1.6 随机变量的特征函数

jt
X () E[e
X (-) E[e
jX
] e


jx
f X ( x)dx f X ( x)dx
- jX
] e


- jx
密度函数f(x)与其特征函数是一对傅立叶变换
f ( x) ( )
IFT
FT
X (- ) e
1.6 随机变量的特征函数
1.6.1 特征函数的定义
随机变量X的特征函数就是由X组成的一个 新的随机变量ejωX的数学期望，即
X ( ) E[e
jX
]
离散随机变量和连续随机变量的特征函数 分别表示为
X ( ) E[e X ( ) E[e
jX
] e
i
jxi
P{X xi } f X ( x)dx
求矩公式证明：
X ( ) E[e
jX
]
两边对 ω求导得：
d X ( ) j X E[ jXe ] d
令 ω=0得：
d X ( ) | 0 E[ jX ] d
d X ( ) -j | 0 E[ X ] d
求矩公式：
d X ( ) E[ X ] ( j ) | 0 n d
连续型 离散型
第1章 概率论基础
p.33 第1章习题 1.16 1.22 1.32
X1,X2,X3,…, Xn是独立的随机变量
概率密度函数卷积，特征函数相乘
性质3：互相独立随机变量之和的特征函数 等于各随机变量特征函数之积，即若
Y
则
X
n 1
N
n
Y ( ) X ( )
n 1
n
N
1.6.3 特征函数与矩函数的关系 （矩发生特性）
d X ( ) E[ X ] j | 0 d n n n d X ( ) E[ X ] ( j ) | 0 n d
n n n
E[ X ] ( j ) X
n n
( n)
(0)
对二维随机变量， 可用类似的方法定义特征函数
X (1, 2 )




f X ( x1, x2 )e
j1 x1 j2 x2
dx1dx2
f X ( x1 , x2 ) 1 j1 x1 j 2 x2 2 X (1 , 2 )e d1d2 4
源自文库
jX
] e


jx
复习：连续信号的傅立叶变换
F ( j ) 1 f (t ) 2


f (t )e
jt
dt
jt



F ( j ) e
d
F ( j )



f (t )e
jt
dt
dt
F (- j ) f (t )e


- jx
f X ( x)dx
一维特征函数与一维概率密度 有类似傅立叶变换对的关系：
X ( ) e


jx
f X ( x)dx
j x
1 f X ( x) 2



X ( )e
d
特征函数的性质
1.6.2 特征函数的性质
乘法
卷积
时域相乘，频域卷积；时域卷积，频域相乘。