思维拓展训练

思维拓展训练课时一：分析综合法“分析法”与“综合法”是我们小学生常用的解题思考方法之一。

所谓“分析法”就是从要求的问题出发，根据题意和已知的数量关系，想一想，还需要知道什么条件才能推出所求的问题。

如果在这一条件中，有的还有未知的，就把它当做新的所求的问题，再来寻找能够求出它的那些条件。

这样，逐步寻求需要的条件，直到具备所需的一切条件。

我们把这种从未知出发，转化问题，步步逆推，执果索因的思考方法，称为“分析法”，也叫“逆推法”。

所谓“综合法”，就是从题目的某一个（或几个）已知条件出发，想想它能推出一些什么结果，再把推出的结果与另外一些已知条件一起又可以推出什么结果，这样一步一步地向着所要求的问题前进，最后得出要求的结果。

这种从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即从已知条件出发，转化条件，步步顺推，由因导果的思考方法，称为“综合法”，也称“顺推法”。

在解题的过程中，往往既用“分析法”，又用“综合法”，至于在什么情况下用“分析法”，什么情况下用“综合法”，要根据具体情况，恰如其分地选用。

解决一些较复杂的问题时，我们可以先从问题出发，利用分析法探索所要找的条件，当这种分析推理遇到困难时，再从已知条件出发，用综合法推理，看看能否推出这个条件。

我们把这种将“综合法”和“分析法”结合起来分析问题的方法称作“中间会师”。

【例题】甲、乙两块棉田，平均亩产棉花92.5千克，甲棉田是5亩，平均亩产棉花101.5千克，乙棉田平均亩产棉花85千克，乙棉田有什么亩？思考途径：想到用“分析法”来思考，从问题想起。

要求乙棉田有多少亩，需要知道乙棉田的产量比按平均亩产计算的产量少的千克数，还要知道乙棉田的亩产量比平均亩产少的千克数，而要求乙棉田的亩产量少的千克数，需要知道两块棉田的平均亩产量（题中直接提供是92.5千克），还需知道乙棉田的亩产量（题中直接提供为85千克）。

要求乙棉田的产量比按平均亩产量计算的产量少的千克数，即甲棉田的产量比按平均亩产计算的产量多的千克量，需要知道甲棉田的质量比按平均计算产量多的千克数。

根据分析得出下面的解答：[（101.5-92.5）×5]÷（92.5-85）=[9×5] ÷7.5=45÷7.5=6(亩)所以，乙棉田有6亩。

1，第二天读了全【习题1】雪容读一本科技书，第一天读了全书的3书的37.5%，第三天从第69页开始读，第三天要读多少页，才能把这本书读完？思考途径：想到用“分析法”的思路来探究。

从问题想起，要求的问题是：“第三天要读多少页才能把书读完？”现在已经知道前两天一共读了68页（因为第三天是从69页开始读的），只要先求出这本书一共有多少页，就能求出要求的问题。

根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”的思路去想问题。

已经前两天读了68页，因此，只要知道前两天所读页数占全书页数的几分之几（或百分之几），就可以求出第三天读的页数。

用31+37.5%得2417，这是第一天和第二天所读页数占全书页数的对应分率，用68÷2417得96，就是这本书的总页数。

用96-68的28页，是第三天要读的页数。

因此得出下面解答：1.分步列式解答：（1）前两天读的数的页数占全书的几分之几？ 31+37.5%=31+83=2417 （2）全书共多少页？68÷2417=68×2417=96（页） （3）第三天读了多少页？96-68=28（页）2.列综合算式解答：68÷（31+37.5%）-68=68÷2417-68 = 96-68=28（页）所以，第三天读了28页。

【习题2】快、中、慢三辆车从同一地点同时出发，沿同一条公路追赶前面的同一个骑车人。

这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。

现在知道快车每小时行走24千米，中午每小时行走20千米，那么，慢车每小时行走多少千米？思考途径：（分析）已知慢车用12分钟追上骑车人，要求慢车每小时行多少千米，只需要知道慢车每小时行走多少千米，只需要知道慢车在这段时间里所走的路程；（分析）要求慢车从发车到追上骑车人所走的路程，需要知道中车追上骑车人所走的路程，和骑车人最后2分钟所走的路程；（综合）已知中车每小时行20千米，用10分钟追上骑车人，可以求出中车追上骑车人时所走的路程（20×61=310千米）。

（分析）要求骑车人最后2分钟所走的路程，需要知道骑车人的车速；（分析）一直骑车人从被快车追上到被中车追上相隔4分钟（10-6=4），要求骑车人的车速只需要知道在这段时间内他所行的路程；（综合）已知快车每小时行24千米，可求出快车6分钟所行的路程；（综合）算出了中中车10分钟行的路程和快车6分钟行的路程（24×512606=千米），可以求出骑车人相继被快车和中车追上相隔的2分钟内所行的路程。

于是得出下面解答：（1）快车6分钟行了多少米？24×512606=（千米） （2）中车10分钟走了多少千米？20×61=310（千米） （3）骑车人在4分钟内（10-6=4）走了多少千米？514512-310=（千米） （4）骑车人每小时行多少千米？14606-6010514=÷）（（千米） （5）从被中车追上相隔的2分钟（210-12=）在这段时间内，他走了多少千米？5176010-601214=⨯）（（千米） （6）慢车追上骑车人时，共走了多少千米？519157310=+（千米） （7）慢车的速度是每小时多少千米？196012519=÷（千米） 综合算式：6126010206010-612606-601060624-601020÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡÷⨯⨯）（）（）（ =513103011511514÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡÷ =5131030114÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⨯ =51519÷ =19（千米）所以，。

慢车每小时行19千米。

课时二：列举法当题目所给的条件或所求的问题比较多时，我们可以考虑按一定的步骤顺序或分成有限的类别，把每一个对象逐一地排列起来，然后再进行分析，这种解题的方法叫做“列举法”。

列举法往往采取列表的形式，把题目中所涉及的数量关系一一列举出来，做到一目了然，然后再进行观察、比较、分析，这样，能很快的把题目解答出来。

有时把题目中的已知条件进行整理，分类排列，对应地表示相应的情况，也可根据题目要求，把可能答案一一列举出来，再进一步根据题目的条件逐步排除非解，或缩小范围，进而筛选出题目的答案。

【例题】营业员有2分和5分两种硬币，他要找给客户5角钱，有几种找零的方法？写出找零的方法。

思考途径：分析数量关系，如果用凑数的方法，想好一种方法就写一个，很容易出现遗漏或重复现象。

想到遵循一定的顺序，先排5分的，再排2分的，就比较科学。

因此，为了不出现遗漏或重复，用“列举法”求解。

可以很快的得出几种不同的找法。

如下表所示：方法 5分币（个） 2分币（个）1 10 02 8 53 6 104 4 155 2 206 0 25从上表中，可以清楚地看出有6中不同的找零方法。

【习题1】一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数当然约数是两位数，在这些两位数约数中，最大的是几？思考途径：从条件中想到要求的这两个数等于99，或小于99.由于99（99=11×3×3）的质因数有11，所以不是已知数的约数；98（98=7×7×2），所以它不是所求的两位数的约数；97是质数，不是已知数的约数。

96（96=523 ）是这个数的最大两位数的约数。

【习题2】一直蟋蟀有6只脚，蜘蛛有8只脚，一个盒子里的蟋蟀与蜘蛛共有46只脚。

那么，这个盒子里的蟋蟀与蜘蛛个有多少只？思考途径：从条件想起：用“列举法”来思考：由于蟋蟀与蜘蛛共有46只脚，所以蜘蛛的只数不能超过5只，因为有6只蜘蛛就应该有48只脚（8×6=48）。

如果有1只蟋蟀，应有8只脚（8×1=8）,46-8=38，“38÷6”不能整除（不符合题意）。

如果有2只蜘蛛，应有16只脚（8×2=16），46-16=30，“30÷6=5”，应有5只蟋蟀（符合题意）如果有3只蟋蟀，应有24只蟋蟀，（8×3=24）,46-24=22，“22÷6”不能整除（不符合题意）如果有4只蟋蟀，应有32只蟋蟀，（8×4=32）,46-32=14，“14÷6”不能整除（不符合题意）如果有5只蟋蟀，应有40只蟋蟀，（8×5=40）,46-40=6，“6÷6=1”，有1只蟋蟀（符合题意）从列举的几种解答方案中，可以得出下面的两种答案：（1）5只蜘蛛和1只蟋蟀。

（2）2只蜘蛛和5只蟋蟀。

课时三：归纳递推法归纳推理或称归纳法，是从特殊到一般的推理方法，归纳法一般分为不完全归纳法和完全归纳法两类。

不完全归纳法。

从事物的一个或几个特殊情况作出一般结论的推理的方法叫不完全归纳法。

比如，从254425,30404030⨯=⨯⨯=⨯等几个特殊算式，得出乘法交换律，从41164,432015,12943===等几个特殊分数相等的情况，得出分数的基本性质，都是利用了不完全归纳法。

用不完全归纳法得出的结论，有时是正确的，有时是错误的。

比如63能被3整除，243能被3整除，363能被3整除这三个特殊情况，得出“个位上是3的数都是能被3整除”的结论，就是错误的，所以用不完全归纳法得出的结论，还必须用其他方法进行证明，不能肯定是正确的。

尽管用不完全归纳法得出的结论不一定正确，但是它能为人们探索真理、发现规律提出设想和提供线索，因此，这种方法在科学研究中仍有重要价值。

完全归纳法，针对列举对象的一切特殊情况，进行一一考察后，得出关于全部对象的一般结论的推理方法叫完全归纳法。

由于完全归纳法考虑了全部对象的一切情况，所以，它的结论一定是正确的。

但这种方法只适用于所考察对象比较少的情况，如果所考察的对象很多时，用这种方法就比较繁复，甚至不能应用。

某些与自然数有关问题的解答，常要依据自然数有小到大的顺序，列出的问题的几个特殊情况进行试探，并逐一观察、分析、比较，找出它们之间的关系，特别是其中的递推关系，由此归纳出一般性的规律，然后再根据发现的规律求出问题答案。

这种解法我们称为“归纳递推法”。

【例题】若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子。

然后他外出了。

小光从每个棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排一下。

小明回来仔细检查一番，他认为没有人动过这些棋子和盒子。