高中数学正切函数
1.7正切函数-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
课文精讲
➢ 正切函数的诱导公式
正切函数的诱导公式可由正弦函数、余弦
函数相应的诱导公式得到:
tan(kπ+α) =tanα (k∈Z)
tan(-α) =−tanα
tan(π+α) =tanα
tan(π-α) =−tanα
tan
tan
+ =−
− =
其中角α可以为使等式两边都
正切函数
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 理解正切函数的定义. （重点）
2.掌握正切函数的诱导公式，并能够灵活运
用其进行化简求值. （重点）
3. 会画y=tanx的图象.（重点）
4.推导并理解正切函数在区间 − ， 内的
性质.（难点）
5.能够利用正切函数的性质解决有关问题.
（难点）
课文精讲
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周
期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan − .
解： (2)由于tan − =tan − +
=tan ( + ) − ，因此函数tan −
的
最小正周期是π.
典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周
；
；
tan − +
.
典型例题
；
例3: (1) tan
解: (3)tan −
(2) tan −
=− tan = −
人教版高中数学必修三正切函数的性质与图像
2
,k
Z
，
所以
x
3
k2,kZ，
所以函数 f x的定义域为：
x
x
3
+
k 2
,k
Z
．
例、(1)求函数 y tan(2x4)的周期．
解：令u
2anu
．
即
f
x
2
f
x
因为 y tanu的周期为，
所以函数的周期为 ．
2
所以 tan u+ =tanu
所以
tan
（2） tan1, tan 2, tan3, tan 4 ．
解：因为
tan
4
tan
4
因为0
4
1
2
，
y
tan
x
在
0,
2
上为增函数，
所以
0
tan
4
tan1，
即： 0 tan 4 tan1．
例、不求值，分别比较下列各组正切值的大小． （2） tan1, tan 2, tan3, tan 4 ．
k， kZ
当
k
x
k
2， kZ
时，
y tan x 0；
当
k
2
x
k
， k
Z
时，
y tan x0．
T
xA
O
1
l
1.正切函数y=tanx的性质 y
(7)对称中心：
k
,0
k
Z
或
k
2
,0
k
Z
5π -2
3π -2
O
π
π
-2
2
3π 5π
新教材2023版高中数学北师大版必修第二册：正切函数的诱导公式课件
2．tan 660°的值为( )
A．－
3 3
3 B. 3
C．－ 3 D. 3
解析：tan 660°＝tan(180°×3＋120°)＝tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 答案：C
3．下列各式成立的是( ) A．tan(π＋α)＝－tan α B．tan(π－α)＝tan α C．tan(－α)＝－tan α D．tan(2π－α)＝tan α
(2)tan56π＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－
3 3.
答案：(1)－ 3
(2)－
3 3
方法归纳 给值求值时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择 恰当的诱导公式求值．
跟踪训练 2 (1)若 tan－α－43π＝－5，则 tanπ3＋α等于(
)
A．5 B．－5
C．25 D．与 α 的值有关
域为xx≠kπ＋4π，k∈Z
.
答案：xx≠kπ＋4π，k∈Z
题型一 求函数的定义域——师生共研 例 1 (1)函数 y＝ta1n x的定义域为( D )
A．{x|x≠0}
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C.xx≠kπ＋π2，k∈Z
D.xx≠k2π，k∈Z
(2)函数 y＝lg(
3－tan x)的定义域为__x_k_π_－__π2_<_x_<_k_π_＋__π3_，__k．∈Z
(2)求值：tanta－n 23205°°－＋ttaann7－504°5°.
解析：(1)因为 tan－α－43π＝－tanα＋43π＝－5， 所以 tanα＋43π＝5， 即 tanα＋3π＋π＝5，故 tanα＋3π＝5. (2)∵tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1，
高中新教材数学人课件必修第一册第章正切函数的性质与图象
反三角函数图象特点分析
反正弦函数图象
反正弦函数的图象是一个上凸的 曲线，关于原点对称。在[-1, 1]
区间内，函数值从-π/2增加到 π/2。
反余弦函数图象
反余弦函数的图象是一个下凸的曲 线，关于y轴对称。在[-1, 1]区间 内，函数值从π减少到0。
反正切函数图象
反正切函数的图象是一个单调递增 的曲线，关于原点对称。在实数范 围内，函数值从-π/2增加到π/2。
正切函数定义域及值域
定义域
正切函数的定义域为所有不等于$kpi + frac{pi}{2}$（$k in mathbb{Z}$）的 实数，即正切函数在$frac{pi}{2} + kpi$（$k in mathbb{Z}$）处不存在。
值域
正切函数的值域为全体实数，即$mathbb{R}$。
周期性、奇偶性与单调性
下一讲预告及预习建议
下一讲将介绍正切函数的复合函数及其应用，包括正切型复合函数的图象与性质 等。
预习建议：提前阅读教材相关内容，了解正切型复合函数的基本概念及性质；思 考如何将正切函数与其他基本初等函数进行复合，并尝试画出其图象。
谢谢聆听
声音的传播和反射特性。
经济学中弹性概念引入
01
价格弹性
正切函数可用于描述商品价格变动对消费者需求量的影响程度，即价格
弹性。通过计算价格弹性系数，可以了解市场对价格变动的敏感程度。
02
收入弹性
正切函数还可用于分析消费者收入变化对商品需求量的影响，即收入弹
性。收入弹性反映了消费者对不同商品的购买能力和偏好。
不连续点
正切函数在$frac{pi}{2} + kpi$（$k in mathbb{Z}$）处不 连续，即在这些点上函数值不存在。这些点称为正切函数的 不可导点或间断点。
高中正切函数
正切函数是三角函数的一种，英文是tangent，简写成tan。
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值叫做正切。
放在直角坐标系中，tan取某个角并返回直角三角形两个直角边的比值。
此比值是直角三角形中该角的对边长度与邻边长度之比，也可写作tg。
正切函数的定义域为所有实数，值域为所有实数除去奇数倍的π。
正切函数的公式表示为：tanx = sinx/cosx，这表示角x的正切值等于角x的正弦值除以角x的余弦值。
正切函数的性质包括：定义域为{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}，值域为实数集R，奇偶性为奇函数，单调性在区间(-π/2+k π, π/2+kπ),(k∈Z)上是增函数，周期性最小正周期π（可用T=π/|ω|来求）。
以上信息仅供参考，如有需要建议查阅数学书籍或咨询数学老师。
高中数学_三角函数公式大全
高中数学_三角函数公式大全一、基本公式1.正弦函数的基本公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsin(A+B) + sin(A-B) = 2sinAcosB2.余弦函数的基本公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBcos2A = cos^2(A) - sin^2(A)cos(A+B) + cos(A-B) = 2cosAcosB3.正切函数的基本公式：tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2(A))tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)二、和差化积公式1.正弦函数的和差化积公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB2.余弦函数的和差化积公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB三、倍角公式1.正弦函数的倍角公式：sin2A = 2sinAcosA2.余弦函数的倍角公式：cos2A = cos^2(A) - sin^2(A)3.正切函数的倍角公式：tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2(A))四、半角公式1.正弦函数的半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]2.余弦函数的半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]3.正切函数的半角公式：tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]五、和差化积公式1.正弦函数的和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB2.余弦函数的和差化积公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB六、和差化积公式的应用1. sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2)2. cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)3. tanA + tanB = sin(A+B) / cosAcosBtanA - tanB = sin(A-B) / cosAcosB以上是一些常用的三角函数公式，其中涉及到的角度均为弧度制。
高中数学 1[1].3.2正切函数的图象和性质课件 苏教版必修4
![高中数学 1[1].3.2正切函数的图象和性质课件 苏教版必修4](https://img.taocdn.com/s3/m/cbaf12bb2e3f5727a4e96295.png)
全体实x数R
3
2
taxn()taxn) (
正切函数是周期函
数，T=
5
例1 求函数 ytanx( ) 的定义域。
4
例2 不通过求值，比较下列各组中两个正切函 数值的大小：
(1)tan1670 与tan1730;
h
(2)tan(1)
13 与tan( )
45
6
例3 求下列函数的单调区间：
(1)y3tan1(x);
➢周期性：正切函数是周期函数，
最小正周期T=
➢奇偶性：奇函数， ➢单调性：正切函数在开区间 k,k,kZ
内都是增函数。 2 2
h
10
2
24
解 :f(x)3ta1nx()
3tan1(x24)
3tan12([x24)]
2
4
f(x2)
周T 期 2
周期T ||
h
8
画出函数y= tanx 的图象，指出它的单调区间，奇偶 性，周期。
3 3 2 2
h
9
（1）正切函数的图象 （2）正切函数的性质：
➢➢定值义域域：：全x|体x实2数Rk,kZ
在直角坐标系y轴左 侧作单位圆。
➢找横坐标（把x轴上
到 这一段分成8等份2）
➢把单位圆右半圆中
作出正切线。
➢找交叉点。 ➢连线。
Y
O
X
h
3
h
4
3
2
y
2
ta nx)(taxn)( o
正切函数是奇函数，正切曲线
关于原点0对称
正切函数在开区间 k,k,kZ
内都是增函数。 2 2
h
x|x2k,kZ
高中数学第1章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质高一数学
确；当点 P 在G︵H上时，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故 D 选项错误．综
上，故选 C．
12/8/2021
第十二页，共十四页。
12/8/2021
第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
No Image
12/8/2021
第十四页，共十四页。
D．xx∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z
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解析：选 D y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，
由 x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)，得 x≠kπ＋34π(k∈Z)．所以函数的定
义域为x|
x∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z.
12/8/2021
第十页，共十四页。
5．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，
A︵B，C︵D，E︵F，G︵H是圆 x2＋y2＝1 上的四段弧
(如图)，点 P 在其中一段上，角 α 以 Ox 为始
边，OP 为终边，若 tanα<cosα<sinα，则 P 所
在的圆弧是( )
A．A︵B
B．C︵D
C．E︵F
D．G︵H
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解析：选 C 逐个分析 A、B、C、D 四个选项，利用三角函
数的定义可得正确结论．当点 P 在A︵B上时，cosα＝x，sinα＝y，
∴cosα>sinα，故 A 选项错误；当点 P 在C︵D上时，cosα＝x，sinα
＝y，tanα＝yx，∴tanα>sinα>cosα，故 B 选项错误；当点 P 在E︵F上
时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴sinα>cosα>tanα，故 C 选项正
高中数学公开课正切函数的性质与图像
23
3
23 4
6
23 4
6 23 2
3
23 2
3
∴函数
y
tan
x 2
3
的图象与
x
轴的一个交点坐标是
2 3
,
0
在这个交点左,右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x , x 5 Nhomakorabea3
3
从而得到函数
y
f
(
x)
在一个周期
3
,
5 3
内的简图如下图所示:
小结：
1．正切函数的图像： 正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z.相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线， 且单调递增． 2．正切函数的性质：
1．取0，π2内的几个点，列表如下.
X
0
π 6
π 4
π 3
y＝tan x 0
3 3
1
3
再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图像，如图：
2．y＝tan x 的函数图像称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心为k2π，0k∈Z.
【对点快练】
1．函数 y＝tanx＋π5，x∈R 且 x≠31π0＋kπ，k∈Z 的一个对称中心是( )
∴kπ－π3<4x<kπ＋23π(k∈Z)，∴4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)，
∴y＝－tan4x－6π的单调减区间是4kπ－43π，4kπ＋83π(k∈Z)．
(2)tan－143π＝tan－143π＋4π＝tan－143π＋146π＝tan 34π，
tan－152π＝tan－152π＋3π＝tan－152π＋155π＝tan
A．(0,0)
高中数学《正切函数的图像与性质》课件
三角函数线
见教材 P 43图1.4 8
y tanx
定义域
{x | x
2
k , k Z }
值域
单调性 奇偶性 周期性
y tan x值域为R
y tan x在(
2
k ,
2
k )，k Z内单增
y tan x是奇函数 y tan x是周期函数，周期为
借助三角函数线绘制正 切函数在( , )内的图象 2 2 见教材 P 44图1.4 9
y
.
3 8 8 4
2
.
.
. .
.
8
3
8 4
x
.
正切函数的图象：
5 2
3 2
2
0
2
3 2
5 2
通过函数图象反过来验证一下函数的性质
T 2
T
3. 奇偶性 y tan x是奇函数
定义域关于原点对称
tan( x ) tan x
4. 单调性 y tan x在(
特值检验
2
k ,
2
k )，k Z内单增
x
tan x
0 0
6 3 3
4 1
3
3
2
变化不连续
缺乏整体感
1.4.3正切函数的性质和图象
y cos x , x R y sin x , x R y tanx
1. 定义域 { x | x
2. 周期性
2 y tan x是周期函数，周期为
高中数学第一章 §7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质[核心必知]1．正切函数(1)定义：如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .根据函数的定义，比值b a是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan_α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .(2)与正弦、余弦函数的关系：sin xcos x＝tan_x ．(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．(4)正切值在各象限内的符号如图． 2．正切线单位圆与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，与角α的终边或其反向延长线交于点T .则称线段AT 为角α的正切线．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．3续表[问题思考]1．你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是．正切函数定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，正切曲线在每一个开区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．3．函数y ＝|tan x |的周期是π2吗？提示：不是．y ＝|tan x |的周期仍为π.讲一讲1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α. [尝试解答] 在α的终边上取一点P (a ，2a )且a ≠0， 则有x ＝a ，y ＝2a ，r ＝a 2＋4a 2＝5|a |. ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限． 当α在第一象限时，a >0，则r ＝5a . ∴sin α＝y r＝2a 5a＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55. 当α在第三象限时，a <0，则r ＝－5a . ∴sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.1．若P (x ，y )是角α终边上任一点，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2.2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．练一练1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值．解：由已知可知点P 在第二象限，∴b ＞0. ∵cos α＝－35，∴－b b 2＋16＝－35，解得b ＝3，tan α＝－43.讲一讲2．画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像写出使y ≤1的x 的集合． [尝试解答] ∵y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2，（k ∈Z ），－tan x ， k π－π2＜x ＜k π，（k ∈Z ），画出其图像，如图所示实线部分．由图像可知x 的集合为{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }．1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等． 练一练2．[多维思考] 根据讲2中函数y ＝|tan x |的图像，讨论该函数的性质． 解：(1)定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)值域：[0，＋∞)．(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π. (4)奇偶性：图像关于y 轴对称，函数是偶函数． (5)单调性：在每一个区间(－π2＋k π，k π](k ∈Z )上是减少的，在每一个区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的．(6)对称性：对称轴x ＝k π2，k ∈Z .讲一讲3．(1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间．(2)比较tan 21π4与tan 17π5的大小．[尝试解答] (1)∵y ＝tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的，∴－π2＋k π＜12x －π4＜π2＋k π，k ∈Z .∴2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛－π2＋2k π，⎭⎪⎫3π2＋2k π(k ∈Z )． (2)tan 21π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋5π＝tan π4， tan 17π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π5＝tan 2π5.又∵函数y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，而0<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5，即tan 21π4<tan 17π5.1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．2．对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x 的范围即可．3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．练一练3．函数f (x )＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．解析：由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k ×π2－π12＜x ＜k ×π2＋512π(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )． 答案：(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )求函数y ＝11－tan x 的定义域．[错解] 由1－tan x ≠0得tan x ≠1， 解得x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．[错因] 求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的x ≠k π＋π2，k ∈Z 这一条 件．上面的解法只考虑了1－tan x ≠0，而没有考虑x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因而是错误的．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .1．函数y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：选A ∵y ＝tan(x ＋π)＝tan x . ∴此函数是奇函数．2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：选 D 由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .3．已知角α的终边上一点P (－2，1)，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12解析：选D tan α＝y x ＝1－2＝－12. 4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增加的， ∴0≤tan x ≤1. 答案：[0，1]5．比较大小：tan 2________tan 9. 解析：∵tan 9＝tan(－2π＋9)， 而π2＜2＜－2π＋9＜π，且y ＝tan x 在(π2，π)内是增加的．∴tan 2＜tan(－2π＋9)， 即tan 2＜tan 9. 答案： ＜6．利用正切函数的图像作出y ＝tan x ＋|tan x |的图像，并判断此函数的周期性． 解：∵当x ∈(k π－π2，k π]时，y ＝tan x ≤0，当x ∈(k π，k π＋π2)时，y ＝tan x ＞0，∴y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈（k π－π2，k π]，k ∈Z ，2tan x ，x ∈（k π，k π＋π2），∈Z .图像如图所示．由y ＝tan x ＋|tan x |的图像可知，它是周期函数，周期为π.一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．函数y ＝2tan(2x －π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________． 解析：作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示． 令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________． 解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)．答案：18．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________． 解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0， ∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f (－2π5)＝7， 求f (2 012π5)． 解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5. 10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]． ∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .。
高中数学必修一课件：正切函数的性质与图象
6π 5 <tan－135π.
(3)函数y＝ 1－tanx＋π4 的定义域为__x|_－_3_4π__＋__kπ__<_x_≤_k_π__，_k_∈__Z_． 【解析】 由1－tanx＋π4 ≥0，得tanx＋π4 ≤1，
ππ 且x＋ 4 ≠ 2 ＋kπ(k∈Z)． 由图可得－π2 ＋kπ<x＋π4 ≤π4 ＋kπ(k∈Z)， 即－3π 4 ＋kπ<x≤kπ(k∈Z)． 所以函数y＝ 1－tanx＋π4 的定义域为{x|－3π 4 ＋kπ<x≤kπ，k∈Z}．
思考题1 图中的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；
④y＝tan
|x|在x∈(－
3π 2
，
3π 2
)内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应
是( D )
A．①②③④ C．③②④①
B．①③④② D．①②④③
【解析】
y＝tan(－x)＝－tan
x在(－
π 2
，
π 2
)上是单调递减的，只有图象d
符合，即d对应③.故选D.
题型二 正切函数的定义域、周期性、奇偶性、对称性
例2 (1)函数y＝－2＋tan12x＋π3 的定义域是( A )
A.x|
2kπ－53π<x<2kπ＋π3 ，k∈Z
B.x|
2kπ－π3 <x<2kπ＋53π，k∈Z
C.x|
kπ－56π<x<kπ＋π6 ，k∈Z
π 8 <tan
π7 ，D错误．故选C.
(3)x∈(－π2 ，π2 )，使|tan x|≥
Байду номын сангаас
π π ππ
版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象
思考1
正切函数的定义域是什么？
答案
{x|x∈R且x≠
π 2
＋kπ，k∈Z}.
思考2
诱导公式tan(π＋x)＝tan
x，x∈R且x≠
π 2
＋kπ，k∈Z说明了正切
函数的什么性质？
答案 周期性.
答案
思考3
诱导公式tan(－x)＝－tan
x，x∈R且x≠
π 2
＋kπ，k∈Z说明了正
切函数的什么性质？
答案 奇偶性.
跟踪训练 2 求函数 y＝tan2x－π3的单调区间. 解 ∵y＝tan x 在 x∈－π2＋kπ，π2＋kπ (k∈Z)上是增函数， ∴－π2＋kπ<2x－π3<π2＋kπ，k∈Z，
即－1π2＋k2π<x<152π＋k2π，k∈Z.
∴函数 y＝tan2x－π3的单调递增区间是
解答
反思与感悟
求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时， 要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
跟踪训练 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域. 解 由题意得1ta－n xta＋n 1x>≥00，， 即－1≤tan x<1. 在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4，又 y＝tan x 的周期为 π， 所以函数的定义域是kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z).
解析 答案
反思与感悟
运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系.
跟踪训练 3 比较大小：tan－74π___>__tan－95π.
解析 ∵tan－74π＝－tan2π－π4＝tan π4，
高中数学：正切函数的图象和性质课件
kπ ( ,0) 2
问 题
讨论Leabharlann 问题：(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
π π (- + kπ, + kπ) ，k Z 2 2
在每一个开区间 内都是增函数。
基础练习
1．关于正切函数 y
tan x , 下列判断不正确的是（B ）
90 167 173 180
tan167 tan173
0 0
0
y tan x在 ， 上是增函数， 2
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
例 2.
求函数y tan( x
反馈演练
1、比较大小： (1)tan138 _____tan143 。 < 13π 17π > (2)tan()_____tan() 4 5 ２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增 区间。
k 定义域：｛ x\x , k z｝ 3 6 值域： R
0 0
k k 单调递增区间：（ , ） ,k z 6 3 6 3
正切函数的图象和性质
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入 如何用正弦线作正弦函数图象呢？
1、用平移正弦线得 y sinx, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段 图象向左、右扩展得到 .
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
3 , A. 4
高中数学课件-1.7 正切函数
正切函数的周期 由于
所以
p 是它的最小正周期.
是正切函数的周期.
探究点3 正切函数的图像
作法如下：
y
(1)作直角坐标系,并在
直角坐标系y轴左侧作单
位圆. (2)找横坐标
探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线
如图，单位圆与x轴正半轴 的交点为A(1 ,0)，任意角 α的终边与单位圆交于点P， 过点A(1 ,0)作x轴的垂线， 与角的终边或终边的延长 线相交于T点.
从图中可以看出： 当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方.
正切曲线是由通过点
且与 y 轴
相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐
渐
近
近
线
线
O
探究点4 正切函数的性质
O
函数 性质
定义域
值域
y=tan x
{x | x R, x p kp, k Z} 2
R
奇偶性
奇函数
周期性 单调性
周期kπ(k∈Z,k≠0),
最小正周期是π
在每一个区间
( p kp, p kp)(k Z) 22
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
探究点1 正切函数的定义
在直角坐标系中， 如果角α满足：α∈R， α≠ ＋kπ(k∈Z)，那么，角 α的终边与单位圆交于点P （a，b），唯一确定比
值 b. a
y
P(a ，b)
αA OM 1
x
正切函数的定义
5.4.3 正切函数的性质与图像 (教学课件) 高中数学人教A版(2019)必修第一册
k,
k
(k
Z)内是增函数.
例
例 求函数
y
tan
x
的定义域、周期及单调区间.
解：自变量 x 的取值应满足 x k k Z，
即x
2k
1k 3
Z .所以，函数的定义域是 x
x
2k
1k 3
Z.
设
z
x
，又 tan(
z
)
tan
z
，所以 tan
x
tan
x
，
周期性： 由诱导公式tan(x ) tan x, x R，且 x k, k Z
可知，正切函数是周期函数，周期是π.
奇偶性： 由诱导公式tan(x) tan x, x R，且 x k, k Z
可知，正切函数是奇函数.
思考
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
根据研究正切函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.所以可以根据研究正弦函数、余弦函数的经验来 研究正切函数.
你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质， 再利用性质研究正弦函数的图象.
可以先考察函数
y
tan
x,
x
0,
的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.
探究：如何画出函数
y
tan
x,
x
0,
的图象？
如图，设
x
0,
，在直角坐标系中画出角
x
正切函数值
正切函数值正切函数值是在数学中常用的函数，也是高中数学教学中极其重要的一个内容。
它定义在平面直角坐标系中，以角度或弧度为参数，返回相应角度的正切值。
正切函数值的计算有着广泛的应用，在数学计算领域有着广阔的前景。
本文将详细论述正切函数的概念，以及如何求正切函数值的方法。
正切函数值（Tangent）是一种数学函数，用于从一组极坐标系（polar coordinate system）中获取角度值，它是每一条曲线正切线与水平线之间的夹角。
它可以用简单的字母tan表示，也可以用tg表示。
正切函数值是一个介于-∞到+∞之间的实数，用以衡量曲线正切线与X轴之间的夹角大小。
在求正切函数值的过程中，首先要考虑的是求解角度的方式，有角度和弧度两种方法可供选择。
角度的求取会用到一些基本的三角函数公式，比如弧度制下的正弦值、余弦值、正切值、余切值等；弧度的求取则要求使用科学计算器，使用其中的反正切函数求取正切值。
在正切函数值计算中，要注意的是，正切函数值是曲线正切线与X轴之间的夹角，在求取正切值时要注意曲线角度的正负性，这是一个很容易忽略的点。
由于正切函数值是定义在一个平面直角坐标系中进行计算的，所以在求取正切函数值时，必须注意坐标系中曲线及X 轴的方向。
除此之外，在进行正切函数计算时，还可以调用tan函数TE(x)，用TE函数求正切值可以得到更精准的结果，要得到此结果，只需在弧度或角度的基础上再乘以π/180即可。
此外，在计算正切函数值时，可以使用反正切函数求正切函数值。
求反正切值的方法有两种，一种是直接使用科学计算器，在科学计算器上输入要求的反正切值，结果即可显示出来；另一种是使用VBA程序，在使用VBA时，只需要输入所需要求的正切值即可获得结果。
总之，正切函数值是非常重要的概念，作为数学计算的基础，它被广泛应用于各种领域，比如工程计算、统计学计算、机器学习等等。
本文介绍了正切函数值的概念及如何求正切函数值的方法，希望能够对大家有所帮助。
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正切函数
一、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正切函数的定义、图像及性质 一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】 1． 正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2
π
＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值
a b .根据函数定义，比值a
b
是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠
2
π
＋k π，k∈Z. 比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝
ααcos sin (α∈R ，α≠2
π
＋k π，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T 点。
从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两 个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 的值相等。
因此， 我们称有向线段AT 为角α的正切线。
2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域：()z k k x ∈+
≠2
π
π
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期： ()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛∈+≠∈=--=++=
+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且
∴⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈+
≠∈=z k k x R x x y ,2,tan π
π且的周期为π=T （最小正周期） （3）因此我们可选择⎪
⎫
⎛-,ππ的区间作出它的图象。
根据正
切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x
y ∈=tan ，且
k x +≠
π
2
这P
些直线叫作正切曲线各支的渐近线。
3．正切函数y ＝tanx 的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， （2）值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+
2
π
π，2
π
+π−→−k x 时，∞−→−x tan
当x 从大于
()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→
−2
时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：π=T
（4）奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-
ππππ2,2内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、课后反思
第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评 一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。
在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？
【探究新知】
tan(2π＋α)＝tan α tan(－α)＝－tan α
tan(2π－α)＝－tan α tan(π－α)＝－tan α
tan(π＋α)＝tan α
【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评 例1．若tan α＝3
2
，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
解：∵tan α＝
3
2
＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 （1）如果α是第一象限的角，则由tan α＝3
2
可知，角α终边上必有一点P （3，2）.
所以x ＝3，y ＝2. ∵r＝|OP|＝13 ∴sin α＝
r y ＝13132， cos α＝r x ＝13
133.
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sin α＝
r y ＝－13132， cos α＝r x ＝－13
13
3.
例2．化简：
()()()()()
πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan
解：原式＝
()()[]()()[]απαπαπαπα+----+-tan tan tan tan tan ＝()()()
αααααtan tan tan tan tan ---＝－αtan 1. 2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业：P45习题A 组1—11 四、课后反思。