列一元一次方程解应用题古代数学问题(鸡兔同笼)
孙子算经中鸡兔同笼的解题方法(一)
孙子算经中鸡兔同笼的解题方法(一)孙子算经中鸡兔同笼的解题方法引言孙子算经是中国古代流传下来的一本数学经典著作，其中有一道著名的问题就是鸡兔同笼问题。
这个问题通过解题可以锻炼我们的逻辑思维能力和数学计算能力。
本文将介绍几种解题方法，帮助读者更好地理解和掌握这个问题。
方法一：穷举法1.设鸡的数量为x，兔的数量为y。
2.根据题意，可以列出一个方程：x + y = n（n为总的数量）。
3.根据鸡和兔的腿的数量，可以列出另一个方程：2x + 4y = m（m为总的腿的数量）。
4.将第一个方程转化为x = n - y，并代入第二个方程，得到一个关于y的方程。
5.解方程得到y的值，再代入第一个方程求得x的值。
6.验证x和y是否满足题目的条件，如果满足，则得到一个解。
方法二：二元一次方程解法1.设鸡的数量为x，兔的数量为y。
2.根据题意，可以列出一个方程：x + y = n（n为总的数量）。
3.根据鸡和兔的腿的数量，可以列出另一个方程：2x + 4y = m（m为总的腿的数量）。
4.将第一个方程转化为x = n - y，并代入第二个方程，得到一个关于y的方程。
5.将关于y的方程变形为2(n - y) + 4y = m，化简得到一个关于y的一元一次方程。
6.解方程得到y的值，再代入第一个方程求得x的值。
7.验证x和y是否满足题目的条件，如果满足，则得到一个解。
方法三：双层循环遍历解法1.设鸡的数量为x，兔的数量为y。
2.根据题意，可以设定一个范围限制：0 <= x <= n，0 <= y <= n。
3.使用两层循环遍历鸡和兔的数量，外层循环遍历x（鸡的数量），内层循环遍历y（兔的数量）。
4.在每一次循环中，判断鸡和兔的腿的数量是否满足题目的条件。
5.如果满足条件，则得到一个解。
方法四：二进制枚举法1.设鸡的数量为x，兔的数量为y。
2.根据题意，可以将x和y转化为二进制数，每一位代表该位置是否有鸡或兔。
5.3.1一元一次方程的应用+古代数学问题+课件++2024-2025学年+北师大版七年级数学上册+
则第二次木头燃烧的时间为多少分钟?
解:(2)设第二次木头燃烧的时间为 y min,
根据题意,得 1- y=4(1- y),解得 y=8。
答:第二次木头燃烧的时间为 8 min。
谢谢观赏！
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D.2x+2(36-x)=100
A
2.《孙子算经》中记载:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共鹿适尽,
则城中家几何?大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下
的鹿每3家共取一头,恰好取完,则城中有多少户人家?设有x户人家,可
列方程为( )
A.x+3x=100
C.x- =100
D
方——九宫图。将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一竖列
以及两条对角线上的3个数之和相等,如图所示是一个未完成的幻方,则
x的值是
。6
8.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一,其中记载的“荡杯问
题”很有趣。《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯。津吏问曰:
‘杯何以多?’妇人曰:‘家有客。’津吏曰:‘客几何?’妇人曰:
的是( )
A.7x-7=9(x-1)
B.7x+7=9(x-1)
C.7x-7=9x-1
D.7x+7=9x-1
B
4.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:“林下牧童闹
如簇,不知人数不知竹。每人六竿多十四,每人八竿少二竿。”其大意是
:“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍,不知有多少人和竹竿。每人6竿,
答:绳子、长木分别是 11 尺和 6.5 尺。
列方程解应用题-------古代数学问题
我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（如图），请问这根藤条有多长（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺）．本题是一道古代数学题，由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按图的方法，转化为平面图形来解决．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=BC2+AC2，因为BC=20，AC=3×7=21，所以AB2=202+212=841，所以AB=29，所以这根藤条有29尺．原文解法：术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
」先做一个5和7的公倍数，且要除3余1的，得到70；然后做一个3和7的公倍数，且要除5余1的，得到21；最后做一个3和5的公倍数，且要除7余1的，得到15；然后按题目中余数的大小将上面的数字倍大再相加：70*2+21*3+15*2=233233其实已经满足条件了，但是一般我们是要最小的，怎么办呢？很简单，减3、5、7的最小公倍数105直到得出最小整数为止：233-105*2=23有100个和尚分100只馒头，正好分完。
如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？--------------------------------------------------------------------------------本问题的解法甚多，最普通、最常规的办法当然是列出一个方程来求解，这很容易做到，但其流弊是一般化、程式化，对开发智力不利。
现在介绍一种别开生面的“编组法”。
《直指算法统宗》里的话是：“置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。
”所谓“实”便是“被除数”，“法”便是“除数”。
鸡兔同笼问题的三种解法
鸡兔同笼问题的三种解法
一、方法与技巧
解决鸡兔同笼问题主要有三个解题方法：方程法、十字交叉法和假设法..
1方程法：通过一元一次方程或者二元一次方程组求解;
2十字交叉图法：
二、鸡兔同笼问题举例
例：现有鸡兔同笼;已知鸡兔数头35;数脚94;求鸡和兔的个数..鸡兔同笼原型方程法：设鸡的个数为x;则兔的个数为35-x;则有2x435-x=94;解得x=23..故有鸡23只;兔12只..
三、鸡兔同笼解题技巧的运用
例：某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训..两教室均有5排座位;甲教室每排可坐10人;乙教室每排可坐9人..两教室当月共举办该培训27次;每次培训均座无虚席;当月共培训1290人次..问甲教室当月共举办了多少次这项培训
A.8
B.10
C.12
D.15
答案D
方程法甲教室一次可坐10×5=50人;乙教室一次可坐9×5=45人;设甲教室举办了x次培训;则有：50x4527-x=1290;解得x=15..故选D..
公式法根据题意;甲教室一次可坐10×5=50人;乙教室一次可坐9×5=45人;则由鸡兔同笼公式可知：甲教室举办的培训次数=。
鸡兔同笼、和倍、差倍问题
鸡兔同笼、和倍、差倍问题【鸡兔同笼】是我国著名的趣味数学题之⼀，实际上这题的答案多样化，可以培养学⽣们的思维能⼒。
题⽬是这样的：鸡兔同⼀个笼⼦，头35，脚34只，请问鸡兔各有多少只？01⽅程法⼀元⼀次⽅程解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=1235-12=23(只）或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔⼦有12只，鸡有23只。
02抬腿法法⼀假如让鸡抬起⼀只脚，兔⼦抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。
笼⼦⾥的兔就⽐鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔⼦的只数。
法⼆假如鸡与兔⼦都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔⼦的脚，⽽且每只兔⼦有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔⼦，就有35－12=23只鸡03⼆元⼀次⽅程解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=352x+4y=94（x+y=35)×2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代⼊（x+y=35) x+12=35x=35-12（只）x=23（只）答：兔⼦有12只，鸡有23只。
⼩学四年级数学奥数练习题（⼋）鸡兔同笼问题基本公式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔⼦脚数-每只鸡脚数）鸡兔同笼问题例题透析11、有若⼲只鸡和兔⼦，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是“⾦鸡独⽴”，⼀只脚站着；⽽每只兔⼦都⽤两条后腿，像⼈⼀样⽤两只脚站着.现在，地⾯上出现脚的总数的⼀半，也就是244÷2=122（只）.在122这个数⾥，鸡的头数算了⼀次，兔⼦的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔⼦头数122-88=34，有34只兔⼦.当然鸡就有54只.答：有兔⼦34只，鸡54只. 上⾯的计算，可以归结为下⾯算式：总脚数÷2-总头数=兔⼦数. 上⾯的解法是《孙⼦算经》中记载的.做⼀次除法和⼀次减法，马上能求出兔⼦数，多简单！能够这样算，主要利⽤了兔和鸡的脚数分别是4和2，4⼜是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不⼀定是4和2，上⾯的计算⽅法就⾏不通.因此，我们对这类问题给出⼀种⼀般解法.还说此题. 如果设想88只都是兔⼦，那么就有4×88只脚，⽐244只脚多了88×4-244=108（只）.每只鸡⽐兔⼦少（4-2）只脚，所以共有鸡（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.说明我们设想的88只“兔⼦”中，有54只不是兔⼦.⽽是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），⽐244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡⽐每只兔⼦少（4-2）只脚，68÷2=34（只）.说明设想中的“鸡”，有34只是兔⼦，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）. 上⾯两个公式不必都⽤，⽤其中⼀个算出兔数或鸡数，再⽤总头数去减，就知道另⼀个数.假设全是鸡，或者全是兔，通常⽤这样的思路求解，有⼈称为“假设法”.鸡兔同笼问题例题透析2红铅笔每⽀0.19元，蓝铅笔每⽀0.11元，两种铅笔共买了16⽀，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买⼏⽀？解：以“分”作为钱的单位.我们设想，⼀种“鸡”有11只脚，⼀种“兔⼦”有19只脚，它们共有16个头，280只脚. 现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利⽤上⾯算兔数公式，就有蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（⽀）.红笔数=16-3=13（⽀）. 答：买了13⽀红铅笔和3⽀蓝铅笔. 对于这类问题的计算，常常可以利⽤已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔⼦”，8只是“鸡”，根据这⼀设想，脚数是8×（11+19）=240.⽐280少40.40÷（19-11）=5.就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3。
鸡兔同笼类问题中的各种解法分析小汇总
鸡兔同笼类问题中的各种解法分析小汇总1.典型鸡兔同笼问题详解例1鸡兔同笼是我国古代的着名趣题..大约在1500年前;孙子算经中就记载着“今有雉兔同笼;上有三十五头;下有九十四足;问雉兔各几何”翻译成通俗易懂的内容如下：鸡兔共有35个头;94只脚;问鸡兔各有多少只经梳理;对于这一类问题;总共有以下几种理解方法..1站队法让所有的鸡和兔子都列队站好;鸡和兔子都听哨子指挥..那么;吹一声哨子让所有动物抬起一只脚;笼中站立的脚：94-35=59只那么再吹一声哨子;然后再抬起一只脚;这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了;只剩下用两只脚站立的兔子;站立脚：59-35=24只兔：24÷2=12只；鸡：35-12=23只2松绑法由于兔子的脚比鸡的脚多出了2个;因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来;看作是一只脚;两只后脚也用绳子捆起来;看作是一只脚..那么;兔子就成了2只脚..则捆绑后鸡脚和兔脚的总数：35×2=70只比题中所说的94只要少：94-70=24只..现在;我们松开一只兔子脚上的绳子;总的脚数就会增加2只;不断地一个一个地松开绳子;总的脚数则不断地增加2;2;2;2……;一直继续下去;直至增加24;因此兔子数：24÷2=12只从而鸡数：35-12=23只3假设替换法实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似;只不过是换种方式进行理解..假设笼子里全是鸡;则应有脚70只..而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成..每一只兔子替代鸡;则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量..兔子数=实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数/每只兔脚数-每只鸡脚数与前相似;假设笼子里全是兔;则应有脚120只..而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成..每一只鸡替代兔子;则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量;即2只..鸡数=每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数/每只兔脚数-每只鸡脚数将上述数值代入方法1可知;兔子数为12只;再求出鸡数为23只..将上述数值代入方法2可知;鸡数为23只;再求出兔子数为12只..由计算值可知;两种替代方法得出的答案完全一致;只是顺序不同..由替代法的顺序不同可知;求鸡设兔;求兔设鸡;可以根据题目问题进行假设以减少计算步骤..4方程法随着年级的增加;学生开始接触方程思想;这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单..第一种是一元一次方程法..解：设兔有x只;则鸡有35-x只4x+235-x=944x+70-2x=94x=12注：方程结果不带单位从而计算出鸡数为35-12=23只第二种是二元一次方程法..解：设鸡有x只;兔有y只..则存在着二元一次方程组的关系式x+y=352x+4y=94解方程式可知兔子数为y=12则可计算鸡数为x=23以述四种方法就是这一典型鸡兔同笼问题的四种不同理解和计算方法;在没有接触方程思想之前;用前三种方式进行理解..在接触方程思想之后;则可以用第四种方法进行学习..2.鸡兔同笼问题的衍生非方程思想例2现有100千克的水装了共60个的矿泉水瓶子中..大矿泉水瓶一瓶装3千克;小矿泉水瓶1瓶装1千克;问大、小矿泉水瓶各多少个对应关系理清之后;按照例1中的方法即可求出;大矿泉水瓶子有20个;小矿泉水瓶子有40个具体解题过程不详述..例3聪明昊参加数学竞赛;共做20道题;得70分;已知做对一道题得5分;做错一道题扣1分..问聪明昊做对了几道题这一题依然与上述问题思路一致;只是少量变成了扣一分..在此提示;按照替代法进行计算;先假设全部做对;则应得分100分..而实际上却少得了100-70=30分这30分的差距就是因为一道错题替换了一道正确的..每一道题进行替换就会带来5+1=6分的差值注意一对一错;差值是两者的和..因此做错了5道题;做对了15道题..在这种情况下;小量不是增加而是减少或扣时;一般先假设大量进行替换计算..例4现有100千克的水装了共60个的矿泉水瓶子中..大矿泉水瓶1瓶装4千克;小矿泉水瓶2瓶装1千克;问大、小矿泉水瓶各多少个这道题需要认真审题;小矿泉水瓶是2瓶装1千克..当瓶子的数目不全是单位1时;思路可以如下..假如能运用小数;则直接将2瓶装1千克转化为1瓶装0.5千克;则变成与例1中所述方式一样..假如对小数不熟悉;则可以将2瓶子视为一组..则全部瓶子有30组;大矿泉水瓶一组装8千克;小矿泉水瓶一组装1千克;按照例1中所述方式;可以求出大小矿泉水瓶各有的组数;用组数乘以2则可以求出瓶数..上述3个问题仍然是两个因素的比较;因而只要将问题中的因素与鸡兔同笼问题中的因素一一对应即可计算出来..例5聪明昊完成工作后领得工资240元;包括2元、5元、10元三种人民币共50张;其中2元与5元的张数一样多..那么2元、5元、10元各有多少张这一道问题相比前面的问题复杂一些;变成三个因素..但是通过审题我们发现;他给出了一个条件那就是2元与5元的张数一样多..因此;由于这两种人民币数量一样多;可以将其当作一个整体进行计算;与10元进行比较..因此先假设全部是10元的人民币;则应有工资：50*10=500元比实际多出：500-240=260元这多出的260元就是因为用2元与5元替换了10元..由于拿一张5元替换10元时;必定要拿一张2元替换10元;因此依然可以将2张人民币作为一组..每替换一组;工资减少10-5+10-2=13元则由此可知;共替换的人民币组数：260/13=20组则总共替换的人民币张数：20*2=40个因而计算得出10元人民币的张数：50-40=10张；2元和5元人民币的张数分别为：40/2=20张由此题可知;虽然变成了三个因素的关系;但是由于题中给出了其中两个因素的相互关系;因此可以将有相互关系的因素进行捆绑;从而转化为两个因素的计算;便与例1相同..注：如果对小数比较熟悉;也可以将2和5元看成一张3.5元进行假设替换;需要替换40张;2元和5元各20张..小朋友可以自己思考..例6蜘蛛有8条腿;蜻蜓有6条腿和2对翅膀;蝉有6条腿和1对翅膀..现在这三种小虫共21只;有140条腿和23对翅膀.每种小虫各几只由上述题目可知;总量分别包括了腿和翅膀两种;其中蜘蛛1只有8腿;而单个蜻蜓和单个蝉的腿数相同;都为6条..因此可以按照题4的方式利用腿的关系求出蜘蛛的个数以及蜻蜓与蝉的个数和..由于翅膀只有蜻蜓和蝉拥有;再次利用例1的思路;针对翅膀这一数量关系;可以分别计算出蜻蜓和蝉的个数..本题答案是蜘蛛7只;蜻蜓9只;蝉5只具体过程此处不详细列出..关于鸡兔同笼的第一大类型题就讲到这儿;接下来进入第二大类型题..3.前文中结出的条件之一都是鸡兔同笼中的总头数;即“两数之和”..如果把条件换成“两数之差”;又应该怎样去解呢例7鸡兔共有94只脚;其中鸡数比兔子数多11只;求问鸡兔各有多少只1去多法如果抓出11只鸡杀掉;则笼子里就剩下相同数量的鸡和兔子..此时;笼子中鸡和兔的脚总量为94-11×2=72只每一只鸡和每一只兔子共有脚4+2=6只这时候;将一只鸡和一只兔子看做一组;一组共有6只脚..则抓出鸡后;笼子里剩余的鸡与兔的组数分别为72/6=12组那么可知兔子有12只;再通过计算得出鸡的数量为12+11=23只2同增同减法假设笼子里有兔子1只;则有鸡12只;可以计算出1只兔子和12只鸡共有脚的数量为：1×4+12×2=28只比实际的94只少：94-28=66只因此还要增加兔子的数量..为了保持鸡比兔子多11只;每增加1只兔子;就要增加1只鸡8;因此需要同时增加的腿数为4+2=6只因此增加66只脚则需要增加的鸡和兔子的数量为66÷6=11只根据前文的假设条件可计算出兔子的数量为：1+11=12只；鸡的数量为：12+11=23只例8古诗中;五言绝句是四句诗;每句都是五个字；七言绝句是四句诗;每句都是七个字..一本诗选集中五言绝句比七言绝句多3首;诗集中共有数字300个..问两种类型的诗各多少首这道题与例7完全一致;只不过七言绝句对应兔;五言绝句对应鸡;多的13首诗对应多的11只..因此;可以按照上述两种思路进行计算..如果去掉3首五言绝句;两种类型的诗的数量就相等;此时去掉的字数为应注意一道诗4句：3×5×4=60个此时仍有字数为：300-60=240个1首五言和1首七言绝句的字数和为：5×4+7×4=48个则去掉3首五言绝句后;仍有五言和七言绝句的数量为：240/48=5首从而得出七言绝句有5首;而计算出五言绝句共有：5+3=8首此外还可以按照例7的方法2完成这道题;假设七言绝句有1道;则五言绝句有4首;如此类推..此处不再说述..例9在例8的基础上进行修改;假设在这一诗选集中五言绝句比七言绝句多13首;总字数却反而少了20个字..问两种诗各多少首1如果去掉13首五言绝句;两种类型的诗的首数就相等..在相同数量下;七言绝句比五言绝句多出的字数个数为五言绝句原本就差20;再减少了13首五言绝句：13×5×4+20=280个每首七言绝句比每首五言绝句多出的字数个数为：7×4-5×4=8个因此;七言绝句的数量为：280/8=35首；则五言绝句有：35+13=48首2假设七言绝句是1首;那么根据相差13首;五言绝句是14首..那么五言绝句的字数为：20×14=280个；七言绝句的字数为：28×1=28个假设情况下;五言绝句的字数反而多：280-28=252个为实现题目中“五言绝句比七言绝句少20字”;需要增加诗的数量;其中每增加一首;七言绝句比五言绝句多增加字数：252+20=272个为了保持相差13首;增加一首五言绝句;也要增一首七言绝句;即增加一首;七言比五言多增加字数数量为：7×4-5×4=8个因此七言绝句和五言绝句的首数要比假设增加：272÷8=34首五言绝句有：14+34=48首；七言绝句有：1+34=35首答：五言绝句有48首;七言绝句有35首..至此;鸡兔同笼问题的基本分析结束;其他类似的问题不外乎是在这个基本框架上的变化;都是可以通过简化、转变最终变成鸡兔同笼问题进行分析..当然在学习了方程思想后;鸡笼同笼问题将会变得十分简单..本文不在此对这一内容进行分析..除此之外;由于本文主要是思路讲解;因此所有例题中均没有写答句..在实际的考试中;每一道应用题得出答案都一定要写答句;如例9所示..。
古代数学鸡兔同笼问题
古代数学鸡兔同笼问题
古代数学问题中的“鸡兔同笼”是一个非常经典的代数应用题，起源于中国大约1500年前的《孙子算经》。
这个问题描述的是一个情景：有若干只鸡和兔子关在一个笼子里，从上面看只知道头的总数，从下面看则只能看到脚的总数。
因为鸡有2条腿，兔子有4条腿，所以需要通过这些信息来推算出笼中有多少只鸡和多少只兔子。
具体问题形式比如这样：假设在同一个笼子里，共有35个头（意味着有35只动物），共有94只脚。
要求解有多少只鸡（每只2条腿）和多少只兔子（每只4条腿）。
用方程法解决此问题时，可以建立如下两个方程：
鸡和兔子的头数之和等于35：设鸡的数量为x，兔子的数量为y，则有：x + y = 35鸡和兔子的脚数之和等于94：因为鸡有2条脚，兔子有4条脚，所以：2x + 4y = 94 可以简化为：x + 2y = 47
通过解这个二元一次方程组就能得到x和y的具体数值，也就是鸡和兔子各有多少只。
另外，也可以采用直观的“抬腿法”（即设想所有动物都抬起一条腿，此时地上剩余的脚数应当是奇数，可以直接确定兔子的数量，然后进一步求得鸡的数量）。
但这种方法不如方程法严谨，在更复杂的情况中可能会失效。
对于原始的题目数据，使用上述任何一种方法都能得出正确的答案。
古代数学中的一元一次方程
３ ５ 一 ） 只． 初 年 编 定 的一 部 现 有 传 本 的 、 最 古 老 的 中 是 （
答： 笼 中鸡 有 ２ ３ 只， 兔 子有 １ ２ 只． ２ ．宝 塔 装灯 问题
鸡兔 同笼 是 中 国古 代 的数 学 名题 之
一 ．
我 国 明代 数 学 家 吴 敬 所 著 的 《 九 章算 载 了这 个 有 趣 的 问题 ．书 中是 这 样 叙 述 的 ： 术 比类 大 全 》 中， 有一道 数学 名题 叫“ 宝 塔
问题 和 其他 问题 的解 法 ， 分 问 题
解： 设 鸡 的 数 量 是 只， 则 兔 子 的 数 量 根据题意得 ， ＋ ４ （ ３ ５ ） ＝ ９ ４ ．
解之得 ， ｘ ＝ ２ ３ ．
３ ５－ ｘ＝１ ２．
几何追及 之？”
【 分析 】 根 据题 意 ， 驽马先行 一十二 日，
则 驽马先行 了 １ ８ ０ ０ 里， 这 个 问题 中数 量 之 间 有 这样 的相 等关 系 ： 驽 马 跑 的路 程 ＋ １ ８ ０ ０
里＝ 良马 跑 的路 程 ．
根据题意得 ， ＋ 三＋ ＋ ５ ＋ ＋ ４ ： ．
答 ： 甲、 乙 两 人 的速 度 分 别 为 ８ 千米／ ／ Ｊ 、 成 工 作 量 ｍ、 凡 的 时 间 分 别 为 天、 １ ８ 天 ， 乙 时、 １ ０ 千￣ ｇ ／ ｓ Ｊ ＇ ， 时． 完 成 工 作 量 ｍ、 ｎ 的时 间分 别 为３ ２ 天、 天， 例４ 甲、 乙两人 共 同完 成 某 项 工 程 需 有 ＝ ３ ２ ｘ １ ８ ， 故ｘ ＝ ２ ４， 若干天 ， 甲单 独做 则 需 多做 １ ８ 天， 乙单 独 做 ２ ４ ＋１ ８ ＝ ４ ２ （ 天） ， ２ ４ ＋ ３ ２ ＝ ５ ６ （ 天） ． 则 需 多做 ３ ２ 天， 问甲、 乙两人 单独 做 各 需 多 答 ： 甲 、 乙两 人 单 独 做 分 别 需 ４ ２ 天 、
人教部编版七年级数学上册《用一元一次方程解决古代数学问题》精品课教案_7
用一元一次方程解决古代数学问题教学设计【教材分析】：“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。
“盈不足”问题出现在《九章算术》中。
本部分内容一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会一元一次方程的一般性。
感悟应用一元一次方程解决问题的过程，本节课着重用一元一次方程解决古代数学问题。
【学生分析】：学生在六年级时已初步学习了简单的“鸡兔同笼”问题，他们已经初步尝试了应用逐一列表法、抬腿法、假设法解决问题，但学生的掌握程度参差不齐。
因此，教学这一内容时，虽然学生思维活跃，但很多学生不敢说，经过初一一年的培养，各组学生有一定的小组合作经验和合作能力。
【设计理念】：“鸡兔同笼”、“盈不足”向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”、“盈不足”问题，使学生展开讨论，应用方程思想，从多角度思考，解决“鸡兔同笼”等数学问题，使学生在具体情境中，根据自己的经验，找到解决问题的策略，并在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。
【教学目标】：1.培养学生自主理解题意的能力，准确寻找题中的等量关系，正确列出一元一次方程解决简单的中国古代数学名题。
2.在练习中，进一步理解用一元一次方程这个工具解决实际问题的方法。
3.通过对祖国古老数学文化的了解，增强民族自豪感，树立为中华崛起而读书的信心。
【教学重点】：列一元一次方程解决鸡兔同笼、盈不足问题。
【教学难点】：在解决古代数学问题中寻找相等关系并列出方程。
【教学过程】：一、创设情境，引出问题师：我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨大贡献，尤其在数学领域有《九章算术》、《孙子算经》等古代名著流传于世，如一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题，漂洋过海传到日本等国，对中国古文明史的传播起很大的作用。
揭示课题：这就是我们今天要研究“古代数学问题”的问题。
鸡兔同笼解方程应用题
鸡兔同笼解方程应用题题目：笼子里有鸡和兔各若干只，鸡和兔共有50头，160只脚，问：鸡和兔各多少只？解法一(我称之为极值法):假设笼子里全部是兔子，则脚应该有50×4=200(只)，但实际上只有160，所以少的脚应该是鸡的脚，因为鸡只有两只脚，所以鸡的只数应该为(200-160)÷2=20(只)，那么兔子的只数为50-20=30(只)。
另，自己可以试一下极值法的另外一种情况，即全部都是鸡的情况！我给孩子们上课的时候，是要求他们对这种方法要熟练掌握的，不过实际上掌握的同学并不多，因为有比这更有意思的方法！不过，我的目的也不是让他们掌握，毕竟，如果孩子比较小，这种方法对他们来说，确实有点困难。
我是想通过这种解法，把“极值”这种思想介绍给孩子们。
解法二(抬腿法)：假设鸡和兔子都能听懂我说话，然后让它们站成一排，听口令做动作。
每个动物先抬起一只脚，然后在地上的脚的总数就是160-50=110(只)，接下来，再抬起一只脚，那此时地上脚的总数就是110-50=60(只)。
重点来了，此时，鸡因为两只脚都抬起来了，所以坐在地上，地上的脚就应该全部都是兔子的了，并且，每只兔子有两只脚在地上。
所以，兔子的数量为60÷2=30(只)。
鸡的数量为50-30=20(只)。
解法三(方程法)：鸡兔同笼实际上就是方程的应用题了。
在小学阶段，我们只学习过一元一次方程，但奥数中有二元一次方程，所以，我们将分别用一元一次方程和二元一次方程解决鸡兔同笼问题。
一元一次方程：假设有鸡x只，那么兔子的数量为50-x，根据题意，列出方程：2x+4(50-x)=160，经过一系列的解方程，得出x=20,所以鸡有20只，那么兔子有30只；再另，可以自己尝试一下假设兔子有x只的解法；二元一次方程：如果掌握了二元一次方程，那这道题，不要太容易。
假设鸡有x只，兔子有y只，则x+y=502x+4y=160可以带入消元法，也可以加减消元法，解的x=20,y=30.为什么用斜体呢，因为它重要呀，相信孩子们都喜欢抬腿法，可方程法才是王道(不要问我为什么，你只需要知道初中高中大学考研都有x就行了)！解法四(公式法)：有人总结了鸡兔同笼问题的公式，感觉挺好用，分享一下：脚的数量÷2-头的数量=兔子的数量！。
列方程解应用题(6)鸡兔同笼
今有雏兔同笼，上有三十五头， 今有雏兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雏兔各几何？ 下有九十四足，问雏兔各几何？
课堂小结
• 你通过本节课的学习，收获了什么？ 你通过本节课的学习，收获了什么？
• 1.了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的 了解“鸡兔同笼”问题， 了解 趣味性； 趣味性； • 2.学会用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题； 学会用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题； 学会用不同的方法解决 • 3.在解决问题的过程中培养自己的逻辑推理能力。 在解决问题的过程中培养自己的逻辑推理能力。 在解决问题的过程中培养自己的逻辑推理能力
这道题的意思就是： 这道题的意思就是：
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数， 个头，从下面数， 94只脚 只脚。 个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有 几只？ 几只？
笼子里面有若干只鸡和兔。从上面数， 笼子里面有若干只鸡和兔。从上面数， 个头，从下面数， 26只脚 只脚。 有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和 兔各有几只？ 兔各有几只？
假设8只都是鸡 假设 只都是鸡
方法三：列方程 列方程
那么列方程解应用题的关键是什么？ 那么列方程解应用题的关键是什么？ 找等量关系！！ 找等量关系！！
兔子的脚数=总数 题目的等量关系： 鸡的脚数+兔子的脚数 题目的等量关系： 鸡的脚数 兔子的脚数 总数 解：设有兔子χ只，那么就有鸡（8- χ ）只， 设有兔子 只 那么就有鸡（
课堂练习
• 传说中九头鸟有九头一尾，九尾鸟有九尾 传说中九头鸟有九头一尾， 一头，今有头580个，有尾 一头，今有头 个 有尾900个，则九头 个 九尾鸟有——只。 鸟——九尾鸟有 九尾鸟有 只
列一元二次方程解应用题——鸡兔同笼
解：设笼中有鸡x只，有兔y只 由题意可得：
x+y=35
2x+4y=94 解此方程组得： X=23
Y=12
答：笼中有鸡23只，兔12只。
例1 以绳测井。若将绳三折测之， 绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一 尺。绳长、井深各几何？
<<孙子算经>>是我国古代较为普及的算书,许多问题浅显有趣. 其中下卷第31题“鸡兔同笼”问题流传尤为广泛,飘洋过海传 到了日本等国.
今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十 四足，问鸡兔各几何？ （1）“上有三十五头”的意思是什么？“下 有九十四足”呢？
下课了!
生活中蕴含着很多数学知识，希望同 学们都有一双善于发现的慧眼，在生活中 体会数学，用数学解释生活.
从小华家到姥姥家，有一段上坡路
和一段下坡路.星期天，小华骑自行车去 姥姥家，如果保持上坡每小时行3 km,下 坡每小时行5 km,他到姥姥家需要行66分 钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能 到家.那么，从小华家到姥姥家上坡路和
2x+4y=94 解此方程组得： X=23
Y=12
答：笼中有鸡23只，兔12只。
例1 以绳测井。若将绳三折测之， 绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一 尺。绳长、井深各几何？
题目大意是：
用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等 份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子 折成四等份，一份绳长比井深多1尺。问 绳长、井深各是多少尺？
用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深 多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。问绳 长、井深各是多少尺？
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解鸡兔问题公式（1）已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡(de)脚数×总头数）÷（每只兔(de)脚数-每只鸡(de)脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数.或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数.例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只”解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；36-14=22（只）……………………………鸡.解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；36-22=14（只）…………………………兔.（答略）（2）已知总头数和鸡兔脚数(de)差数,当鸡(de)总脚数比兔(de)总脚数多时,可用公式（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡(de)脚数+每只兔(de)脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡(de)脚数+每只免(de)脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数.（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数(de)差数,当兔(de)总脚数比鸡(de)总脚数多时,可用公式.（每只鸡(de)脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡(de)脚数+每只兔(de)脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数.或（每只兔(de)脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡(de)脚数+每只兔(de)脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数.（例略）（4）得失问题（鸡兔问题(de)推广题）(de)解法,可以用下面(de)公式：（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数.或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数.例如,“灯泡厂生产灯泡(de)工人,按得分(de)多少给工资.每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分.某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格”解一（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）＝1000-18525÷19=1000-975=25（个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元…….它(de)解法显然可套用上述公式.）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少(de)问题）,可用下面(de)公式：〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数.例如,“有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只.鸡兔各是多少只”解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2=20÷2=10（只）……………………………鸡〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）鸡兔同笼目录 1总述 2假设法 3方程法一元一次方程二元一次方程4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法基本问题特殊算法习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代(de)数学名题之一.大约在1500年前,孙子算经中就记载了这个有趣(de)问题.书中是这样叙述(de)：“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何”这四句话(de)意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚.问笼中各有几只鸡和兔算这个有个最简单(de)算法.（总脚数-总头数×鸡(de)脚数）÷（兔(de)脚数-鸡(de)脚数）=兔(de)只数（94－35×2）÷2=12(兔子数) 总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23）解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚,这样笼子里(de)脚就减少了头数×2只,由于鸡只有2只脚,所以笼子里只剩下兔子(de)两只脚,再除以2就是兔子数.虽然现实中没人鸡兔同笼.2假设法假设全是鸡：2×35=70（只）鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）兔：24÷(4-2)=12 （只）鸡：35－12=23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚,笼中站立(de)脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了,只剩下用两只脚站立(de)兔子,站立脚：59-35=24（只）兔：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）3方程法一元一次方程解：设兔有x只,则鸡有(35-x）只.4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24÷2x=1235-12=23(只）或解：设鸡有x只,则兔有（35-x）只.2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔子有12只,鸡有23只.注：通常设方程时,选择腿(de)只数多(de)动物,会在套用到其他类似鸡兔同笼(de)问题上,好算一些.二元一次方程解：设鸡有x只,兔有y只.x+y=352x+4y=94（x+y=35)×2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入（x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只）.答：兔子有12只,鸡有23只4抬腿法法一假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起2只脚,还有94除以2=47只脚.笼子里(de)兔就比鸡(de)头数多1,这时,脚与头(de)总数之差47-35=12,就是兔子(de)只数.法二假如鸡与兔子都抬起两只脚,还剩下94－35×2=24只脚 , 这时鸡是屁股坐在地上,地上只有兔子(de)脚,而且每只兔子有两只脚在地上,所以有24÷2=12只兔子,就有35－12=23只鸡5列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6详解中国古代孙子算经共三卷,成书大约在公元5世纪.这本书浅显易懂,有许多有趣(de)算术题,比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何题目中给出雉兔共有35只,如果把兔子(de)两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了2只脚,即把兔子都先当作两只脚(de) 鸡.鸡兔总(de)脚数是35×2=70（只）,比题中所说(de)94只要少94-70=24（只）.现在,我们松开一只兔子脚上(de)绳子,总(de)脚数就会增加2只,即70+2=72（只）,再松开一只兔子脚上(de)绳子,总(de)脚数又增加2,2,2,2……,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数：24÷2=12（只）,从而鸡有35-12=23（只）.我们来总结一下这道题(de)解题思路：如果先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔(de)总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到(de)脚数与题中给出(de)脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差(de)脚数除以2,就可以算出共有多少只兔.概括起来,解鸡兔同笼题(de)基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）.类似地,也可以假设全是兔子.我们也可以采用列方程(de)办法：设兔子(de)数量为x,鸡(de)数量为y 那么：x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只,鸡有23只.7详细解法基本问题"鸡兔同笼"是一类有名(de)中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它(de)典型解法--"假设法"来求解.因此很有必要学会它(de)解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只解：我们设想,每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚(de)总数(de)一半,·也就是244÷2=122（只）.在122这个数里,鸡(de)头数算了一次,兔子(de)头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下(de)就是兔子头数122-88=34（只）,有34只兔子.当然鸡就有54只.答：有兔子34只,鸡54只.上面(de)计算,可以归结为下面算式：总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数特殊算法上面(de)解法是孙子算经中记载(de).做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单能够这样算,主要利用了兔和鸡(de)脚数分别是4和2,4又是2(de)2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,"脚数"就不一定是4和2,上面(de)计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了88×4-244=108（只）.每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）.说明我们设想(de)88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.当然,我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176（只）,比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,68÷2=34（只）.说明设想中(de)"鸡",有34只是兔子,也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样(de)思路求解,有人称为"假设法". 现在,拿一个具体问题来试试上面(de)公式.例2 红铅笔每支元,蓝铅笔每支元,两种铅笔共买了16支,花了元.问红,蓝铅笔各买几支解：以"分"作为钱(de)单位.我们设想,一种"鸡"有11只脚,一种"兔子"有19只脚,它们共有16个头,280只脚.现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式,就有蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)=24÷8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.对于这类问题(de)计算,常常可以利用已知脚数(de)特殊性.例2中(de)"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想,脚数是8×(11+19)=240（支）.比280少40.40÷(19-11)=5（支）.就知道设想中(de)8只"鸡"应少5只,也就是"鸡"(蓝铅笔）数是3.30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数(de)特殊性,靠心算来完成计算.实际上,可以任意设想一个方便(de)兔数或鸡数.例如,设想16只中,"兔数"为10,"鸡数"为6,就有脚数19×10+11×6=256.比280少24.24÷(19-11)=3,就知道设想6只"鸡",要少3只.要使设想(de)数,能给计算带来方便,常常取决于你(de)心算本领.下面再举四个稍有难度(de)例子.例3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10(de)最小公倍数）,甲每小时打30÷6=5（份）,乙每小时打30÷10=3（份）.现在把甲打字(de)时间看成"兔"头数,乙打字(de)时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"(de)脚数是5,"鸡"(de)脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.根据前面(de)公式"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)=,"鸡"数==,也就是甲打字用了小时,乙打字用了小时.答：甲打字用了4小时30分.例4 今年是1998年,父母年龄（整数）和是78岁,兄弟(de)年龄和是17岁.四年后(2002年）父(de)年龄是弟(de)年龄(de)4倍,母(de)年龄是兄(de)年龄(de)3倍.那么当父(de)年龄是兄(de)年龄(de)3倍时,是公元哪一年解：4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄(de)年龄看作"鸡"头数,弟(de)年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄(de)年龄是(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.1998年,兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是(25-14)×4-4=40（岁）.因此,当父(de)年龄是兄(de)年龄(de)3倍时,兄(de)年龄是(40-10)÷(3-1)=15（岁）.这是2003年.答：公元2003年时,父年龄是兄年龄(de)3倍.例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿(de)数目来考虑,可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种.利用公式就可以算出8条腿(de)蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)=5（只）.因此就知道6条腿(de)小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.因此蜻蜓数是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.例6 某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道(de)有7人,5道全对(de)有6人,做对2道和3道(de)人数一样多,那么做对4道(de)人数有多少人解：对2道,3道,4道题(de)人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-1×7-5×6=144（道）.由于对2道和3道题(de)人数一样多,我们就可以把他们看作是对道题(de)人（(2+3)÷2=.这样兔脚数=4,鸡脚数=,总脚数=144,总头数=39.对4道题(de)有×39)÷=31（人）.答：做对4道题(de)有31人.以例1为例有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只以简单(de)X方程计算(de)话,我们一般用设大数为X,那么也就是设兔为X,那么鸡(de)只数就是总数减去鸡(de)只数,即（88-X）只.解：设兔为X只.则鸡为（88-X）只.4X+2×（88-X）=244上列(de)方程解释为：兔子(de)脚数加上鸡(de)脚数,就是共有(de)脚数.4X就是兔子(de)脚数,2×（88-X）就是鸡(de)脚数.4X+2×88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X÷2=68÷2X=34即兔子为34只,总数是88只,则鸡：88-34=54只.答：兔子有34只,鸡有54只.习题一1．龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只2．学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副3．一些2分和5分(de)硬币,共值元,其中2分硬币个数是5分硬币个数(de)4倍,问5分硬币有多少个4．某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元(de)张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张5．一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下(de)部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天6．摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有(de)是由一段上坡路(3千米）,一段平路(4千米）,一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）组成(de)；有(de)是由一段上坡路(3千米）,一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）组成(de).已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段7．用1元钱买4分,8分,1角(de)邮票共15张,问最多可以买1角(de)邮票多少张二、"两数之差"(de)问题鸡兔同笼中(de)总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢例7 买一些4分和8分(de)邮票,共花6元8角.已知8分(de)邮票比4分(de)邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张解一：如果拿出40张8分(de)邮票,余下(de)邮票中8分与4分(de)张数就一样多.(680-8×40)÷(8+4)=30（张）,这就知道,余下(de)邮票中,8分和4分(de)各有30张.因此8分邮票有40+30=70（张）.答：买了8分(de)邮票70张,4分(de)邮票30张.也可以用任意假设一个数(de)办法.解二：譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加(de)张数是(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10（张）.因此4分有20+10=30（张）,8分有60+10=70（张）.例8 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天比晴天多3天,工程要多少天才能完成解：类似于例3,我们设工程(de)全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一(de)方法,晴天有(150-8×3)÷(10+8)= 7（天）.雨天是7+3=10天,总共7+10=17（天）.答：这项工程17天完成.请注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节(de)问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间(de)关系.总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢例9 鸡与兔共100只,鸡(de)脚数比兔(de)脚数少28.问鸡与兔各几只解一：假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14（只）,鸡与兔脚数就相等,兔(de)脚是鸡(de)脚4÷2=2（倍）,于是鸡(de)只数是兔(de)只数(de)2倍.兔(de)只数是(100+28÷2)÷(2+1)=38（只）.鸡是 100-38=62（只）.答：鸡62只,兔38只.当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔(de)只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38（只）.也可以用任意假设一个数(de)办法.解二：假设有50只鸡,就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是4×50-2×50=100,比28多了72.就说明假设(de)兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2).因此要减少(de)兔数是 (100-28)÷(4+2)=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.另外,还存在下面这样(de)问题：总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字；七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首解一：如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差13×5×4+20=280（字）.每首字数相差 7×4-5×4=8（字）.因此,七言绝句有 280÷(28-20)=35（首）.五言绝句有35+13=48（首）.答：五言绝句48首,七言绝句35首.解二：假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字）,28×10=280（字）,五言绝句(de)字数,反而多了460-280=180（字）.与题目中"少20字"相差180+20=200（字）.说明假设诗(de)首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句(de)首数要比假设增加200÷8=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有 10+25=35（首）.在写出"鸡兔同笼"公式(de)时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出(de)计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下,就会发现非常有趣(de)事.例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是(680-8×40)÷(8+4)=30（张）.例9,假设都是兔,鸡(de)只数是(100×4-28)÷(4+2)=62（只）.10,假设都是五言绝句,七言绝句(de)首数是(20×13+20)÷(28-20)=35（首）.首先,请读者先弄明白上面三个算式(de)由来,然后与"鸡兔同笼"公式比较,这三个算式只是有一处"-"成了"+".其奥妙何在呢当你进入初中,有了负数(de)概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举(de)所有例子都是同一件事.例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好(de)瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只解：如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+=（元）.因此破损只数是÷(1+=17（只）.答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.请你想一想,这是"鸡兔同笼"同一类型(de)问题吗例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分解一：如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是 8×6-2×(15-6)=30（分）.两次相差 120-30=90（分）.比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设(de)第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6（分）,而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.(90-10)÷(6+10)=5（题）.因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11（题）.第一次得分5×19-1×(24- 19)=90.第二次得分8×11-2×(15-11)=80.答：第一次得90分,第二次得80分.解二：答对30题,也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6（分）,第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16（分）. 如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是(6×9+10)÷(6+10)=4（题）·第一次答错9-4=5（题）.第一次得分5×(24-5)-1×5=90（分）.第二次得分8×(15-4)-2×4=80（分）.习题二1．买语文书30本,数学书24本共花元.每本语文书比每本数学书贵元.每本语文书和数学书(de)价格各是多少2．甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花(de)钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克3．一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运(de)次数却比晴天运(de)次数少27次.问一连运了多少天4．某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题5．甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分；若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发6．甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲,乙两地出发,经过4小时后,他们在返回(de)途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走千米,求两人(de)速度.三、从"三"到"二""鸡"和"兔"是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西(de)类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子(de)解法,也可以看出,要把"三种"转化成"二种"来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化(de)方法.例13 学校组织新年游艺晚会,用于奖品(de)铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔(de)4倍.已知铅笔每支元,圆珠笔每支元,钢笔每支元.问三种笔各有多少支解：从条件"铅笔数量是圆珠笔(de)4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组(de)笔,每支价格算作（×4+÷5=（元）.现在转化成价格为和两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是×232)÷（支）.铅笔和圆珠笔共232-12=220（支）.其中圆珠笔220÷(4+1)=44（支）.铅笔220-44=176（支）.答：其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.例14 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球(de)钱与买小球(de)钱恰好一样多.问每种球各买几个解：因为总钱数是整数,大,小球(de)价钱也都是整数,所以买中球(de)钱数是整数,而且还是3(de)整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是×2+1×3)÷(2+3)=（元）.从公式可算出,大球个数是×55)÷=30（个）.买中,小球钱数各是(120-30×3)÷2=15（元）.可买10个中球,15个小球.答：买大球30个,中球10个,小球15个.例13是从两种东西(de)个数之间倍数关系,例14是从两种东西(de)总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法）,把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西(de)平均价,就把"三"转化成"二"了.例15是为例16作准备.例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他(de)平均速度是多少解：去和回来走(de)距离一样多.这是我们考虑问题(de)前提.平均速度=所行距离÷所用时间去时走1千米,要用20分钟；回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.千万注意,平均速度不是两个速度(de)平均值：每小时走(6+3)÷2=4.5千米.例16 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时；从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单(de)"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6（小时）.单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是：45-5×3=30（千米）.又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走(de)时间是：(6×7-30)÷(6-3)=4（小时）.行走路程是3×4=12（千米）.下坡行走(de)时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）. 答：从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.做两次"鸡兔同笼"(de)解法,也可以叫"两重鸡兔同笼问题".例16是非常典型(de)例题.例17 某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出(de)题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,其中考25题(de)有多少次解：如果每次都考16题,16×24=384,比426少42道题.每次考25道题,就要多25-16=9（道）.每次考20道题,就要多20-16=4（道）.就有9×考25题(de)次数+4×考20题(de)次数=42.请注意,4和42都是偶数,9×考25题次数也必须是偶数,因此,考25题(de)次数是偶数,由9×6=54比42大,考25题(de)次数,只能是0,2,4这三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.。
小学数学鸡兔同笼问题
小学数学鸡兔同笼问题鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔？鸡兔同笼这道题，有这样几种解法：1、假设法假设全是鸡：2×35=70（只）鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）兔：24÷(4-2)=12 （只）鸡：35－12=23（只）2、方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=1235-12=23(只）或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔子有12只，鸡有23只。
注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=352x+4y=94（x+y=35)×2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入（x+y=35) x+12=35x=35-12（只）x=23（只）答：兔子有12只，鸡有23只3、抬腿法法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。
笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡对于“鸡兔同笼”这种考题，常考的有这样几种类型的问题：（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。
一元一次方程的运用3(鸡兔同笼问题)
数学
7
练习(课本第11页)第1题 1.学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米／秒 的速度跑完了大部分路程,最后以8米／秒的速度冲刺 到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多 少时间?
路程
前一段 后一段 总数
400
速度
6 8
时间(秒)
65 x
x
65
解:设小刚在冲刺阶段花了
6(65 x)
x 5.
秒时间.
经检验, 符合题意 .
答:小刚在冲刺阶段花了 5
习题(课本第12页)第4、5、6题 4.足球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝而成的,共计 有32块,已知黑色皮块比白色皮块数的一半多2,问两种皮块各 有多少? 解1:设黑色皮块有 根据题意,则
x 块,则白色皮块有
1 (32 x) 2 2
①如果一个学生得90分,那么他选对几道题?
②有得83分的同学吗?
选对
数 量 x
解：设他选对了x道题，由题意得： 4x -(25-x) = 90
不选或选错
(25-x)
x = 23
若4x-(25-x)= 83 x=21.6 ∵题目选对的数量x是整数 ∴ x=21.6 不符合题意 答：如果一个学生得90分,那么他选对 23道题，没有得83分的同学.
解方程得：X=30 经检验X=30是方程的 解并符合题意 答：这些新团员中有30 名男同学
参加人数 每人共搬砖数 共搬砖数
X
65-X
65
8× 4
6× 4
32X 24(65-X) 1800
一份试卷共25题,每道题都给出四个答案,其中只有一个是正确的,
要求学生把正确答案选出来,每题选对得4分,不选或选错扣1分。
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我国古代数学源远流长，博大精深，曾经 有过许多伟大的成就。
刘 徽
祖冲之
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赵爽弦图
勾股定理
鸡兔同笼 例1：鸡兔同笼，共有头26，足72， 问鸡、兔各几何？
应用练习 练习1： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚各几何？
盈不足问题 例2： 分钱人二而多三，人三而少二， 问：人几何，钱几何？
盈不足问题
“盈不足”是中国古代解决盈亏类问题的一种 算术方法. 先秦时期实际工作中经常出现某种东 西过多或过少的情况，为了得到合适的数量， 人们通过运用比、比例和分数的知识，找到了解 决问题的盈不足方法.这种方法及其应用形成了 先秦数学的一个科目——盈不足，并记载于 《九章算术》在先秦的祖本中.受它直接或间 接的影响，先秦到汉代的学者们根据需要设 置了很多盈不足问题.
应用练习
练习4：幼儿园的小朋友分一袋糖， 若每人4块，则分完后还剩2块； 若每人5块，则还缺10块， 求一共有多少块糖， 小朋友一共有几人？
应用练习 练习1：问问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空， 问有多少房间，多少客？
应用练习
练习2： 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺， 绳长，井深各几何？
应用练习
练习3：有人在林中散步，无意中听到几个 强盗在商量怎样分配抢来的布匹. 若每人分６匹，就剩５匹； 若每人分７匹，就差８匹. 问共有强盗几个？布匹多少？