2019年高三一轮复习热点题型3.2课时3：导数与函数的综合问题(1)

例1设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则

解析x>0时⎣x⎦′<0，∴φ(x)＝

x

则F′(x)＝cos x－

2

当x∈(0，)时，F′(x)>0，F(x)在[0，]上是增函数；

当x∈(，1)时，F′(x)<0，F(x)在[，1]上是减函数．

即sin x≥2

x.

课时3导数与函数的综合问题

题型一用导数解决与不等式有关的问题

命题点1解不等式

xf′(x)－f(x)

x2

不等式x2f(x)>0的解集是()

A．(－2,0)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D B．(－2,0)∪(0,2) D．(－∞，－2)∪(0,2)

⎡f(x)⎤f(x)

为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当00，

此时x2f(x)>0.

又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．

故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．

命题点2证明不等式

例2证明：当x∈[0,1]时，

2

2x≤sin x≤x.

证明记F(x)＝sin x－

.

2

2

2x，

ππ

44

ππ

44

又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，2

记H(x)＝sin x－x，

则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1<0，

所以H(x)在[0,1]上是减函数，

例 3 已知定义在正实数集上的函数 f(x)＝ x 2

＋2ax ，g (x)＝3a 2ln x ＋b ，其中 a>0.设两曲线 y

⎨2

3a x

＋

2a ＝

.⎩ x

x 0

即有 b ＝ a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝ a 2－3a 2ln a. 令 h (t)＝ t 2

－3t 2ln t(t>0)，则 h ′(t)＝2t(1－3ln t)． 于是当 t(1－3ln t)>0，即 00；

当 t(1－3ln t)<0，即 t >e 时，h ′(t)<0.

故 h (t)在(0，e )上为增函数，在(e ，＋∞)上为减函数， 于是 h (t)在(0，＋∞)上的最大值为 h (e )＝ e ，

即 b 的最大值为 e 3 .

(2)证明 设 F(x)＝f(x)－g (x)＝ x 2

＋2ax －3a 2ln x －b (x>0)，

综上， 2

x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]

f ′(x)＝x ＋2a ，

g ′(x)＝ ，

则 F ′(x)＝x ＋2a － ＝ (x>0)．

则 H(x)≤H(0)＝0，即 sin x ≤x.

2

命题点 3 不等式恒成立问题

1 2

＝f(x)，y ＝g (x)有公共点，且在该点处的切线相同．

(1)用 a 表示 b ，并求 b 的最大值； (2)求证：f(x)≥g (x)(x>0)．

(1)解 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)，

3a 2

x

由题意知 f(x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，

⎧1x 2＋2ax ＝3a 2

ln x ＋b ，

即 2

0 0 3a 2

由 x 0＋2a ＝ ，得 x 0＝a 或 x 0＝－3a(舍去)．

1 5

2 2

5 2

1

3

1

3

1 1

3 3

1 3 2

3 2 3

3 2

2

1 2

3a 2 (x －a )(x ＋3a )

x x

已知函数 f(x)＝ln x － .若 f(x)

解 ∵f(x)

1－6x 2 h ′(x)＝ －6x ＝

，

故 F(x)在(0，a)上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数．

于是 F(x)在(0，＋∞)上的最小值是 F(a)＝F(x 0)＝f(x 0)－g (x 0)＝0.

故当 x >0 时，有 f(x)－g (x)≥0，

即当 x >0 时，f(x)≥g (x)．

思维升华 (1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等 式；

(2)证明不等式 f(x)

(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出 最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数， 直接把问题转化为函数的最值问题．

a

x

a

x

又 x >0，∴a >xln x －x 3，

令 g (x)＝xln x －x 3，则 h (x)＝g ′(x)＝1＋ln x －3x 2，

1

x x

∵当 x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)<0，

∴h (x)在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x)

∴当 a ≥－1 时，f(x)

例 4 (2014·课标全国Ⅱ)已知函数 f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线 y ＝f(x)在点(0,2)处的切线与 x

轴交点的横坐标为－2.