1.6 随机变量的特征函数
随机变量的特征函数
第四章 大数定律与中心极限定理4.1特征函数内容提要1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 的特征函数,其表达式如下(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ϕ总是存在的.2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ϕϕ=(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+(5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j nk nj k z z t t ϕ(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ϕ分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim21dt t it e e TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有;)(21lim)()(2112dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-=-(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果+∞<⎰+∞∞-dt t )(ϕ,则dt t e x p itx )(21)(ϕπ⎰∞+∞--=3. 常用的分布函数特征表习题与解答4.11. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).解 记q =1-p , 则ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -====∑∑+∞=+∞=-1)()()(111ϕ,()2'1)(it itqe ipe t -=ϕ,42'')1()1(2)1()(it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1)1()0(1)(2'=-==ϕ,242''21)1()1(2)1()0(1)(pqq q pq q p i X E +=--+-==ϕ,22222)1(1)]([)()(p qp p q X E X E X Var =-+=-= 3．设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rk r p p r k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== ,1,k r r =+试求X 的特征函数.解 设r X X X ,,,21 是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为,1)(X ititqepe t j -=ϕ 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++= 21,所以X 的特征函数为∏=-==rj ritit x X qe pe t t j 1)1()()(ϕϕ. 4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x⎰∞-+=2221)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2)(1xa e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为010()22itx ax itxax a at e e dx ee dx ϕ+∞--∞=⋅+⋅⎰⎰(cos sin )(cos sin )22ax axa atx i tx e dx tx i tx e dx +∞--∞=+⋅++⋅⎰⎰=.cos 222ta a dx txea ax+=⎰+∞-又因为,)(2)(2222'1t a ta t +-=ϕ ,0)0('1=ϕ ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=ϕ ,2)0(2''1a -=ϕ 所以 0,(0)1)('1==ϕi X E V a r(X )= .a2(0)1)(2''122==ϕi X E(2) 因为此分布的密度函数为 ,1)(222a x ax p +⋅=π .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为,cos 2)(022222⎰⎰+∞+∞∞-+=+=dx ax txadx a x e ax itx ππϕ 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 022⎰+∞-=+ate a dx ax tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at ate e aa t --=⋅=ππϕ 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=ϕϕ所以.22)(2ta at e e aa t --=⋅=ππϕ 又因为)(2t ϕ在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.注：⎰+∞∞-+=dx ax e ax itx222)(πϕ也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t >0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋅=+=⎰+∞∞-ai z a z e i adx a x e ax itz itx ,Res 2)(22222πππϕ ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a--→==+⋅=22lim 2ππ5. 设),,(~2σμN X 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解 因为正态分布),(2σμN 的特征函数为,)(2/22t t i e t σμϕ-=所以,)0('μϕi = ,)0()('μϕ==iX E,)0(22''σμϕ--= ,)0()(222''2σμϕ+==i X E ,3)0(23'''μσμϕi i --= ,3)0()(333'''3μσμϕ+==i X E,36)0(4224''''σσμμϕ++= .36)0()(42244''''4σσμμϕ++==iX E由此得X 的3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p).证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=ϕ, m it Y q pe t )()(+=ϕ, 所以由 X 与Y 的独立性得()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ϕϕϕ++==+,这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P ).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2).证：因为 ,)(,)()1()1(21====it ite Y eX et e t λλϕϕ 所以由X 与Y 独立性得,)()()()1)2(-+==+it e et t t Y X Y X λλϕϕϕ这正是泊松分布 P (λ1+λ2).的特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2). .8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若),,(~1λa Ga X),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++.证 因为 1)1()(a X it t --=λϕ,2)1()(a Y itt --=λϕ,所以由X 与Y 的独立性得)(21)1()()()(a a Y X Y X itt t t +-+-==λϕϕϕ,这正是伽玛分布),(21λa a Ga +的特征函数,由唯一性定理知),(~21λa a Ga Y X ++.9.试用特征函数的方法证明2χ分布的可加性：若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ证 因为2)21()(nX it t --=ϕ,2)21()(mY it t --=ϕ,所以由X 与Y 的独立性得2)()21()()()(m n Y X Y X it t t t +-+-=+=ϕϕϕ,这正是2χ分布2χ(n+m)的特征函数,由唯一性定理知).(~2m n Y X ++χ10. 设i X 独立同分布,且n i Exp X i ,,2,1),(~ =λ.试用特征函数的方法证明:∑==ni i n n Ga X Y 1),(~λ.证 因为1)1()(--=λϕitt i X ,所以由诸i X 的相互独立性得n Y 的特征函数为n Y itt n--=)1()(λϕ,这正是伽玛分布),(λn Ga 的特征函数,由唯一性定理知),(~λn Ga Y n .11. 设连续随机变量X 服从柯西分布,其密度函数如下：+∞<<-∞-+⋅=x x x p ,)(1)(22μλλπ,其中参数+∞<<-∞>μλ,0,常记为),(~μλCh X ,(1) 试证X 的特征函数为{}t t i λμ-exp ,且利用此结果证明柯西分布的可加性；(2) 当1,0==λμ时,记Y =X,试证)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+,但是X 与不独立； (3) 若n X X X ,,,21 相互独立,且服从同一柯西分布,试证：)(121n X X X n+++ 与X i 同分布.证 (1) 因为μ-=X Y 的密度函数为+∞<<-∞+⋅=x yx p ,1)(22λλπ,由本节第4题(2)知Y 的特征函数为{}()exp ||Y t t φλ=-.由此得μ+=Y X 的特征函数{}{}t t i t t i t t Y Y X λμϕμϕϕμ-===+exp )(exp )()(.下证柯西分布的可加性: 设)2,1(=i X i 服从参数为i i λμ,的柯西分布,其密度函数为: 2,1,,)(1)(22=+∞<<-∞-+⋅=i x x x p i i μλλπ.若1X 与2X 相互独立,则(){}t t i t t t X X X X )(exp )()()(21212121λλμμϕϕϕ+-+==+,这正是参数为2121,λλμμ++柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知,21X X +服从参数为2121,λλμμ++的柯西分布.(2) 当1,0==λμ时有 {}t t X -=exp )(ϕ,{}t t Y -=exp )(ϕ,所以 )2()()(2t t t X X Y X ϕϕϕ==+{}{}{}t t t --=-=exp exp 2exp )()(t t Y X ϕϕ=. 由于Y=X,当然X 与Y 不独立.此题说明,由)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+不能推得X 与Y 独立.(3) 设i X 都服从参数为λμ,的柯西分布,则特征函数为{}t t i t λμϕ-=exp )(.由相互独立性得, ∑=n i i X n 11 的特征函数为 []{}t t i n t nλμϕ-=e x p )/(,即 ∑=n i i X n 11与X 1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.12.设连续随机变量X 的密度函数为p (x ),试证：p (x )关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证：记X 的特征函数为)(t X ϕ.先证充分性,若)(t X ϕ是实的偶函数,则)()(t t X X ϕϕ=-或)()(t t X X -=-ϕϕ,这表明X 与-X 有相同的特征函数,从而X 与-X有相同的密度函数,而-X 的密度函数为p (-x ),所以得p (x )=p (-x ),即p (x )关于原点是对称的.再证必要性.若p (x )=p (-x ),则X 与-X 有相同的密度函数,所以X 与-X 有相同的特征函数.由于-X 的特征函数为)(t X ϕ,所以)()(t t X X ϕϕ=-=________)(t X ϕ,故)(t X ϕ是实的偶函数.13.设n X X X ,,,21 独立同分布,且都服从N (2,σϕ)分布,试求∑==ni i X n X 1___1的分布.解：因为X j 的特征函数为2/22)(t t i j e t σϕϕ-=,所以由诸X i 互相独立得___X 的特征函数为)2/(22))/(()(n t t i n i X e n t t σϕϕϕ-==这是正态分布N (n /,2σϕ)的特征函数,所以由唯一性定理知∑==ni i X n X 1___1~N (n /,2σϕ)。
随机变量的特征函数
1
4 2
X
(1
,
2
)e
j1x1
j
2
x2
d1d
2
第二特征函数定义为
X (1,2 ) ln X (1,2 )
例1：设随机变量X的概率分布为
P{X 1} p P{X 0} q pq 1
求X的特征函数。
例2：设随机变量X服从标准正态分 布N(0,1)，即
e
jx
f
X
(
x)dx
随机变量X的第二特征函数定义为特 征函数的对数，即
X ( ) ln X ( )
对二维随机变量，可用类似的方法 定义特征函数
X (1,2)
fX
( x1,
x2 )e j1x1 j2x2dx1dx2
f X (x1, x2 )
1.6 随机变量的特征函数
1.6.1 特征函数的定义
随机变量X的特征函数就是由X组成
的一个新的随机变量ejwX的数学期望，
即
X ( ) E[e jX ]
离散随机变量和连续随机变量的特 征函数分别表示为
X ( ) E[e jX ] e jxi P{X xi}
i
X () E[e jX ]
即若
n 1
N
Y ( ) Xn ( )
n1
则
1.6.3 特征函数与矩函数的关系
矩函数与特征函数之间存在如下关系：
E[
X
]jdX ( d)
| 0
E[ X
n]
(
j)n
d nX ( ) d n
概率论特征函数
概率论特征函数
概率论中的特征函数是一个非常重要的概念，它可以通过数学函数的形式描述随机变量的特征。
特征函数的定义如下：对于任意一个随机变量X，它的特征函数φ(t)定义为：
φ(t) = E(e^(i*t*X))
其中，i是虚数单位，E表示数学期望。
特征函数的主要作用是描述一个随机变量的矩，特别是它的所有阶矩。
通过特征函数，我们可以轻松地求出一个随机变量的均值、方差、偏度和峰度等统计量。
特征函数还可以用于分析随机变量之间的独立性和相关性等问题，因此在概率论和统计学中得到了广泛的应用。
需要注意的是，特征函数是一个复数函数，通常用实部和虚部分别表示它的实部函数和虚部函数。
特征函数有许多重要的性质，例如它是连续的、有界的和解析的等等。
同时，特征函数还有许多重要的应用，例如它可以用于求解随机过程中的协方差函数和自相关函数等问题。
总之，特征函数在概率论和统计学中扮演着非常重要的角色，它是研究随机变量特征的有力工具。
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
概率论_特征函数
f ( t ) e dF ( x ) e itx dF ( x ) f ( t ).
- itx
9
【系1】 (唯一性定理) 两分布函数恒等的充要条 件是它们各自的特征函数恒等。
即：分布函数由其特征函数唯一确定
23
三、性质与定理的应用 例1 若X~B(n1 , p)、Y~B( n2 , p)，且X与Y相互独立
性质3：设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
29
f ( t ) E (e ) e f ( x )dx
itX itx
这就是密度函数f(x)的傅里叶变换
5
常见分布的特征函数
【单点分布】
f ( t ) pk e
k 1
itxk
e
ita
【二项分布】
f (t ) C p q
k 0 k n k
n
nk
e
itk
C ( p e ) q
k 0 k n it k
n
n k
( pe q)
it
n
【泊松分布】
it k ( e ) itk eit (eit 1) f (t ) e e e e e k! k 0 k ! k 0
6
k
【均匀分布】X~U [a, b]
【注1】 e
itx
cos tx i sin tx （欧拉公式）
3
【注2】 f (t ) cos txdF ( x ) i sin txdF ( x )
【注3】
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数是指反映随机变量随机性程度的函数，其主要可以分为五种：均值、方差、偏度、峰度和分布函数等。
1、均值是某一随机变量的数学期望，是衡量一个随机变量的中心位置的量，即期望值，也称为期望或数学期望。
2、方差表示随机变量与它的期望值之间的偏离程度，是一种测量随机变量分布形状的统计量，也是随机变量差异性的度量，它和均值的组合可以描述一个总体的变异情况。
3、偏度是衡量数据分布的离散程度，也可称为变量分布的“非对称程度”，衡量数据分布是否偏向均值，是用来评估样本中值离均值的离散程度，如果偏度系数大于0，则表示样本数据集向右偏；如果偏度系数小于0，则表示样本数据集向左偏；如果等于0，则表示没有偏斜。
4、峰度是衡量数据分布的凸度，衡量数据集分布的紧密程度，也叫做峰度系数，正态分布的均值、标准差和峰度均为零，而非正态分布的峰度大于0。
5、分布函数用来表示某个随机变量的取值范围和概率。
第四章 随机变量的数字特征与特征函数
+
0
x 2 e x dx
+ 0
x e
2 x 0
2 xe x dx
+ 2 x x xe e dx 0 0 2 x 2 2 e 0 2
所以 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1/ 2
e dt 2
概率论基础 Foundations of Probability Theory
例4.14已知随机变量 X ~ e( ) 。求方差 D( X ).
解: X 的概率密度为 e x f ( x) 0
x0 x0
从而 E ( X )
© 徐 钊 2013
概率论基础 Foundations of Probability Theory
例4.10已知随机变量X的分布律为 求方差 D( X ) 解： D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 pq
X pi
0
1
q
p
例4.11已知随机变量 X ~ P( ) 。求方差 D( X ).
P( X xk ) pk
k
k 1, 2, ,
k
连续型
设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)
则 D( X ) ( x E( X )) f ( x)dx
2
x 2 f ( x)dx [ E ( X )]2
三、方差的意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程 度，是随机变量随机性的一种度量。
三、数学期望的性质 (1)设c为一个常数，则E (c) c; (2)设a为一个常数，则E (aX ) aE ( X ); (3)设X 为随机变量，g1 ( x), g 2 ( x)是实连续函数，则有 E ( g1 ( X ) g 2 ( X )) E ( g1 ( X )) E ( g 2 ( X ))
特征函数
t it 1 [ 2 2 i 2 2 ] (1 ) t t
二、随机变量特征函数的性质
1. (t ) (0) 1 2. (t ) (t ) 其中 (t )为 (t )的共轭。 3.若Y aX b，其中a, b为常数，则Y的特征函数为
五、多元特征函数
1、多元特征函数的定义 设n元随机变量为(1 , 2 , , n )的分布函数为
F ( x1 , x2 , , xn ), 则它的特征函数定义为
f (t1 , t2 ,, tn ) ei( t1 x1 t2 x2 tn xn ) dF ( x1 , x2 ,, xn )
对于任意实数a，有 e ia 1 a .
事实上 对于实数a 0，有 eia 1 eix dx eix dx a.
0 0 ia ia a a
对于实数a 0，有 e 1 e (e
ia
1) e
ia
1 a
e itx1 e itx2 itx e it ( x1 x2 ) 1 itx2 itx 因此有 e e e x2 x1 it it 即J T中被积函数有界，所以积分可交换次序，得 1 JT 2 1 2
1 JT 2 1 2
e itx1 e itx2 itx T it e dt f ( x)dx
T T
sin t ( x x1 ) sin t ( x x2 ) dt f ( x)dx t t 0 1
(t ) 2 it 2 2
(i 2t ) 2 e
所以 E ( X )
i D( X ) (0) ( (0)) 2 2 X X
随机变量的特征函数精品PPT课件
§2 随机变量的特征函数
为
b
a
f (x)dg(x)
。此时也称f(x)对g(x)在区间[a,b]上S可积。
S积分是高等数学中黎曼积分的推广。如果取g(x)=x，那么S
积分就变成黎曼积分了。
在无限区间(,) 上的S积分，可用如下定义。
定义： 设 f(x),g(x)是定义在无限区间 (,)上的两个函数。若 在任意有限区间[a,b]上， f(x)对g(x)是S可积的，且极限
§2 随机变量的特征函数
先看连续概率分布情形。
此时，特征函数 (t) 是分布密度f(x)的F积分，那么f(x)应当是
(t
)
的反演。根据F积分理论，在
(t) dt 的条件公式下有反演公式
f (x) e itx (t)dt
(4)
且F积分反演是唯一的。
一般地说，随机变量X的概率分布用分布函数F(x)给出。由 特征函数 (t) 确定对应的分布函数F(x)可用下面公式。
n
(t) Cnk pk qnk eitk ( peit q)n k 0
§2 随机变量的特征函数
例 4： 正态分布 正态分布N(a,σ2)的分布密度是
其中 ( x ), 0
f (x)
1
( xa)2
e 2 2
2
( x )
。由（2）式，得
(t)
1
2
e e itx
(
xa) 2 2
称为随机变量X的特征函数，其中 i 1 。
设离散随机变量X的分布列为 pk P(X xk ),k 1,2,,则X的特征函数
可表示成
(t) EeitX eitXk pk
k
(1)
设连续随机变量X的分布密度为f(x)，则X的特征函数可表示
第2节、随机变量的特征函数
n
§2 随机变量的特征函数
例 4： 正态分布 正态分布N(a,σ2)的分布密度是
1 f ( x) e 2 ( x a )2 2 2
( x )
其中
( x ), 0
( xa )2 2
2
。由（2）式，得
令u xa
1 (t ) 2
§2 随机变量的特征函数
随机变量的特征函数是研究概率论的有力工具，它亦是概率 论自身内容的一个组成部分。在介绍特征函数之前先引进斯蒂尔 吉斯积分。
一、斯蒂尔吉斯积分
先看有限区间上的斯蒂尔吉斯积分。 定义： 设f(x),g(x)是定义在区间[a,b]上的两个有界函数。把 区间[a,b]分成n个子区间，分点为 a x0 x1 xn b ，在每一个子 区间 [ x , x ] 上任意取一个点 k 作和式
§2 随机变量的特征函数
(5) 设随机变量X,Y相互独立，又 Z X Y ,则 z (t ) X (t )Y (t ) 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特 征函数的乘积。 证: 由特征函数的定义
z (t ) EeitZ Eeit( X Y ) E[eitX eitY ] EeitX EeitY X (t )Y (t )
itx
存在，则称此积分为对g(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯（FourierStieltjes）积分，简称F-S积分。
二、特征函数
先引进复随机变量。 定义: 如果X与Y都是概率空间(Ω, F, P)上的实值随机变量， 则 Z X iY 称为复(值)随机变量，其中 i 1 。 复随机变量是取复数值的随机变量。它的数学期望定义为 EZ=EX+iEY 其中E(X)，E(Y)是（实值）随机变量的数学期望。 若X是(实值)随机变量，那么eitX应是复随机变量。
研究生学位课程教学大纲-随机过程
硕士研究生学位课程教学大纲随机过程（课程名称）Stochastic Process（Course Title）课程编号：IE11001 课程性质：学位课程学分数： 3 课程总学时：48学时开课学院：信息电子学院授课教师：姚青预备知识：高等数学、概率论、线性代数一、课程学习目的及要求：随机过程是现代概率论的一个重要课题，它主要研究和探讨客观世界中随机演变过程的规律性，并应用于控制﹑通信﹑生物﹑物理﹑雷达通讯﹑地质﹑天文气象﹑社会科学等工程科学技术中。
通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的基本概念、随机过程的统计特征描述、随机信号通过系统分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号通过系统的分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号、马尔可夫过程、平稳过程、信号检测与估计等的基本理论方法，为学生在信号与信息处理领域打下扎实的理论基础，为学习后续课程以及将来的发展奠定坚实的基础。
二、主要章节与学时安排：第一章随机变量基础（6学时）教学内容与要求：掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字特征、特征函数和统计特性等。
重点：随机变量的统计特性。
1.1 概率论的基本术语1.2 随机变量的定义1.3 随机变量的分布函数与概率密度1.4 多维随机变量及分布1.5 随机变量的数字特征1.6 随机变量的函数1.7 随机变量的特征函数1.8 多维正态随机变量1.9 复随机变量及其统计特性1.10 MATLAB的统计函数第二章随机过程的基本概念（9学时）教学内容与要求：要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统计描述；理解和掌握平稳随机过程、各态历经过程的概念和统计特性；掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；掌握和应用随机过程的功率谱密度；理解和掌握脉冲型随机过程的统计特性分析等。
重点：随机过程的概念和统计特性、随机过程功率谱密度等等。
2.1 随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法2.8 信号处理实例第三章随机过程的线性变换（9学时）教学内容与要求：掌握和应用线性系统变换的基本概念和基本定理；理解和掌握随机信号的导数与积分；掌握和应用随机过程线性变换的微分方程法、随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法；掌握和应用随机信号通过线性的分析方法；理解和掌握白噪声与等效通能带的概念和特性等。
求特征函数的公式
求特征函数的公式特征函数是概率论中的一个重要概念，它是随机变量的一种表现形式。
特征函数能够描述随机变量不同的特性和属性，同时也是各种数学方法和统计学方法的基础。
在进行随机变量的分析和求解时，往往需要先求出其特征函数，根据特征函数来推导随机变量的概率分布函数、矩等基本性质。
因此，本文将详细介绍求特征函数的公式和相关知识。
一、什么是特征函数？特征函数是一种与随机变量（或者随机向量）相关的函数，它能够完整地描述该随机变量的全部性质和特征。
特征函数是唯一的，具有一致性、可加性、正定性、连续性等性质。
特别是对于连续性随机变量，它的特征函数具有很好的解析性质。
因此，特征函数被广泛应用于概率论、数学统计、信号处理、图像处理等领域。
特征函数是一个复值函数，定义为：$$\varphi_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)$$ 其中，$t$是实数、$i$是虚数单位(即$i^2=-1)$，$X$是一个随机变量。
特征函数的实部和虚部分别对应着随机变量的余弦变换和正弦变换的性质。
如果随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)$，那么特征函数可以用$f_X(x)$来表示：$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$二、特征函数的性质1、一致性如果两个随机变量$X$和$Y$有相同的分布，则它们的特征函数是相同的，即$\varphi_X(t)=\varphi_Y(t)$。
2、可加性如果$X$和$Y$是两个独立的随机变量，则它们的和$Z=X+Y$的特征函数等于它们各自特征函数的乘积，即$\varphi_Z(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
3、正定性对于特征函数$\varphi(t)$的任何一个复数系数$c_1,c_2,...,c_n$和任意实数$t_1,t_2,...,t_n$，有：$$\sum_{k,l=1}^nc_k\overline{c_l}\varphi(t_k-t_l)\geq0$$其中，$\overline{c_l}$表示$c_l$的共轭复数。
《概率论与数理统计课件》 特征函数
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
随机变量特征函数
随机变量特征函数随机变量特征函数是概率论中的一个重要概念，它在描述随机变量的性质和特征上起着至关重要的作用。
特征函数是指一个随机变量的复数形式的函数，可以完整地描述该随机变量的分布特性。
在本文中，我们将深入探讨随机变量特征函数的定义、性质以及应用。
一、随机变量特征函数的定义随机变量特征函数是指对于一个随机变量X，其特征函数被定义为一个复数函数φ(t)，其中t为实数。
特征函数φ(t)的表达式为E(e^(itX))，即随机变量X的期望值e^(itX)的复数形式。
1. 对于任意实数t，特征函数φ(t)的值为复数；2. 对于任意实数t1和t2，特征函数φ(t1+t2)等于φ(t1)φ(t2)的乘积；3. 特征函数φ(0)等于1；4. 若两个随机变量X和Y具有相同的特征函数φ(t)，则它们的分布函数相同；5. 若一个随机变量X的特征函数φ(t)处处有界，则X的分布是有界的。
三、随机变量特征函数的应用1. 利用特征函数可以求得随机变量的矩和矩母函数。
通过对特征函数进行n次求导并令t=0，可以得到随机变量的n阶矩。
2. 利用特征函数可以推导出随机变量的分布。
由于特征函数与分布函数之间存在一一对应的关系，因此通过特征函数可以确定随机变量的分布。
3. 利用特征函数可以进行随机变量的卷积运算。
对于两个随机变量X和Y的卷积运算，可以通过将它们的特征函数相乘得到结果的特征函数，从而确定卷积运算的分布。
四、随机变量特征函数的实例分析以二项分布为例，假设一个试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p，进行n次独立重复试验，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。
我们可以求出X的特征函数为φ(t)=(e^(itp))^n。
对于一个服从参数为n和p的二项分布的随机变量X，它的特征函数为φ(t)=(e^(itp))^n。
我们可以利用特征函数来计算X的矩和矩母函数。
例如，X的一阶矩为E(X)=φ'(0)，即特征函数在t=0处的一阶导数。
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数随机变量的特征函数是描述随机变量的一个重要工具，广泛应用于概率论和数理统计等领域。
特征函数可以用于确定随机变量的分布、刻画随机过程的性质以及进行概率计算等。
在本文中，我们将从定义、性质、应用等方面对随机变量的特征函数进行详细介绍。
一、定义设X是一个随机变量，其概率密度函数（或概率质量函数）为f(x)，特征函数定义为：ϕ(t) = E[e^(itX)]其中，i是虚数单位（i^2=-1）。
特征函数是一个复数函数，其自变量t也是复数。
特征函数的定义包含了随机变量本身的所有信息，因此可以通过特征函数来刻画随机变量的分布。
二、性质1.偶函数性质特征函数是一个偶函数，即ϕ(-t) = ϕ(t)。
这是由特征函数定义中的e^(itX)的形式决定的。
2.边界性质对于任意复数t，有，ϕ(t)，≤1、这是由特征函数的定义可以得到的结论。
3.一一对应性质如果两个随机变量的特征函数相等，即ϕ1(t)=ϕ2(t)，则两个随机变量具有相同的分布。
这个性质可以用来判定两个随机变量是否具有相同的分布。
4.完备性性质特征函数在一些条件下具有完备性，即可以唯一决定分布。
这个性质在数理统计中具有重要的应用。
三、应用1.分布的确定对于一个随机变量X，若其特征函数ϕ(t)已知，那么可以通过反演公式来求解X的分布。
即X的分布函数可以通过特征函数的逆变换来确定。
2.随机过程的性质刻画特征函数在随机过程中具有广泛的应用，可以用来刻画随机过程的独立性、平稳性、马尔可夫性等性质。
3.概率计算特征函数在概率计算中也非常有用，可以通过特征函数来计算随机变量的数学期望、方差以及高阶矩等。
四、示例为了更好地理解特征函数的应用，下面我们以一个简单的示例来说明。
假设一个随机变量X的概率密度函数为：f(x)=1/π(1+x^2)，如果，x，≤1那么该随机变量的特征函数为：ϕ(t) = E[e^(itX)] = 1/π∫[−1,1]e^(itx)f(x)dx将概率密度函数代入上式并计算积分，得到：ϕ(t) = 1/π∫[−1,1]e^(itx)/π(1+x^2)dx这个积分可以使用复变函数的技巧来求解，最终可以得到：ϕ(t)=e^(-，t，)由此，我们可以判定该随机变量X服从柯西分布。
第2章 随机变量-特征函数
n
k
n k
e itk
C ( p e )
k 0 k n jt
n
k
1-p
n k
( pe +q)
jt
n
例1.4 设随机变量X 服从参数为 的泊松分布, 求其特 征函数.
( t ) E( e
( t ) e
k 0
itX
) e
itxk
pk
i t
i t
2t 2
2
e
i t
2t 2
2
18
推论1(惟一性定理) 及 2 ( t ) 恒等
) ) 及F 分布函数 F 2(x 1(x
恒等的充分必要条件为它们的特征函数 1 ( t )
随机变量的分布函数由特征函数唯一确定
§2 多维随机变量的特征函数
一、定义及例 二、二维随机变量特征函数的性质 三、相互独立随机变量和的特征函数
2
2
t
+j
t t
2
二、特征函数的性质
性质1.1 随机变量X 的特征函数满足:
(1) | ( t ) | (0) 1;
( 2) ( t ) ( t ).
性质1.2 设X 的特征函数为 X ( t ) , 则Y aX b 的特征函数为
Y ( t ) e X (at )
称 ( t1 , t 2 ) 为 ( X ,Y ) 的特征函数. 连续型:
( t1 , t 2 ) E [e
j ( t1 X t 2Y )
]
e j ( t1 x t2 y ) f ( x , y )dxdy
随机变量的特征函数
第四章 大数定律与中心极限定理4、1特征函数内容提要1、 特征函数得定义 设X 就是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 得特征函数,其表达式如下(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 得特征函数)(t ϕ总就是存在得、2、 特征函数得性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ得共 轭;(3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 就是常数、则);()(at e t X ibt Y ϕϕ= (4) 若X 与Y 就是相互独立得随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ就是非负定得,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 与n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j nk nj k z z t t ϕ(8) 逆转公式 设F (x )与)(t ϕ分别为X 得分布函数与特征函数,则对F (x )得任意两个点21x x <,有=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim21dt t it e e TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-特别对F (x )得任意两个连续点21x x <,有;)(21lim)()(2112dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-=-(9) 唯一性定理 随机变量得分布函数有其特征函数唯一决定;(10) 若连续随机变量X 得密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果+∞<⎰+∞∞-dt t )(ϕ,则dt t e x p itx )(21)(ϕπ⎰∞+∞--=3、 常用得分布函数特征表习题与解答4、11、 设离散随机变量X 得分布列如下,试求X 得特征函数、解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ2、 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 得特征函数,并以此求E(X )与V a r(x )、解 记q =1-p , 则ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -====∑∑+∞=+∞=-1)()()(111ϕ, ()2'1)(it itqe ipe t -=ϕ,42'')1()1(2)1()(it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1)1()0(1)(2'=-==ϕ,242''21)1()1(2)1()0(1)(pqq q pq q p i X E +=--+-==ϕ,22222)1(1)]([)()(pqp p q X E X E X Var =-+=-= 3.设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rk r p p r k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== ,1,,k r r =+试求X 得特征函数、解 设r X X X ,,,21 就是相互独立同分布得随机变量,且都服从参数为p 得几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 得特征函数为,1)(X ititqepe t j -=ϕ 其中q =1-p 、 又因为r X X X X +++= 21,所以X 得特征函数为∏=-==rj ritit x X qe pe t t j 1)1()()(ϕϕ、 4.求下列分布函数得特征函数,并由特征函数求其数学期望与方差、(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x⎰∞-+=2221)(π (a >0)、解 (1)因为此分布得密度函数为 ,2)(1xa e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布得特征函数为010()22itx ax itx axa at e e dx e e dx ϕ+∞--∞=⋅+⋅⎰⎰00(cos sin )(cos sin )22ax axa a tx i tx e dx tx i tx e dx +∞--∞=+⋅++⋅⎰⎰ =.cos 222ta a dx txea ax+=⎰+∞-又因为,)(2)(2222'1t a ta t +-=ϕ ,0)0('1=ϕ ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=ϕ ,2)0(2''1a -=ϕ 所以 0,(0)1)('1==ϕi X E V a r(X )= .a2(0)1)(2''122==ϕi X E(2) 因为此分布得密度函数为 ,1)(222a x ax p +⋅=π .+∞<<∞-x所以此分布得特征函数为,cos 2)(022222⎰⎰+∞+∞∞-+=+=dx ax txadx a x e ax itx ππϕ 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 022⎰+∞-=+ate a dx ax tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at ate e aa t --=⋅=ππϕ 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=ϕϕ所以.22)(2ta at e e aa t --=⋅=ππϕ 又因为)(2t ϕ在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)得数学期望不存在、注:⎰+∞∞-+=dx a x e ax itx222)(πϕ也可利用复变函数中得留数理论来计算,方法如下:t >0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋅=+=⎰+∞∞-ai z a z e i adx a x e ax itz itx ,Res 2)(22222πππϕ ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a--→==+⋅=22lim 2ππ5、 设),,(~2σμN X 试用特征函数得方法求X 得3阶及4阶中心矩、 解 因为正态分布),(2σμN 得特征函数为,)(2/22t t i e t σμϕ-=所以,)0('μϕi = ,)0()('μϕ==i X E ,)0(22''σμϕ--= ,)0()(222''2σμϕ+==iX E ,3)0(23'''μσμϕi i --= ,3)0()(333'''3μσμϕ+==i X E,36)0(4224''''σσμμϕ++= .36)0()(42244''''4σσμμϕ++==i X E由此得X 得3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E6、 试用特征函数得方法证明二项分布得可加性:若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p)、证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=ϕ, m it Y q pe t )()(+=ϕ, 所以由 X 与Y 得独立性得()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ϕϕϕ++==+,这正就是二项分布b(n + m, p)得特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P )、7、 试用特征函数得方法证明泊松分布得可加性:若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2)、证:因为 ,)(,)()1()1(21====ititeY eX e t e t λλϕϕ 所以由X 与Y 独立性得,)()()()1)2(-+==+it e et t t Y X Y X λλϕϕϕ这正就是泊松分布 P (λ1+λ2)、得特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2)、 、8、 试用特征函数得方法证明伽玛分布得可加性:若),,(~1λa Ga X),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++、证 因为 1)1()(a X it t --=λϕ,2)1()(a Y itt --=λϕ,所以由X 与Y 得独立性得)(21)1()()()(a a Y X Y X itt t t +-+-==λϕϕϕ,这正就是伽玛分布),(21λa a Ga +得特征函数,由唯一性定理知),(~21λa a Ga Y X ++、9、试用特征函数得方法证明2χ分布得可加性:若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ证 因为2)21()(n X it t --=ϕ,2)21()(mY it t --=ϕ,所以由X 与Y 得独立性得2)()21()()()(m n Y X Y X it t t t +-+-=+=ϕϕϕ,这正就是2χ分布2χ(n+m)得特征函数,由唯一性定理知).(~2m n Y X ++χ10、 设i X 独立同分布,且n i Exp X i ,,2,1),(~ =λ、试用特征函数得方法证明:∑==ni i n n Ga X Y 1),(~λ、证 因为1)1()(--=λϕitt i X ,所以由诸i X 得相互独立性得n Y 得特征函数为n Y itt n--=)1()(λϕ,这正就是伽玛分布),(λn Ga 得特征函数,由唯一性定理知),(~λn Ga Y n 、11、 设连续随机变量X 服从柯西分布,其密度函数如下:+∞<<-∞-+⋅=x x x p ,)(1)(22μλλπ,其中参数+∞<<-∞>μλ,0,常记为),(~μλCh X ,(1) 试证X 得特征函数为{}t t i λμ-exp ,且利用此结果证明柯西分布得可加性; (2) 当1,0==λμ时,记Y =X,试证)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+,但就是X 与不独立; (3) 若n X X X ,,,21 相互独立,且服从同一柯西分布,试证:)(121n X X X n+++ 与X i 同分布、证 (1) 因为μ-=X Y 得密度函数为+∞<<-∞+⋅=x yx p ,1)(22λλπ,由本节第4题(2)知Y 得特征函数为{}()exp ||Y t t φλ=-、由此得μ+=Y X 得特征函数{}{}t t i t t i t t Y Y X λμϕμϕϕμ-===+exp )(exp )()(、下证柯西分布得可加性: 设)2,1(=i X i 服从参数为i i λμ,得柯西分布,其密度函数为: 2,1,,)(1)(22=+∞<<-∞-+⋅=i x x x p i i μλλπ、若1X 与2X 相互独立,则(){}t t i t t t X X X X )(exp )()()(21212121λλμμϕϕϕ+-+==+,这正就是参数为2121,λλμμ++柯西分布得特征函数、所以由唯一性定理知,21X X +服从参数为2121,λλμμ++得柯西分布、(2) 当1,0==λμ时有 {}t t X -=exp )(ϕ,{}t t Y -=exp )(ϕ,所以 )2()()(2t t t X X Y X ϕϕϕ==+{}{}{}t t t --=-=exp exp 2exp )()(t t Y X ϕϕ=、 由于Y=X,当然X 与Y 不独立、此题说明,由)()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ=+不能推得X 与Y 独立、(3) 设i X 都服从参数为λμ,得柯西分布,则特征函数为{}t t i t λμϕ-=exp )(、由相互独立性得, ∑=n i i X n 11 得特征函数为 []{}t t i n t nλμϕ-=exp )/(,即 ∑=n i i X n 11与X 1具有相同得特征函数,由唯一性定理知它们具有相同得分布、12、设连续随机变量X 得密度函数为p (x ),试证:p (x )关于原点对称得充要条件就是它得特征函数就是实得偶函数、证:记X 得特征函数为)(t X ϕ、先证充分性,若)(t X ϕ就是实得偶函数,则)()(t t X X ϕϕ=-或)()(t t X X -=-ϕϕ,这表明X 与-X 有相同得特征函数,从而X 与-X有相同得密度函数,而-X 得密度函数为p (-x ),所以得p (x )=p (-x ),即p (x )关于原点就是对称得、再证必要性、若p (x )=p (-x ),则X 与-X 有相同得密度函数,所以X 与-X 有相同得特征函数、由于-X 得特征函数为)(t X ϕ,所以)()(t t X X ϕϕ=-=________)(t X ϕ,故)(t X ϕ就是实得偶函数、13、设n X X X ,,,21 独立同分布,且都服从N (2,σϕ)分布,试求∑==ni iX n X 1___1得分布、解:因为X j 得特征函数为2/22)(t t i j e t σϕϕ-=,所以由诸X i 互相独立得___X 得特征函数为)2/(22))/(()(n t t i n i X e n t t σϕϕϕ-==这就是正态分布N (n /,2σϕ)得特征函数,所以由唯一性定理知∑==ni i X n X 1___1~N (n /,2σϕ)。
北大随机信号分析基础课件1.6随机变量的特征函数
THANKS
感谢观看
特征函数在随机变量变换中的性质
01 特征函数具有平移不变性，即随机变量平移后， 其特征函数也相应平移。
02 特征函数具有旋转不变性，即随机变量旋转后， 其特征函数保持不变。
03 特征函数具有缩放不变性，即随机变量缩放后， 其特征函数也相应缩放。
06
总结与展望
特征函数在随机信号分析中的重要性
描述随机信号的统计特性
随机信号的表示
离散时间随机信号
由随机变量序列表示，每个随机变量具有确定的概率分布。
连续时间随机信号
由随机过程表示，每个时间点上的信号值具有确定的概率分布。
随机信号的参数
均值、方差、偏度和峰度等统计参数描述了随机信号的基本特性。
随机信号的统计特性
概率密度函数
描述随机信号在各个时刻取值的概率分布情况。
概率累积分布函数
描述随机信号在各个时刻取值小于或等于某一值 的概率。
特征函数
通过傅里叶变换将概率密度函数转化为频域表示， 便于分析信号的频谱特性。
特征函数在信号处理中的应用
信号滤波
利用特征函数分析信号频谱特性，通过滤波器对信号进行滤波处理， 提取所需频率成分。
信号调制与解调
利用特征函数分析信号的相位和频率信息，实现信号的调制与解调。
随机变量的特征函数
• 引言 • 特征函数的定义和性质 • 特征函数在随机信号分析中的应用 • 特征函数的计算方法 • 特征函数与随机变量的关系 • 总结与展望
01
引言
什么是特征函数？
• 特征函数是概率论和随机过程领域中的一个重要概念，它 是一种描述随机变量或随机过程特性的复数函数。特征函 数的主要特点是它可以完全确定一个随机变量或随机过程 的概率分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X1,X2,X3,…, Xn是独立的随机变量
概率密度函数卷积，特征函数相乘
性质3：互相独立随机变量之和的特征函数 等于各随机变量特征函数之积，即若
Y
则
X
n 1
N
n
Y ( ) X ( )
n 1
n
N
1.6.3 特征函数与矩函数的关系 （矩发生特性）
d X ( ) E[ X ] j | 0 d n n n d X ( ) E[ X ] ( j ) | 0 n d
jX
] e
jx
复习：连续信号的傅立叶变换
F ( j ) 1 f (t ) 2
f (t )e
jt
dt
jt
F ( j ) e
d
F ( j )
f (t )e
jt
dt
dt
F (- j ) f (t )e
jt
X () E[e
X (-) E[e
jX
] e
jx
f X ( x)dx f X ( x)dx
- jX
] e
- jx
密度函数f(x)与其特征函数是一对傅立叶变换
f ( x) ( )
IFT
FT
X (- ) e
n n n
E[ X ] ( j ) X
n n
( n)
(0)
对二维随机变量， 可用类似的方法定义特征函数
X (1, 2 )
f X ( x1, x2 )e
j1 x1 j2 x2
dx1dx2
f X ( x1 , x2 ) 1 j1 x1 j 2 x2 2 X (1 , 2 )e d1d2 4
- jx
f X ( x)dx
一维特征函数与一维概率密度 有类似傅立叶变换对的关系：
X ( ) e
jx
f X ( x)dx
j x
1 f X ( x) 2
X ( )e
d
特征函数的性质
1.6.2 特征函数的性质
乘法
卷积
时域相乘，频域卷积；时域卷积，频域相乘。
连续型 离散型
第1章 概率论基础
p.33 第1章习题 1.16 1.22 1.32
1.6 随机变量的特征函数
1.6.1 特征函数的定义
随机变量X的特征函数就是由X组成的一个 新的随机变量ejωX的数学期望，即
X ( ) E[e
jX
]
离散随机变量和连续随机变量的特征函数 分别表示为
X ( ) E[e X ( ) E[e
jX
] e
i
jxi
P{X xi } f X ( x)dx
求矩公式证明：
X ( ) E[e
jXBiblioteka ]两边对 ω求导得：
d X ( ) j X E[ jXe ] d
令 ω=0得：
d X ( ) | 0 E[ jX ] d
d X ( ) -j | 0 E[ X ] d
求矩公式：
d X ( ) E[ X ] ( j ) | 0 n d