数学课件：第八章 第二节 直线的交点坐标与距离公式
热点考向
2
距离公式的应用
【方法点睛】
1.两点间的距离的求法
两点间的距离，可利用两点间的距离公式求解；当两点连线平
行于x轴时，其距离等于这两点横坐标之差的绝对值；当两点连
线平行于y轴时，其距离等距离最大的直线l的方程，最大距离是 5 5.
5
(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5 的直线，因此
不存在过点A且与原点距离为6的直线.
【反思·感悟】 1.在解答本题时，直线斜率存在时,根据题设 条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，这是很关键 的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况； 2.另外，求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件， 以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用.
1.对称中心的求法
若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公 式求得a、b的值，即 a x1 x 2 ，b y1 y 2 ；
2 2
2.轴对称的两个公式
若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称，
则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l. 故有
24 3
因此，过点P与AB平行的直线的方程为：
1 y 2 (x 1) ,即x+3y-5=0； 3
又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)， 所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1； 综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
热点考向 3
【方法点睛】
对称问题
利用到原点的距离为2列方程，解方程即可，但要注意对斜率不
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.
直线的交点坐标与距离公式ppt课件演示文稿
【自主探究】 (1)过P点的直线l与原点距离为2，而P
点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线 满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.
|－2k－1| 3 由已知，得 ＝ 2 ，解得 k ＝ . 2 4 k ＋1
第三节
直线的交点坐标与距离公式
1.能用解方程组的方法求两条相 交直线的交点坐标. 考纲点击 2.掌握两点间的距离公式、点到 直线的距离公式，会求两条平 行直线间的距离. 1.本节重点体现一种思想——转 化与化归的思想，这种思想是 热点提示 高考的热点之一. 2.本部分在高考中主要以选择、 填空为主，属于中低档题目.
，
∵交点在第一象限，
k ＞0 k－1 ∴ 2k－1 k－1 ＞0
，∴k＞1 或 k＜0.
【答案】 k＜0或k＞1
点到直线的距离
已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是 多少？ (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出 方程；若不存在，请说明理由．
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
2x＋y－6＝0 解方程组 y＋1＝k(x－1)
，
x＝k＋7 k ＋2 得 y＝4k－2 k＋2
.(k≠－2，否则与已知直线平行)
k＋7 4k－2 2 2 2 由已知( －1) ＋( ＋1) ＝5 . k＋2 k＋2 3 解得 k＝－ ， 4 3 ∴y＋1＝－ (x－1) 4
2025高二上数学专题第7讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点几何元素及关系代数表示点A A (a ，b )直线l 1l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0点A 在直线l 1上A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0直线l 1与l 2的交点是A(l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)2.两直线的位置关系一组无数组无解直线l 1与l 2的公共点的个数一个无数个零个直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行二、两点间的距离公式条件点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)结论|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2特例点P (x ，y )到原点O (0，0)的距离|OP |＝x 2＋y 22025高二上数学专题第7讲 直线的交点坐标与距离公式（解析版）三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为()A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为()A ．2-B ．12-C ．2D ．12【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【变式训练1-2】（（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练1-3】（（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为()A ．24-B ．24C ．6D ．6±知识点2直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为()A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点()A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是()A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点()A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--知识点3两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB =)A ．2B C ．3D【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为()A ．8B ．13C ．D 【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．知识点4点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P -．（1）若一条直线经过点P ，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P 且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为()A ．32B C ．332D ．532【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为()A ．1BC D ．2知识点5两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为()A ．65B ．32C ．125D ．2【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=之间的距离是，则(m n +=)A ．0B ．1C ．1-D ．2-【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为()A B C ．352D ．3102【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是()A ．13B ．26C ．13D ．26【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n +=)A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2知识点6运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是()A ．355B C ．322D 【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为．名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是()A ．45B ．75C ．425D ．2542．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为()A ．1B ．3C ．110D ．253．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于()A ．34B ．43C ．43-D ．34-4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点()A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为()A ．15B ．55C ．35D ．3556．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是()A ．1B C ．2D ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为()A ．4B ．C ．D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是()A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k =)A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或2310．（昆山市期中）已知(2,3)M -，(6,2)N ，点P 在x 轴上，且使得PM PN +取最小值，则点P 的坐标为()A ．(2,0)-B ．12(5，0)C ．14(5，0)D ．(6,0)11．（宝安区校级模拟）已知0x <<，0y <<M =则M 的最小值为()A ．B ．C ．2D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为()A ．3B ．17-C ．3-D ．1713．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为()A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是．15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为．16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m =；1l 与2l 之间的距离为．17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为；当m 变化时，直线l 过定点．18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB =．21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为．23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．（1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m ++-++=．（1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；（2）过定点M 作一条直线1l ，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程．27．（宁城县期末）已知点ABC ∆三顶点坐标分别是(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，（1）求A 到BC 边的距离d ；（2）求证AB 边上任意一点P 到直线AC ，BC 的距离之和等于d ．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值．2．（兰州期末）已知点(2,1)P -．（1）求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2019高中数学第三章两条直线的交点坐标、两点间的距离讲义(含解析)
第1课时两条直线的交点坐标、两点间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：①若方程组无解，则l1∥l2；②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；③若方程组有无数解，则l1与l2重合．(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?提示：①当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝|x2－x1|；②当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|；③当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝x2－x 12＋y2－y 12.2．归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标①求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．②应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系．一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：的解(2)|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12[问题思考]两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22的形式？提示：可以，原因是x2－x12＋y2－y12＝x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)如何求两条直线的交点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？；(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？.观察图形，思考下列问题：[思考1] 在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．[思考2] 如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可．[思考3] 两条直线相交的条件是什么？ 名师指津：两直线相交的条件：(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)若两直线斜率都存在，设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.讲一讲1．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．(链接教材P 103－例2)[尝试解答] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． (2)过两条直线交点的直线方程的求法①常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．②特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．练一练1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0， ①2x ＋2y ＋3＝0， ②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2. 2．(2016·潍坊高一检测)求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c ＝－1，故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二：设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )， 即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0， 由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.观察下面图形：图1图2[思考1] 如何求图1中A 、B 两点间的距离？ 提示：|AB |＝|x A －x B |.[思考2] 图2中能否用数轴上两点A ，B 间距离求出任意两点间距离？ 提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． [思考3] 怎样理解两点间的距离公式？ 名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22，利用此公式可以将几何问题代数化．(2)当直线P 1P 2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：①直线P 1P 2平行于x 轴时|P 1P 2|＝|x 2－x 1|；②直线P 1P 2平行于y 轴时|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.讲一讲2．已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状． [尝试解答] 法一：∵|AB |＝＋2＋－3－2＝213，|AC |＝＋2＋－2＝213，又|BC |＝－2＋＋2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：∵k AC ＝7－11－－＝32，k AB ＝－3－13－－＝－23， 则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝＋2＋－2＝213， |AB |＝＋2＋－3－2＝213，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形．1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． 练一练3．保持讲2条件不变，求BC 边上的中线AM 的长．解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM |＝－3－2＋－2＝26，所以BC 边上的中线AM 的长为26.讲一讲3．如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．[思路点拨] 先求出原点关于l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．[尝试解答] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等． 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |，由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8， ∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－AB ≠0，A ·x ＋x2＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．(2)常用对称的特例有：①A (a ，b )关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )； ②B (a ，b )关于y 轴的对称点为B ′(－a ，b )； ③C (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点为C ′(b ，a )； ④D (a ，b )关于直线y ＝－x 的对称点为D ′(－b ，－a )； ⑤P (a ，b )关于直线x ＝m 的对称点为P ′(2m －a ，b )；⑥Q (a ，b )关于直线y ＝n 的对称点为Q ′(a,2n －b )． 练一练3．求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点坐标．解：设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，则有AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0.解得a ＝1，b ＝4.∴所求对称点坐标为(1,4)．—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲1. (2)计算两点间距离的方法，见讲2. (3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲3.3．本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲1,3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x －y －3＝0相交的是( ) A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0) B ．y ＝2x C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y －3＝0解析：选D 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 选项正确．2．(2016·佛山高一检测)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( )A ．6B ．－24C ．±6D ．以上都不对解析：选C 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m 3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即： 2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即： 2x ＋3y －5＝0.题组2 两点间的距离公式5．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析：选D 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－－2＋－2＝42，|CB |＝－2＋－2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.6．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋10 解析：选C |AB |＝＋2＋32＝32，|BC |＝＋12＋0＝3，|AC |＝－2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.7．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案：2 58．求证：等腰梯形的对角线相等．证明：已知：等腰梯形ABCD .求证： AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系． 设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋c －2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即等腰梯形的对角线相等． 题组3 对称问题9．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0 D ．3x －4y －5＝0解析：选B 令x ＝0，解得y ＝54；令y ＝0，解得x ＝－53，故⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54和⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0是直线3x －4y ＋5＝0上两点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54关于x 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x ＋4y ＋5＝0.10．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝25，y 0＝195.即p ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195. (2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0，即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升综合练]1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.2．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.115解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 3．(2016·阜阳高一检测)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)解析：选A 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．4．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m ＋1)＝0，解得m ＝－13或－1. 答案：－13或－1 5．若直线l: y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．解析：如图，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l: y ＝kx －3必过点(0，－3)．当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴上；当直线l 绕C 点逆时针(由位置AC 到位置BC )旋转时，交点在第一象限．根据k AC ＝－3－00－3＝33，得到直线l 的斜率k ＞33.∴倾斜角α的范围为30°<α<90°.答案：30°＜α＜90°6．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．解：法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0,2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋－y 0－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－4，y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14， 故所求直线l 的方程为： y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于A 、B .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0⇒A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0⇒B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2. ∵A 、B 的中点为P (0,1)，则有：12⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1＋7k ＋2＝0，∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法三：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0⇒A (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法四：同法一，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，2x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)观察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为： x ＋4y －4＝0.7．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解：原式可化为y ＝x －2＋－2 ＋x －2＋－2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝－2＋－2－12＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.。
直线的交点坐标与距离公式(讲义)
直线的交点坐标与距离公式（讲义）➢ 知识点睛一、两条直线的交点坐标二、对于方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0：当λ取不同值时，该方程表示直线，这些直线经过同一个点，这个点是__________________与_________________的交点．三、距离公式 1. 两点间的距离如图1，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式：12||PP=．2. 点到直线的距离（1）如图2，点P 0(x 0，y 0)到直线Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）的距离：d =．图1 图2（2）使用点到直线的距离公式的前提条件：把直线方程化为一般式方程．3.两条平行直线间的距离（1）两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为：d=．➢ 精讲精练1. 已知直线l 1：Ax +3y +C=0，l 2：2x -3y +4=0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C的值为_____________．2. 已知点M (0，-1)，若点N 在直线x -y +1=0上，且直线MN 垂直于直线则N 点的坐标为（ ）A ．(-2，-1)B ．(2，3)C ．(2，1)D ．(-2，1)3. （1）直线(2k -1)x -(k +3)y -(k -11)=0（k ∈R ）所经过的定点是____________．（2）不论m 取任何实数，直线(3m +2)x -(2m -1)y +5m +1=0必过定点_____________．4. （1）已知点A (5，12)，若点P 在x 轴上，且|P A |=13，则点P到原点的距离为_____________．（2）若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，则 x +y =_____________．5. 点(-3，6)到直线y =3x 的距离为_________，到直线4x -3y +2=0的距离为_________，到直线134x y+=的距离为_________．6.已知点()+=x yM a b，在直线3415是_________．7.到直线3x-4y+5=0与5x-12y+13=0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程（）A．x-4y+4=0 B．7x+4y=0C．x-4y+4=0或4x-8y+9=0 D．7x+4y=0或32x-56y+65=08.①两平行线y=kx+b1与y=kx+b2之间的距离是______________．②直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则两直线之间的距离为______________．9.①到直线3x-4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程为______________________________．②已知两条平行线3x+2y-6=0与6x+4y-3=0，则与它们等距离的平行线的方程为___________________．10.求函数y 的最小值．11. 直线1l 过点A (0，1)，l 2过点B (5，0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2求l 1，l 2的方程．12.已知正方形的中心为点M(-1，0)，一条边所在直线的方程为x+3y-5=0，求正方形其他三边所在的直线的方程．【参考答案】 ➢ 知识点睛二、11122200A x B y C A x B y C ++=++=，➢ 精讲精练1. -42. B3. （1）(2，3)；（2）(-1，1)4. （1）0或10；（2）75.28655， 6. 3 7. D8.；②209. ①34160x y -+=或34140x y --= ②128150x y +-=10.11. 12:0:5l x l x ==，或12:12550:125600l x y l x y -+=--=， 12. 370390330x y x y x y ++=-+=--=，，直线的交点坐标与距离公式（随堂测试）1. 方程(14)(23)(214)0k x k y k +--+-=所确定的直线必经过点___________．2. 若经过点(2，1)的直线l 到A (1，1)，B (3，5)两点的距离相等，则直线l 的方程为____________________．3. 若两条平行直线l 1：x -2y +m =0（0m >）与l 2：x +ny -3=0则m +n =___________．【参考答案】1.(2，2)2.x=2或2x-y-3=03. 2。
高二寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式（含答案）知识梳理1、两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-= 特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. （2）点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. （3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.知识典例题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24 B ．6C ．6±D ．-6【答案】C 【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解k 即可．【详解】解：因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上， 所以设交点为(0,)b ，所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩，消去b ，可得6k =±．故选：C ．巩固练习当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【分析】 解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标，由102k <<，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--， 所以交点在第二象限，故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --，(),3B a ，且5AB =，则a 的值为( ) A ．1 B ．5-C ．1或5-D ．1-或5【答案】C 【分析】利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知：()()222315AB a =+++=，解得：1a =或5-本题正确结果：C巩固练习（多选）对于225x x ++，下列说法正确的是（ ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确， 故答案为：BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．79-或13-D ．79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解,得到a 的值. 【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等， 由点A 和点B 到直线的距离公式， 2234163111a a a a --+++=++，化简得3364a a +=+|，()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-，故选C.巩固练习（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．由已知得2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B ．1313C 51326D 71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：d=()2213232--+=7213=713.巩固练习若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为268232-=.题型五 三角形的面积求解例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点(),0B a . （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【答案】（1）12a >（2）33y x =- 【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）当直线l 的斜率不存在时，求出点,A B 坐标，得出4S =；当直线l 的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出S 取得最小值时直线l 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，如下图所示322BP k a==-，解得12a =，此时不能形成AOB ，则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>（2）当直线l 的斜率不存在时，即(2,0)B ，(2,4)A ，此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在，则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-，2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭ 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥，整理得(3)0S S -则3S ≥，即S 的最小值为3此时2690k k -+=，解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-巩固练习已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求：(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．【答案】(1) 2x ＋3y ＋7＝0;(2)452. 【分析】（1）先判断A 点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程，进而通过联立可得解； （2）分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ，利用S △ABC ＝12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由得B (7，－7)． 由得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝，A 点到BC 边的距离d ＝，∴S △ABC ＝×d ×|BC |＝××＝．巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，因此，两直线的交点坐标是()2,3.故选：B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[]0,5C ．(]0,5D．(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5， 因为两直线平行，则两直线距离不为0， 故选：C.3、“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B. 4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A．4 BCD 【答案】D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解.【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d==， 故选：D .5、直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可. 【详解】 联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--，所以直线的斜率为20210--=--，则直线l 的方程为：2y x =，即20x y -=. 故选：B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，则k 的取值范围为__________．【答案】,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可.【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >．故答案为3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标． 【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4，则m 的取值范围是________． 【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可． 【详解】4≤，解得4623m ≤≤．故答案为：462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
第18讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
1. 在直⻆坐标平面内,过定点P的直线l : ax + y − 1 = 0与过定点Q的直线m : x − ay + 3 = 0 相交于点M,则∣MP∣2 + ∣MQ∣2的值为（） A. ∣MP ∣2 + ∣MQ∣2
B. 10
C. 5
D. 10
考点：两点间距离公式的应用、直线过定点问题 知识点：两直线垂直的判定、过定点的直线系方程 答案：D 解析：易得直线l与直线m垂直,点P(0, 1), Q(−3, 0),则∣PQ∣ = 10,
知识点：平行直线系与垂直直线系、两条直线的交点坐标
答案：6x + 9y − 7 = 0
解析：联立方程,可得{
3x 6x
+ 5y − 4 = 0 −y+3=0
解方程组可得x
=
−
1 3
,
y
=
1,
∵直线l与直线2x + 3y + 5 = 0平行,
∴可设方程为：2x + 3y + c = 0,
将x
=
−
1 3
所以MP ⊥QM,则∣MP ∣2 + ∣MQ∣2 = ∣P Q∣2 = 10.
中等 已测：408次 正确率：58.9%
2. 与直线2x + y − 3 = 0平行，且距离为 5的直线方程是().
A. 2x + y + 2 = 0
B. 2x + y − 8 = 0
C. 或 2x + y + 2 = 0 2x + y − 8 = 0
=
5，
解得t = 2或−8，
则所求直线的方程为2x + y + 2 = 0或2x + y − 8 = 0．
专题05 直线的交点、距离公式与对称、最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题05直线的交点、距离公式与对称、最值问题【知识梳理】1、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可．若有111222A B CA B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．2、两点间的距离公式两点111()P x y ，，222()P x y ，间的距离公式为12PP =．3、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =4、两平行线间的距离直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =．5、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()P x y ，关于点00()Q x y ，的对称点为22()P x y '，，则根据中点坐标公式，有12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可得对称点22()P x y '，的坐标为0101(22)x x y y --，6、点关于直线对称点11()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为22()P x y '，，连接PP '，交l 于M 点，则l 垂直平分PP '，所以PP l '⊥，且M 为PP '中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022l PP k k x x y y AB C '⋅=-⎧⎪⎨++++=⎪⎩，解出22()x y ，即可．7、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8、直线关于直线对称求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()Q x y '，第三步：利用两点式写出3l 方程9、常见的一些特殊的对称点()x y ，关于x 轴的对称点为()x y -，，关于y 轴的对称点为()x y -，．点()x y ，关于直线y x =的对称点为()y x ，，关于直线y x =-的对称点为()y x --，．点()x y ，关于直线x a =的对称点为(2)a x y -，，关于直线y b =的对称点为(2)x b y -，．点()x y ，关于点()a b ，的对称点为(22)a x b y --，．点()x y ，关于直线x y k +=的对称点为()k y k x --，，关于直线x y =k -的对称点为()k y x k +-，．【专题过关】【考点目录】考点1：两直线的交点问题考点2：两点的距离考点3：点到直线的距离考点4：两平行直线的距离考点5：点线对称考点6：线点对称考点7：线线对称考点8：两线段和与差的最值问题【典型例题】考点1：两直线的交点问题1．（2021·江苏连云港·高二期中）若三条直线280,10x ky x y ++=--=和20x y -=交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．3D ．12【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩.把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C2．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））已知直线ax +y+1=0，x +ay+1=0和x +y+a =0能构成三角形，则a 的取值范围是（）A ．a≠2-B ．a≠±1C ．a≠2-且a≠±1D ．a≠2-且a≠1【答案】C【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若0a =，则三条直线围成三角形，若0a ≠，则11a a ≠，111a ≠，解得1a ≠±，1a ≠±时，由100ax y x y a ++=⎧⎨++=⎩，得1(1)x y a =⎧⎨=-+⎩，代入10x ay ++=得1(1)10a a -++=，1a =或2a =-，因此2a ≠-综上：1a ≠±且2a ≠-．故选：C ．3．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y +-=【答案】B【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=，故选：B4．（多选题）（2021·江苏徐州·高二期中）已知a 为实数，若三条直线280,43100ax y x y ++=+-=和2100x y --=不能围成三角形，则a 的值为（）A ．83B ．1C ．1-D ．4-【答案】ACD【解析】当三条直线交于一点时，由431002100x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，所以交点为(4,2)-，所以4480a -+=，得1a =-，当直线280ax y ++=与43100x y +-=平行时，243a =，得83a =，当直线280ax y ++=与2100x y --=平行时，221a =-，得4a =-，所以当1a =-，或83a =，或4a =-时，三条直线不能围成三角形，故选：ACD5．（2021·全国·高二期中）经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【解析】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.6．（2021·上海·南洋中学高二期中）关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【解析】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．（2021·云南临沧·高二期中）已知直线l 1：10ax y ++=与l 2：210x by --=相交于点(1,1)M ，则a b +=__．【答案】﹣1【解析】把(1,1)M 分别代入直线l 1和直线l 2的方程，得110,210a b ++=--=，所以2,1a b =-=，所以1a b +=-．故答案为：-1．8．（2021·四川省宜宾市第一中学校高二期中（理））过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：280x y +-=和l 2：3100x y -+=截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程.【解析】设l 1与l 的交点为A (a ，8-2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (-a ，2a-6)在l 2上，代入l 2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，∴直线l 的方程为041004y x --=--即x ＋4y-4＝0.9．（2021·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知直线l ：(41)(1)30x y λλ+-++=.(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 被两平行直线1l ：220x y -+=与2l ：260x y --=所截得的线段AB 的中点恰好在直线260x y ++=上，求λ的值.【解析】(1)由已知：(41)(1)30x y λλ+-++=，即(4)30x y x y λ-+-+=，令4030x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：x =1，y =4，∴直线l 恒过定点(1,4).(2)设直线1l ，2l 分别与直线260x y ++=交于C ，D 两点，由260220x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得C 14255⎛⎫-- ⎝⎭,，由260260x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得D 61855⎛⎫-- ⎪⎝⎭,，∴CD 的中点M 的坐标为(－2,－2)，不妨设A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，则△AMC ≌△BMD ，即MA =MB ，故M (－2,－2)为AB 的中点，将M 代入直线l 的方程得：(41)(2)(1)(2)30λλ+--+-+=，解得12λ=·10．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为_________.【答案】210x y +-=【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=.故答案为：210x y +-=考点2：两点的距离11．（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（）AB ．CD ．1【答案】D【解析】联立方程220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,2x y ==，所以()2,2A ，所以1AB ==故选：D12．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知()2,3A -，()5,7B -，则AB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()2,3A -，()5,7B -，所以5AB ==，故选：C.13．（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,6),C(5,2)-，则过A 点的中线长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【解析】设过A 点中线长即为线段AD .D 为BC 中点：3562,22D +-+⎛⎫⎪⎝⎭，即D （4，-2）∴||AD ===故选：B.14．（2021·河北唐山·高二期中）已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =-，∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥，∴ABC 是直角三角形.故选：B.15．（2021·北京·临川学校高二期中（文））已知点(),1M m -，()5,N m ，且MN =实数m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或3【答案】C【解析】因为||MN =，=2430m m -+=，解得1m =或3m =，故选：C16．（2021·四川巴中·高二期中（文））当实数k 变化时，直线1:20l kx y k -++=到直线2:30l kx y --=的距离的最大值是______.【解析】由(1)20k x y +-+=可得1l 过定点(1,2)A -，由30kx y --=可得2l 过定点(0,3)B -.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于AB 时，距离最大，最大值即为AB 两点间的距离d =考点3：点到直线的距离17．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））直线2x =与32120x y +-=的交点到直线10x y +-=的距离______．【答案】【解析】由232120x x y =⎧⎨+-=⎩，解得2,3x y ==，即直线2x =与32120x y +-=的交点为()2,3点()2,3到直线10x y +-==.故答案为：18．（2021·辽宁·高二期中）对任意的实数λ，求点()2,2P -到直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）的距离d 的取值范围为______．【答案】0,⎡⎣【解析】由题意，直线()()212320x y λλλ+-+-+=（），即()2640x y x y λ--+--＝，所以26040x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()2,2Q -，当PQ 垂直直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）时，d 取得最大值=，当直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）过点P 时，d 取得最小值0，∴d 的取值范围0,⎡⎣.故答案为：0,⎡⎣．19．（2021·全国·高二期中）已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【解析】（1）因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．（2）BC ==直线BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC=，则ABC 的面积为1242⨯=.20．（2021·全国·高二期中）已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，点()2,3A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．【解析】因为直线l 垂直于直线3490x y +-=，可设直线l 为430x y c -+=，因为点()2,3A 到直线l 的距离为1，|1|15c -==，解得6c =或4c =-，故所求直线方程为4360x y -+=或4340x y --=.21．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为_______【答案】13-或79-【解析】因为点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，解得13a =-或79a =-，故答案为：13-或79-22．（2021·山东威海·高二期中）已知(2,6),(0,4)A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为________．【答案】0或5-=525a +=，解得0a =或5a =-故答案为：0或5-23．（2021·湖北黄冈·高二期中）过点()1,1P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等，则该直线的方程是（）A ．450x y +-=B ．450x y +-=C ．20x y +-=或450x y +-=D ．20x y +-=或450x y +-=【答案】C【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，()2,3A ，()4,5B -到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k --+=，由()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等=1k =-或4-，即直线方程为20x y +-=或450x y +-=.故选：C.考点4：两平行直线的距离24．（2021·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．54C ．3D ．4【答案】B10y +-=与直线30my ++=平行，可得0=，解之得2m =10y +-=与直线230y ++=54=故选：B25．（2021·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.【答案】4【解析】因为直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：平行,而直线22210l x y +-=：可化为2102l x y +-=：，故直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为1|2()|24d --==，故答案为：426．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线1:3460l x y -+=与2:340l x y C -+=间的距离为3，则C =_______.【答案】9-或21【解析】由题，可知12//l l ，所以两平行线间距离为3d =，解得9C =-或21，故答案为：9-或21考点5：点线对称27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）已知点P 与点()1,2Q -关于直线10x y +-=对称，则点P 的坐标为_______.【答案】()3,0【解析】由题可知该直线是线段PQ 的垂直平分线，设(),P m n ，则1210,2221,1m n n m +-⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得3,0.m n =⎧⎨=⎩故答案为：(3，0).28．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知ABC 的顶点(4,1),A AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为250x y --=，则BC 边所在直线方程___________.【答案】2711450x y --=.【解析】由题意，AB 边上的高所在直线的斜率为35-，则AB 的斜率53k =，所以()5:14531703AB l y x x y -=-⇒--=，与直线250x y --=联立解得29x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,9B --.设(),C a b ，则线段AC 的中点坐标为41,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，14AC b k a -=-，所以1241250522119425a b a b b a ++⎧⎧=⋅--=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩，即129,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以99275121125BCk +==+，所以BC 边所在直线方程为：()2792271145011y x x y +=+⇒--=.故答案为：2711450x y --=.29．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=对称的点的坐标___________.【答案】()3,3-【解析】设对称点为(,)B x y ，则5313435344022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，所以对称点坐标为(3,3)-，故答案为：(3,3)-．30．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）光线沿直线730x y --=入射到直线220x y -+=后反射，则反射光线所在直线的方程为________．【答案】3y x =+【解析】由730220x y x y --=⎧⎨-+=⎩得14x y =⎧⎨=⎩即直线730x y --=与直线220x y -+=交点为(1,4)N 在直线730x y --=上取点(0,3)H -设点(0,3)H -关于220x y -+=的对称点为'(,)H m n 则03220223210m n n m +-⎧⨯-+=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩41m n =-⎧⎨=-⎩即'(4,1)H --'41114NH k +==+则反射光线所在直线的方程为143y x x =-+=+故答案为：3y x =+31．（2021·安徽宿州·高二期中）已知点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，则点B 的坐标为（）A ．()3,3B ．()2,2C ．53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,2【答案】B【解析】设点()00,B x y ，因为点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，所以0000131022311x y y x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得002x y ==，所以()2,2B 故选：B32．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1关于直线10x y -+=的对称点为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】B【解析】设对称点为(),m n ，由题意可得1113311022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，即对称点为()0,4，故选：B.33．（2021·江苏·40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（）A50y ++=B．40x +=C．50x +=D．0x =【答案】C40y --=，令0x =，解得4y =-，设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ，则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则111022a b =-⎪+-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D，11253BD k ==-，直线BD：)15y x -=-，即50x =。
《直线的交点坐标与距离公式》课件
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.
2--7 = 0,
= 3,
解:(1)方程组
的解为
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
---1 = 0,
解方程组
得直线所过定点.
+ 2 = 0,
解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
∵点P(1,0)在直线上, ∴1-2+λ(3+2)=0.
1
∴λ=5.
1
∴所求方程为 x+2y-2+5(3x-2y+2)=0,
1
所以 3 ＝
≠ 4 ，解得 λ＝5，
－2
6 4 18
所以直线 l 的方程为5x－5y＋ 5 ＝0，即 3x－2y＋9＝0.
归纳总结
求过两直线交点的直线方程的方法
1解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线
交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直
线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.
线和反射光线所在直线的方程.
思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射
光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
解:设点 A(2,3)关于直线 l 的对称点为 A'(x0,y0),
3.3直线的交点坐标与距离公式(2)
答案 : 1, 4
A
A’
四.直线关于直线对称问题 例4.已知直线l1 : 2 x y 4 0, 求l1关于直线 l : 3 x 4 y 1 0 对称的直线l2方程.
答案 : 2 x 11 y 16 0
L2 A’ L M L1 A O
方法总结 : 转化为点的对称问题
(3)A’在L2上
(4)由O,A’求出直线L2
几种常用的特殊对称 : (1) A(a , b)关于x轴的对称点为A(a , b); ( 2) B(a , b)关于y轴的对称点为B( a , b ); (3)C (a , b)关于直线y x的对称点为C (b, a ); ( 4) D(a , b)关于直线y x的对称点为D( b, a ); (5) P (a , b)关于直线x m的对称点为P ( 2m a , b ); (6)Q(a , b)关于直线y n的对称点为Q (a , 2n b );
答案 : y 2 x 4; y 2 x 4;
2 19 答案 : , 5 5
练习4 : 作业本P 45, T 10 如图, 射线OA, OB分别与x轴正半轴成 45 和30 的角, 过点P (1, 0)作直线AB分别交OA, OB于点A, B ,当AB的中点C 恰好落在直线 1 y x上时, 求直线AB的方程. 2
练习3 : 作业本P 45, T11 已知ABC的一个顶点为A （3， 1），B 被y轴平分，C 被直线y x平分, 求直线BC 的方程。
答案 : y 2 x 5
A''
y
B
O
A'
xAΒιβλιοθήκη C两直线的交点坐标
(2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7
直线的交点坐标与距离公式（讲义）
知识点睛
一、两条直线的交点坐标
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线 l
l：Ax+By+C=0
点 A 在直线 l 上 直线 l1 与 l2 的交点是 A
Aa+Bb+C=0
点 A 的坐标是方程组
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
的解
二、对于方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0： 当λ取不同值时，该方程表示直线，这些直线经过同一个点， 这个点是__________________与_________________的交点．
k2 1
20
9. ① 3x 4 y 16 0 或 3x 4 y 14 0
②12x 8y 15 0
10. 13 11. l1 : x 0 ，l2 : x 5 或 l1 :12x 5y 5 0，l2 :12x 5y 60 0 12. x 3y 7 0 ，3x y 9 0 ，3x y 3 0
三、距离公式 1. 两点间的距离
如图 1，两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式： | P1P2 | (x2 x1) 2 ( y2 y1) 2 ． 2. 点到直线的距离 （1）如图 2，点 P0(x0，y0)到直线 Ax+By+C=0（A，B 不同时为 0）的距离： d | Ax0 By0 c | ．
②直线 3x+y-3=0 与直线 6x+my+1=0 平行，则两直线之间的距 离为______________．
9. ①到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3 且与此直线平行的直线方程为 ______________________________．
②已知两条平行线 3x+2y-6=0 与 6x+4y-3=0，则与它们等距离 的平行线的方程为___________________．
6
【参考答案】 知识点睛
二、 A1x B1y C1 0 ，A2x B2 y C2 0
精讲精练
1. -4 2. B 3. （1）(2，3)；（2）(-1，1) 4. （1）0 或 10；（2）7
5. 3 10 ， 28 ， 6 2 55
6. 3 7. D
8. ① | b1 b2 | ；② 7 10
2
精讲精练
1. 已知直线 l1：Ax+3y+C=0，l2：2x-3y+4=0，若 l1，l2 的交点在 y 轴上，则 C 的值为_____________．
2. 已知点 M(0，-1)，若点 N 在直线 x-y+1=0 上，且直线 MN 垂
直于直线 x+2y-3=0，则 N 点的坐标为（ ）
A．(-2，-1) B．(2，3)
7. 到直线 3x-4y+5=0 与 5x-12y+13=0 的距离相等的点 P(x，y)必
定满足方程（ ）
A．x-4y+4=0Leabharlann B．7x+4y=0
C．x-4y+4=0 或 4x-8y+9=0 D．7x+4y=0 或 32x-56y+65=0
8. ①两平行线 y=kx+b1 与 y=kx+b2之间的距离是______________．
4
10. 求函数 y x2 1 x2 4x 8 的最小值．
11. 直线 l1 过点 A(0，1)，l2 过点 B(5，0)，如果 l1∥l2，且 l1 与 l2 之间的距离为 5，求 l1，l2 的方程．
5
12. 已知正方形的中心为点 M(-1，0)，一条边所在直线的方程为 x+3y-5=0，求正方形其他三边所在的直线的方程．
A2 B2
图1
图2
（2）使用点到直线的距离公式的前提条件：把直线方程化为
一般式方程．
1
3. 两条平行直线间的距离 （1）两条平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离为： d | C1 C2 | ． A2 B2 （2）应用两条平行线间的距离公式时，把直线方程化为一般 式，且使 x，y 的系数分别相等．
（2）若点 P(x，y)到两点 M(2，3)和 N(4，5)的距离相等，则 x+y=_____________．
5. 点(-3，6)到直线 y=3x 的距离为_________，到直线 4x-3y+2=0 的距离为_________，到直线 x y 1的距离为_________． 34
3
6. 已知点 M (a ，b) 在直线 3x 4 y 15 上，则 a2 b2 的最小值 是_________．
C．(2，1)
D．(-2，1)
3. （1）直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0（k∈R）所经过的定点是 ____________．
（2）不论 m 取任何实数，直线(3m+2)x-(2m-1)y+5m+1=0 必 过定点_____________．
4. （1）已知点 A(5，12)，若点 P 在 x 轴上，且|PA|=13，则点 P 到原点的距离为_____________．