图形的相似复习与小结-冀教版九年级数学上册
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解得，x 4 3
图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
知识运用
2.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（-4,2）， 以原点O为位似中心，做出△ABC的位似图形△A'B'C',使 OA':OA=1：2.则点A的对应点A'的坐标为（ D ）
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知识运用
1.一个矩形广场的长为60m,宽为40m,广场内的两条
纵向小路的宽为2m,当两条横向小路的宽x=__4___时，
小路内外边缘所围成的两个矩形相似.
3
分析： 当两个矩形相似时
60 40 60 2 2 40 2x
A
分析：
D
E
B
FC
DE∥BC
AE AD 3 CE DB 2
EF∥AB FC CE 2 BC=25
BC AC 5
CE 2 AC 5
FC=10
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图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
知识回顾
三、相似三角形的判定和性质
1.相似三角形的判定： ①两角对应相等 ②两边对应成比例且夹角相等 ③三边对应成比例
图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
知识运用
4.如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=5.D是AB的中点， 点E是AC的中点，点P是边BC上的动点，当BP=_2_._5_或__1或4 时，△BDP与△PEC相似.
A
注意：分类讨论
D
B
P
E C
考查知识点： 比例的等比性质
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图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
知识运用 5.已知线段AB=2，点P是AB上的黄金分割点.则 AP的长是__5__1_或__3___5_.
分析： 分两种情况
①AP为较长线段 ②AP为最短线段
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的两个三角形相似
④平行（A型、8型)
两个三角形相似
（斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似）
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图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
知识回顾 三、相似三角形的判定和性质 1.相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例
② 相似三角形对应高的比
两点间的距离不容易直接测量，这时往往构 造相似三角形，利用相似三角形的性质解决 问题.
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知识运用
1.如图，淇淇将镜子放到地面上，然后后退直到她站直身子 刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,测得所站位置B到镜子C的 距离是50cm,镜子C距旗杆底部D的距离为4m,已知淇淇的身高 为1.54m,眼睛A距头顶M的距离是4cm,求旗杆DE的高度.
bd
n
那么a c ... m k b d ... n
思考：当b n 0时，a m k成立吗？ 成立
bn
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知识回顾
一、比例线段 5.黄金分割：
在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段 AC和BC，满足 AC BC ,那么称线段AB被点C黄金分割，
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知识回顾
五、相似多边形和图形的位似 2.位似图形
当两个相似图形，经过每对对应顶点的直线 相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线 上）时，就可以称这两个图形为位似图形.
位似图形 的条件
①相似 ②对应顶点所在的直线相交于一点 ③对应边平行或在同一直线上
M A
BC
E 分析：
∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD
△ABC∽△EDC
D
1.54 0.04 0.5
DE
4
DE=12
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知识运用
2.如图，嘉嘉在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时的
影长2m，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部
①当△DBP∽△ECP时
BD BP CE CP
此时，BP=CP=2.5
②当△DBP∽△PCE时
BD BP CP CE
此时，BP=1或4
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知识回顾 四、相似三角形的应用
相似三角形在实际生活中的运用： 在现实生活中，有些物体的高度或有的
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B
DC
Fra Baidu bibliotek
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综合练习
2.在正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在边CD上， ∠BEF=90°，延长EF交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△EGB (2)若AB=4，求CG.
分析：
A ED F
(1)由∠ABE=∠G,∠A=∠BEG 可推出△ABE∽△EGB
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B
C
G
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综合练习
2.在正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在边CD上， ∠BEF=90°，延长EF交BC的延长线于点G.
(2)若AB=4，求CG.
A ED F
分析：
由（1）得△ABE∽△EGB
AE BE BE BG
分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他
测得落在地面上的影长为10m，落在斜坡上的影长为2 2m
，∠DCM=45°.求旗杆AB的高度.
A
分析：
转化为基本形状，即没有
D
山坡时.
延长AD交直线BC于点N,过
B
CM
N 点D作DM⊥CN于点M.
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即 2 2 5 2 5 BG
B
C
G
∴BG=10
∴CG=10-4=6
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同学们再见
相似三角形对应中线的比 相似三角形的对应角平分线的比
等于相似比
相似三角形的周长之比
③相似三角形的面积之比等于相似比的平方
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知识运用
1.在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若△CMN的面 积为2，则四边形AMNB的面积为__6__.△BMC的面积是__4__.
知识运用
A B
思路：
在RtDMC中，由DCM 45，CD 2 2可得
CM=DM=2
由“相同时刻物长与影长成比例”可得
D CM
MN=2DM=4
因此BN=BC+CM+MN=16
N
AB 1 BN 8
2
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知识回顾 五、相似多边形和图形的位似 1.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例， 那么这两个多边形就叫做相似多边形. 用于判定两个多边形相似 两个多边形相似时的性质
2.比例中项： 如果a:b=b:c,即b²=ac,就把b叫做a,c的 比例中项.
知识回顾 一、比例线段 3.比例的基本性质：
如果 a c ,那么ad bc. bd
如果ad bc,那么a c . bd
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知识回顾
一、比例线段
4.比例的等比性质：
如果 a c ... m k(b d ... n 0)
A.（-2,1）B.（-8,4）C.(-8,4)或（8，-4）D.（-2,1）或（2，-1）
注意：当位似中心及位似比确定后，一个图形的位似
图形有两个，它们关于位似中心成中心对称.
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综合练习
1.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点
A
E C
B O
F D
分析：
由平行线分线段成比例的结论可得 CE FD，即2 1.5 BE AF 6 AF AF 4.5 AD AF FD 4.5 1.5 6
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知识运用
2.在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD:DB=3：2， BC=25，则FC=_1_0___.
E,F是AB的中点，连接EF交AD于点G.
（1）求证：AD²=AB·AE
A
(2)若AB=3，AE=2，求AD:AG
分析：△ADC∽△AED可得
AD²=AE·AC 由AB=AC可得 AD²=AB·AE
F G E
B
D
C
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冀教版九上
第二十五章 图形的相 似
复习与小结
冀教版九上
学习目标
1.熟练运用相似三角形的判定及性质解决问题.
2.会用相似三角形的知识解决实际问题.
3.了解、巩固比例线段、黄金分割、相似多边 形、位似的相关知识.
知识回顾 一、比例线段 1.成比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比 等于c与d的比，就说这四条线段是成 比例线段.
综合练习
1.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点
E,F是AB的中点，连接EF交AD于点G.
(2)若AB=3，AE=2，求AD:AG
分析：由点F、点D为中点
可想到利用三角形的中位线 连接DF，则DF∥AC
A
F G E
GD DF 1.5 3 AG AE 2 4
AD 7 AG 4
AB AC 点C是AB的黄金分割点. AC 称为黄金比.
AB 黄金比 5 1 0.618 .
2
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知识运用
1.下面四组线段中，不能成比例的是（ C ）
A.a 2,b 3, c 4, d 6
B.a 1,b 2, c 5, d 10
C 注意：
D
母子型中，常用到以共公边
为比例中项的比例式.
A
B
如本题中，BC²=CD·AC
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知识运用
3.如图，小正方形的边长均为1，则下列三角形（阴
影部分）中，与△ABC相似的是（ B ）.
A
B
C
A
B
C
D
注意：在网格中往往用“三边对应成比例”来判断三角形相似.
3.已知 x y 则下列式子一定成立的 是 _D___.
2 3, A.x y 5; B.2x 3y;C. x 3 ; D. x 2
y2 y3 考查知识点： 比例的基本性质 4.若 a c e 2 (b d f 0),当a c e 6时，
bd f 3
则b d f __9____.
C.a 2,b 5, c 2, d 5
考查知识点： 成比例线段
D.a 1,b 10, c 10, d 10
2.已知线段a=4,b=9,则a,b的比例中项x=__6_.
分析：x²=ab
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知识运用
A M
注意：
1.相似三角形面积之比等于相似比的平方.
C
N
B 2.等高的三角形面积之比等于底边之比.
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知识运用
2.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A， BC= 6 ，AC=3，则CD=__2___.
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知识回顾 二、平行线分线段成比例 1.基本事实
对应线段
2.基本型
A
D
E
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B
C
ED
当DE∥BC时
A
AD AE DE
B
C AB AC BC
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知识运用
1.如图.已知AD,BC相交于点O,AB∥CD∥EF,如果CE=2， EB=6，FD=1.5，那么AD=__6___.
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知识运用
2.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（-4,2）， 以原点O为位似中心，做出△ABC的位似图形△A'B'C',使 OA':OA=1：2.则点A的对应点A'的坐标为（ D ）
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知识运用
1.一个矩形广场的长为60m,宽为40m,广场内的两条
纵向小路的宽为2m,当两条横向小路的宽x=__4___时，
小路内外边缘所围成的两个矩形相似.
3
分析： 当两个矩形相似时
60 40 60 2 2 40 2x
A
分析：
D
E
B
FC
DE∥BC
AE AD 3 CE DB 2
EF∥AB FC CE 2 BC=25
BC AC 5
CE 2 AC 5
FC=10
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三、相似三角形的判定和性质
1.相似三角形的判定： ①两角对应相等 ②两边对应成比例且夹角相等 ③三边对应成比例
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知识运用
4.如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=5.D是AB的中点， 点E是AC的中点，点P是边BC上的动点，当BP=_2_._5_或__1或4 时，△BDP与△PEC相似.
A
注意：分类讨论
D
B
P
E C
考查知识点： 比例的等比性质
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图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
知识运用 5.已知线段AB=2，点P是AB上的黄金分割点.则 AP的长是__5__1_或__3___5_.
分析： 分两种情况
①AP为较长线段 ②AP为最短线段
图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
的两个三角形相似
④平行（A型、8型)
两个三角形相似
（斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似）
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知识回顾 三、相似三角形的判定和性质 1.相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例
② 相似三角形对应高的比
两点间的距离不容易直接测量，这时往往构 造相似三角形，利用相似三角形的性质解决 问题.
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知识运用
1.如图，淇淇将镜子放到地面上，然后后退直到她站直身子 刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,测得所站位置B到镜子C的 距离是50cm,镜子C距旗杆底部D的距离为4m,已知淇淇的身高 为1.54m,眼睛A距头顶M的距离是4cm,求旗杆DE的高度.
bd
n
那么a c ... m k b d ... n
思考：当b n 0时，a m k成立吗？ 成立
bn
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知识回顾
一、比例线段 5.黄金分割：
在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段 AC和BC，满足 AC BC ,那么称线段AB被点C黄金分割，
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知识回顾
五、相似多边形和图形的位似 2.位似图形
当两个相似图形，经过每对对应顶点的直线 相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线 上）时，就可以称这两个图形为位似图形.
位似图形 的条件
①相似 ②对应顶点所在的直线相交于一点 ③对应边平行或在同一直线上
M A
BC
E 分析：
∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD
△ABC∽△EDC
D
1.54 0.04 0.5
DE
4
DE=12
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2.如图，嘉嘉在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时的
影长2m，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部
①当△DBP∽△ECP时
BD BP CE CP
此时，BP=CP=2.5
②当△DBP∽△PCE时
BD BP CP CE
此时，BP=1或4
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知识回顾 四、相似三角形的应用
相似三角形在实际生活中的运用： 在现实生活中，有些物体的高度或有的
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B
DC
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综合练习
2.在正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在边CD上， ∠BEF=90°，延长EF交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△EGB (2)若AB=4，求CG.
分析：
A ED F
(1)由∠ABE=∠G,∠A=∠BEG 可推出△ABE∽△EGB
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B
C
G
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2.在正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在边CD上， ∠BEF=90°，延长EF交BC的延长线于点G.
(2)若AB=4，求CG.
A ED F
分析：
由（1）得△ABE∽△EGB
AE BE BE BG
分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他
测得落在地面上的影长为10m，落在斜坡上的影长为2 2m
，∠DCM=45°.求旗杆AB的高度.
A
分析：
转化为基本形状，即没有
D
山坡时.
延长AD交直线BC于点N,过
B
CM
N 点D作DM⊥CN于点M.
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即 2 2 5 2 5 BG
B
C
G
∴BG=10
∴CG=10-4=6
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相似三角形对应中线的比 相似三角形的对应角平分线的比
等于相似比
相似三角形的周长之比
③相似三角形的面积之比等于相似比的平方
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1.在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若△CMN的面 积为2，则四边形AMNB的面积为__6__.△BMC的面积是__4__.
知识运用
A B
思路：
在RtDMC中，由DCM 45，CD 2 2可得
CM=DM=2
由“相同时刻物长与影长成比例”可得
D CM
MN=2DM=4
因此BN=BC+CM+MN=16
N
AB 1 BN 8
2
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知识回顾 五、相似多边形和图形的位似 1.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例， 那么这两个多边形就叫做相似多边形. 用于判定两个多边形相似 两个多边形相似时的性质
2.比例中项： 如果a:b=b:c,即b²=ac,就把b叫做a,c的 比例中项.
知识回顾 一、比例线段 3.比例的基本性质：
如果 a c ,那么ad bc. bd
如果ad bc,那么a c . bd
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一、比例线段
4.比例的等比性质：
如果 a c ... m k(b d ... n 0)
A.（-2,1）B.（-8,4）C.(-8,4)或（8，-4）D.（-2,1）或（2，-1）
注意：当位似中心及位似比确定后，一个图形的位似
图形有两个，它们关于位似中心成中心对称.
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1.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点
A
E C
B O
F D
分析：
由平行线分线段成比例的结论可得 CE FD，即2 1.5 BE AF 6 AF AF 4.5 AD AF FD 4.5 1.5 6
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2.在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD:DB=3：2， BC=25，则FC=_1_0___.
E,F是AB的中点，连接EF交AD于点G.
（1）求证：AD²=AB·AE
A
(2)若AB=3，AE=2，求AD:AG
分析：△ADC∽△AED可得
AD²=AE·AC 由AB=AC可得 AD²=AB·AE
F G E
B
D
C
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第二十五章 图形的相 似
复习与小结
冀教版九上
学习目标
1.熟练运用相似三角形的判定及性质解决问题.
2.会用相似三角形的知识解决实际问题.
3.了解、巩固比例线段、黄金分割、相似多边 形、位似的相关知识.
知识回顾 一、比例线段 1.成比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比 等于c与d的比，就说这四条线段是成 比例线段.
综合练习
1.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点
E,F是AB的中点，连接EF交AD于点G.
(2)若AB=3，AE=2，求AD:AG
分析：由点F、点D为中点
可想到利用三角形的中位线 连接DF，则DF∥AC
A
F G E
GD DF 1.5 3 AG AE 2 4
AD 7 AG 4
AB AC 点C是AB的黄金分割点. AC 称为黄金比.
AB 黄金比 5 1 0.618 .
2
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1.下面四组线段中，不能成比例的是（ C ）
A.a 2,b 3, c 4, d 6
B.a 1,b 2, c 5, d 10
C 注意：
D
母子型中，常用到以共公边
为比例中项的比例式.
A
B
如本题中，BC²=CD·AC
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3.如图，小正方形的边长均为1，则下列三角形（阴
影部分）中，与△ABC相似的是（ B ）.
A
B
C
A
B
C
D
注意：在网格中往往用“三边对应成比例”来判断三角形相似.
3.已知 x y 则下列式子一定成立的 是 _D___.
2 3, A.x y 5; B.2x 3y;C. x 3 ; D. x 2
y2 y3 考查知识点： 比例的基本性质 4.若 a c e 2 (b d f 0),当a c e 6时，
bd f 3
则b d f __9____.
C.a 2,b 5, c 2, d 5
考查知识点： 成比例线段
D.a 1,b 10, c 10, d 10
2.已知线段a=4,b=9,则a,b的比例中项x=__6_.
分析：x²=ab
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A M
注意：
1.相似三角形面积之比等于相似比的平方.
C
N
B 2.等高的三角形面积之比等于底边之比.
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图形的相似复习与小结-冀教版九年级 数学上 册
知识运用
2.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A， BC= 6 ，AC=3，则CD=__2___.
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知识回顾 二、平行线分线段成比例 1.基本事实
对应线段
2.基本型
A
D
E
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B
C
ED
当DE∥BC时
A
AD AE DE
B
C AB AC BC
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知识运用
1.如图.已知AD,BC相交于点O,AB∥CD∥EF,如果CE=2， EB=6，FD=1.5，那么AD=__6___.