中考数学压轴题评分标准

∴此时抛物线与y轴的交点为C（0，c），顶点为E（1，1＋c）
∵方程－x
2＋2x＋c＝0的两个根为x
1＝1－1c，x2＝1＋1c
∴此时抛物线与x轴的交点为A（1－1c，0），B（1＋1c，0）
如图，过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCE＝S
△BCF
∵S△BCE＝S△ABC，∴S△BCF＝S
（Ⅱ）如图2，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG＝2，连接D′G与x轴交于点E，
在EA上截取EF＝2，则四边形GEFC为平行四边形，得GE＝CFy
又DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小
∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，∴
OE
BG
＝
DO
DB
∴OE＝
则抛物线的解析式为y＝－(x－h)
2＋k
此时抛物线与y轴的交点为C（0，－h
2＋k），
与x轴的交点为A（h－k，0），B（h＋k，0）．（k＞h＞0）
过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCE＝S
△BCF
∵S△BCE＝2S△AOC，∴S△BCF＝2S
△AOC
∴BF＝2AO＝2(k－h)
图2
②依题意作等腰直角三角形QMN
设直线AB的解析式为y＝k2x＋b
由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y＝－
1
2
x＋5
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，
有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示
可证△DPQ为等腰直角三角形
根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1
y
可求得点C的坐标为（3a，2a）D
由C点在抛物线上，得2a＝－
即
9
1122
2
a
－
429
a＝0，解得a1＝
1
5
2
×(3a)2＋
2＋
×3a
4
，a2＝0（舍去）
1
O
BC
E
N
1
P
M
F
Q
A
x
∴OP＝
22
9
··············································································4分
DO
DB
·BG＝
DO
DB
·(BC－CG)＝
2
6
×1＝
1
3
B
D
G
C
∴OF＝OE＋EF＝
1
3
＋2＝
7
3
OEFAx
∴点E的坐标为（
1
3
，0），点F的坐标为（
7
3
，0）··························10分
D′
图2
3．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝3时，抛物线的解析式为y＝－x
2＋2x＋3，即y＝－(x－1)2＋4
∴PQ＝MQ＝CQ＝2t，∴t＋2t＋2t＝10
∴t＝2
ME
C
第三种情况：点P、Q重合时，PD与QM在同一条直线上，
如图4所示
N
B
F
此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位
∴t＋2t＝10
1
O
1
Q(P)
A
x
10
3
∴t＝
图4
10
7
综上，符合题意的t值分别为
10
3
，2，
·······································································8分
2．解：（Ⅰ）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE
若在边OA上任取点E′（与点E不重合），连接CE′、DE′、D′E′
由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E＋CE＝DE＋CE
可知△CDE的周长最小
y
B
C
D
∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点
1
O
1
E
B
P
C
A
x
∴点B的坐标为（2，4）·····················································2分
图1
（2）①设直线OB的解析式为y＝k1x
求得直线OB的解析式为y＝2x
∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0）
设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）·················································································2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x＝1上，又b＝2
∴抛物线的解析式为y＝－x
2＋2x＋c（a＞0）
2010年全国各地中考数学压轴题
参考答案及评分标准（一）
m15m
1．解：（1）∵抛物线y＝－xx＋m－3m＋2经过原点2＋
2＋
2
44
2
∴m－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2
y
D
由题意知m1≠1，∴m＝2
1
2
＋
∴抛物线的解析式为y
＝－
x
4
∵点B（2，n）在抛物线y＝－
1
4
5
x
2
x2＋
2＋
5
2
x上，∴n＝4
此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位
y
D
∴PQ＝DP＝4t，∴t＋4t＋2t＝10
10
7
∴t＝
第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示
1
OHale Waihona Puke Baidu
1
BC
(E)
N
P
M(C)
F
Q
A
x
可证△PQM为等腰直角三角形
图3
此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位
∴OQ＝10－2t
y
D
∵F点在直线AB上，∴FQ＝t，∴MQ＝2t
△ABC
∴BF＝AB＝21c
y
设对称轴x＝1与x轴交于点D，
则DF＝
1
2
AB＋BF＝31c
E
由EF∥CB得∠EFD＝∠CBOC
∴Rt△EDF∽Rt△COB，∴
ED
DF
＝
CO
OB
xAODBF
即
∴点C（0，
3
1
c
1
c
c
＝
11
5
4
），B（
c
，结合题意，解得c＝
5
2
，0）
5
4
x＝1
设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则
设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，
则DF＝
1
2
AB＋BF＝3k－2h
由Rt△EDF∽Rt△COB，得
5
＝n
4
5
0＝m＋n
2
解得
m＝
5
n＝
4
1
2
∴直线BC的解析式为y＝－
1
2
x＋
5
4
··············································································6分
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为E（h，k），（h＞0，k＞0）
∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6
∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，∴
OE
BC
＝
DO
DB
OEE′A
x
∴OE＝
DO
DB
·BC＝
2
6
×3＝1
D′
图1
∴点E的坐标为（1，0）··········································································6分