5抛物线(二次函数)中的三角形面积

抛物线中的三角形面积

基本题型：

AB 为()0≠+=k d kx y :l 与抛物线()02≠++=a c bx ax y 相交，点P 在抛物线上。 （1）已知ABP S ∆，求点P 的坐标： 利用斜弦长公式求出

AB ，进而求出AB 边上的高AB h 。设点P 为()c bt at ,t ++2，

利用点到直线的距离公式列出点P 到直线AB 的距离AB l P d -，而AB l P h d AB

=-，则可求得点

P 的坐标。

（2）如图，若点P 在AB 上方的抛物线上时，求ABP S ∆的最大值： 利用斜弦长公式求出

AB 。作/l ∥AB l 且与抛物线相切，则切点为所求。

设/

l 为/

d kx y +=代入抛物线()02

≠++=a c bx ax y ，因为它们只有一个交点。所

（2）弦长公式

抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线()02

≠++=a c bx ax y 与x 轴两交点

为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02

=++c bx ax 的两个根，故

a

c x x a b x x =⋅-=+2121,

()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=

-=-⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-+=

-=

-=44422

212

212

2121（3）斜弦长公式：

一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图像G 两个

交点()()2211y x B y x A ，，，，由于1x 、2x 是方程02

=-+-+)n c (x )k b (ax 的两个根，

()()n c a k b /---=42∆

()()()()()()

()

。

a

k x x x x k

x x

k n kx n kx x x y y x x AB /

2

212

212

2

212

2

212212

212211411∆∙+=-++=-+=

--++-=

-+-=

（4）两平行线之间的距离公式：

已知两平行线11b kx y :l +=，与()21220b b ,k ,b kx y :l ≠≠+=，1l 与2l 之间的距离记作d ，则有1

2

21+-=k b b d 。

典型例题：

例一（深圳）：如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2

>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝

3

1

． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

例二（深圳）：已知，Rt ABC ∆的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。

（1）求线段OA 、OB 的长和过点A 、B 、C 的抛物线的解析式。（4分）

（2）如图12,点D 的坐标为（2，0），点(),P m n 是该抛物线上的一个动点（其中0,0m n >>），连接DP 交BC 于点E 。

①当BDE ∆是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标。（3分） ②又连接CD 、CP （如图13），C D P ∆是否有最大面积？若有，求出CDP ∆的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。（3分）

图11 图12 图13

例三：已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.

（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB

m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.

例四（09茂名模拟）：如图，矩形OABC 的长OA=3，AB=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。 （1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P 点坐标为＿＿＿＿＿ （2）若P 、A 两点在抛物线c bx x y ++-=2

3

4上，求抛物线的解析式，并判断点C 是否在这抛物线上。

（3）在（2）中的抛物线CP 段上（不含C 、P 点）是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求这个最大值和M 点坐标，若不存在，说明理由。

同步训练：

1．（2010河南省11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．