剪力图与弯矩图的画法

A
P
C
P
D
115
RB
B
. Ν RA = 236K
200
N RB = 27 K
将梁分为AC， ， 三段 三段。 将梁分为 ，CD，DB三段。 每一段均属无外力段。 每一段均属无外力段
1265
剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段：Q1 = RA =23.6KN 段
RA
A
1
P
C
2
P
D
3
RB
B
200
RA
A
1
P
C
2
P
D
3
RB
B
200
115
1265
MA = 0
N MC = RA ×200 = 4⋅ 72K ⋅ m
4.72
N MD = RB ×115 = 3⋅11K ⋅ m
+
MB = 0
最大弯矩发生在 C 截面
单位： 单位：KN.m
N Mmax = 4⋅ 72K ⋅ m
对图形进行校核 在集中力作用的 C，D 两点 ， 剪力图发生突变， 剪力图发生突变，突变值
q
Q = Q + ∫c q(x)dx E C
e
A C 0.2
1 2
B E
1.6
E = Q + q⋅ C C
= 80 −100(1− 0.2) = 0
D
( Q = QA + ∫a q(x)dx MB = MA + ∫a Q x)dx B
b
b
q 在AC段中 Qc = 80KN，剪力图 段中 ， 为矩形， 为矩形，MA =0
115
CD段：Q2= RA-P = -1.7KN 段 DB段：Q3 =- RB = - 27KN 段
23.6
1265
最大剪力发生在DB段中的 最大剪力发生在 段中的 任一横截面上
+
1.7
N Q ax = 27K m
27
弯矩图 每段梁的弯矩图均为斜直线。且 段梁的弯矩图均为斜直线。 梁上无集中力偶。故只需计算 、 梁上无集中力偶。故只需计算A、 C、D、B各点处横截面上的弯矩 、 、 各点处横截面上的弯矩 各点处横截面上的弯矩。
例题 计算 下图中的梁 C、 E 两横截面上的 、 剪力和弯矩。 剪力和弯矩。 解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA 段中
Q = QA + ∫a q(x)dx B
b
( MB = MA + ∫a Q x)dx
b
Q = QA + ∫a q(x)dx C
c
N = QA + 0 = RA = 80K
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小
d M(x) dx
2
2
= q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。 处剪力的大小。
q(x)、Q（x）图、 M（x）图三者间的关系 、 （ ） （ ） 梁上有向下的均布荷载， 梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 dQ(x) dx Q(x)图为一向右下方倾斜的直线 图为一向右下方倾斜的直线 = q(x)
一段梁上 的外力情 况
剪力图的特征
向下倾斜的 直线
水平直线
在C处有突变 处有突变
在C处无变化 处无变化 C
⊕
弯矩图的特征
或
+
一般斜直线 或 在C处有尖角 处有尖角 或 在剪力突变 的截面 在C处有突变 处有突变 m 在紧靠C的某 在紧靠 的某 一侧截面
下凸的二次 抛物线
最大弯矩所在 截面的可能位 在Q=0的截面 的截面 置
Mmax = MF = 20.5
4m
3m
DB：( ：
)
MD右 = −7P2 + 4RB = 6
MB = −3P2 = −6
3KN 2KN
+
F X =5m
1KN
+
BE：( ) ME = 0 ：
3KN
MA = 0
Mc = 20
RA
P1 = 2KN
q = 1KN m
m = 10 KN .m
RB
P2 = 2KN
MD = RB ×0⋅ 2 =16KN ⋅ m
1 2 = RA ×1− q(1−0⋅2) = 48KN ⋅ m ME 2
D
MB = 0 全梁的最大弯矩梁跨中E 全梁的最大弯矩梁跨中 点的横截面上。 点的横截面上。 +
单位： 单位：KN.m
N Mmax = 48K ⋅ m
例 作梁的内力图
RA
P1 = 2KN
其极值点在Q=0的中点E处的 其极值点在Q=0的中点E处的 的中点
80KN
横截面上。 横截面上。
1 2 = RA ×1− q(1−0⋅2) = 48KN ⋅ m ME 2
+
DB段： 段 MB = 0
80KN
MA = 0
N.m MC = RA ×0.2 =16K
1
q
2
A C 0.2
1 2
B E
1.6
( ∫a dQ x) = ∫a q(x)dx
b b
Q b) − Q a) = ∫a q(x)dx ( (
b
Q = QA + ∫a q(x)dx B
b
式中， 处两各横截面A及 上的剪力 上的剪力。 式中，QA，QB分别为在 x=a , x=b 处两各横截面 及B上的剪力。 等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。 等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积
QA右 = 7KN QC左 = 3KN
QC右=1KN
RA
P1 = 2KN
q = 1KN m
m = 10 KN .m
RB
P2 = 2KN
A
QD = −3KN
c
4m 7KN 3KN 4m
D
B
E
Q = - 3KN
4m
3m
QB右 = 2KN
F点剪力为零 令 点剪力为零,令 点剪力为零 其距A点为 点为x 其距 点为
MD左 =16
Mmax = MF = 20.5Ac来自4mFD
B
E
MD右 = 6
MB = −6 ME = 0
4m
4m
6
3m
6
+
16 20 20.5
分布荷载集度， 分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系
dQ(x) = q(x) dx
处两个横截面A， 间无集中力则 若在 x=a 和 x=b 处两个横截面 ，B间无集中力则
0.2
1 2
A C E
1.6
B D
( MC = MA + ∫a Q x)dx
c
= MA + Q⋅ AC
80KN (b)
= 0+80×0.2 =16KN⋅ m ⋅
+
80KN
( Q = QA + ∫a q(x)dx MB = MA + ∫a Q x)dx B
b
b
q 段中， 在CE段中，剪力图为三角形 段中 QC=80KN，MC=16KN.m ，
2KN
+
F X =5m
1KN
Qx = RA − qx − P1 = 0
X=5m
+
3KN
弯矩图 AC：( ： )
RA
P1 = 2KN
q = 1KN m
m = 10 KN .m
RB
P2 = 2KN
q = 4RA − 42 = 20 Mc 2
MA = 0
A
CD：( ：
)
4m 7KN
c
4m
D
B
E
MD左 = −7P2 + 3RB + m =16
dM(x) = Q(x) dx d M(x) dx
2 2
= q(x)
在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的 在集中力偶作用处弯矩图有突变 其突变值等于集中力偶的 值，但剪力图无变化。 但剪力图无变化。
表 一、 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 向下的均布 荷载 q<0 无荷载 集中力 P C 集中力偶 m C
q = 1KN m
m = 10 KN .m
RB
P2 = 2KN
A
c
4m 4m
D
B
E
4m
3m
解：支座反力为
RA = 7KN
RB = 5KN
RA
将梁分为AC、 、 将梁分为 、CD、 DB、BE 四段 、
A
P1 = 2KN
q = 1KN m
m = 10 KN .m
RB
P2 = 2KN
c 剪力图
4m 4m
dM(x) = Q(x) dx
若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得 ，
MB = MA + ∫a Q(x)dx
b
式中， ， 式中，MA，MB分别为在 x=a , x=b 处两个横截面 A 及 B上的 上的 弯矩。等号右边积分的几何意义是 ， 两个横截面间剪力图 弯矩 等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图 等号右边积分的几何意义是 的面积。 的面积。
D
B
E
4m
3m
Q AC：向下斜的直线（ ） A右 = RA = 7KN QC左 = RA − 4q = 3KN ：向下斜的直线（
CD：向下斜的直线 ( ： ) QC右 = RA − 4q − P1=1KN
QD = P2 − RB = −3KN
DB：水平直线 (—） Q =P2 -RB=- 3KN ： ） EB：水平直线 (—） QB右 = P2 = 2KN ： ）