【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系
九年级数学《弧、弦、圆心角的关系》课件
AOB COD _____________ ．
A
E
B
（3）如果∠AOB=∠COD，那么
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
·
F
D
AB CD _____________ ，_________．
C
AB=CD
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD 于F，OE与OF相等吗？为什么？
AB=CD
（在同圆中，相等的弧所 对的圆心角相等）
∴ ∠1=∠2=45°
练习：
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ × ） 2相等的弧所对的弦相等。（ × ） 3相等的弦所对的弧相等。（ × ） 二.如图，⊙O中，AB=CD，
B 1 C D 2 O A
1 50
o 2 ____ 50 .
你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？
A E
C
N
B
O
M D
P
一题多解
• 例：如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分 别是OA，OB的中点，CM⊥AB， DN⊥AB. 求证： C AC=BD D
A
M O
N
B
课堂小结
• 1.弧、弦、圆心角关系定理的内容？ • 2.运用这个定理时应注意什么问题？ • 3.要证明两条弦（线段）相等时，可以采用 哪些方法？你能归纳一下吗？
训练
2、 如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD 上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交 ⊙O于点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：弧AC=弧BD
圆心角弧弦弦心距之间的关系
圆心角弧弦弦心距之间的关系在圆的世界里，圆心角、弧、弦、弦心距这四个元素之间存在着密切而奇妙的关系。
它们相互影响、相互制约，共同构成了圆的美妙与和谐。
首先，让我们来认识一下这四个概念。
圆心角，顾名思义，就是顶点在圆心的角。
比如，当我们以圆心为顶点，两条半径为边所构成的角就是圆心角。
弧呢，是圆上任意两点之间的部分。
想象一下圆的周长被分成了不同的小段，每一小段就是一段弧。
弦则是连接圆上任意两点的线段。
简单来说，就是在圆中画一条线段，其两个端点都在圆上，这就是弦。
弦心距，是从圆心到弦的距离。
也就是圆心到弦所作垂线的长度。
接下来，我们深入探讨它们之间的关系。
当在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧一定相等。
这就好像两个同样大小的“角力”，它们在圆这个“舞台”上所能“推动”的弧的长度是一样的。
反之，如果两个圆心角所对的弧相等，那么这两个圆心角也相等。
可以这样理解，既然弧的长度相同，说明产生它们的“力量”——圆心角也是相同的。
同样在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等。
这是因为圆心角决定了弦的位置和长度，当圆心角相等时，弦也就被“固定”在了相同的位置和长度上。
反过来，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角也相等。
这就好比两根长度相同的“杠杆”，它们所对应的“角度”也是相同的。
再看弦心距与其他元素的关系。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
因为弦相等意味着它们到圆心的距离是相同的，所以弦心距也就相等。
反之，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦也相等。
这是因为相等的弦心距保证了弦与圆心的相对位置是相同的，从而弦的长度也相等。
为了更直观地理解这些关系，我们可以通过一些实际的例子来感受。
比如，想象一个圆形的蛋糕，我们将其看作一个圆。
如果我们从圆心沿着某个角度切下去（这就形成了一个圆心角），那么切下来的那部分蛋糕的边缘（就是弧）的长度就取决于我们切的角度大小。
角度相同，弧长就相同；弧长相同，角度也就相同。
24.1.3圆心角弧弦之间的关系
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB，
根据圆心角、弧、弦、 弦心距的关系定理可知：
O
⌒ ⌒
AB AB
A
A
B
B
例题与练习
如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径， 且OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长 线交OB延长线于C。已知C=250，求圆心 角∠DOB的度数， Ａ Ｄ
o
C D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
如图： ∠AOB
=∠ COD
o
C
D
∵∠AOB=
∠COD,
A
∴半径OB与OA重合，
∴ 点A与点C重合，点B与点D重合。 o
B
∴
AB=CD，
根据圆的性质，AB与CD重合。 此时，称作 两条圆弧相等。 记作:“AB=CD”
⌒ ⌒
⌒
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
⌒ ⌒
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的 弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
⌒
C D
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
D
A
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..
圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
圆心角、弦、弧关系..
圆心角、弦、弧之间的关系回顾1.圆是 对称图形，它的对称中心是．2.____________________________________叫做圆心角． 3、垂径定理： 圆心 弧 弦 弦心距之间的关系［知识要点归纳］1.一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 3. 对的弦的弦心距相等。
4. 距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角距也不相切。
（2若⊙中，O 以用圆心角定理推论证明。
5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
一般地，N °的圆心角对着N °的弧，N °的弧对着N °的圆心角，也就是⋂”之类的错误。
因为角与弧是两个不弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。
（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对OBA OBACDEF的圆心角。
（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。
【学海导航】1.如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ’OB ’的位置，你能发现哪些等量关系？相等的弦：；相等的弧：理由：结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也． 表达式：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也． 表达式：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等． 表达式：注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。
5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？例题2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，且AE=BF ，AC 与BD 相等吗？为什么？如图,在⊙O 中, = ,∠1=30°,则∠2=__________ 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。
九年级数学 圆 第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
AB 3
3
3
∴ AM MN NB
A
M
NБайду номын сангаасO
B
E
F
C
A
MN O
B
E
F
解析二：
连结 OE，易知 OE 与半径的比．
AC ，也可求得 AM ，进而可求得 AM MO
证法二：
如图，连结 OE，设 AC＝2a，则 AC＝AB＝2OE＝2a
∵ CAM AOC 60 ，∴ AC OE ， C
∴ OM OE a 1 AM AC 2a 2
60
，
AO
EO
a
，
C
∴ AOE 为等边三角形，∴ AE AO a
又∵ EAO CBA 60 ，∴ AE BC
∴ AME BMC ，∴ AM AE a 1 ，∴ AM 1
BM BC 2a 2
AB 3
同理： BN 1 ，∴ MN AB 2 AB 1 AB ，
第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
课标引路
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
圆心角概念
抓两点
圆心角定理推 论使用前提条 件
注意 必须在同 圆或者等圆中
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
注意：这里说的相等是指角 的度数与弧的度数相等．而 不是角与弧相等，在书写时
证明三：连结 AE，并延长交 CO 的延长线于 G
设 AC＝2a，则有 AE＝OA＝a（证法一中已证明△AOE 为等边三角形）
弧弦圆心角之间的关系
弧弦圆心角之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系如下：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），在同一个圆内最长的弦是直径。
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示。
相关计算公式：（R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长）
扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R 为扇形半径）
扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。
陕西省西安市陕西西安高新第二校2024届中考冲刺卷数学试题含解析
陕西省西安市陕西西安高新第二校2024届中考冲刺卷数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，△ABC 中，∠B ＝70°，则∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得△EDC ．当点B 的对应点D 恰好落在AC 上时，∠CAE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．43．如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI ，交FG 于点Q ，则QI=（ ）A ．1B ．616C ．666D ．434．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为倒数的点是（ ）A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点B 与点D D ．点B 与点C5．6的相反数为( )A．-6 B．6 C．16-D．166．估计8-1的值在（）A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3至4之间7．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若AC＝CD＝DB，则cos∠CAD ＝（）A．13B．22C．12D．328．如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，直线MN∥AB，则点O是△ABC的( )A．外心B．内心C．三条中线的交点D．三条高的交点9．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为人口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且BC，CD，DE所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（）A．甲车在立交桥上共行驶8s B．从F口出比从G口出多行驶40m C．甲车从F口出，乙车从G口出D．立交桥总长为150m10．如图，以O为圆心的圆与直线y x3=-交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）A．23πB．πC．23πD．13π二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．12．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．13．如果将“概率”的英文单词probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母b的概率是________．14．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值是_____．16．因式分解：（a+1）（a﹣1）﹣2a+2＝_____．17．关于x的分式方程3111mx x+=--的解为正数，则m的取值范围是___________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，顶点为C 的抛物线y=ax 2+bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C 作CE ⊥OB ，垂足为E ，点P 为y 轴上的动点，若以O 、C 、P 为顶点的三角形与△AOE 相似，求点P 的坐标；（3）若将（2）的线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A 、E′B ，求E′A+12E′B 的最小值．19．（5分）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字1，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x ，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y ，以此确定点M 的坐标（x ，y ）．请你用画树状图或列表的方法，写出点M 所有可能的坐标；求点M （x ，y ）在函数y=﹣的图象上的概率．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 和点 C 分别在x 轴和 y 轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以 OA ，OC 为邻边作矩形 OABC ， 动点 M ，N 以每秒 1 个单位长度的速度分别从点 A 、C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作NP ⊥BC ，交 OB 于点 P ，连接 MP ．（1）直接写出点 B 的坐标为 ，直线 OB 的函数表达式为 ;（2）记△OMP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式()06t <<；并求 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值．21．（10分）如图，点D 是AB 上一点，E 是AC 的中点，连接DE 并延长到F ，使得DE=EF ，连接CF ． 求证：FC ∥AB ．22．（10分）某中学为了考察九年级学生的中考体育测试成绩（满分30分），随机抽查了40名学生的成绩（单位：分），得到如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图中m的值为_______________.（2）求这40个样本数据的平均数、众数和中位数：（3）根据样本数据，估计该中学九年级2000名学生中，体育测试成绩得满分的大约有多少名学生。
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.二、知识要点：1. 弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵CD.OABCD2. 圆周角（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.③②①（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点：本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：（1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝AC.B分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC.解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC.（2）由（1）得︵BD ＝︵AC ，∴BD ＝AC.例2. 如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，优弧ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF. ∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D. ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.(2)(3)解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.例6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到AB 的距离OE 等于12AB ，求∠C 的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.BB m解：如图（1）所示，连结AO 、BO.因为OE ⊥AB ，所以EB ＝AE ＝12AB.又OE ＝12AB ，所以EB ＝OE ＝AE.所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.所以∠C ＝12∠AOB ＝12（∠AOE ＋∠EOB ）＝12×90°＝45°.如图（2）所示，由（1）得∠AOB ＝90°，所以优弧A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为45°或135°.评析：图（1）中，△ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（2）中，△ABC 为钝角三角形，圆心O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】1. 圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性. 利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2. 在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3. 圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握. 同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【预习导学案】（点和圆的位置关系）一、预习前知1. 圆可以看作是到__________的距离等于__________的点的集合，也就是说圆上的点到圆心的距离都等于__________.2. 圆的内部可以看作是到__________的距离小于半径的点的集合.3. 圆的外部可以看作是到__________的距离大于半径的点的集合.二、预习导学1. ⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离OD ＝3cm . 点A 、B 、C 在直线l 上，若AD ＝23cm ，BD ＝4cm ，CD ＝5cm . 则点A 在⊙O__________，点B 在⊙O__________，点C 在⊙O__________.2. 下列条件中，可以画一个圆，并且只可以画一个圆的条件是（ ） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三点 D. 过直线上两点和直线外一点3. 三角形外接圆的圆心是（ ） A. 三内角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三中线的交点 D. 三高线的交点4. 用反证法证明：“在△ABC 中，至少有两个内角是锐角”时，第一步假设__________成立.反思：（1）点和圆有哪些位置关系？（2）经过不在同一直线上的三点画圆的时候，如何确定圆心？（3）反证法的基本思路和一般步骤是怎样的？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（ ）A. 150°，210°B. 75°，105°C. 60°，120°D. 120°，240°2. 已知AC 为⊙O 的直径，弦AB ＝10cm ，∠BAC ＝30°，那么⊙O 的半径为（ ）A. 5cmB. 52cmC. 1033cmD. 2033cm3. 如图所示，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，已知∠ECB ＝60°，∠AED ＝65°，那么，ADE的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°*4. 如图所示，劣弧︵AE 所对的圆心角为40°，则∠B ＋∠D 等于（ ） A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，∠ACD ＝15°，则∠BAD 的度数为（ ） A. 75° B. 72° C. 70° D. 65°6. 如图所示，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120°D. 130°**7. 已知⊙O 的半径为6cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为63cm ，则弦AB 所对的圆周角是（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°二、填空题1. 如图所示，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 弧长的大小关系是__________.2. 如图所示，点A 、B 、C 、E 都在圆周上，AE 平分∠BAC 交BC 于点D ，则图中相等的圆周角是__________.3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，︵BC ＝︵BD ，∠A ＝30°，则∠BOD ＝__________.AB4. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，圆周角∠ABC ＝30°，则弦AC 的长是__________.5. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是︵AC 上任意一点，那么∠D 的度数是__________.A**6. 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上顺次五点，且AB ＝BC ＝CD ，如果∠BAD ＝50°，那么∠AED ＝__________.B三、解答题1. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？︵AB 与︵CD 的大小关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？BD2. 如图所示，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ＝CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？*3. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC ＝PC. PB 的延长线交⊙O 于D. 求证：AC ＝DC.P*4. 如图所示，已知A 、B 、C 、F 、G 是⊙O 上的五点，AF 交BC 于点D ，AG 交BC 于点E ，且BD ＝CE ，∠1＝∠2. 求证：AB ＝AC.试题答案一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题 1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，所以AB ＝CD. 因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，所以AE ＝CF. 又因为OA ＝OC ，所以R t △OAE≌R t △OCF. 所以OE ＝OF. （2）如果OE ＝OF ，那么AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为OA ＝OC ，OE ＝OF ，所以R t △OAE ≌R t △OCF. 所以AE ＝CF ，又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD. 所以AB ＝2AE ，CD ＝2CF. 所以AB ＝CD. 所以︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD.2. BE ＝CE. 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE.3. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP.∴AC ＝DC.4.∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G. ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.。
九年级数学上册24-2-3圆心角、弧、弦三者的关系课件人教新课标版
1、什么是弦？
连接圆上任意两点的线段叫做弦。 即：如右图弦AB 2、什么是弧？什么是等弧？
︵圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，即：如上 图 AB ；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
我们把顶点在圆心上，角的两边与圆周 相交的角叫做圆心角。
如图3-5所示，∠AOB叫作圆心角，︵ AB 叫作圆
3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
课本P87 习题24.1 第2、3题
A
O
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形 B
C
( 在同圆中，相等的弧所对的弦相等)
又∵∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
( 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等 )
⒈（漳州）下列命题是真命题的是（ D ） （A）相等的圆心角所对的弧相等 （B）长度相等的两条弧是等弧 （C）等弦所对的圆心角相等 （D）等弧所对的弦相等
⒊如图,已知⊙O中,弦AB=CD
求证：AD=BC
证明：∵AB︵=CD ︵ ∴ AB = CD
A
O
C
D
B
(在同圆︵中，相︵等的︵弦所对︵的弧相等 )
∴ AB － BD ＝ CD － BD ︵︵
即：AD ＝ BC
∴AD=BC
(在同圆中，相等的弧所对的弦相等 )
1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 的圆心角 相等 ，所对的弧 相等 。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量也相等。
圆心角、弦、弧、圆周角之间的推导
圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。
在此文档中，我们将推导这些概念之间的关系，并解释它们在圆的几何中的重要性。
首先，让我们定义这些概念：•圆心角：圆心角指的是以圆心为顶点的角。
•弦：弦是连接圆上两点的线段。
•弧：弧是圆上两点之间的曲线部分。
•圆周角：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。
接下来，我们将探讨这些概念之间的关系。
1.弧和圆心角的关系：当我们考虑一个圆上的弧时，圆心角是与该弧相对应的角度，两者是一一对应关系。
换句话说，一个弧唯一对应一个圆心角，一个圆心角也唯一对应一个弧。
例如，如果给定一个半径为r的圆，圆心角为θ度，那么对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (θ/360) × 2πr。
2.弦、弧和圆心角的关系：在圆上，如果一个弦和圆心角相等，那么它所对应的弧的长度也是相等的。
这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。
换句话说，如果两个弦所对应的圆心角相等，那么它们所对应的弧的长度也是相等的。
这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。
由于圆心角是以圆心为顶点的角，所以它们的两条边与圆上的两条弦相等，因此对应的弧长也相等。
3.圆周角和圆心角的关系：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。
当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时，这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。
这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。
圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点，因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。
通过上述推导，我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。
它们在圆的几何中起到重要的作用，帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。
这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如建筑、工程和物理学等领域。
总结起来，圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。
这些概念在圆的几何中相互关联，为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。
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【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系一、选择题（共7小题）1．（2004•昆明）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是（）A．180°B．150°C．135°D．120°2．（2009•永州）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．平移不改变图形的形状和大小C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形D．相等的弦所对的弧相等3．（2008•台湾）如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．=C．＜D．=4．（2005•哈尔滨）半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10 C．8D．65．（2000•武汉）已知下列四个命题：①过原点O的直线的解析式为y=kx（k≠0）；②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等．其中不正确的命题是（）A．只有①②B．①②③C．①②④D．②③④6．（2006•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（）A．105°B．120°C．135°D．150°7．（2007•江苏）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°二、填空题（共7小题）（除非特别说明，请填准确值）8．（2010•广安）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于_________度．9．（2005•武汉）长度相等的两弧是等弧．_________（填“正确”或“错误”）10．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为_________cm．11．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 的半径和圆心C的坐标分别是_________，_________．12．（2010•扬州）如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC=70°，AD∥OC，则∠AOD=_________度．13．（2010•丽水）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°，则∠ABD的度数是_________度．14．（2005•梅州）如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=_________度．【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系参考答案与试题解析一、选择题（共7小题）1．（2004•昆明）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是（）A．180°B．150°C．135°D．120°考点：圆心角、弧、弦的关系．分析：根据点A、B、C、D、E五等分圆可求出每条弧的度数，再根据圆周角定理即可得出答案．解答：解：∵点A、B、C、D、E五等分圆，∴======72°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∵∠ADB==×72°=36°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×36°=180°．故选A．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，能根据题意得出每条弧的度数是解答此题的关键．2．（2009•永州）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．平移不改变图形的形状和大小C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形D．相等的弦所对的弧相等考点：圆心角、弧、弦的关系；菱形的判定；等腰梯形的判定；平移的性质．分析：根据菱形的判定，等腰梯形，弦与弧的关系，平移等知识判断．解答：解：A、错误，对角线相等且互相垂直的四边形可以是筝形；B、正确；C、错误，应为：对角线互相垂直且相等的梯形才是等腰梯形；D、错误，没有强调是同圆或等圆中．故选B．点评：本题考查命题的真假判断，菱形的判定，等腰梯形，弦与弧的关系，平移等知识．易错易混点：学生易忽略其中某个知识而错选．3．（2008•台湾）如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．=C．＜D．=考点：圆心角、弧、弦的关系．分析：由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知，＜．解答：解：A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD=AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以AB＞AD，故不正确；B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD=AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得＞，故不正确；C、由图可直观看出，故正确；D、由图可看出其不相等，故错误．故选C．点评：本题利用了在同圆或等中大弦对大弧求解．4．（2005•哈尔滨）半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10 C．8D．6考点：圆心角、弧、弦的关系；特殊角的三角函数值．分析：先根据特殊角的三角函数值1求出α的度数，再根据等边三角形的判定定理及性质解答即可．解答：解：∵cosα=，∴α=60°．又∵圆心角的两边为半径，一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴∠α所对的弦长等于6．故选D．点评：熟记特殊角的三角函数值和掌握等边三角形的判定是解题的关键．5．（2000•武汉）已知下列四个命题：①过原点O的直线的解析式为y=kx（k≠0）；②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等．其中不正确的命题是（）A．只有①②B．①②③C．①②④D．②③④考点：圆心角、弧、弦的关系；一次函数的性质；全等三角形的判定．分析：此题涉及到一次函数的性质，全等三角形的判定，圆心角、弧、弦的关系等多个知识点，需要对这些知识点分别进行判断．解答：解：①当过原点O的直线与x轴重合时，此直线的解析式为y=0，k=0，故①错误；②此题忽略了锐角和钝角三角形高的位置不相同的情况，如②错误；③此题可先通过全等三角形证得两对应边的夹角相等，从而由SAS判定两个三角形全等，故③正确；④圆内接四边形（所有内角都不是90°）的对角不相等，但是它们都对着同一条弦（即四边形的对角线），故④错误；所有正确的结论只有②，故选C．点评：此题主要考查了一次函数的性质、全等三角形的判定、及圆心角、弦的关系；需注意的是同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角有两种情况，且它们互补．6．（2006•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（）A．105°B．120°C．135°D．150°考点：圆心角、弧、弦的关系．分析：由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．解答：解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD=120°．故选B．点评：本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．7．（2007•江苏）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°考点：圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．分析：先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°即可得．解答：解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°．再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON=180°﹣50°×2=80°．故选D．点评：运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．二、填空题（共7小题）（除非特别说明，请填准确值）8．（2010•广安）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于40度．考点：圆心角、弧、弦的关系．分析：由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．解答：解：△OAB中，OA=OB，∴∠BOA=180°﹣2∠A=80°；∵点C是弧AB的中点，即=，∴∠BOC=∠BOA=40°．点评：此题主要考查了圆心角、弧的等圆中，等弧所对的圆心角相等．9．（2005•武汉）长度相等的两弧是等弧．错误（填“正确”或“错误”）考点：圆心角、弧、弦的关系．分析：等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧．解答：解：因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故错误．点评：本题主要考查了等弧的定义，等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧．10．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为40cm．考点：圆心角、弧、弦的关系．分析：设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．解答：解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，，解得，r=40cm．点评：解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程．11．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 的半径和圆心C的坐标分别是4，（，2）．考点：圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质．专题：探究型．分析：连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙O的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BCO及∠BAO的度数，由直角三角形的性质可求出∠ABO的度数，再根据等腰三角形的性质及等边三角形的判定定理即可求出⊙C的半径；由△AOB是直角三角形可求出OB的长，过O作OD⊥OB于D，由垂径定理可求出OD的长，进而得出D点的坐标，再根据直角三角形的性质可求出求出C点坐标．解答：解：连接AB，OC，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，∵AC=OC，∠BAO=60°，∴△AOC是等边三角形，∴⊙C的半径=OA=4；过C作CD⊥OB于D，则OD=OB，∵∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴OD===2，CD=BC=×4=2，∴D点坐标为（﹣2，0），∴C点坐标为（﹣2，2）．故答案为：4，C（﹣2，2）．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．12．（2010•扬州）如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC=70°，AD∥OC，则∠AOD=40度．考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质．专题：计算题．分析：首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．解答：解：∵AD∥OC，∴∠BOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．点评：此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．13．（2010•丽水）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°，则∠ABD的考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：根据周角为360°，可求出∠AOC的度数，由圆周角定理可求出∠ABC的度数，关键是求∠CBD的度数；由于D是弧BC的中点，根据圆周角定理知∠DBC=∠BAC，而∠BAC的度数可由同弧所对的圆心角∠BOC的度数求得，由此得解．解答：解：∵∠AOB=98°，∠COB=120°，∴∠AOC=360°﹣∠AOB﹣∠COB=142°；∴∠ABC=71°；∵D是的中点，∴∠CBD=∠BAC；又∵∠BAC=∠COB=60°，∴∠CBD=30°；∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=101°．了圆心角、圆周角的应用能力．14．（2005•梅州）如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=135度．考点：圆心角、弧、弦的关系．分析：完整圆的周角是360°，根据比例解出．解答：解：∵∠α+∠β=360°，且∠α：∠β=0.6，∴∠β=360°÷1.6=225°，∠α=360°﹣225°=135°．故本题答案为：135°．点评：掌握圆周角的度数的，与比例知识结合，也可列方程解决．。