双星三星问题探究》教学设计

双星、三星问题探究

史亚东

教学分析：

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

三维目标：

知识与技能

1、了解双星、三星模型。

2、理解双星、三星模型的特点及其运动规律。

3、会用万有引力定律及相关公式解决简单问题。

过程与方法

1、 通过双星、三星动画模型的演示，让学生对双星、三星模型有直观的认识。

2、 通过对双星三星问题的处理，加强学生运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。 情感态度与价值观

通过双星、三星问题的学习活动，体会科学方法对人类认识自然的重要作用，体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用。

教学重点：

1、 双星、三星模型的基本特点。

2、 双星、三星模型的分析与求解。

教学难点：

双星、三星模型的分析与求解。

教学方法：

引导、讨论、归纳

教学过程：

复习导入：

请同学们回顾处理天体问题的两天思路。

第一条：忽略天体自转的前提下，在天体表面附近的物体受到的重力近似等于万有引力。

第二条：环绕天体或者卫星绕中心天体公转的向心力来源于中心天体对环绕天体的万有引力。

宇宙中有这样质量相当的两个恒星，地位相同，两颗恒星相互绕着两者连线上某固定点旋转的现象，叫双星。

推进新课：

展示双星模型让学生观察，并思考以下问题：

（1）两恒星的角速度、周期有什么关系

（2）两恒星圆周运动的向心力由谁提供二者有什么关系

（3）两恒星间的距离和二者的轨道半径是否相同尝试找出对应的轨道半径与两者间距离的关系 讨论回答：

（1）两星具有相同的旋转周期T , 相同的角速度?；

（2）靠它们间的相互吸引力作为向心力，所以它们做圆周运动的向心力相等；

（3）两星轨道半径之和等于两星间的距离；r 1＋r 2＝L 。

（同学们学习过传动装置和万有引力定律，应该不难回答出以上问题，两个半径则需要采用万有引力定律来推导完成，以习题的形式开展）

两个恒星的转动半径并不相等，貌似和质量有着一定的关系，具体有着什么样的关系呢，我们进行下面的例题处理。

例：如图所示，质量分别为m1和m2的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。

（1）求A 、B 两星球受到的万有引力分别为多少。

（2）求星球A 和B 各自的转动半径r1和r2。

（3）求两星球做圆周运动的周期T 。

（4）若只能观测到A 、B 两星球中心的距离为L ，其运动周期为T ，求两星球的质量之和。

解：（1）由万有引力定律可知，

A 受到的万有引力为122BA Gm m F L =

B 受到的万有引力为122AB Gm m F L

= 可发现A 、B 受到的万有引力相等，即F=122BA Gm m F L ==122AB Gm m F L = （2）A 、B 绕着中间一点O 转动时需要的向心力分别由二者受到的万有引力来提供，由万有引力提供向心力可知， ● r 1 r 2 m 2 m 1

对A 列方程 21211224Gm m r m L T

π=① 对B 列方程 2122222

4Gm m r m L T π=② 且 12r r L +=③

联立①②③解得

A 的转动半径为2112

m r L m m =+ B 的转动半径为1212m r L m m =

+ （3）两星球的运动周期为 3

122()

L T G m m π=+ 经过处理可知，122211

m r v m r v == 可见，双星的转动半径和自身的质量成反比，运行速率和质量成反比。

（4）联立①②③解得

23

122

4L m m GT π+=

例：如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。

⑴ 求两星球做圆周运动的周期。

⑵ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。已知地球和月球的质量分别为×1024kg 和 ×1022

kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位小数）

【解析】 ⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且

A 和

B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有

R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L M m m R +=，L M m M r += 对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M M T m L GMm +=22)2(π 化简得 )

(23

m M G L T +=π ⑵将地月看成双星，由⑴得)(23

1m M G L T +=π 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m L

GMm 22)2(π= 化简得 GM

L T 3

22π= 所以两种周期的平方比值为01.110

98.51035.71098.5)(2422

24212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T 所以这样的近似是合理的。

例：宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m.

(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.

(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少

解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:

F 1=22222

)

2(R Gm F R

Gm = F 1+F 2=mv 2/R 运动星体的线速度:v =R

GmR 25