第二十二讲倒推法的妙用
第二十二讲倒推法的妙用学生版
第二十二讲倒推法的妙用在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？分析马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.例3 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？分析依题意，画图进行分析.例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？分析解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.习题二十二1.某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？3.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。
解决问题的策略——“倒推法”
目标预设：1、让学生在解决问题中学会用“倒推思维”的策略寻求解决问题的思路，并能根据问题的具体情况确定合理的解题步骤。
2、在观察、操作、讨论、交流中提高探索和解决实际问题的能力，获得解决问题成功体验。
3、让学生在对解决实际问题中不断反思，感受“倒推思维”的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和进行简单推理的能力。
4、培养学生[此文转于斐斐课件园]独立思考、善于倾听、质疑和验算的数学学习习惯。
教学重点：体会策略是解决问题的计策，学会用“倒推思维”的策略解决问题。
教学难点：能根据具体的问题确定合理的解题步骤。
教学具准备：果汁杯两个、一瓶400毫升的果汁、果汁图片、小黑板若干课程实施：课前游戏：1、做相反动作2、猜数字游戏一个数加2得8，这个数是——一个数减2得8，这个数是——一个数乘2得8，这个数是——一个数除以2得8，这个数是——师：你们的表现真的很棒。
师生问好！一、生活数学，激趣启智师：从课前游戏中我发现，咱班同学特别喜欢数学，今天就让我们随同冬冬和明明，去寻找生活中的数学，一同研究解决问题的策略。
出示课题：解决问题的策略师：上周末，他俩去海门表妹家玩，乘坐的公共汽车从余东出发，沿途经过了树勋、麒麟、汤家、三厂，到达了海门。
小黑板出示：余东树勋麒麟汤家三厂海门师：想想如果他们想原路返回，会依次经过哪些乡镇呢？生齐：海门、三厂、汤家、麒麟、树勋、余东。
师：在回答这个问题时，我们都是——倒过来，一个一个往前推。
板书：倒推。
二、引导探究，掌握方法师：车子终于到了表妹方方家了，方方正准备了400毫升的果汁来招待好朋友呢？出示图片、实物（两杯果汁不一样多）师：都是好朋友，这样公平吗？生：不公平。
师：怎样就公平了？生：两杯一样多。
师：如果从甲杯倒入乙杯40毫升后一样多，那你知道原来两杯果汁各有多少毫升吗？师：请先独立思考，然后说说你第一步是怎么想的？生：共有400毫升，现在果汁同样多，那就说明都有200毫升。
结果倒推过程_关注变化过程,巧用“倒推”策略.doc
结果倒推过程_关注变化过程,巧用“倒推”策略摘要：运用倒过来推想的策略，旨在使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定问题的价值，发展分析、综合和简单推理的能力，进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，感受数学与生活的密切联系，获得成功体验，提高学好数学的信心。
关键词：整理信息变化过程倒推策略“倒过来推想”的策略是苏教版教材五年级下册第九单元的内容，它是在学生已经学习了用画图和列表的策略解决问题的基础上，用“倒过来推想”的策略解决相关实际问题。
旨在使学生在对自己解决实际问题过程的不断反思中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定问题的价值，发展分析、综合和简单推理的能力，进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得成功体验，提高学好数学的信心。
那么，究竟哪些问题适合用“倒推”的策略，又怎样巧用“倒推”的策略快速解决问题呢？笔者从以下几个方面谈谈自己的体会和感受。
一、激活已有经验，感知哪些问题可以倒过来推想“倒过来推想”是一种适应于特定问题情境下的解题策略，通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒过来推想”的策略加以解决。
例如：一辆公共汽车上现有乘客48人，中途下车人，又上车18人，这辆公共汽车出发时原有多少人？又如：老师的年龄乘2，再减去6是50，老师今年多大？这两个问题都是知道现在的结果，也知道变化的过程，需要追溯它的起始状态。
此时如果我们按照顺向思维思考，五年级学生便很难理清题中的数量变化关系了，而如果我们倒过来推想，假设汽车中途没有上车18人，也没有下车人，又假设老师的年龄没有减去6，也没有乘以2，这时解题思路反而变得更加清晰，问题也能迎刃而解了。
二、关注变化过程，巧用“倒推”策略我们知道，某种事物或数量经过一系列变化后，知道现在的结果，要求原来的数量，我们可以用倒推的策略，可我们如何从结果出发，一步一步往前倒推，求出正确答案呢？这就需要我们密切关注事物或数量的变化过程。
倒推与图解
倒推与图解一、倒推法—— 反过来考虑能用倒推法解决的数学问题常常满足下列三个条件：1．已知最后的结果；2．已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法）；3．未知的数量是最初的数据。
例1 将8个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和，如果第7个数和第8个数分别是81和131，那么第1个是几？例2 一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的51多120个，第二天加工了剩下的41少150个，第三天加工了剩下的31多80个，第四天加工了剩下的21少20个，第五天加工了最后的1800个。
这批零件总数有多少个？例3 甲、乙、丙三人各有若干本书。
甲给乙、丙两人，使两人书的本数增加1倍；然后乙也照这样送给甲、丙两人，最后丙送给甲、乙两人。
结果甲有书48本，是丙有书本数54，乙有书的本数是丙有书本数的1571。
甲、乙、丙原来各有书多少本？例4 小明和小华同时计算求甲、乙两个两位数的乘积，小明计算时把甲数的十位上的数字看错了，计算结果是425，小华计算时则把甲数个位上的数字看错了，计算结果是800。
两个数的正确的乘积是多少？例5已知三个互不相同的自然数之和为55，其中每两个数之和都是完全平方数，求这三个自然数。
二、图解法——一种直观的数学方法分析应用题时利用线段图或其它图形，使问题的内容具体化、形象化，帮助理解题意，明确数量关系，从而沟通“已知”与“所求”的联系，便于找到较简捷的解法。
例6把1572分成4份，要使第一份比第二份多48，第三份比第一份少32，第一份比第四份多92。
问分成的四份各是多少？例1例7《小学数学爱好者》P220例2例8《小学数学爱好者》P221例3例9《小学数学爱好者》P222例4例10《小学数学爱好者》P222例5例11《小学数学爱好者》P223例6例12《小学数学爱好者》P224例7例13《小学数学爱好者》P225习题一练习：《小学数学爱好者》P226。
倒推法知识点总结
3.反证法：反证法是一种通过假设结论为假，然后推导出矛盾的逻辑推理方法。反证法要求推理者要通过推导出矛盾来证明结论为真。
以上是倒推法相关的一些常见概念，它们是倒推法的重要组成部分，对于倒推法的理解和应用具有重要意义。
1.数学领域：倒推法在数学领域中有着广泛的应用。在解决数学难题时，倒推法可以帮助数学家们从已知结论出发，逆向推导出问题的根本原因，从而找到解决问题的方法。例如，在证明一个数论问题时，可以先假设结论为假，然后推导出矛盾，从而证明结论为真。
2.物理领域：倒推法在物理领域中也有着重要的应用。在解决物理问题时，科学家们常常需要通过倒推法来确定问题的原因和规律，从而建立起科学理论和模型。例如，在研究地球的内部结构时，科学家可以通过地震波的传播速度和方向来推导地球的内部结构。
倒推法知识点总结
一、倒推法的基本原理
倒推法的基本原理是以结论为出发点，逆向推导出前提或原因。它是一种以反证法为基础的逻辑推理方法，要求从已推理过程通常包括以下几个步骤：
1.首先确定问题的结论或目标；
2.然后逆向推导，分析这个结论的前提条件或原因；
3.接着继续递归分析这些前提条件的前提条件，直至找出最根本的原因；
5.经济学领域：在解决经济问题时，倒推法也发挥着重要的作用。例如，在研究市场供需关系时，经济学家可以通过倒推法来分析市场价格和供给关系的变化，从而预测市场的发展趋势。
以上是倒推法在各个领域中的典型应用案例，可以看出倒推法在各个领域都有重要的作用，它是一种非常常用的推理方法。
三、倒推法的相关概念
1.正向推导：正向推导是一种从已知原因或前提来推导结论的逻辑推理方法。正向推导要求推理者要从已知的原因或前提出发，推导出结论或结果。
二年级奥数.应用题.倒推法[精选]
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什么是倒推法，什么样的状况下能够 应用倒推法来处理征询 题。
在加减乘除运算中，引导先生应用倒推法来求未知的数。
学会应用倒推法来处理一些复杂的恢复征询 题的使用题。
在我们解答征询 题的时分，我们往往明白了征询 题能够发作的后果，但是却不明白什么缘故 会发作如此 的后果，那个 时分只需我们顺着答案往前一步步停顿推理，就能够 寻 到征询 题发作的缘故。
这种办法就叫做倒推法，倒推法的确是调过头交往前想，在我们处理特不 少数学征询 题的时分也要 用到这种办法，这节课就让我们一同学一学用倒推法来处理征询 题。
【例1】 按要求画图形.〔 〕＋27=98 〔 〕－32=10086－〔 〕=24 〔〕×2=182×( )=20 ( )÷3=11 81÷( )=9()×2×3=60()÷4÷5=2【例2】 你明白上面每个终点上的数字各是几吗【例3】 在小聪上面图中、、各代表一个数，算一算它们各是几？【例4】 大雄征询 小“你往年几岁？〞小【例5】 有一个数加上6，减去 6，乘以 6，除以 6，最后后果等于 6．征询 那个 数是几？【例6】 小聪明拿了妈妈给的零花钞票 去买东西．他先用这些钞票 的一半买了一把尺子，之后又买了一枝1元 5角钞票 的铅笔，最后还剩下 3 角钞票 ．你明白妈妈给小聪明多少钞票 吗? 倒推法 巧求周长知识框架例题精讲【例7】馋嘴和尚吃一堆馒头．第一次吃了一半，觉得不够；第二次又吃了剩下的一半，觉得差不多了；第三次又吃了5个，觉得饱了．他察觉还剩下5个，干脆又吃光了．这一堆馒头有多少个?【例8】小亮拿着1包糖，遇见好冤家A，分给了他一半；过一会儿又遇见好冤家B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好冤家C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他本人手里只要一块了．征询在没有分给A往常，小亮这包糖有几块?【例9】猪八戒化斋讨来了一篮果子．吃了一半，觉得不够，又吃了剩下的一半，依然觉得不够，又吃了剩下的一半，最后依然有点馋又偷偷吃了2个果子，觉得饱了．把剩下的给唐僧吃，孙悟空一看察觉篮子里只剩下4个果子了．猪八戒一共吃了多少个果子？【例10】在高家庄猪八戒干了特不多活，但同时也特不能吃．高老太太拿来一篮烧饼，八戒吃了一半又半个，又吃了剩下的一半又半个，再吃了剩下的一半又半个．最后只剩下一个，他连这一个也不放过，也吃了到外面去．高老太太的这篮烧饼有多少个?你能把猪八戒4次吃的烧饼画出来吗？课堂检测【随练1】有一桶油，甲过去买走了一半又半升；乙过去买走了剩下的一半又半升；丙买走了最后剩下的6升．那么这桶油原有多少升？【随练2】小明有几本君子书自已记不明晰了，只明白：小芳借走一半加1 本；小容又借走剩下的书的一半加2本；再剩下的书，小军借走一半加3本，最后小明还有2本书．请征询小明原有几本君子书?【随练3】 现有一堆棋子，把它分红三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分红三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分红三等份后还剩一颗．征询 原来至多有多少颗棋子?【作业1】 一个数加上 8，乘以 8．减去 8，除以8，后果依然 8，求那个 数?【作业2】 小聪征询 “你往年几岁？〞小明回“用我的年龄数减去 8，乘以 7，加上 6，除以 5，正好等于 4．请你算一算，我往年几岁？〞【作业3】 有一次明明去买玩具，他买了一架小飞机用去了他带去的钞票 的一半；之后他又用20 元钞票 买了一个小汽车，最后还剩下 5 元钞票 ．征询 明明最后带了多少钞票 ?【作业4】 小刚去银行取款，第一次取了存款的一半，第二次取了余下的一半，这时存折上还剩下100元，小刚原来存款有多少钞票 ？【作业5】 爸爸给小红买了一袋糖，小红决议把糖分给大伙儿 吃．第一个看见了妹妹，就把糖的一半分给了妹妹； 第二个看见了哥哥，又把剩下的糖的一半分给了哥哥，这时她本人还家庭作业剩5块糖．请征询，爸爸给小红的这袋糖共有多少块?【作业6】猪八戒化斋讨来一些馒头．第一次吃了一半，觉得不够，第二次又吃了剩下的一半，依然觉得不够，第三次又吃了一半，最后依然有点馋又偷偷吃了3个馒头，觉得饱了．把剩下的给徒弟们吃，孙悟空一看察觉篮子里只剩下5个馒头了．猪八戒一共讨回来多少个馒头？【作业7】文明用品店新到一批日记本，上一周售出本数比总数的一半少12 本；这一周售出的本数比所剩的一半多12 本；后果还有19 本．征询这批日记本有多少?。
详细读红楼梦读书笔记第二十二回宝玉的禅心是如何产生的
详细读红楼梦读书笔记第二十二回宝玉的禅心是如何产生的听曲文宝玉悟禅机制灯谜贾政悲谶语这一回开始透露一些和人物命运有关的提示，其实之前的章回也有，但那些需要有人分析或者看脂砚斋评点，又或者是用倒推的方法来看，才会明了。
这一回则是明确写到了两件事，一是宝玉悟禅机，一是贾政悲谶语。
关于谶语，我总是不忍细想，因此先不分析，咱们重点来看一下宝玉的“悟禅机”是怎么回事。
1987版电视剧《红楼梦》中林黛玉的扮演者陈晓旭曾说：“《红楼梦》是一部佛经，它写出了人生的苦、空、无常。
”能够悟到此一点的陈晓旭，自然是有慧根和佛缘的，但若我们回到第二十二回的情节，便会明白，晓旭的佛心，和故事中黛玉的悟禅，还是不一样的，晓旭比较像是贾宝玉此时的状态，即触及到佛教一派之禅宗的要义，但还是未能像黛玉或者慧能一般，真正参透禅机。
先说一下禅。
据武汉大学彭富春的研究，佛教自传入中国后，与儒教、道教相互渗透，相互促进，孕育了禅宗，禅宗逐渐成为中国佛教的重要学说。
禅宗中的“禅”不是禅定之禅，而是智慧之禅，其核心思想概括起来就是八个字：“直指人心，见性成佛”，所以禅宗所追求的是觉悟的心灵。
曹雪芹在对贾宝玉这个形象的塑造上，便是逐渐刻画他如何追求一种觉悟的心灵。
宝玉在少儿时期的那些奇葩言行，其实是一种不自觉的佛心之体现。
广州白云山能仁寺中有这样一副对联：“不俗即仙骨，多情乃佛心”。
宝玉的多情，在前面的章回中多有体现，在此不赘述了，这里想强调的是，他的多情，即第五回中警幻仙子所说的“惟心会而不可口传，可神通而不能语达”的“意淫”。
这样的关于“意淫”的解释，和禅宗所说的“法则以心传心，皆令自悟自解”（《六祖大师法宝坛经·行由品》）的说辞，是多么相似啊，所以说，第五回的贾宝玉，就已经被警幻仙子认定为得道之人，且是一等一的有慧根、有佛心之人。
只是因为年幼，他并不自知，曹公在人物塑造上也没有涉及到宝玉主动的自觉的参禅的意愿和行为。
随着年龄的增长，宝玉的人生中经历或者参与了四件大事：一是秦可卿的去世，让宝玉开始涉及到生与死这个话题；再是林黛玉的南归葬父，让宝玉开始明白离别与思念的滋味；还有就是秦钟的去世，让宝玉开始思考理想与现实的关系；最后就是元妃省亲一事，让宝玉感受到富贵荣华与天伦之乐的对比。
倒推法的妙用
倒推法的妙用1、小明问李老师今年多大年纪，李老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘3，恰好是30岁。
”你知道李老师今年多少岁吗？2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘2，结果得60，求这个数。
3、«小学生数学报»少年数学爱好者俱乐部成立的份数加上2后，缩小100倍，再扩大4倍，最后减去25，正好是55。
这个俱乐部成立于哪一年？4，粮库内有一批大米第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原有大米多少吨？5、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？6 、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个第二次卖掉剩下的一半多1个，第三天卖掉第二次卖后剩下的一半多1个这时只剩下1一个菠萝。
三次共卖得48元，求每个菠萝多少元？7、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张，如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。
问甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？8、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。
如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。
这三个人原有故事书多少本？9、甲、乙两个车站共停了195辆汽车，如果从甲站开往乙站36辆，又从乙站开出45辆汽车，这时乙站停的汽车辆数是甲站的2倍。
原来甲、乙两站各停放多少辆汽车？10、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张，问王亮和李强原来各有画片多少张？11、书架上分上中下三层，共放192本，现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后，从下层取出与上层剩下的同样多的数放到上层，这时三层书架所放的书本数相等，这个书架上中下各层原来各有多少本书？12、猴妈妈摘来一筐桃，将它们3等分后还剩2个桃；取出其中2份，将它们3等分后还剩2个；然后再取出其中2份，又将这2份3等分后还剩2个，猴妈妈至少摘了多少个桃？13、有一盒奶糖，把它们4等分后还剩1粒，取走3份又1粒，剩下的再4等分又剩1粒，再取走其中的3份又1粒；剩下的再4等分后剩下1粒。
利用倒推的策略解决实际问题
利用倒推的策略解决实际问题永汉二小丘新女倒推是已知现在的情况却要反过来追溯原来的情况时一种常用的策略。
学生在日常生活中已经积累了一些关于“倒过来推想”的认识，比如，计算加法后反过来用减法验算，解决应用题时可以用分析法从问题出发追溯条件。
倒推教学的内容能使学生意识中原来若隐若现的倒推意识清晰地凸显出来，在让学生充分感受“倒推”这种策略的价值的同时提高学生用策略解决问题的能力。
由于解决问题策略的学习不可能脱离解决问题的过程，因此要教学倒推这节课教师要创设多样的问题情况，让学生在解决这些问题的过程中自主体验、自主探究、自主反思、自主总结出策略。
当学生借助这一策略解决了生活中方方面面的、多种多样的、或有趣或实用的问题时，运用策略就变成了学生内在的需要。
可以利用多媒体教学软件创设生动的问题情境，帮助学生理清倒推的思路，使学生的体验过程变得更加生动、主动、灵动。
数学教学任务的完成是在教师的主导作用下,发挥学生的主体作用,使学生积极,主动地进行学习,教师根据教材内容,学生实际,启发学生思考,理解,把抽象的教理变成通俗易懂的问题提出来,这样学生有了兴趣,激发了求知欲,积极性调动起来,这样学生就主动地学习知识,深入去思考,我在教第十册89页的例题时我一直在想，我该用什么题材来引起学生的兴趣呢？所以我在教“倒过来推想”这个内容时,我想到了同学们平时玩的扑克，我在导入时问学生:同学们,你们喜欢打扑克吗?同学们听是他们平时喜欢玩的东西马上精神起来,大声回答说“喜欢”。
然后我就拿出一些扑克牌,又向同学们问:“同学们，你们现在知道我手上有多少张扑克牌吗？”同学们都摇了摇头。
我再问：“现在我把手上扑克牌的一半给了小林,给了两张小叶,现在我手上有8张，聪明的同学们猜猜我一共拿出了多少张扑克牌?”同学们一下子进入了思考状态,然后大部分同学说出了答案：20。
我又问:“是怎样想出来的啊?”有个同学回答说:老师手上的8张加上小叶的2张正好是一半,然后再乘以2就可以得出老师手上的扑克牌啦。
2倒推法的妙用
A＋教育中心夏令营五升六奥数基础班讲义二——倒推法的妙用知识导航在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③③列式时注意运算顺序，正确使用括号.基础训练例1：一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56。
”小朋友，你知道于昆得多少分吗？例2：小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁.例3、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？例4：树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？5、在□里填上适当的数。
20×□÷8+16=266、小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁，小刚的奶奶今年多少岁？7、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。
如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。
这三个人原来各有故事书多少本？8、王叔叔四月份工资若干元，他从工资中拿出一半多10元存入银行，又拿出余下的一半多5元买米、油，剩下80元买菜。
王叔叔四月份工资是多少元?9、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩下7米，这捆电线原来总长多少米？10、甲乙丙三个小朋友各有年历卡若干张。
如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么她们每人各有30张年历卡。
六年级(上)第22讲分数百分数应用题综合提高
第二十二 分数、百分数应用题综合提高一、 基础知识回顾：1. 比：（1）比的概念：两个数相除叫做两个数的比．例如，5÷6可记作5:6． “:”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值．比的后项不能为0．（2）比的性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数，比值不变． 2. 比例基本性质：如果::a b c d =，那么a d b c ⨯=⨯．3. 正比例关系和反比例关系：（1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，或者简写为“成正比”．（2）反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系，或者简写为“成反比”．注意，正比例和反比例是两种“量”之间的关系．比如长度、面积、时间、价格、重量……这些都是生活中实际存在的“量”．而以前我们学习的比和比例则是针对具体的“数”之间的关系．两个量之间如果成正比例关系或成反比例关系，称为这两个量成比例．二、 分数、百分数应用题相关的题目类型及解题方法：1. 比例互化：（1）部分占部分，部分占整体之间的转化；（2）多组比化连比．2. 通过寻找不变量解题：常用不变量有：（1）总量（和）不变：给来给去的情况；（2）差不变：同增、同减的情况；（3）其中某一个量没有变化．3. 正反比例的概念和应用．4. 复合比．5. 方程法．6. 倒推法．7. 列表法．例1． 甲、乙两个人分别有许多苹果，如果甲买了5个苹果，则此时甲、乙两人的苹果数之比是7:8；如果甲买了9个苹果，乙丢了4个苹果，此时甲乙两人的苹果数之比是3:2，那么两人原来分别有多少个苹果？「分析」本题可以利用“和不变”解题．练习1、小高、小思两个人分别有许多积分，如果小高又得了3分，则此时两人的积分之比是2:3；如果小高又得了8分，小思丢了5分，此时两人的积分之比是3:4，那么两人原来分别有多少积分？例2． 甲乙两个班的同学人数相等，且各有一些同学参加了课外数学小组的活动．其中甲班参加的人数是乙班参加人数的．乙班未参加人数是甲班未参加人数的．请问：甲班未参加人数是乙班参加人数的几分之几？「分析」因为两班总人数相同可以采用设数法，设出这个总数后，就可以表示出所需的其它数量了．2515练习2、甲、乙两人有相同数目的水果，水果有梨和苹果两种，甲的梨和乙的苹果数目之比为4:3，甲的苹果和乙的梨数目之比为6:7，那么甲的苹果数和乙的苹果数之比是多少？例3．有三个最简真分数，其分子的比为3:2:4，分母的比为5:9:15．将这三个分数相加，再经过约分后为．那么三个分数的分母相加是多少？「分析」可以采用设未知数的办法解答此题．练习3、有三个真分数(其中第一个是最简真分数)，其分子的比为3:4:5，分母的比为4:9:18．将这三个分数相加，再经过约分后为．那么三个分数的分母相加是多少？例4． 某工厂有A ，B ，C ，D ，E 五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把B 车间工人的调入A 车间，C 车间工人的调入B 车间，D 车间工人的调入C 车间，E 车间工人的调入D 车间．现在五个车间都是30人．原来每个车间各有多少人？ 「分析」本题可以采用“倒推法”．练习4、五指山上有甲，乙，丙，丁四队妖怪，妖怪数各不相等．为了均衡势力，把乙队妖怪的调入甲队，丙队的调入乙队，丁队的调入丙队．现在四支队伍都是48人．原来每个队伍各有多少妖怪？例5．小光、小明和小亮分一些苹果．他们发现，苹果可以恰好按照4:3:2分配（按照小光、小明、小亮的顺序，下同），也可以恰好按照5:4:n 分配（其中n 为自然数），两种分配方法下，小光所分得的苹果数相差20个．那么苹果总数的最大值是多少？「分析」本题中哪些量是没有发生变化的呢？17 15 13 16 14 13 12 5372 2845例6． 甲、乙、丙三人玩赢卡片的游戏，他们手中一共有156张卡片．第一轮，甲赢了乙、丙每人手中卡片的15；第二轮，乙赢了甲、丙每人上轮结束时手中卡片的，最后一轮，丙赢了甲、乙每人上轮结束时手中卡片的，最后甲、乙手中的卡片数之比是2:3，那么结束时丙手中有多少张卡片？「分析」本题可以采用寻找“不变量”作为解题突破口．14 14数学泰斗——阿基米德阿基米德（约前287年—前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静力学和流体静力学的奠基人．他出生于西西里岛的叙拉古，从小就善于思考，喜欢辩论．早年游历过埃及，曾在亚历山大城学习．据说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机，今天在埃及仍旧使用着．第二次布匿战争时期，罗马大军围攻叙拉古，最后阿基米德不幸死在罗马士兵之手．他一生献身科学，忠于祖国，受到人们的尊敬和赞扬．阿基米德出生在古希腊西西里岛东南端的叙拉古城．在当时古希腊的辉煌文化已经逐渐衰退，经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城；但是另一方面，意大利半岛上新兴的罗马帝国，也正不断的扩张势力；北非也有新的国家迦太基兴起．阿基米德就是生长在这种新旧势力交替的时代，而叙拉古城也就成为许多势力的角力场所．阿基米德的父亲是天文学家和数学家，所以阿基米德从小受家庭影响，十分喜爱数学．大概在他九岁时，父亲送他到埃及的亚历山大城念书．亚历山大城是当时世界的知识、文化中心，学者云集，举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达，阿基米德在这里跟随许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师—欧几里得，在此奠定了他日后从事科学研究的基础．在数学方面，阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法．在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖．他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率．面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题．浮力原理的发现关于浮力原理的发现，有这样一个故事：相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠．但是在做好后，国王疑心工匠，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重．工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑．经一大臣建议，国王请来阿基米德检验．最初，阿基米德也是冥思苦想而却无计可施．一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起．他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重．他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”(Eureka，意思是“我知道了”)．他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多．这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属．这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王的事实，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量．一直到现代，人们还在利用这个原理计算物体比重和测定船舶载重量等．给我一个支点，我可以撬动地球阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期．有一天阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器”，埃及一直到二千年后的现在，还有人使用这种器械．这个工具成了后来螺旋推进器的先祖．当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使用一些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将理论运用到实际的生活上是轻而易举的．他自己曾说：“给我一个支点和一根足够长的杠杆，我就能撬动整个地球．”后世的评价美国的E.T.贝尔在《数学大师》上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯．不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．作业1． 甲、乙、丙、丁四人合做一批零件，甲做的个数是另外3个人所做的总数的一半，乙做的个数是另外3个人所做的总数的，丙做的个数是另外3个人所做的总数的，丁做了390个．那么四个人共做了多少个零件？2． 甲、乙两个人分别有许多包子，如果甲买了4个包子，则此时甲乙两人的包子数之比是2:3；如果甲买了9个包子，乙吃了5个包子，此时甲乙两人的包子数之比是5:7，那么两人原来分别有多少个包子？3． 萱萱手上有语、数、英三种高思积分卡，分值的总和是590，英语积分卡的分值和是数学的，也是语文的．萱萱手头的语文高思积分卡的分值是多少？4． 三班原计划抽20%的人参加大扫除，临时又有两人主动参加，使实际参加打扫除的人数是余下人数的，原计划抽出多少人大扫除？5． 甲乙两个班的同学人数相等，且各有一些同学参加了课外数学小组的活动．其中甲班未参加的人数是乙班未参加人数的2倍．乙班参加人数是甲班参加人数的．请问：甲班未参加人数是乙班参加人数的几分之几？ 54 13 34 58 15 13。
“倒过来推想”的学习策略
“倒过来推想”的学习策略解决问题是策略形成的载体，策略是在解决问题的过程中形成的。
“倒过来推想的策略”，就是用倒推（还原）的策略分析数量关系，解决问题。
这对发展学生的逆向思维是有价值的，同时也能进一步增强学生运用策略分析问题的意识，提高解决问题的能力。
教材以单元的形式安排了“解决问题的策略——倒推”，其用意是在通过方法的运用、反思和内化，促进倒过来推想策略的形成。
就本课的学习而言，将学生对“倒过来推想”策略的学习提升划分成了四个阶段，从初步形成倒推到体会熟悉倒推，从体会熟悉倒推到感悟形成倒推，从感悟形成倒推再到提升优化倒退策略，步步为营，逐步系统化。
一、唤醒知识储备，激活倒推有人说：“导学的艺术在于激活。
”学生并非是一张白纸，有许多策略是他们的认知储备和经验储备中已有的，或者是已知的、熟悉的和处于潜在层面的。
引导学生生成解决问题的策略时，必须在问题解决之前或解决过程之中及时、准确、有效地通过适切的问题情境将它们从学生的相关储备中激活、提取出来，作为形成策略的基础和生长点。
在“倒过来推想的策略”学习的例题前，如果能够设计恰当新颖的引入，可以有效诱发学生学习策略的心理需求。
利用学生的生活经验，凭借生活实例激活倒过来推想的思想方法，初步形成倒推策略的基本思维模式和相应的外显雏形，为进一步构建策略的基本数学模型奠定一定的基础。
二、探究情景问题，体会倒推数学学习需要将缄默的内在体验表达出来，将内在的思维活动、情感活动发挥出来，实验、操作、画图、列表、游戏等活动都是学生理解策略、体验策略、内化策略的好方法。
各人对知识的表征方式不同，有的习惯用图，有的习惯用文字，有的习惯用数字，我们应该允许、鼓励学生选用适合自己的方式来表达对策略的理解。
（1）出示甲乙两杯不同量的水（甲杯多，乙杯少）提问：你能说出两杯中各有多少毫升的水吗？变式提示：假设这两杯水共400ml，提问：你能说出两杯中各有多少毫升的水吗？（2）教师一边演示一边说：从甲杯中倒入乙杯40ml，现在你看到了什么？（板书：甲杯倒入乙杯40ml，现在两杯水同样多）提问：你能说出两杯中各有多少毫升的水吗？（3）甲杯倒给乙杯40毫升，两杯就一样多了。
倒推法（教案）
倒推法（教案）第一篇：倒推法(教案)解决问题的策略【教学内容】苏教版义务教育课程标准实验教材五年级（下）第88—89页《解决问题的策略》。
【教学目标】1.使学生学会用“倒推”的策略寻求解决问题的思路，并能根据实际的问题确定合理的解题方法，从而有效地解决问题。
2.让学生体验“倒推”的策略对于解决特定问题的价值，增强解决问题的策略意识，进一步发展分析、综合和简单推理的能力。
3.使学生进一步积累解决问题的经验，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。
【教学重难点】重点：学会运用“倒推”的策略解决问题,并能根据问题的具体情况确定合理的解题方法和步骤。
难点：在解决问题过程中体验“倒推”的策略对于解决特定问题的价值。
【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、激活经验，感知策略。
1．谈话引入：今天老师从沿河桥小学出发，经过火车站，又经过了草莓园，来到你们学校，如果老师按原路返回，该怎么回学校呢? 2．抢答：不知不觉，上课已有1分钟，现在是13:31分，我们是什么时候开始上课的？你是怎么想的？ 3．揭题：师：解决上面两个问题，你觉得有什么相同的地方？师：这种从结果出发，倒过来推想的策略在我们的生活中和数学上经常使用。
今天这节课，我们就来研究用倒过来推想的策略解决问题。
（出示课题）二、初步体验，建立模型。
1．谈话导入例1，课件动态演示。
出示图：这里有两杯果汁共400毫升，从甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯果汁同样多。
1、师：在刚才的演示中，甲乙两杯各发生了怎样的变化? 生：原来甲杯多，乙杯少，从甲杯倒入乙杯40毫升，甲杯变少了，乙杯变多了，现在两杯果汁同样多。
2、师：你能提出什么问题？生：甲杯原来有果汁多少毫升？乙杯原来有果汁多少毫升？师：也就是：求原来两杯果汁各有多少毫升？3、师：要求这个问题，我们可以先求什么？（先求现在两杯果汁各有多少毫升？）怎样求？（400÷2=200毫升）为什么可以这么求？（因为两杯果汁共400毫升，现在两杯果汁同样多，所以每杯是200毫升。
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第二十二讲倒推法的妙用
在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.
例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？
分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？
把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：
｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.
解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56
［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4
答：于昆这次数学考试成绩是96分.
通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：
①从结果出发，逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序，正确使用括号.
例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？
分析马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.
解：111－（70—10）＋（7—1）＝57
答：正确的答案是57.
例3 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？
分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.
解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）
②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）
③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）
④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）
答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.
例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？
分析依题意，画图进行分析.
解：列综合算式：
｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
＝22（个）
答：篮子里原有梨22个.
例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？
分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.
求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.
解：①甲乙两桶油共剩多少千克？
15×2-14＝16（千克）
②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）
③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）
用倒推法画图如下：
④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克）
⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克）
答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.
例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？
分析解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.
解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）
②第二天运进200千克后的一半是多少千克？
600＋30＝630（千克）
③第二天运进200千克后有白菜多少千克？
630×2＝1260（千克）
④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）
⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）
答：菜站原来贮存大白菜2120千克.
综合算式：
［（1800÷3＋30）×2—200］×2
＝2120（千克）
答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.
习题二十二
1.某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.
2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？
3.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.
哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？
4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；
1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。
”你知道阿凡提一共带了多少钱？买鱼用了多少钱？
习题二十二解答
1.615×6÷5×4＝295
2.
2.提示：先找到4倍是多少个.
①徒弟每天生产多少个？
560÷4÷（3＋1）＝35（个）
②师傅每天生产多少个？
35×3＝105（个）
答：徒弟和师傅每天各生产35个、105个.
3.提示：先用“和差”解法求出弟弟最后挑几块砖：
（26-2）÷2＝12（块）
再用倒推法求出弟弟最初准备挑几块砖.
｛（26－〔26－（12＋5）］×2｝×2
＝16（块）
答：弟弟最初准备挑砖16块.
4.①买菜的钱：
1＋2＋3＋3＋2＋1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋7＋9＋10＋11＝100（元）
②总钱数：100×2×2＝400（元）
③买鱼的钱：400÷2÷2＝100（元）
答：阿凡提一共带了400元钱，买鱼用去100元钱.。