【必考题】高三数学下期末试卷(带答案)(4)

17．已知 x 0 ， y 0，z 0，且 x 3y z 6 ，则 x3 y2 3z 的最小值为
_________．
18．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年
级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取
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一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】 由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】
解：由
f
x
=
ln e
x
x
，得 f 1=0 ， f 1=0
又
f
e
=
1 ee
0
，
f
e
=
1 ee
0
结合选项中图像，可直接排除 B，C，D
故选 A
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
1 ，求函数 2
f (x) log2
x log 2
2
x 的最大值和最小值． 2
23．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
的一个焦点为
5, 0 ，离心率为 5 . 3
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若动点 P x0, y0 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨
10．D
解析：D 【解析】
由题意， x = 3 4 5 6 =4.5， 4
∵ yˆ =0.7x+0.35， ∴ y =0.7×4.5+0.35=3.5，
∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选 D．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】 在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】
解：在 ABC 中， 可得 BC AC ,
A．-1
B．1
C．2
D．3
5．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于 x 轴对称
B．关于 xOy 平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
6．（1+2x2 ）（1+x）4 的展开式中 x3 的系数为
A．12
B．16
C．20
D．24
7．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到第 14 次的考试成
其中正确结论的序号是______．
三、解答题
21．如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D,E 分别是 AB，BB1 的中点.
（Ⅰ）证明： BC1//平面 A1CD;
（Ⅱ）设 AA1= AC=CB=2，AB=2 2 ，求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.
22．已知 2x
256 且 log2
x
根据(1)和(2),可知对于任何 n∈N*,不等式均成立.
则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n=1 验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从 n=k 到 n=k+1 的证明过程不正确
10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应
的生产能耗 y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方
sin A sin B
即32 sin 60
32
AC ，即 sin 45
3
2
AC 2，
2
解得 AC 2 3 ，
故选 C.
【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
12．C
解析：C
【解析】
由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC 又 PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面 PAC，∴∠PCA 为二面角 P－BC－A 的平面角．在 Rt△PAC 中，由 PA＝AC 得
（1）求 f (x) 的最小正周期及对称轴方程；
（2）当 x ( , ] 时，求 f (x) 单调递增区间. 26．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 a c ，已知 BA BC 2 ， cos B 1 ， b 3 ，求：
3
（1）a 和 c 的值；
（2） cos(B C) 的值.
【必考题】高三数学下期末试卷(带答案)(4)
一、选择题 1．函数 f (x) ln | x | 的大致图象是（ ）
ex
A．
B．
C．
D．
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3
4
5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是 (
，令
，则 ，故
展开式中含 的项为
，故选 A.
【考点】二项展开式，复数的运算
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几
乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项
式
可以写为
，则其通项为
，则含 的项为
．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
（2）计算所抽到的 10 个样本的均值 x 和方差 s2 ；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 x s, x s 之间，则满意度等级为“ A
级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的 10 个样本，估计该地区满意度等级为
“ A 级”的用户所占的百分比是多少？ （参考数据： 30 5.48, 33 5.74, 35 5.92 ） 25．已知 a ( 3 cos x, cos x) ， b (sin x, cos x) ，函数 f (x) a b .
(1)当 n=1 时, 12 1 <1+1,不等式成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 k2 k <k+1.
那么当 n=k+1
时, (k 1)2 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 (k 2)2 =(k+1)+1,
所以当 n=k+1 时,不等式也成立.
程为 y 0.7x 0.35，则下列结论错误的是（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A．产品的生产能耗与产量呈正相关
B．回归直线一定过（4.5, 3.5）
C． A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 D． t 的值是 3.15
11．在 ABC 中， A 60 ， B 45， BC 3 2 ，则 AC （ ）
_______名学生．
19．设
a
R
，直线
ax
y
2
0
和圆
x
y
2 2cos 1 2sin
,
（
为参数）相切，则
a
的值为
____.
20．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E, F ，且
EF 2 ，现有如下四个结论： 2
①AC BE ； ②EF / / 平面 ABCD； ③ 三棱锥 A BEF 的体积为定值； ④ 异面直线 AE, BF 所成的角为定值，
A． y 2x 2
B． y ( 1 )x 2
C． y log2 x
3．若 z 4 3i ，则
z z
（）
)
D． y 1 x2 1 2
A．1
B． 1
C． 4 3 i
D． 4 3 i
55
55
4．已知 a 2i b i ， a,b R ，其中 i 为虚数单位，则 a+b =（ ） i
值，从而可得结果. 【详解】
因为 a 2i i
ai 2i2 i2
2 ai b i
， a,b R ，
所以
2 b a 1
b a
2
，则
1
a+b
1，故选
B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】
由题意得 x3 的系数为 C43 2C41 4 8 12 ，故选 A．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
7．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据流程图可知该算法表示统计 14 次考试成绩中大于等于 90 的人数，结合茎叶图可得答 案．
绩依次记为 A1, A2 , A14 ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流
程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
8．设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开式中含 x4 的项为( )
A．－15x4
B．15x4
C．－20ix4
D．20ix4
9．对于不等式 n2 n <n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:
迹方程.
24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营 公司为了了解某地区用户对其所提供的服Baidu Nhomakorabea的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的 满意度评分如下：
用户编号 评分
用户编号 评分
用户编号 评分
用户编号 评分
1
78
11
88
21
79
31
93
2
73
12
86
22
83
32
78
3
81
13
95
23
72
33
75
4
92
14
76
24
74
34
81
5
95
6
85
7
79
8
84
9
63
10
86
15
97
16
78
17
88
18
82
19
76
20
89
25
91
26
66
27
80
28
83
29
74
30
82
35
84
36
77
37
81
38
76
39
85
40
89
用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据 为 92. （1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据；
∠PCA＝45°，故选 C．
点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平
面角所在平面.
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方
是___________.
14．设函数
f
x
log2
log
1 2
x, x 0 (x), x
0
，若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
__________．
15．已知复数 z=（1+i）（1+2i）,其中 i 是虚数单位，则 z 的模是__________
16．已知 (1 3x)n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54，则 n=_____________.
【详解】
根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计 14 次考试成绩超过 90 分的次数．根据 茎叶图可得超过 90 分的次数为 9. 故选：C． 【点睛】
本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属
于基础题．
8．A
解析：A 【解析】
试题分析：二项式
的展开式的通项为
【详解】
题目中当 n=k+1 时不等式的证明没有用到 n=k 时的不等式，正确的证明过程如下：
在（2）中假设 n k 时有 k2 k k 1 成立，即 (k 1)2 (k 1) (k 1) 1成 立，即 n k 1时成立，故选 D．
点睛：数学归纳法证明中需注意的事项 (1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从 k 到 k＋1 时命题中的项与项数的变化， 防止对项数估算错误． (3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.
A． 3 2
B． 3
C． 2 3
D． 4 3
12．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A、B)且 PA＝
AC，则二面角 P－BC－A 的大小为( )
A． 60 二、填空题
B． 30
C． 45
D．15
13．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0 两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程
过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
出错，造成不必要的失分.
5．A
解析：A
【解析】点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的 x 坐标相同，而 y、z 坐标互为相反数，所
以两点关于 x 轴对称．
考点：空间两点间的距离.
6．A
解析：A 【解析】
【分析】
的核心素养.
3．D
解析：D
【解析】
【详解】
由题意可得 ： z 42 32 5 ，且： z 4 3i ，
据此有：
z z
4 3i 5
4 5
3 5
i
.
本题选择 D 选项.
4．B
解析：B 【解析】
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得 2 ai b i ，再利用复数相等列方程求出 a,b 的
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据 x, y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.
【详解】
根据实验数据可以得出， x 近似增加一个单位时， y 的增量近似为 2.5，3.5，4.5，6，比较
接近 y 1 x2 1 ，故选 D. 2
【点睛】
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析