5抛物线(二次函数)中的三角形面积

抛物线中的三角形面积
基本题型：
AB 为()0≠+=k d kx y :l 与抛物线()02≠++=a c bx ax y 相交，点P 在抛物线上。

（1）已知ABP S ∆，求点P 的坐标： 利用斜弦长公式求出
AB ，进而求出AB 边上的高AB h 。

设点P 为()c bt at ,t ++2，
利用点到直线的距离公式列出点P 到直线AB 的距离AB l P d -，而AB l P h d AB
=-，则可求得点
P 的坐标。

（2）如图，若点P 在AB 上方的抛物线上时，求ABP S ∆的最大值： 利用斜弦长公式求出
AB 。

作/l ∥AB l 且与抛物线相切，则切点为所求。

设/
l 为/
d kx y +=代入抛物线()02
≠++=a c bx ax y ，因为它们只有一个交点。

所
（2）弦长公式
抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线()02
≠++=a c bx ax y 与x 轴两交点
为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故
a
c x x a b x x =⋅-=+2121,
()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=
-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-+=
-=
-=44422
212
212
2121（3）斜弦长公式：
一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 两个
交点()()2211y x B y x A ，，，，由于1x 、2x 是方程02
=-+-+)n c (x )k b (ax 的两个根，
()()n c a k b /---=42∆
()()()()()()
()。

a
k x x x x k
x x
k n kx n kx x x y y x x AB /
2
212
212
2
212
2
212212
212211411∆∙+=-++=-+=
--++-=
-+-=
（4）两平行线之间的距离公式：
已知两平行线11b kx y :l +=，与()21220b b ,k ,b kx y :l ≠≠+=，1l 与2l 之间的距离记作d ，则有1
2
21+-=k b b d 。

典型例题：
例一（深圳）：如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2
>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝
3
1
． （1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.
例二（深圳）：已知，Rt ABC ∆的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。

（1）求线段OA 、OB 的长和过点A 、B 、C 的抛物线的解析式。

（4分）
（2）如图12,点D 的坐标为（2，0），点(),P m n 是该抛物线上的一个动点（其中0,0m n >>），连接DP 交BC 于点E 。

①当BDE ∆是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标。

（3分） ②又连接CD 、CP （如图13），C D P ∆是否有最大面积？若有，求出CDP ∆的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。

（3分）
图11 图12 图13
例三：已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.
（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB
m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.
例四（09茂名模拟）：如图，矩形OABC 的长OA=3，AB=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P 点坐标为＿＿＿＿＿ （2）若P 、A 两点在抛物线c bx x y ++-=2
3
4上，求抛物线的解析式，并判断点C 是否在这抛物线上。

（3）在（2）中的抛物线CP 段上（不含C 、P 点）是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求这个最大值和M 点坐标，若不存在，说明理由。

同步训练：
1．（2010河南省11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
2、如图，抛物线2
(0)y x bx c b =++≤的图象与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(20)-，；直线1x =与抛物线交于点E ，与x 轴交于点F ，且
4560
FAE
≤∠≤． （1）用b 表示点E 的坐标；
（2）求实数b 的取值范围；
（3）请问BCE △的面积是否有最大值？若有，求出 这个最大值；若没有，请说明理由．
3、（09安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，
，
(0B ，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到A B O ''△．
（1）如图，一抛物线经过点A B B '、、，求该抛物线解析式； （2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．
x
4、（甘肃定西）如图14（1），抛物线2
2y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］
（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线2
2y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．
5、（09肇庆）已知一元二次方程2
10x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；
（2）求证：抛物线2
y x px q =++与x 轴有两个交点；
（3）设抛物线2
y x px q =++的顶点为 M ，且与 x 轴相交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式．
图14（1） 图14（2） 图14（3）
6、（山东临沂市）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．
7、如图，在平面直角坐标系中，点A C 、
的坐标分别为(10)(0-，、，，点B 在x 轴上．已
知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．
（1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长． （3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标．
（第25题）。