抛物线的几何性质课件
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高中数学多媒体课件
抛物线的简单几何性质
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
图形
y
l OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
（三）例题
例1.已知抛物线关于x轴对 称,它的顶点在坐标原点,并且 经过点M(2, ),求2 它2的标准 方程,并用描点法画出图形。
y2 4x 作图：
y 4x
(1)列表（在第一象限内列表）
x 0 1 23 4
…
y 0 2 2.8 3.5 4 …
(2)描点：
y
(3)连线：
1
O1
x
通径的定义：
x2 16 y
（2）顶点在原点，准线是x＝4 y2 16x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、 一条对称轴、一条准线；
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线 的标准方程可以研究它的几何性质．
以抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
来研究 它的几何性质．
新授内容
一、抛y 物线的范围: y2=2px P(x,y)
o F( p ,0) x
2
•X 0 y取全体实数
因为 p 0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y轴的
叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
e 1
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
六、抛物线开口方向的判断
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，
解：取轴截面所在平面，以反光镜的顶点为原点，
垂直于灯口直径的直线为x轴建立坐标系
设抛物线方程为：y2 2 px
由已知A(40,30) 代入方程得
302 2p 40
解得 p 45
4
所得抛物线方程为
y2
45
x
焦点坐标为 ( 45 ,0) 2
8
练习
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度Βιβλιοθήκη Baidu2P
思考：通径是抛物线的焦点弦
中最短的弦吗？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 （如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆 的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程 和焦点位置．
抛物线的性质表.swf
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的 几何性质有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它 也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1．
右侧，当 x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向右
上方和右下方无限延伸．
二、抛物线的对称性 y2=2px
M(x,y) 关于X轴对称
没有对称中心，因
y
此，抛物线又叫做
o F(p,0) x
无心圆锥曲线。
2
而椭圆和双曲线又
M1(x,-y) 叫做有心圆锥曲线
以 y 代 y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
它没有中心，也没有渐近线．
本节主要内容包括： 1、抛物线的概念； 2、抛物线的标准方程、图像； 3、抛物线的性质； 4、抛物线的基本元素.
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方程
y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
x2 = -2py （p>0）
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
抛物线的简单几何性质
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
图形
y
l OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
（三）例题
例1.已知抛物线关于x轴对 称,它的顶点在坐标原点,并且 经过点M(2, ),求2 它2的标准 方程,并用描点法画出图形。
y2 4x 作图：
y 4x
(1)列表（在第一象限内列表）
x 0 1 23 4
…
y 0 2 2.8 3.5 4 …
(2)描点：
y
(3)连线：
1
O1
x
通径的定义：
x2 16 y
（2）顶点在原点，准线是x＝4 y2 16x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、 一条对称轴、一条准线；
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线 的标准方程可以研究它的几何性质．
以抛物线的标准方程：y2 2 px( p 0)
来研究 它的几何性质．
新授内容
一、抛y 物线的范围: y2=2px P(x,y)
o F( p ,0) x
2
•X 0 y取全体实数
因为 p 0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y轴的
叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
e 1
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
六、抛物线开口方向的判断
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线
与对称轴的交点，
叫做抛物线的顶
X点
只有一个顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，
解：取轴截面所在平面，以反光镜的顶点为原点，
垂直于灯口直径的直线为x轴建立坐标系
设抛物线方程为：y2 2 px
由已知A(40,30) 代入方程得
302 2p 40
解得 p 45
4
所得抛物线方程为
y2
45
x
焦点坐标为 ( 45 ,0) 2
8
练习
求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度Βιβλιοθήκη Baidu2P
思考：通径是抛物线的焦点弦
中最短的弦吗？
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 （如图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆 的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程 和焦点位置．
抛物线的性质表.swf
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的 几何性质有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它 也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1．
右侧，当 x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向右
上方和右下方无限延伸．
二、抛物线的对称性 y2=2px
M(x,y) 关于X轴对称
没有对称中心，因
y
此，抛物线又叫做
o F(p,0) x
无心圆锥曲线。
2
而椭圆和双曲线又
M1(x,-y) 叫做有心圆锥曲线
以 y 代 y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
它没有中心，也没有渐近线．
本节主要内容包括： 1、抛物线的概念； 2、抛物线的标准方程、图像； 3、抛物线的性质； 4、抛物线的基本元素.
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方程
y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
x2 = -2py （p>0）
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素