材料力学(I)第八章讲义
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启航教育材料力学讲义2023
启航教育材料力学讲义2023第一章引言材料力学是研究材料力学性能及其变形、破裂规律的一门学科。
材料力学的研究对象是各种不同材料的力学行为以及力学性能的变化规律。
本讲义旨在介绍材料力学的基本概念和重要原理，为学习者提供一个全面的材料力学知识体系。
第二章力学基础2.1 力的概念和表示力是物体之间相互作用的结果，是引起物体产生加速度的原因。
力的表示通常使用矢量表示，包括大小、方向和作用点。
2.2 力的合成与分解多个力可以合成为一个力，也可以分解为多个力。
合成力和分解力的原理是力的矢量性质。
2.3 牛顿定律牛顿第一定律：物体静止或匀速直线运动时，受力合力为零。
牛顿第二定律：物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第三定律：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
第三章应力和应变3.1 应力的概念应力是物体单位面积上的内力。
根据作用面的不同，可分为正应力、剪应力和体积应力。
3.2 应变的概念应变是物体在受力作用下发生形变的程度。
根据形变方式的不同，可分为线性应变、剪应变和体积应变。
3.3 弹性模量弹性模量是衡量材料抵抗形变的能力，常用的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
第四章杨氏模量和杨氏定律4.1 杨氏模量的概念杨氏模量是衡量材料抵抗线性形变的能力，是应力和应变之间的比值。
4.2 杨氏定律杨氏定律描述了材料在弹性变形时的应力和应变之间的关系，即应力与应变成正比。
第五章剪切应力和剪切变形5.1 剪切应力和剪切变形的概念剪切应力是垂直于剪切面的切向力与切面积之比，剪切变形是物体在受剪切力作用下的形变。
5.2 剪切弹性模量和剪切变形角剪切弹性模量是衡量材料抵抗剪切形变的能力，剪切变形角是剪切变形引起的角度变化。
第六章泊松比和体积应力6.1 泊松比的概念泊松比是衡量材料在受力作用下沿一个方向的收缩程度与另一个方向的伸长程度之比。
6.2 体积应力的概念体积应力是物体在受力作用下发生体积变化的应力。
材料力学(I)第八章 组合变形及连接部分的计算
同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。 例如，B截面上的弯矩
sb
12
M max Fl 。 W 4W
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
在FN 和Mmax共同作用下，危险 截面上正应力沿高度的变化随sb和st
ห้องสมุดไป่ตู้
的值的相对大小可能有图d ,e ,f 三种
情况。危险截面上的最大正应力是拉 应力：
s t ,max
Ft Fl A 4W
可见此杆产生弯一压组合变形。现按大刚度杆来计算应力。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力st,max和最大压应力
sc,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)：
s t ,max
F M FN M max 或 s c ,max N max A W A W
强度条件为
26
s r 3 [s ] 或
s r 4 [s ]
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第八章 组合变形及连接部分的计算
究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不
一致。注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危 险点处：
M W
s
T T Wp 2W
2 2
为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：
（a）
3. 根据钢管的横截面尺寸算得：
π 2 [ D ( D 2d ) 2 ] 4 40.8 10 4 m 2 π I [ D 4 ( D 2d ) 4 ] 64 868108 m 4 I W 124 10 6 m3 D/2 A
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第8章-能量法3-1
d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所 作的功。
W Wi
* e
e
*
外力虚功
内力虚功
l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa
1
2a 5a/3
2
3a/2
-
2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题 力法 例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
武汉理工大学材料力学课件8 组合变形及连接部分的计算--JK
9
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（）若 [ t ] [ c ] [ ], 则 1 （2）若 [ t ] [ c ], 则
t ,max [ t ] ,
z
c ,max
FN M max [ c ] A Wz
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， F M 则强度条件为： [ t ] t , max A Wz 其中 M Fe
c ,max
F M [ c ] A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
FN My A Iz
z
c ,max
(2)若 t ] [ c ] [ ] , [
则
FN M max [ c ] A Wz
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
20
[例8-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T YA 择工字梁型号。 Ty XA D
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第八章压杆的稳定性
第八章
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
大连理工大学精品课程-材料力学性能-第八章-应力腐蚀
3
2020年8月8日星 第八章 金属的应力腐蚀和氢脆断裂 期六
应力腐蚀断裂并不是金属在应力作用下的机械 性破坏与在化学介质作用下的腐蚀性破坏的迭加所 造成的，而是在应力和化学介质的联合作用下，按 特有机理产生的断裂，其断裂抗力比单个因素分别 作用后再迭加起来的要低得多。所以发生应力腐蚀 时，应力可以是很低的，介质的腐蚀性也可以是很 弱的，也正因如此，应力腐蚀经常受到忽视，导致 “意外”事故不断发生，经常造成灾难性的后果。 4
2020年8月8日星 第八章 金属的应力腐蚀和氢脆断裂 期六
应力腐蚀显微裂纹有分 叉现象，呈枯树枝状，如图 8-2所示。表明在应力腐蚀 时，有一主裂纹扩展较快， 其它分支裂纹扩展较慢。根 据这一特征可以将应力腐蚀 与腐蚀疲劳、晶间腐蚀及其 它形式的断裂区分开来。 12
图8-2 应力腐蚀裂纹的分叉现象
2020年8月8日星 第八章 金属的应力腐蚀和氢脆断裂 期六
2.应力腐蚀造成的破坏是脆性断裂。 3.纯金属一般不发生应力腐蚀。只有在特定的合金 成分与特定的介质组合时才会造成应力腐蚀。 4.应力腐蚀的裂纹扩展速率一般在10－9～10－6m/s， 是比较缓慢的，达到某一临界尺寸时产生失稳扩展 导致断裂。 5.应力腐蚀的裂纹多起源于表面蚀坑处，而裂纹的 扩展常垂直于拉力轴。 10
渡区，当KI≥KIC时，裂纹失稳扩展断裂。
第II阶段越长，材料抗应力腐蚀性能越好。如果能测出此阶段da/dt及结
25束时的KI值，就可估算出机件在应力腐蚀条件下的剩余寿命。
2020年8月8日星 第八章 金属的应力腐蚀和氢脆断裂 期六
六、防止应力腐蚀的措施
从产生应力腐蚀的条件来看，防止应力腐蚀的措 施，主要是合理选择金属材料，减少或消除机件中的 残余应力及改变化学介质条件。此外，也可以采用电 化学方法进行保护。 1.合理选择金属材料：针对机件所受的应力和接触的 化学介质，一个基本原则是选用耐应力腐蚀的金属材 料。例如铜对氨的应力腐蚀敏感性很高，那么接触氨 气氛的机件就应避免使用铜合金。
2020年8月8日星 第八章 金属的应力腐蚀和氢脆断裂 期六
应力腐蚀断裂并不是金属在应力作用下的机械 性破坏与在化学介质作用下的腐蚀性破坏的迭加所 造成的，而是在应力和化学介质的联合作用下，按 特有机理产生的断裂，其断裂抗力比单个因素分别 作用后再迭加起来的要低得多。所以发生应力腐蚀 时，应力可以是很低的，介质的腐蚀性也可以是很 弱的，也正因如此，应力腐蚀经常受到忽视，导致 “意外”事故不断发生，经常造成灾难性的后果。 4
2020年8月8日星 第八章 金属的应力腐蚀和氢脆断裂 期六
应力腐蚀显微裂纹有分 叉现象，呈枯树枝状，如图 8-2所示。表明在应力腐蚀 时，有一主裂纹扩展较快， 其它分支裂纹扩展较慢。根 据这一特征可以将应力腐蚀 与腐蚀疲劳、晶间腐蚀及其 它形式的断裂区分开来。 12
图8-2 应力腐蚀裂纹的分叉现象
2020年8月8日星 第八章 金属的应力腐蚀和氢脆断裂 期六
2.应力腐蚀造成的破坏是脆性断裂。 3.纯金属一般不发生应力腐蚀。只有在特定的合金 成分与特定的介质组合时才会造成应力腐蚀。 4.应力腐蚀的裂纹扩展速率一般在10－9～10－6m/s， 是比较缓慢的，达到某一临界尺寸时产生失稳扩展 导致断裂。 5.应力腐蚀的裂纹多起源于表面蚀坑处，而裂纹的 扩展常垂直于拉力轴。 10
渡区，当KI≥KIC时，裂纹失稳扩展断裂。
第II阶段越长，材料抗应力腐蚀性能越好。如果能测出此阶段da/dt及结
25束时的KI值，就可估算出机件在应力腐蚀条件下的剩余寿命。
2020年8月8日星 第八章 金属的应力腐蚀和氢脆断裂 期六
六、防止应力腐蚀的措施
从产生应力腐蚀的条件来看，防止应力腐蚀的措 施，主要是合理选择金属材料，减少或消除机件中的 残余应力及改变化学介质条件。此外，也可以采用电 化学方法进行保护。 1.合理选择金属材料：针对机件所受的应力和接触的 化学介质，一个基本原则是选用耐应力腐蚀的金属材 料。例如铜对氨的应力腐蚀敏感性很高，那么接触氨 气氛的机件就应避免使用铜合金。
材料力学第八章
FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
C
y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;
（zF，yF ） 为力 F 作用点的坐标;
（z，y）为所求应力点的坐标.
四、中性轴的位置
FN F zF z F yF y A Iy Iz
z
z
F/A
y
FzF/Wy
z FyF/Wz y
y
FN
(a)
My
(b)
Mz
(c)
（5）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处, 并可根据杆件的变形来确定
最大拉应力 tmax 和最大压应力 cmin 分别在截面的棱角 D1 D2 处。无需先确定中性轴的位置，直接观察确定危险点的位置 即可
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧
z (yF , zF )
O
az ay
y
z
中性轴
O
外力作用点
z
D1(y1,z1) y
中性轴
y
D2(y2,z2)
（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点
C
Fx 0 Fy 0
FNAB F
FRAx 0.866F FRAy 0.5 F
A 1.2m F
30°
B
D 1.2m
FRAy
FNAB
30°
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形 中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A 发生在该截面的上边缘 F
(06)北航材料力学第八章PPT课件
max
T WP
计算相当应力(塑性材料)：
r3 242
(M)2 4( T )2
Wz
2Wz
M2 T2 []
W
r4 232
M20.75T2 []
W
如果要考虑剪力的影响，如何处理？
对于非圆截面轴的弯扭组合问题如何处理？ERIALS
弯拉(压)扭组合(圆轴)：
y
1、弯拉扭组合；
o F
y
T1 F1 z
F2 T2
横截面的剪心
15
MECHANICS OF MATERIALS
§8-5 薄壁圆筒的强度与变形计算
受内压的薄壁圆筒:
p
p
δ D
t x
D——内直径 σx ——轴向正应力
δ——壁厚（ δD/20 ） σt——周向正应力
16
➢ 薄壁圆筒的轴向应力：
p
p
MECHANICS OF MATERIALS
max W TP
弯曲(对称弯曲)：
My
IZ
ma x W M Z
Q S z() I zb
m a2 3 x Q A (矩 ) 形 m a4 3 x Q A (圆 ) 形
4
MECHANICS OF MATERIALS
四、强度计算：将应力叠加，找出危险点，画出危险点
的应力状态，计算相当应力。
弯扭组合(圆轴)：
F1 y R1
R2 x F2
a/2
a
1、外力分析： 将各横向力向轴线简化， 根据平衡方程，求出各外载荷的大小
a
z y F1 M1
M2 x
F2y
F2z
Mx 0
F 1R 1 F 2 zR 2 F 2sin R 2
材料力学第08章-06
内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一
条平面曲线。
F1
F2
C
纵向对称面
§8–2 双对称轴梁非对称弯曲
z y x
lF
z y
F
§8–2 双对称轴梁非对称弯曲 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两
个正交的平面弯曲。
z y
x
x
lF
z y
Mzx x My
zy x
My
z
Fy
y
y
z
z
D
t max
y
y
y
My
Mz
c max
合应力： M y z M z y D
最大正应力在D和D´点
ma xm a xm ax
Iy Iz
max
My Wy
Mz Wz
最大正应力在D和D´点
maxm axm ax
z
max
y
δ154.153.443.42.49
查表得：
Wy692(cm3)
[例1] 已知：32a工字钢，l =2m，F=33kN， =15°，
[]=170MPa，校核梁的强度。
z
yF
l
l
zF
y
z
y Fz
Fy
A
B
l
l
zF
y
Fzl
2
+ My
y
Fy
F yl
2
A
B
MZ
+
l
l
z
y Fz
解： 危险截面在跨中
3
323.76106
材料力学刘鸿文第六版最新课件第八章 组合变形
667 667
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
材料力学_第八章截面核心
''' Mzy Iz
z
(yF , zF)
F A
Myz Iy
M z y I z
y
max
F A
Mz Wz
My Wy
min
F A
Mz Wz
My Wy
中性轴任意点（y0，z0）满足：
F Mz y0 M yz0 0
A Iz
Iy
中性轴方程 az
ay 中性轴 z
F A
FyF y0 Aiz2
FzF z0
组合变形的分析方法：在小变形和线弹性情况下，可先 分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采 用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和 总变形。
F
Ft
Ft
z
l/2 l/2
y
II、偏心拉(压) (拉：F 0 ; 压: F 0)
xF
xF
z
My
y
z y
Mz
F
My
MZ
' F
A
'' Myz Iy
a
2. 确定形心主惯性轴，并求形心主惯性矩 z
4a 6a
由于z轴为对称轴，且y、z轴的交 点过形心，故图c中y轴和z轴的为形 心主惯性轴。
* C
y
形心主惯性矩Iy为
4a
Iy
a(4a)3 [
12
(a
4a) (2a)2]
4a(2a)3 [
12
(4a
(c)
2a) a2 ]
32a4
Iz
4a(a)3 12
2a(4a)3 12
11a4
3. 计算横截面上的内力
将F力向形心C简化，可得杆的内力分别为 FN=F，My=F·2a， Mz=F·2a
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材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
10
若作用于连接上的力其作用线通过铆钉组形心， 而且各铆钉的材料和直径均相同，则认为每个铆钉传 递相等的力，Fi= F / n。据此进行强度计算。
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
11
当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力smax 可能出现在轴力最大即FN= FN,max所在的横截面上， 也可能出现在净面积最小的横截面上。
组合变形及连接部分的计算
4
图a所示螺栓连接主要有三种 可能的破坏： Ⅰ. 螺栓被剪断(参见图b和图c)； Ⅱ. 螺栓和钢板因在接触面上受 压而发生挤压破坏（螺栓被压扁， 钢板在螺栓孔处被压皱）； Ⅲ. 钢板在螺栓孔削弱的截面处 全面发生塑性变形甚至拉断。 实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
6
(2) 挤压的实用计算
对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱 形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如 图c所示，而最大挤压应力sbs的值大致等于把挤压力 Fbs除以实际挤压面（接触面）在直径面上的投影。
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
14
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
15
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
16
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
17
例题 8-8
某钢桁架的一个节点如图a所示。斜杆A由两根63 mm×6 mm的等边角钢组成，受轴向力F =140 kN作 用。该斜杆用直径为d =16 mm螺栓连接在厚度为10 mm的结点板上，螺栓按单行排列。已知角钢、结点 板和螺栓材料均为Q235钢，许用应力为[s ]=170 MPa,[ ]=130 MPa,[sbs]=300 MPa。试选择所需 的螺栓个数，并校核角钢的拉伸强度。
组合变形及连接部分的计算
21
例题 8-7
F Fbs n
而挤压应力为
s bs
Fbs F / n (140 103 N ) / 3 Abs d (10 10 3 m )(16 10 3 m )
292 106 Pa 292 MPa 其值小于许用挤压应力[sbs] 300 MPa，满足 挤压强度条件。
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
1
第 8 章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互 垂直平面内的弯曲
§8-2+ 平面弯曲的条件
§I-4 惯性矩和惯性积转轴公式· 截面的主惯性轴和主惯性矩
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组合变形及连接部分的计算
2
§8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
19
例题 8-7
此连接中的螺栓受双剪（图b），每个剪切面上 的剪力为 F /n F FS 2 2n 螺栓的剪切强度条件为
FS F / 2n 2 (140 103 N ) 6 2 130 10 Pa 3 2 As πd / 4 nπ(16 10 m)
从而求得所需的螺栓个数： n 2.68
取 n =3
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组合变形及连接部分的计算
20
例题 8-7
2. 校核挤压强度 由于结点板的厚度（10 mm）小于两根角钢肢 厚度之和（2×6 mm）,所以应校核螺栓与结点板之 间的挤压强度。每个螺栓所传递的力为 F/n ，亦即 每个螺栓与结点板之间的挤压压力为
材料力学(Ⅰ)电子教案
7
故挤压应力为
Fbs s bs d
式中， 为挤压面高度，d 为螺栓或铆钉的直径。 挤压强度条件为
s bs [s bs ]
其中的许用挤压应力[sbs]也是通过直接试验，由挤 压破坏时的挤压力除以安全因数确定的。
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
8
应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间 的相互作用，因而当两者的材料不同时，应校核许 用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便 于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。
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组合变形及连解: 1. 按剪切强度条件选择螺栓个数 由于此连接中各螺栓的材料和直径相同，且 斜杆上的轴向力其作用线通过该组螺栓的截面形 心，故认为每个螺栓所受的力相等，设螺栓个数 为n，则每个螺栓所受的力为F/n。
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组合变形及连接部分的计算
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组合变形及连接部分的计算
9
(3) 拉伸的实用计算 螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的 削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据。 被连接件的拉伸强度条件为
FN s [s ] A
式中：FN为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A 为同一横截面的净面积，图示情况下A=(b – d ) 。
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组合变形及连接部分的计算
12
铆钉连接主要有三种方式：1.搭接（图a），铆 钉受单剪；2.单盖板对接（图b），铆钉受单剪；3. 双盖板对接（图c），铆钉受双剪。
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组合变形及连接部分的计算
13
销钉连接和螺栓连接的分析计算方法与铆钉连接 相同。至于在螺栓连接中使用高强度螺栓，将螺帽拧 得很紧以利用螺栓的预紧力藉钢板之间的摩擦力来传 递连接所受外力，则不属于这里讨论的范围。
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
5
(1) 剪切的实用计算 在计算中，认为连接件的剪切面（图b、c）上各 点处切应力相等，即剪切面上的切应力为 FS As 式中，FS为剪切面上的剪力， As为剪切面的面积。 FS 强度条件 [ ] As 其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形 情况下的试验测得的破坏剪力除以安全因数确定。
§8-4 扭转和弯曲的组合变形
§8-5 连接件的实用计算法
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
*§8-7 榫齿连接
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组合变形及连接部分的计算
3
§8-5 连接件的实用计算法
图a所示为工程中常见的两块铁板用螺栓连接 的形式，现在我们研究问题是---有那些破坏形式。
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