湖北省荆门市龙泉中学2020届高三下学期高考适应性考试(二)数学(理)试题
2020届湖北省荆门市龙泉中学、宜昌一中高三9月联考数学(理)试题含答案
)
(，2，) (2 )
A．
3
( 2，2)
( 2，2)
B． 3
C． 3 3
(，，2) ( 2 )
D．
33
11．已知函数
f
(x)
x ln x 2x, x＞ 0
x
2
3 2
x,
x
0
的图像上有且仅有四个不同的关于直线
y
1对称的点在
g(x) kx 1的图像上，则 k 的取值范围是(
A
{x
1 |
x
0}
2．已知集合
x
，
B {x | y lg(2x 1)} ，则 A B (
)
( 0, 1) A． 2
（,11) B． 2
（,11] C． 2
[ 1 , 1] D． 2
3．命题“对任意 x [1, 2), x2 a 0 ”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
1x
0
23
6
2
x
2
3
3
………………………10 分
3
11
2
6
4
7
3
3
3
f (x)
0
1
3
1
1
0
则函数 f (x) 在区间[ , 3 ] 上的图象如图所示：
………………………12 分
19．【解析】（1）由已知
1 2(10.75k )(5b)2
2
,1)
是函数
f
(x)
图象的一
个对称中心．
(1)求 f (x) 的解析式，并求 f (x) 的最小正周期；
湖北省荆门龙泉中学2020届高三5月月考理科数学试题与答案
2
2
若 OP PF2 ，则双曲线 C 的离心率为
A． 3
B． 5 1 2
C． 5 1
D． 5 1
11．函数 f (x) ln x ax 恰有两个零点 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ．则 x1 所在区间为
A． 0,
1 e3
B．
1 e3
,
1 e2
C．
1 e2
,
1 e
D． 1 ,1 e
是_________．
15．关于函数 f (x) cos x cos x ，给出下列结论：
①f(x)是偶函数；
②在区间 ( , 0) 上单调； 2
③f(x)在[ , ]上有 4 个零点；
④f(x)的最大值为 2．
其中所有正确结论的序号是_________．
16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点
1．已知集合 A x x 1 0 ， B x x2 5x 6 0 ，则 A B
A． 1，1
B． 1，2
C． 1，3
D． 1，6
2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 1 i3 z 2 ，则下列判断正确的是
A． z 的虚部为 i
B． z 2
C． z z 2
D． z2 2
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若△ ABC 的周长等于15 ，面积等于 15 3 ，求 b 的值． 4
18．（本小题满 分 12 分）
行星，其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方（a3）与它的公转周期（单位：秒）的平方
（T2）之比是一个常量，即 a3 k, k GM （其中 k 为开普勒常数，M 为中心天体质量，G 为
T2
湖北省荆门市龙泉中学2020届高三3月月考理科数学试卷答案评分标准
所以该农户至少种植 700 棵树苗，就可获利不低于 20 万元． ………………12 分
20．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率 e c a
b2 1
a2
1 ,则 b2 2
3 a2 ,……………1 分 4
x 2y 4
则 x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
4y2 3a2
,消去 x ,整理得: 16 y2 16 y 16 a2 0 ,①………………3 分
, , ……………………………………………9 分
，……，
（
）．………………………………………………12 分
18．解：（Ⅰ）证明：设 AC BD O，连接 EO，OG
ABCD 是菱形，O 是 AC、BD 的中点
G 是 AB 中点，OG//BC ，
OG 平面 BCF OG// 平面 BCF ………2 分
P(X 2) 0.2 p2 0.8 C21 p (1 p) 0.2 p2 1.6 p(1 p) 1.4 p2 1.6 p ，
P(X 3) 0.8 p2 ；
X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P 0.2 p2 0.4 p 0.2 0.4 p2 1.2 p 0.8 1.4 p2 1.6 p 0.8 p2
EA 底面 ABCD ， AC BD ， OA，OB，OC 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系 O xyz ，设 AE AB 2 ，
………7 分
BAD 60,DG AB,OA 3,OB 1，则
E( 3,0, 2), B(0,1,0), D(0, 1,0),G( 3 , 1 ,0), DB (0, 2,0), BE ( 3, 1, 2) 22
…………………………………………4 分
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题理(含解析)
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
） 1.已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A. M N N =B. ()UMN =∅C. MN U =D. ()UM N ⊆【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2.复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 22i z = B. 2z z ⋅=C. ||2z =D. 0z z +=【答案】B 【解析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ，∴z ()()()2121111i i i i i i i -+-===---+，∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B. ln y x =C. y=D. 10xy =【答案】C 【解析】 函数ln xy e=的定义域和值域均为0,，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为0,，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为0,，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为0,，满足要求，故选C.4.三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A. 0.40.20.43<4log 0.5<B. 0.40.20.43<log 0.5<4C. 0.40.20.4log 0.534<<D. 0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．【详解】若公比q＝1，则当a1＞0时，则S2019＞0成立，若q≠1，则S2019()2019111a qq-=-，∵1﹣q与1﹣q2019符号相同，∴a1与S2019的符号相同，则“a1＞0”⇔“S2019＞0”，即“a1＞0”是“S2019＞0”充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．6.在边长为2的等边三角形ABC中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF⋅=（）A.23- B.43- C.83- D. 2-【答案】D【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，若13AE AC=，则BE AF⋅=（AE AB-）•12（AC AB+）＝（13AC AB-）•12（AC AB+）11 23AC=（2AB-223AB-•AC=）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 43钱 B.73钱 C.83钱 D.103钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．8.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数全月应纳税所得额税率1 不超过3000元的部分3%2 超过3000元至12000元的部分10%3 超过12000元至25000元的部分20%现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为（ ） A. 590元 B. 690元C. 790元D. 890元【答案】B 【解析】 【分析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额（含税）为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元， 不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为6000×10%＝600元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，准确理解题意是关键，属于中档题． 9.已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,8B. []2,8C. (][),28,-∞+∞ D. [)2,8【答案】A 【解析】 【分析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解【详解】∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．10.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）A.23B.49C.5 D.45【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， ∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得15263cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()125sin x x -=-，故()21sin x x -=5故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．11.若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数的取值范围为（ ）A. (],1-∞B. (],e -∞C. (]0,1D. (]0,e【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，分别求出x >1和x ≤1时，对应的函数的值域，结合最小值之间的关系进行求解即可．【详解】当x >1时，函数f （x ）为增函数，则f （x ）＝e x ﹣a ∈（e ﹣a,+∞）当x ≤1时，f （x ）＝323,x x -+则f ′（x ）＝-3x 2+6x ＝-3x （x ﹣2），则由f ′（x ）<0得或x ＜0或x ＞2（舍去），此时函数为减函数，由f ′（x ）>0 得0＜x ＜2，此时0<x ＜1，函数为增函数，即当x ＝0时，函数取得极小值同时也是在x ≤1时的最小值，最小值为f （0）＝0 要使函数f （x ）有最小值，则e ﹣a ≥0， 即a ≤e ，即实数a 的取值范围是（﹣∞，e]， 故选：B【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用分段函数的解析式分别求出对应的取值范围是解决本题的关键．12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 24,33⎛⎤⎥⎝⎦D. 33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cos ωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选：D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=则tan α=_______. 【答案】43- 【解析】因为1sin cos 5αα+=， 所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 14.已知命题0:p x ∃∈R ，2010mx +≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为_______________． 【答案】2m ≥ 【解析】【详解】若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，则:p x ⌝∀∈R ，210mx +>与:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤均为真命题．根据:p x ⌝∀∈R ，210mx +>为真命题可得0m ≥，根据:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤为真命题可得240m ∆=-≥， 解得2m ≥或2m ≤-． 综上，2m ≥．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入S △ABC 12=ac sin B ，计算可得所求．【详解】把a 2﹣（sin B +cos B ）+4＝0看成关于a 的二次方程， 则△≥0，即8（sin B +cos B ）2﹣16≥0，即为8（B 4π+））2﹣16≥0， 化为sin 2（B 4π+）≥1，而sin 2（B 4π+）≤1，则sin 2（B 4π+）＝1，由于0＜B ＜π，可得4π＜B 544ππ+＜，可得B 42ππ+=，即B 4π=，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0， ∴a ＝2，由余弦定理可得，cos 244422c c π+-==⨯ 解可得，c ＝∴S △ABC 12=ac sin B 12=⨯2×2=． 故答案为： 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．【答案】(0,2]e 【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()ay a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==。
湖北省荆门市龙泉中学2020届高三高考适应性考试(二)数学(文)试题与答案
1 2
x
x2
时，
f
x
0
，
f
x
单调减，x
x2
时， f x 单调增，因此 x2 是 f x 的极小值点．所以， f x 有唯一的极大值点 x0 ．
由前面的证明可知， x0
e2
，1 2
，则
f
x0
f
e2
e4 e2 e2 ．
因为 f x0 2x0 2 ln x0 0 ，所以 ln x0 2x0 2 ，则
13． y x
14． 2
15． 8 或 9
16． a 0
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．⑴ 因为 f x x ax a ln x ≥0 ， x 0 ，所以 ax a ln x≥0 ．
令 g x ax a ln x ，则 g 1 0 ， g x a 1 ax 1 ，
测得某时刻频移为 9.030109 (1/h)，则该时刻高铁的速度约等于
A．320km/h
B．330km/h
C．340km/h
D．350km/h
4．已知向量 a ， b 满足 a b a 2b ，其中 b 是单位向量，则 a 在 b 方向上的投影是
A．1
B． 3 4
C． 1 2
D． 1 4
5．公元前 1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得
又
f
x0
x02
x0
x0
2x0
2
x0
x02 ，因为 0
x0
1 2
，所以
f
x0
1 4
．
因此， e2
湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三下学期6月联考数学(理)试题 Word版含解析
2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）. 1.已知a 是实数，1a iz i-=+是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，且结合纯虚数定义求得a ，进而得z 的虚部. 【详解】由复数的除法运算化简可得()()()()11111122a i i a i a a z i i i i ----+===-++-， 由纯虚数的定义可知满足102102a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩，解得1a =， 所以z i =-， z 的虚部为1-，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的定义简单应用，属于基础题.2.已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x << D. {}20x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >， 所以{}20A B x x ⋂=-<<，故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.“ln ln x y >”是“1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C . 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈N ），随着n 的增大，1nn a a +越来越≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ） A. 20厘米 B. 19厘米C. 18厘米D. 17厘米【答案】C 【解析】 【分析】因为由已知有112n n a a +=≈0.618，又1200n n a a +⋅＝，得0.61821n a +≈200，进而解得1n a +.【详解】解：由已知有112n n a a +=≈0.618， 得：10.618n n a a +≈， 由1200n n a a +⋅＝， 得0.61821n a +≈200，即21323.62n a +≈，由于172＝289，182＝324， 所以a n +1≈18（厘米）， 故选：C.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若2413S S =，则36S S 等于（ ）A.316B.13C.516D.716【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由2413S S =得到首项与公差的关系，再把S 3，S 6用含有d 的代数式表示，则答案可求.【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由2413S S =，得3（2a 1+d ）＝4a 1+6d ，即132a d =. ∴3191533322S a d d d d =+=+=， 616518304862222d dS a d d ⨯=+=+=.∴36155248162dS S d==. 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的性质应用，考查了运算求解的能力，属于中档题.6.函数()2e 2xf x x x =--的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】求导分析导函数的单调性与零点可得原函数存在两个极值点,再代入1x =求值判断即可.【详解】解法一：因为()e 22x f x x '=--，设2()(),()e xg x f x g x =''=-，令()e 20xg x '=-=,得ln 2x =,当ln 2x ＜时()0g x '＜,()g x 为减函数，即()f x '为减函数； 当ln 2x ＞时,()0g x '＞，()g x 为增函数，即()f x '为增函数, 而()ln 222ln 222ln 20f '=--=-＜,所以原函数存在两个极值点,故淘汰选项C 和D.将1x =代入原函数,求得()1e 120f =--＜,淘汰选项A. 解法二：()1e 210f =--＜,淘汰选项A,D ；当x →-∞时,()e xf x =-()2x x +→-∞,淘汰选项C.故选：B.【点睛】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想,考查直观想象、数学运算等核心素养,属于中档题.7.已知函数()()sin 0f x x x =≥，方程()f x kx =恰有三个根，记最大的根为θ，则()21sin 2θθθ+=（ ）A. 2-B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】依题意，函数()y f x =在x θ=处的切线为y kx =，且3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义可得cos sin k k θθθ=-⎧⎨=-⎩，再化简所求式子即可得解.【详解】如图，要使方程()f x kx =恰有三个根，且最大的根为θ，则函数()y f x =在x θ=处的切线为y kx =，显然3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x =-，()cos f x x =-'，cos sin k k θθθ=-⎧∴⎨=-⎩，可得tan θθ=，()()()()()()22222221sin 212sin cos 12sin cos 21tan sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθθθθθθ++⋅+⋅+⋅∴===⋅+⋅+()()222121θθθθ+⋅==⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究方程的根，解答的关键就是利用tan θθ=化简计算，考查计算能力，属于中等题.8.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A. 27B.37C.821D.1021【答案】D 【解析】 【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾. 某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数59126n C ==，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为()()3221112132332260m C C C C C C =+=，则每个宣传小组至少选派1人的概率为601012621m P n ===. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.9.设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A.32B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值.【详解】解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|32=可得|AF|32=+m，由抛物线的方程可得：F（1，0），过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，则△BFD∽△BAC，所以BF DFAB AC=，即233222m mm-=+，解得：m32=，所以332232AFBF+==2，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.10.某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）．A. 8πB. 9πC. 12πD. 16π【答案】B 【解析】 【分析】首项根据几何体的三视图换元得到几何体，进一步求出三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图可得：该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2SD =的三棱锥， 如图所示：设该三棱锥的外接球的球心为O ，则外接球的半径为OA r =， 则222OA OD AD =+，即222(2)(2)r r =-+，解得32r =， 所以外接球的表面积为22344()92S r πππ==⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的转换，以及几何体的外接球的半径的求法和表面积的计算，着重考查运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题.11.已知函数f （x ）满足2()2()1ln x f x xf x x '+=+，1()f e e=，当x ＞0时，下列说法正确的是（ ）①()f x 只有一个零点； ②()f x 有两个零点； ③()f x 有一个极小值点； ④()f x 有一个极大值点 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】令2()()g x x f x =，则'()1+ln g x x =，所以()ln +g x x x C =⋅，即()2xlnx Cf x x+=，由21()e C f e e e +==，解得0C =，所以()lnx f x x=，求导得()'21x lnx f x -=，利用导数可求出函数()f x 的单调区间，进而得()f x 在x e =处取得极大值1()f e e=，而这也是最大值，从而可对③和④作出判断；又(1)0f =，且当>x e 时，()0f x >恒成立，所以()f x 只有一个零点为1x =，从而可对①和②作出判断.【详解】令2()()g x x f x =，则'2()()2()1+ln g x x f x x x x '=+=，()ln +g x x x C =⋅，即2()ln x f x x x C =⋅+，∴()2xlnx Cf x x +=， ∵()f e 21e C e e +==，∴0C =，∴()lnx f x x=，()'21x lnx f x -=， 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x ∴在x e =处取得极大值1()f e e=，而这也是最大值，即③错误，④正确；又0()1f =，且当 x e >时，()0f x >恒成立，()f x ∴只有一个零点为1x =，即①正确，②错误.∴正确的有①④， 故选：B .【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，属于难度题．12.已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（）A. 324B.334C. 35D.35+【答案】A【解析】【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论. 【详解】如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD＝2c，实轴长为2a，则BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2mc，在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c22mc，2c2﹣a2）＝m2a+c）2（c2﹣a2）＝7m2a﹣c），2a+c＝72a﹣c），故2a＝8c，∴双曲线Γ的离心率为e32ca==.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在三角形ABC中，|AB|＝5，AB AC⋅=8，则AB BC⋅=_____.【答案】﹣17. 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可.【详解】在三角形ABC 中，因为|AB |＝5，AB AC ⋅=8， 所以()2AB AB BC AB AB BC ⋅+=+⋅=25AB BC +⋅=8， 所以AB BC ⋅=-17. 故答案为：﹣17.【点睛】本题主要考查平面整理的数量积运算以及向量的加法运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.若(3)nx x-的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ． 【答案】- 540 【解析】 【详解】若的展开式中各项系数之和为，解得，则展开式的常数项为，故答案为.15.在数列{}n a ，{}n b 中， ()22122n n n n n a a b a b +++=+，()22122n n n n n b a b a b +++=-，111a b ==，设数列{}n c 满足11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前10项和10S =_____. 【答案】1023256. 【解析】 【分析】首先根据递推公式求出n n a b +和n n a b ，代入11n n nc a b =+中求出数列{}n c 的通项公式，最后由等比数列求和公式即可求出数列的前10项和.【详解】数列{}n a ，{}n b 中，()12n n n a a b ++=+()12n n n b a b ++=-，②所以①+②得：()114n n n n a b a b ++=++，整理得114n n n na b a b +++=+（常数），所以数列{}n n a b +是以112a b +=为首项，4为公比的等比数列.所以121242n n n n a b --+=⨯=.①×②得：222114()4()8n n n n n n n n a b a b a b a b ++=+-+=，所以118n n n na b a b ++=（常数）， 故数列{}n n a b 是以111a b =为首项，8为公比的等比数列，所以11188n n n n a b --=⨯=，由于数列{}n c 满足212111228n n n n n n n n n n a b c a b a b ---=+===+， 所以101012110232125612S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-， 故答案为：1023256. 【点睛】本题考查了由递推公式求通项公式的应用，由递推公式证明数列为等比数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题. 16.四面体P ﹣ABC 中，PA =PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝，动点Q 在△ABC 的内部（含边界），设∠PAQ ＝α，二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角的大小为β，△APQ 和△BCQ 的面积分别为S 1和S 2，且满足124S S sin αβ=，则S 2的最大值为_____. 【答案】4﹣. 【解析】 【分析】取BC 的中点M ，由题意可得AM ＝PM ＝PA 2=，则β＝∠PMA ＝60°，作QH ⊥BC于H ，则1213312142342AP AQ sin S sin sin S sin BC QH αααβ⋅⋅====⋅⋅sinα，再由BC ＝2PA ＝22，可得AQ ＝QH ，即Q 为三角形ABC 内的一条抛物线，当Q 在AB 或AC 上时，S 2最大，求出S 2的最大值. 【详解】如图所示：取BC 的中点M ，连接AM ，PM ， 因为PB ＝PC ＝AB ＝AC ，AM ⊥BC ，PM ⊥BC ，且PA 2=PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝2，所以AM ＝PM ＝PA 2=所以β＝∠PMA ＝60°， 作QH ⊥BC 于H ，所以1213312142342AP AQ sin S sin sin S sin BC QH ααβ⋅⋅====⋅⋅sinα， 所以12⋅=⋅AP AQ BC QH 而BC ＝2PA ＝2， 所以AQ ＝QH ，所以Q 的轨迹是△ABC 内的一条抛物线， 当Q 在AB 或AC 上时，S 2最大，不妨设在AB 上，此时()cos 45AB AQ QH -=，即()222AQAQ -⋅=， 解得AQ ＝QH ＝2（2-1）， 所以S 2＝4﹣22. 故答案为：4﹣22【点睛】本题主要考查二面角的求法以及面积比与相似比的应用，抛物线的定义，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于难题.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2cos 2a c A b a ==-.（1）求C ；（2）如图，若点D 在边AC 上，,AD DB DE AB =⊥,E 为垂足，且2DE =，求BD 的长.【答案】（1）3π；（2）55. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将方程中2cos 2c A b a =-的边化成角，再利用诱导公式，可求得cos C 的值，即可得答案；（2）在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD BCC BDC =∠，22sin sin 23A A =，求出sin A 的值，即可得答案；【详解】（1）2cos 2c A b a =-，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴， 2sin cos sin A C A ∴=.(0,),sin 0A A π∈∴≠.1cos 2C ∴=. (0,),3C C ππ∈∴=.（2）,sin DE AB DE AD A⊥=∴=， sin BD AD A∴==. ,2A ABD BDC A ABD A ∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠.在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD BCC BDC=∠，2sin 22A =，整理得cos A =sin 45A BD AD ∴=∴==. 【点睛】本题考查诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意边角关系的互相转化.18.如图，在矩形ABCD 中，将ACD 沿对角线AC 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面ABP ⊥平面ABC .（1）求证：AP PB ⊥；（2）若直线PC 与平面ABP 所成角的正弦值为34，求二面角P AC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）916. 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，得AB BC ⊥，推导出BC ⊥平面ABP ，可得出BC AP ⊥，再由AP PC ⊥，可得出AP ⊥平面PBC ，由此能证明AP PB ⊥；（2）过P 作PO AB ⊥于点O ，则PO ⊥平面ABC ，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，由BC ⊥平面ABP ，得出直线PC 与平面ABP 所成角为CPB ∠，设3BC =，可得4PC =，然后利用空间向量法能求出二面角P AC B --的余弦值.【详解】（1）由四边形ABCD 是矩形，得AB BC ⊥， 平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，则BC AP ⊥，又AP PC ⊥，BC PC C ⋂=，AP ∴⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，AP PB ∴⊥；（2）过P 作PO AB ⊥，垂足为点O ， 平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP平面ABC AB =，PO ⊂平面ABP ，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ，以OP 所在直线为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，由（1）知BC ⊥平面ABP ，CPB ∴∠是直线PC 与平面ABP 所成角，即3sin 4CPB ∠=， 在Rt PBC 中，3sin 4CB CPB CP ∠==， 设3CB =，则4CP =，227PB CP CB ∴-，PO ⊥平面ABC ，可取平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，由（1）知，AP BP ⊥，在Rt APB △中，PO AB ⊥，3AP =，4AB =，7PB =374AP BP PO AB ⋅∴==，2294AO AP PO =-=，74BO AB AO =-=， 37P ⎛∴ ⎝⎭，9,0,04A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,3,04C ⎛⎫⎪⎝⎭， ()4,3,0AC ∴=，937,0,4AP ⎛= ⎝⎭，设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，由43093704n AC x y n AP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取37x =7y =-9z =-， 所以，平面PAC 的一个法向量为()37,47,9n =--，99cos ,11616m n m n m n ⋅==-=-⋅⨯. 由图形可知，二面角P AC B --的平面角为锐角，它的余弦值为916. 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用线面角的定义求长度，以及利用空间向量法求二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.已知圆O ：x 2+y 2＝3，直线PA 与圆O 相切于点A ，直线PB 垂直y 轴于点B ，且|PB |＝2|PA |. （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点（1，0）且与x 轴不重合的直线与轨迹E 相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在定点D ，使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）()224310x y x +=≠（2）存在；定点D （4，0）【解析】 【分析】（1）设P （x ，y ），根据直线PA 与圆O 相切于点A ，利用切线长公式得到|PA |2＝x 2+y 2﹣3，|再根据直线PB 垂直y 轴于点B ，得到|PB |2＝x 2，然后由|PB |＝2|PA |求解. （2）设直线l 的方程为：x ＝my +1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到122643my y m+=-+，122943y y m ⋅=-+，代入k PD +k QD＝0，化简整理得()022611804343---=++m x mm m ，解得x 0即可. 【详解】（1）设P （x ，y ），因为直线PA 与圆O 相切于点A ， 所以|PA |2＝|PO |2﹣3＝x 2+y 2﹣3，| 又因为直线PB 垂直y 轴于点B ， 所以|PB |2＝x 2， 又因为|PB |＝2|PA | 所以x 2+y 2﹣3＝x 2， 即x 2＝4（x 2+y 2﹣3），化简得()224310x y x +=≠，∴点P 的轨迹E 的方程为：()224310x y x +=≠；（2）设直线l 的方程为：x ＝my +1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，∴122643m y y m +=-+，122943y y m ⋅=-+， 假设存在定点D （x 0，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，则k PD +k QD ＝0，∴1210200y y x x x x +=--， ∴121020011y y my x my x +=+-+-， ∴()()()()120210102011011y my x y my x my x my x +-++-=+-+-，∴()()()()12012102021011my y x y y my x my x +-+=+-+-，即()()()0120122261182104343m x m my y x y y m m-+-+=--=++， 解得：x 0＝4，所以存在定点D （4，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态.若机器处于故障状态，则停机检修.为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图.由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x ，2σ近似为这1000个产品的质量指标值的方差2s （同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.若产品的质量指标值全部在()3,3μσμσ-+之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态.（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值： 29 45 55 63 67 73 78 87 93 113 请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元. 现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i （1i =，2，…，7）天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i 天常规检修单数的频率代替概率.已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？ 18813.71≈，20814.42≈22815.10≈.【答案】（1）可判断该机器处于故障状态；（2）选择加急检修更为适合 【解析】 【分析】（1）由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数70x =和方差2188s =，所以70μ=，18813.71σ=≈，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），由于抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故机器处于故障状态； （2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700＋200＝900元；方案二：设损失收益为X 元，求出X 的可能值，然后由图2可得出每个X 的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和，与900对比，即可得出结论.【详解】（1）由图1可估计1000个产品质量指标值的平均数x 和方差2s 分别为400.04500.08600.24700.30800.20900.101000.0470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()22222300.04200.08100.2400.30s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+ 222100.20200.10300.04188⨯+⨯+⨯=，依题意知，70μ=，13.71σ=≈，所以328.87μσ-≈，3111.3μσ+≈，所以产品质量指标值允许落在的范围为()28.87,111.13，又抽取产品质量指标值出现了113，不在()28.87,111.13之内，故可判断该机器处于故障状态；（2）方案一：若安排加急检修，工厂需要支付检修费和损失收益之和为700200900+=元； 方案二：若安排常规检修，工厂需要要支付检修费为200元，设损失收益为X 元，则X 的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400， X 的分布列为：2000.074000.186000.258000.2010000.15EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12000.1214000.03147215016015014442732+⨯+⨯=++++++=元；故需要支付检修费和损失收益之和为200732932+=元，因为900932<，所以当机器出现故障，选择加急检修更为适合.【点睛】本题考查频率分布直方图中的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望，及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.21.已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2﹣alnx （a ＜0）.（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且关于x 的方程f （x ）＝b （b ∈R ）恰有三个实数根x 3，x 4，x 5（x 3＜x 4＜x 5），求证：2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得f ′(x )222x x a x--=，令f ′(x )＝0，即2x 2﹣2x ﹣a ＝0，∆＝4+8a ，分两种情况①∆≤0，②∆＞0，讨论f (x )单调性；（2）由题意得12-＜a ＜0，画出草图，知0＜x 3＜x 1＜x 4＜x 2＜x 5，0＜x 1＜x 2＜1，要证：2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，即证：2(x 2﹣x 1)＞(x 5+x 4)﹣(x 3+x 4)，只需证：54234122x x x x x x +⎧⎨+⎩＜＞，先证：x 3+x 4＞2x 1.即证x 4＞2x 1﹣x 3，由（1）f (x )单调递减，只需证f (x 4)＜f (2x 1﹣x 3)，即证：f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)，令g (x )＝f (x )﹣f (2x 1﹣x )，0＜x ＜x 1，求导数，分析单调性，可得g (x )＜g (x 1)＝0，故f (x )＜f (2x 1﹣x )，在(0，x 1)恒成立，f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)得证，同理可以证明：x 3+x 4＜2x 2，综上，2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，得证.【详解】（1）由题意得()f x '＝2(x ﹣1)222a x x a x x ---=， 令()f x '＝0，即2x 2﹣2x ﹣a ＝0，∆＝4+8a ，①当a 12≤-时，∆≤0，()f x '≥0，函数f (x )在(0，+∞)上单调递增， ②当12-＜a ＜0时，∆＞0，2x 2﹣2x ﹣a ＝0的两根为x1=，x2=且0＜x1=x 2， 当x)，()f x '＞0，f (x )单调递增， 当x)时，()f x '＜0，f (x )单调递减， 综上，当a 12≤-时，函数f (x )在(0，+∞)上单调递增， 当12-＜a ＜0时，f （x ）在(0）上单调递增，在上单调递减，在(121a ++，+∞)上单调递增. （2）证明：由题意得12-＜a ＜0，0＜x 3＜x 1＜x 4＜x 2＜x 5，0＜x 1＜x 2＜1，如图，要证：2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，即证：2(x 2﹣x 1)＞(x 5+x 4)﹣(x 3+x 4)；只需证：54234122x x x x x x +⎧⎨+⎩＜＞ 先证：x 3+x 4＞2x 1.即证x 4＞2x 1﹣x 3，又由（1）知f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，只需证f (x 4)＜f (2x 1﹣x 3)，而f (x 4)＝f (x 3)，即证：f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)，令g (x )＝f (x )﹣f (2x 1﹣x )，0＜x ＜x 1，()g x '＝()f x '+1()2x x f '﹣＝2x ﹣2a x -+2(2x 1﹣x )﹣212a x x --， ＝4(x 1﹣1)12a a x x x--- ()()()2111141222x x x x ax x x x ---=-又2(x 1﹣1)1a x -=0，即x 1﹣112a x =，那么，()g x '()()()221121111122()222a x x x x x x x a x x x x x x x ---==---，而0＜x ＜x 1，且102a -＜＜， 则()g x '＞0，故g (x )在(0，x 1)单调递增，则g (x )＜g (x 1)＝0，故f (x )＜f (2x 1﹣x )，在(0，x 1)恒成立，又0＜x 3＜x 1，则f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)得证，同理可以证明：x 3+x 4＜2x 2，综上，2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性、最值，证明不等式，考查了分类讨论的思想，转化思想，属于难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）直线l 上的点(,0)P m 为曲线C 内的点，且直线l 与曲线C 交于,A B ，且2PA PB ⋅=，求m 的值.【答案】（10y --=，22142x y +=（2）m 2=± 【解析】【分析】（1）把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程.（2）化直线的参数方程为标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数t 的几何意义求解m 值.【详解】（1）∵曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，∴222sin 4ρρθ+=， 即2224x y +=，得22142x y +=.∴曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=. 直线l的参数方程为x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ， 可得直线l0y -=；（2）设直线l的标准参数方程为122x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆方程， 得227404t mt m ++-=. 设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则()212447m t t -=.又点(,0)P m 为曲线C 内的点，∴24m <，即22m -<<. 由2124427m PA PB t t -⋅=⋅==，解得2m =±. 【点睛】本题第一问考查了直线的参数方程和椭圆的极坐标方程，第二问考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.若对于实数x ，y 有|12|4x -≤，|31|3y +≤． （Ⅰ）求16x y +-的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足12M a b +=，证明：50(1)(2)9a b ++≥． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析】 （Ⅰ）111(21)(31)623x y x y +-=-++，然后再由绝对值三角不等式求得最大值即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，123a b +=，即23a b ab +=，又2a b +≥ab 的最小值，进而可得出50(1)(2)9a b ++≥. 【详解】（Ⅰ）因为111(21)(31)623x y x y +-=-++ 1111|21||31|4332323x y ≤-++≤⨯+⨯=， 当5223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3243x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时等号成立，所以16x y +-的最大值M 为3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，123a b +=，所以23a b ab +=≥89ab ≥． 所以850(1)(2)22424299a b a b ab ab ++=+++=+≥⨯+=． 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式在证明中的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题．。
湖北省荆门市龙泉中学、宜昌一中2020届高三9月联考数学(理)试题 含答案
龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan165=( )A ．2-B ．2-C ．2D ．22．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5．已知R 上的单调函数log ,3()7,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩满足(2)1f =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．(0,1)C ．D ． 6．电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则当0.01t =秒时，电流强度是( )A ．5-安B ．5安C ．安D ．10安 7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是( ) （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-8．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )A ．32ln 24- B ．12ln 24+ C ． 52ln 24- D ．12ln 24-+ 9．sin 70cos 430-= ( )A ．8B ．8-C．-D．10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( ) A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1-=y 对称的点在1)(-=kx x g 的图像上，则k 的取值范围是( )A ．)43,31( B ．)43,21( C ．)1,31( D ．)1,21(12．若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin2α= ．14．已知tan()7cos()2ππαα-=+，11cos()14αβ+=-，,(0,)2παβ∈，则β= ___ _． 15．已知函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18． (本小题12分）已知函数44()2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，若点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法”作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．19．(本小题12分）自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定,k b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 20．(本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ． (1)若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．(本小题12分）已知函数R a ax ax e x x f x∈+++=,221)1()(2. (1)讨论)(x f 极值点的个数；(2)若)2(00-≠x x 是)(x f 的一个极值点，且-2e >)2(-f ，证明: 1<)(0x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+．23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-．（1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试理科数学试题（参考答案）B C B B C A B A C D D A 13． 35- 14．3π15． (1,0)- 16． 3； [1,4] 17．【解析】若p 真，因为12,x x 是方程220x mx --=的两个实根，所以12x x m +=,122x x ⋅=-所以12x x -==，所以当[1,1]m ∈-时，12max3x x -=， (3)分所以由不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，所以6a ≥或1a ≤- ……5分若q 真，则2210ax x ++=的解集为空集，2240a ∆=-<，………………………7分解得：1a > ………………………8分因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假． ……………………9分若p真q假，则有6a ≥或1a ≤-且1a ≤， 得1a ≤- ……………………10分若p假q真，则有16a -<<且1a >， 得16a << …………………11分综上知，实数a的取值范围是(,1](1,6)-∞-． ……………………12分18．【解析】(1) 2222()2(cos sin )(cos sin )1f x x x x x x ωωωωω=+-++2cos 212sin(2)16x x x πωωω=++=++ ………………………1分因为点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心，所以36k ωπππ-+=，k Z ∈，所以132k ω=-+，k Z ∈ (2)分因为01ω<<，所以10,2k ω==， 所以()2sin()16f x x π=++ (4)分最小正周期2T π= ………………………5分(2)由(1)知，()2sin()16f x x π=++，向左平移6π个单位得2sin()13y x π=++，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变1()2sin()123g x x π=++ ………………………7分当[,3]x ππ∈-时，列表如下： ………………………10分则函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象如图所示： ………………………12分19．【解析】（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k == ………………………6分(2)当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=，所以2(1)(5)t x x --=- ，故211125(5)10x t x x x=+=+-+- ………………………9分 而25()f x x x=+在(0,4]上单调递减， 所以当4x =时，()f x 有最小值414此时，112510t x x=++-取得最大值5， ………………………11分 故，当4x =时，关税税率的最大值为500% ………………………12分20．【解析】(1)由题知(,0)2p F ，32p FA =+，则(3,0)D p +，FD 的中点坐标为33(,0)24p+，则33324p+=，解得2p =，故C 的方程为24y x =． …………………………4分 (2)依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y my x --=， (5)分 因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>， 124y y m +=，1204y y x ⋅=-， …………………………6分设P 的坐标为(,0)P x ，则22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =--， 由题知//PE PA ，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=，即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， …………………………7分显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=， 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-， 01x <， (10)分又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d ===t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-，易知4()2f t t t =-在上是减函数，所以2)d ∈． …………………………12分21．【解析】（1）)(x f 的定义域为R ，()(2)()xf x x e a '=++ ……………………………1分若0a ≥，则0x e a +>，所以当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<；当(2,)x ∈-+∞时，()0f x '>，所以)(x f 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞递增所以2x =-为)(x f 唯一的极小值点，无极大值，故此时)(x f 有一个极值点．……………2分若0a <，令()(2)()0xf x x e a '=++=，则12x =-，2ln()x a =-当2a e -<-时，12x x <，则当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………3分当2a e -=-时，12x x =, ()(2)()0xf x x e a '=++≥且恒不为0，此时)(x f 在R 上单调递增，无极值点 ……………………………………………4分当20e a --<<时，12x x >，则当2(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<； 当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………5分综上，当2a e -=-时，)(x f 无极值点；当0a ≥时，)(x f 有1个极值点； 当2a e -<-或20e a --<<时，)(x f 有2个极值点．…………………6分(2)证明：若00(2)x x ≠-是)(x f 的一个极值点，由（1）可知22(,)(,0)a e e --∈-∞--又22(2)2f e a e ---=-->，所以2(,)a e -∈-∞-，且02x ≠-，…………………7分则0ln()x a =-，所以201()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a =-=-+--， 令ln()(2,)t a =-∈-+∞，则t a e =-，所以21()(ln())(22)2t g t f a e t t =-=-+-故1()(4)2t g t t t e '=-+ …………………10分又因为(2,)t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =．当(2,0)t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，当(0,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减 所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，即()(0)1g t g ≤=， 故(ln())1f a -≤，即0()1f x ≤ …………………12分22．【解析】（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=， …………………2分因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =． (5)分（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得280t --=， …………………7分设点,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=128t t =-， 所以1212111||||t t MA MB t t -+====． …………………10分23．【解析】（1）()3g x …，即|1||1|3x x ++-…， 不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩……或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩…或1113x x x ⎧⎨++-⎩……， 解得32x ≤-或32x ≥， …………………4分 所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …………………5分 （2）因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-， …………………6分 又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤，解得a ≥a ≤-，所以4a -<≤-或4a ≤<，综上，实数a 的取值范围为(,[22,)-∞-+∞． …………………10分。
湖北省荆门市龙泉中学2020届高三12月月考数学(理)试题Word版含答案
湖北省荆门市龙泉中学2020届高三12月月考数学（理）试题全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2,}xA y y x R ==∈，{|}B x y x R ==∈，则A B =A ．{}1B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=A ．2 C D ．33. 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩()N ξξ∈服从正态分布()2100,10N ，已知()901000.4P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为A.20B.10C.7D.54．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A ．7天 B ．8天 C ．9天 D ．10天5．在矩形ABCD 中，6,4AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于3的概率为 A ．14 B ．13 C ．916 D ．496. 执行如图所示的算法，则输出的结果是 A ．2B ．43C ．54D ．17. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A.甲 B.乙 C.丙D.丁8．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为A.1723π B. 433π C. 48πD. 56π9. 设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上异于原点的任意一点，过点P 作斜率为0的直线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则||||OH ON 的值为 A ．pB ．12C ．2D ．3210. 设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间[3,5]-上的所有零点的和为A ．10B ．8C ．16D ．2011. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B ，且在72,183ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12195,,126x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=A.B.1-C. 1D.2-12. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 中点，点P 是正方形11DCC D 内的动点(含边界)，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -A.649B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则3a b +=_______ ．14.已知,x y 满足,2,2 2.y x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则2z x y =+最大值为_________．15.在ABC ∆中，,6B ACD π∠==是AB 边上一点，2,CD ACD =∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC = ．16.已知实数a ，b ，c 满足2211a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，那么()()22a cb d -+-的 最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n a S -=.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21(1)n n n b a n n +=⋅+，求数列{}n b 的前100项和100T .18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD 平面ABP ，2BC CP BP ===，2,4CD AB ==（1）证明：平面ABP ⊥平面ADP ；（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求sin α的值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，1）作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分12分)随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。
龙泉中学2020届高考适应性考试(一)理科数学答案
20
20
20
④若安装 6 台提取设备，同理可得离散型随机变量 的分布列为
（单位：万元） 120
180
240
300
P
3
9
6
2
20
20
20
20
此时在稀有金属提取项目中所得最大总利润 E( ) 120 3 180 9 240 6 300 2 201 万元.
20
20
20
20
综上，当安装 5 台提取设备时，稀有金属提取项目所获总利润为 205 万元，大于其他情况，所以安装 5
则 a5 a1q4 2q4 32 ，解得 q = 2 或 2 （舍去），则 an a1qn1 2n , n N ；…………（3 分）
当 n 2, n N 时， bn Sn Sn1 n2 n n 12 n 1 2n 2 ， …………………（5 分）
当 n 1 时， b1 S1 12 1 0 2 1 2 ，所以 bn 2n 2, n N .
m, n
mn
2 3
2
57
，……………………………（11 分）
m n 1 4 12 3 19
二面角 B FD C 的余弦值为 2 57 .……………………………………………………（12 分） 19
19.
（1） P
C83C122 C520
77 .………………………………………………………………………（2 分） 323
…………………（6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 n 为奇数时， cn an ，当 n 为偶数时， cn bn ，则
T2n c1 c2 ... c2n c1 c3 ... c2n 1 c2 c4 ... c2n
2 23 ... 22n1 2 6 ... 4n 2 2 1 4n 2n n n 1 4 22n1 2n2 2 ……（12 分）
湖北剩州中学宜昌一中龙泉中学三校2020届高三数学联考试题理【含答案】
，使得
f
(x)
关于 (x0, 0) 对称，则 w 的取值范围是
A．
0,
2 3
B．
0,
3 2
C．
2 3
,
4 3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知
(0,
), sin
cos
1 5
，则
tan
_______．
D．
3 4
,
3 2
14．已知命题 p : x0 R, mx02 1 0 ；命题 q : x R, x2 mx 1 0 ．若 p q 为假命题，则 实数 m 的取值范围为_________．
1
a
的取值范围为
A． ,1
B． , e
C． 0,1
D． 0, e12.an为等差数
列，公差为 d
，且 0
d
1， a5
k 2
(k Z ) ， sin2 a3 2sin a5 cos a5
sin2 a7 ，函数
f
(x)
d
sin(wx
4d )
(w
0)
在
0,
2 3
上单调且存在
x0
0,
2 3
A． y 1 x
B． y lnx
C． y x
D． y 10x
4．三个数 40.2, 30.4, log0.4 0.5 的大小顺序是
A． 30.4 <40.2 log0.4 0.5
B． log0.4 0.5 40.2 30.4
C． log0.4 0.5 30.4 40.2
D． 30.4 <log0.4 0.5<40.2
2020年湖北省高考数学(理科)模拟试卷(2) 含详细答案解析
在 K 中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（
x﹣ 2） 2+（y+2）
2＝ 10 的内部的概率为（
）
1 A．
4
1 B．
2
3 C．
4
1 D．
3
【解答】 解：由题意可得 K＝ { （﹣ 1，﹣ 1），（﹣ 1， 1），（1， 1），（ 1，﹣ 1） } ，其中在
圆（ x﹣2） 2+（ y+2） 2＝ 10 内的点有（ 1，﹣ 1），
D
．
[
??，
3
?? 2]
→→
→→
→
→
????????? ?????????
???? ???? 1
8．（ 5 分）在△ ABC 中， → + |????|
→
|????|
=
0， → ? → =
|???|? |???|?
，则△ ABC 为（ 2
）
A ．直角三角形
B．三边均不相等的三角形
C ．等边三角形
D ．等腰非等边三角形
20．如图，飞镖的标靶呈圆盘形，圆盘被
10 等分，按如图所示染色为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，
某人依次将若干支飞镖投向标靶，如果每次投射都是相互独立的．
（ 1）如果他投向标靶的飞镖恰有 2 支且都击中标靶， 同时每支飞镖击中标靶的任意位置
都是等可能的，求“第Ⅰ部分被击中 2 次或第Ⅱ部分被击中 2 次”的概率；
）
1 A．
4
1 B．
2
4．（ 5 分）函数 ??(??=) 1-?????2?的图象大致是（
3 C．
4
）
1 D．
3
A．
荆门市2020年高三年级高考模拟考试理科数学试题
2020年荆门市高三年级高考模拟考试理科数学试题全卷满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，若复数ii z -=123，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-12．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.91 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID -19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。
小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.876．已知][x 表示不超过x 的最大整数，（如1]5.0[,1]2,1[-=-=），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．500507.在二项式721)21(xx +的展开式中有理项的项数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.48．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为（ ）9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当)1,0[∈x 时，x x f 2sin )(π=，则函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为（ ）A ．1009B ．2019 C.2020 D.403910．已函数],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=的值域为]45,1[，则实数a 的取值范围是（ ） A.]6,0(π B.]3,0(π C.]2,6[ππ D.]2,3[ππ11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于点M ，若OF OM =,|则该双曲线的离心率为（ ） A.3 B.2 C.5 D.612．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为25； ②若P 在线段B A 1上运动，则1PD AP +的最小值为226+； ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为π2；④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为433 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知)3,0(),2,1(-==，则向量在向量方向上的投影为 ．14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。
2020年湖北省高三二模理科数学试卷(含答案和解析)
2020年湖北高三二模理科数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
一、标题1.设集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.复数满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若实数，满足，则的最大值是（ ）．A.B.C.D.4.非零向量，满足，．则，的夹角为（ ）．A.B.C.D.5.在魅力江城武汉举行的第七届世界军人运动会开幕式上，最激动人心的时刻是“升国旗、唱国歌”环节．中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，如图所示，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（ ）(米/秒)．第一排最后一排旗杆看台A.B.C.D.6.《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公，侯，伯，子，男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（ ）．A.B.C.D.7.已知，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.8.已知，则（ ）．A.B.C.D.9.已知函数，那么的大致图象是（ ）．A.B.C.D.10.已知，为椭圆上的两个动点，，且满足，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.11.设数列的前项和为，且，，则的最小值是（ ）．A.B.C.D.12.如图，已知四面体的各条棱长均等于，，分别是棱，的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）．A.B.C.D.13.设为所在平面内一点，，若，则．14.若的展开式中项的系数为，则 ．15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 ．16.为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端，绿色的蔬菜基地，并策划“生产，运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫，蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份元的价格销售到生鲜超市，每份元的价格卖给顾客，如果当天前小时卖不完，则超市通过促销以每份元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了天有机蔬菜在每天的前个小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且），若以天记录的频率做为每日前小时销售销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进份比购进份的利润的期望值大，则的最小值是 ．前小时内销售量频数（1）（2）17.已知数列的前项和为，且满足．求证：数列为等比数列．求数列的前项和．（1）（2）18.如图，四棱锥中， 平面，底面是正方形，，为上一点，当为的中点时，平行于平面．求证：平面；求二面角的余弦值．（1）（2）19.已知椭圆：的离心率为．求椭圆的方程．设直线过点且与椭圆相交于，两点．过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过轴上的定点．（1）（2）20.已知函数．求的极值．若，，，求证：．21.（1）（2）三棱锥中,、均为边长为的正三角形，在平面内，侧棱．现对其四个顶点随机贴上写有数字至的个标签中的个，并记对应的标号为，（取值为），为侧棱上一点．求事件“为偶数”的概率；若；求二面角的平面角大于的概率．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．设Р为曲线上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值．（1）（2）23.已知函数，．若，求的取值范围．若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．2020年湖北高三二模理科数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
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湖北省荆门市龙泉中学2020届高三下学期高考适应性考试
（二）数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()
R C A B =（ ） A ．{}23x x <<
B ．{}23x x ≤<
C ．{}023x x x <≤<或
D ．{}
023x x x ≤≤<或 2．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，则12
z z ⋅=（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i
3．已知x ，y 满足约束条件40,20,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则3z x y =+的最大值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．12
4．已知正项等比数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，32S -成等差数列，则5a =（ ）
A ．8
B ．18
C ．16
D ．116
5．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC
中，BC AC =，根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）
A
B
． C
．D
．6．“关于x 的方程()212x x
a +=有实数解”的一个充分不必要条件是（ ）
A ．113a <<
B ．12a ≥
C ．213a <<
D ．112
a ≤< 7．已知斐波拉契数列{}n a 满足，121a a ==，21n n n a a a ++=+，用如图所示的程序框图来计算该数列的第2020项，则（1）（2）处可分别填入的是（ ）
A ．T S T =-，2019?n ≥
B ．T S T =-，2020?n ≥
C ．T S =，2019?n ≥
D ．T S =，2020?n ≥ 8．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向右平移6
π
个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）
A ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称
B ．在22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
-,上单调递增 C ．关于直线3x π
=对称 D ．在6x π
=处取最大值
9．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( )
A ．94
B ．95
C ．96
D ．98
10．在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 在面11DCC D 内，满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线长等于（ ）
A ．23π
B ．π
C ．43π
D ．
11．过点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭作双曲线()22
22:10.0x y C a b a b -=>>的一条渐近线的垂线，垂足为P ，点Q 在双曲线C 上，且3AQ QP =，则双曲线C 的离心率是（ ）
A ．12
B 1-
C
D 12．已知函数()()1ln f x x x tx =++，方程()f x t =有3个不同的解123,,x x x ，现给出下述结论：
①2t ≤-；②1231x x x =；③()f x 的极小值()02f x <-.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．②
B ．③
C ．①③
D ．②③ 13．已知a ，b 是两个非零向量，
且||||||a b a b ==-，则a 与2a b -的夹角为________． 14．已知函数()22log ,11,1
x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()()1f x f x <+的解集为______. 15．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,且|AB |＝4,若原点O 是△ABC 的垂心,则点C 的坐标为_____．
16．正四棱椎P ABCD -的底面边长为2，侧棱长为过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α，则平面α被此正四棱椎所截的截面面积为______，平面α将此正四棱椎分成的两部分，则较小部分体积与较大部分体积的比值为______.
17．在①sin cos a A a C =-，②()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，c =
，而且______． （1）求C ∠；
（2）求ABC 周长的最大值．
18．如图在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，
60BAD ∠=︒，//AD BC ，44AD BC ==，PA =PB =
（1）证明：PC CD ⊥.
（2）求平面PCD 与平面P AB 夹角（锐角）的余弦值.
19．已知函数()ln (1)ln f x mx x m x =-+，0m >.
（1）()f x '为函数()f x 的导函数，讨论函数()f x '的单调性；
（2）若函数()f x 与3()g x x e =
-的图像有两个交点11(,)A x y 、2212(,)()B x y x x <，求证：211x x e e
+<+. 20．已知点()2,1P 在椭圆22
:182
x y C +=上，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，过点P 的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间，且点A 在M 左侧）.
（1）当PAB △面积最大时，求2l 的方程；
（2）求证：PA MB PB MA ⋅=⋅；并判断1l ，2l ，PA ，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？
21．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员
从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：
[100，110)，
[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到如下频率分布直方图.
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩；质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型口罩的某网络购物平台上分别参加A 、B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由()2,n n n N ≥∈个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为2
2cos ,n n n ππ
，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y . （ⅰ）求X 的数学期望()E X ；
（ⅱ）求当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.
22．在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．
（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；
（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．
23． 已知正实数a ，b ，c .
（1）若1a b +=，求22a b +的最小值；
（2）证明：
32
++≥+++a b c b c a c a b .。