抛物线的几何性质课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
2024(精品课件)抛物线的简单几何性质
(精品课件)抛物线的简单几何性质contents •抛物线基本概念及引入•抛物线标准方程及性质•抛物线平移变换规律探究•抛物线焦点弦性质研究•抛物线切线问题解决方法•抛物线综合应用举例目录抛物线基本概念及引入抛物线定义与数学表达式定义抛物线是指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹。
数学表达式一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（开口向上或向下）或$x = ay^2 + by + c$（开口向左或向右）。
其中，$a$、$b$、$c$ 为常数，$a neq 0$。
体育运动工程设计科学研究桥梁、拱门等建筑结构的形态设计。
弹道学、天文学等领域的研究。
0302 01抛物线在实际生活中应用如篮球、足球、铅球等运动项目的轨迹分析。
当椭圆的长轴无限延长时，椭圆将趋近于抛物线。
与椭圆关系双曲线的一支在无限远处与抛物线相交。
与双曲线关系抛物线、椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的几何性质，如对称性、切线性质等。
二次曲线共性抛物线与其他二次曲线关系通过学习抛物线的基本概念，为进一步学习其他二次曲线打下基础。
掌握基本概念通过对抛物线几何性质的探究，培养学生的几何直觉和空间想象力。
培养几何直觉掌握抛物线知识，可以帮助学生更好地理解和解决一些实际问题，如运动轨迹分析、建筑设计等。
解决实际问题引入课程目的和意义抛物线标准方程及性质标准方程形式及推导过程标准方程形式y^2=2px(p>0)或x^2=2py(p>0)，其中p为焦准距，表示焦点到准线的距离。
推导过程通过抛物线的定义（平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹）和几何性质，可以推导出抛物线的标准方程。
焦点、准线概念及其性质焦点抛物线上的一个固定点，记为F，对于标准方程y^2=2px，焦点坐标为(p/2,0)；对于x^2=2py，焦点坐标为(0,p/2)。
准线抛物线的一条固定直线，记为l，对于标准方程y^2=2px，准线方程为x=-p/2；对于x^2=2py，准线方程为y=-p/2。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口大小与函数值随x变化的幅度有关，开口越小，函数值变化幅度越小；开口 越大，函数值变化幅度越大。
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线的简单几何性质ppt课件
思索：
1、题中没有给出的条件，但现实上我以 p>0的条件来求解的,过程有没有问题 2. x1x2能否为定值.
3.能否借助此题结论研讨AB的变化.
课堂小结：
(1)经过本节学习, 要求大家掌握抛物线的 几何性质,并在详细运用时留意区分抛物 线规范方程的四种方式及求解抛物线规范 方程的方法,留意灵敏运用定义； (2)了解抛物线知识在消费生活实践中的 运用.
布置作业：
1、课本P47 感受4、8、9 2、正三角形的一个顶点位于坐标轴原点，
另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上， 求这个三角形的边长。
：t./ ；:；2
Байду номын сангаас
练习：一辆载有货物的机动车，车宽
1.6m，要经过跨度为8m,拱高为4m的抛物
线形的隧道为保证平安，车顶离隧道顶至
少应有0.5m，求机动车车身最高可几米？
解:
y
O
4
x
8
例3、在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x (1)设点A的坐标为〔 2 ，0〕，求曲线上
3
间隔A最近的点P的坐标及相应的间隔PA (2)设点B的坐标为(a,0),求曲线上的点
到点B间隔的最小值d，并写出d=f(a) 的函数表达式
例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点，且两个 交点的纵坐标为y1、y2， 求证： y1y2=-p2。
例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点，且两个 交点的纵坐标为y1、y2， 求证： y1y2=-p2。
：t./ ；:；2
方程 图 形
焦点 准线 范围
y2 = 2px
〔p＞0〕
y
1、题中没有给出的条件，但现实上我以 p>0的条件来求解的,过程有没有问题 2. x1x2能否为定值.
3.能否借助此题结论研讨AB的变化.
课堂小结：
(1)经过本节学习, 要求大家掌握抛物线的 几何性质,并在详细运用时留意区分抛物 线规范方程的四种方式及求解抛物线规范 方程的方法,留意灵敏运用定义； (2)了解抛物线知识在消费生活实践中的 运用.
布置作业：
1、课本P47 感受4、8、9 2、正三角形的一个顶点位于坐标轴原点，
另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上， 求这个三角形的边长。
：t./ ；:；2
Байду номын сангаас
练习：一辆载有货物的机动车，车宽
1.6m，要经过跨度为8m,拱高为4m的抛物
线形的隧道为保证平安，车顶离隧道顶至
少应有0.5m，求机动车车身最高可几米？
解:
y
O
4
x
8
例3、在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x (1)设点A的坐标为〔 2 ，0〕，求曲线上
3
间隔A最近的点P的坐标及相应的间隔PA (2)设点B的坐标为(a,0),求曲线上的点
到点B间隔的最小值d，并写出d=f(a) 的函数表达式
例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点，且两个 交点的纵坐标为y1、y2， 求证： y1y2=-p2。
例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点，且两个 交点的纵坐标为y1、y2， 求证： y1y2=-p2。
：t./ ；:；2
方程 图 形
焦点 准线 范围
y2 = 2px
〔p＞0〕
y
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
抛物线的简单几何性质 课件
对称轴
_x_轴
_y_轴
顶点 性 质 焦点
准线
F(p ,0) ___2___ _x____p2_
_O_(_0_,_0_)_
F( p ,0) ____2____
_x___p2__
F(0, p) _____2__ yp ______2_
F(0, p) ______2__
y p ____2__
离心率
e=_1_
即又yx020y=02p2p(x0,xy∴∴00x)y00=2=21p,xp2+0(x0=-52p),.
p 2
因此直线AB的方程为x=5p .
2
【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B 两点关于x轴对称.又根据重心的性质, ∵|OF|= p,
FA FB
【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什 么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判 断圆心到直线的距离与半径的大小. 2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.
【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图象
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
范围 _x_≥_0_,_y_∈__R_ _x_≤__0_,_y∈__R_ _x_∈__R_,_y_≥_0_ x_∈__R_,_y_≤__0_
抛物线几何性质优秀课件
2．若抛物线 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的 距离为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．若垂直于 轴的直线交抛物线 于点 ，且 ‖AB‖=4，则直线AB 的 方程为______. 4.一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度是2.2m， 求拱形的抛物线方程 .
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线； 它没有中心，也没有渐近线．
再见 再见
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
（2）对称性 以 y 代 y，方程不变，所以抛物线关于 x轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
y
O
F
x
y
F
O
x
y
F
O
x
y
o
F
x
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质 有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸， 但没有渐近线；
2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
4）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定3）抛物线只有一个顶点、 的，为1． 抛物线由P决定开口大小 ， P越大开口越大 而椭圆、双曲线由e决定
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有
抛物线的简单几何性质 课件
变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
抛物线的简单几何性质 课件
抛物线性质的综合应用
[探究问题] 1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关 系？ 提示：两条直线的斜率互为相反数．
2．如何求抛物线 y＝－x2 上的点到直线 4x＋3y－8＝0 的最小值？
提示：法一：设 A(t，－t2)为抛物线上的点， 则点 A 到直线 4x＋3y－8＝0 的距离 d＝|4t－35t2－8|＝|3t2－54t＋8|＝15 3t－232－43＋8＝153t－232＋230＝35t－232＋43. ∴当 t＝23时，d 有最小值43.
(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求 解．
②根据(1)求出点 A、B 的坐标，设出点 C 的坐标，由O→C＝O→A＋λO→B，可 用 λ 表示点 C 的坐标，最后根据点 C 在抛物线上求出 λ 值．
[解] (1)法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y21＝8x1，y22＝8x2，
(2)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
①求该抛物线的方程； ②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，求 λ 的值．
[思路探究] (1)法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求 kAB；法二： 设直线 AB 的方程，建立方程求解．
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
[答案] y2＝3x或y2＝－3x
(2)由已知得ac＝2，所以a2＋a2b2＝4，解得ab＝ 3， 即渐近线方程为 y＝± 3x. 而抛物线准线方程为 x＝－p2， 于是 A－p2，－ 23p，B－p2， 23p， 从而△AOB 的面积为21· 3p·p2＝ 3，可得 p＝2.因为抛物线开口向右，所 以其标准方程为 y2＝4x.
2.3.2抛物线的简单几何性质课件人教新课标1
先定型，再定量
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y x 1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
直线l的方程为
P
y=kx+2k+1
o
x
y=kx+(2k+1)
由方程组 y2=4x
(І)
可得 ky2-4y+4(2k+1)=0 (П) (1)当k=0时，由方程(П)，得 y=1
把x1 y=1代入y2=4x ， 得
y
4
这时，直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 ， 1 )
P
(2)当k≠0时，方程(П)的
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y x 1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
直线l的方程为
P
y=kx+2k+1
o
x
y=kx+(2k+1)
由方程组 y2=4x
(І)
可得 ky2-4y+4(2k+1)=0 (П) (1)当k=0时，由方程(П)，得 y=1
把x1 y=1代入y2=4x ， 得
y
4
这时，直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 ， 1 )
P
(2)当k≠0时，方程(П)的
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)
课件6：2.3.2抛物线的几何性质
(3)顶点． 抛物线和_____坐__标_____的交点叫做抛物线的顶点，这 条抛物线的顶点为___原__点___．
(4)离心率．
抛物线上的点到__焦__点____与___准__线___的距离的比，叫 做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e＝ ____1__ 的坐标为(x，y)，则由已知得 A 点坐标为 (4，y)，所以O→A＝(4，y)，O→P＝(x，y). 因为O→A⊥O→P，所以O→A·O→P＝0，
因此4x＋y2＝0，即P的轨迹方程为4x＋y2＝0. 轨迹的形状为抛物线.
跟踪练习
1.分别求适合下列条件的抛物线方程． (1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2,3)； (2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的 距离为.
D．x2＝28y
【答案】 B
【解析】∵p2＝7，∴p＝14，∵焦点在 x 轴上， ∴方程为 y2＝28x.
2．抛物线 y＝－x2 的焦点坐标为( )
A．(0，14)
B．(0，－14)
C．(41，0)
D．(－14，0)
【答案】 B 【解析】y＝－x2 化为标准方程为 x2＝－y，∴p＝12. ∴焦点坐标为 F(0，－41)．故选 B.
2.3.2 抛物线的几何性质
情景导入
如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形的 抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何 一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来 之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这 个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太 阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也 是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构 成抛物面的线——抛物线的几何性质.
【答案】y2＝6x (32，0) x＝－32
抛物线的简单几何性质优质课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 有关x轴对称 有关x轴对称 有关y轴对称 有关y轴对称
抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB | x1 x2 p 2x0 p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组，l y
我们还可以推得以下结论：
(1)若直线的倾斜角为，则
|
AB
|
2P
sin2
.
A1
A
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 p1
中点的轨迹方程.
顶点 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0）
焦半径
焦点弦 的长度
p 2
x0
ห้องสมุดไป่ตู้
p x1 x2
p 2
x0
p (x1 x2 )
p 2
y0
p y1 y2
p 2
y0
p ( y1 y2 )
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F， 设A(x1, y1)、B(x2, y2 )，弦AB的中点为P(x0,y0 ).
抛物线的简朴几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
方程
性质 图形
设抛物线方程为：y2 2 px, ( p 0)
y
ldM
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
抛物线的简单几何性质 课件
求A、B两点的坐标 → 求出弦长AB →
写出△OAB的面积，利用面积列方程解p → 得结果
【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 Fp2，0，直线 l：x＝p2， ∴A、B 两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4， ∴12·|p2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
焦点弦问题
设 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点，F 是 抛物线的焦点，则|PF|＝x0＋p2，这就是抛物线的 焦半径公式．利用这一公式可以解决过焦点的弦 长问题．
例2 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中 点M到抛物线准线的距离． 【思路点拨】 设抛物线的焦点为F，则|AB|＝ |AF|＋|BF|，然后利用抛物线的定义求解．
而 y1y2<0，
∴y1y2＝－4.
(3)证明：设 OM，ON 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1＝xy11，k2＝xy22， 由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4， ∴k1·k2＝－44值或定值问题
(1)对抛物线中的定点、定值问题，往往采用设而 不求的方法，即方程中含有参数，不论怎样变化, 某直线过定点，代数式恒为某常数． (2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理 转化，用几何法求解；另一种思路是代数法，转 化为二次函数求最值．
则直线 OB 的方程为 y＝－1kx，
y＝kx， 由y2＝2x，
解得xy＝＝00，，
或x＝k22， y＝2k，
即 A 点的坐标为(k22，2k)．同样由yy＝ 2＝－2x1k，x，
解得 B 点的坐标为(2k2，－2k)． ∴AB 所在直线的方程为 y＋2k＝k22k2－＋22kk2(x－2k2)， 化简并整理，得(1k－k)y＝x－2. 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数，当 x＝2 时， 恒有 y＝0.故直线过定点 P(2,0)．
写出△OAB的面积，利用面积列方程解p → 得结果
【解】 由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)， 焦点 Fp2，0，直线 l：x＝p2， ∴A、B 两点坐标为p2，p，p2，－p，∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4， ∴12·|p2|·2|p|＝4，∴p＝±2 2. ∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
焦点弦问题
设 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点，F 是 抛物线的焦点，则|PF|＝x0＋p2，这就是抛物线的 焦半径公式．利用这一公式可以解决过焦点的弦 长问题．
例2 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中 点M到抛物线准线的距离． 【思路点拨】 设抛物线的焦点为F，则|AB|＝ |AF|＋|BF|，然后利用抛物线的定义求解．
而 y1y2<0，
∴y1y2＝－4.
(3)证明：设 OM，ON 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1＝xy11，k2＝xy22， 由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4， ∴k1·k2＝－44值或定值问题
(1)对抛物线中的定点、定值问题，往往采用设而 不求的方法，即方程中含有参数，不论怎样变化, 某直线过定点，代数式恒为某常数． (2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理 转化，用几何法求解；另一种思路是代数法，转 化为二次函数求最值．
则直线 OB 的方程为 y＝－1kx，
y＝kx， 由y2＝2x，
解得xy＝＝00，，
或x＝k22， y＝2k，
即 A 点的坐标为(k22，2k)．同样由yy＝ 2＝－2x1k，x，
解得 B 点的坐标为(2k2，－2k)． ∴AB 所在直线的方程为 y＋2k＝k22k2－＋22kk2(x－2k2)， 化简并整理，得(1k－k)y＝x－2. 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数，当 x＝2 时， 恒有 y＝0.故直线过定点 P(2,0)．
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通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P
思考：通径是抛物线的焦点弦
中最短的弦吗？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 （如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆 的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程 和焦点位置．
解：取轴截面所在平面，以反光镜的顶点为原点，
垂直于灯口直径的直线为x轴建立坐标系
设抛物线方程为：y2 2 px
由已知A(40,30) 代入方程得
302 2p 40
解得 p 45
4
所得抛物线方程为
y2
45
x
焦点坐标为 ( 45 ,0) 2
8
练习
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线 的标准方程可以研究它的几何性质．
以抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
来研究 它的几何性质．
新授内容
一、抛y 物线的范围: y2=2px P(x,y)
o F( p ,0) x
2
•X 0 y取全体实数
因为 p 0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y轴的
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，
叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
e 1
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开Leabharlann 大小）六、抛物线开口方向的判断
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
抛物线的性质表.swf
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的 几何性质有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它 也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1．
（三）例题
例1.已知抛物线关于x轴对 称,它的顶点在坐标原点,并且 经过点M(2, ),求2 它2的标准 方程,并用描点法画出图形。
y2 4x 作图：
y 4x
(1)列表（在第一象限内列表）
x 0 1 23 4
…
y 0 2 2.8 3.5 4 …
(2)描点：
y
(3)连线：
1
O1
x
通径的定义：
高中数学多媒体课件
抛物线的简单几何性质
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
图形
y
l OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
x2 16 y
（2）顶点在原点，准线是x＝4 y2 16x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、 一条对称轴、一条准线；
它没有中心，也没有渐近线．
本节主要内容包括： 1、抛物线的概念； 2、抛物线的标准方程、图像； 3、抛物线的性质； 4、抛物线的基本元素.
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方程
y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
x2 = -2py （p>0）
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
右侧，当 x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向右
上方和右下方无限延伸．
二、抛物线的对称性 y2=2px
M(x,y) 关于X轴对称
没有对称中心，因
y
此，抛物线又叫做
o F(p,0) x
无心圆锥曲线。
2
而椭圆和双曲线又
M1(x,-y) 叫做有心圆锥曲线
以 y 代 y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
通径的长度：2P
思考：通径是抛物线的焦点弦
中最短的弦吗？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 （如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆 的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程 和焦点位置．
解：取轴截面所在平面，以反光镜的顶点为原点，
垂直于灯口直径的直线为x轴建立坐标系
设抛物线方程为：y2 2 px
由已知A(40,30) 代入方程得
302 2p 40
解得 p 45
4
所得抛物线方程为
y2
45
x
焦点坐标为 ( 45 ,0) 2
8
练习
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线 的标准方程可以研究它的几何性质．
以抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
来研究 它的几何性质．
新授内容
一、抛y 物线的范围: y2=2px P(x,y)
o F( p ,0) x
2
•X 0 y取全体实数
因为 p 0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y轴的
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，
叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
e 1
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开Leabharlann 大小）六、抛物线开口方向的判断
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
抛物线的性质表.swf
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的 几何性质有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它 也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1．
（三）例题
例1.已知抛物线关于x轴对 称,它的顶点在坐标原点,并且 经过点M(2, ),求2 它2的标准 方程,并用描点法画出图形。
y2 4x 作图：
y 4x
(1)列表（在第一象限内列表）
x 0 1 23 4
…
y 0 2 2.8 3.5 4 …
(2)描点：
y
(3)连线：
1
O1
x
通径的定义：
高中数学多媒体课件
抛物线的简单几何性质
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
图形
y
l OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
x2 16 y
（2）顶点在原点，准线是x＝4 y2 16x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、 一条对称轴、一条准线；
它没有中心，也没有渐近线．
本节主要内容包括： 1、抛物线的概念； 2、抛物线的标准方程、图像； 3、抛物线的性质； 4、抛物线的基本元素.
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方程
y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
x2 = -2py （p>0）
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
右侧，当 x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向右
上方和右下方无限延伸．
二、抛物线的对称性 y2=2px
M(x,y) 关于X轴对称
没有对称中心，因
y
此，抛物线又叫做
o F(p,0) x
无心圆锥曲线。
2
而椭圆和双曲线又
M1(x,-y) 叫做有心圆锥曲线
以 y 代 y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．