麦克斯韦速率分布函数
§2[1].3麦克斯韦速率分布
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∫ vdN = v=
∞
2.方均根速率: v2 方均根速率: 方均根速率
v =
2
v2dN ∫ N
=
2
v2 Nf (v)dv ∫ N
= ∫ v2 f (v)dv =
0
∞
3kT 3RT = m µ
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 . m µ µ
3.三种速率之比: v p : v : v 2 = 1 : 1.128 : 1.224 三种速率之比: 三种速率之比 它们三者之间相差不超过 23%,而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大 右图表示了麦克斯韦速率分布 中的三种速率的相对大小. 中的三种速率的相对大小. 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 证明中曾用到近似条件 v ≅ v 2
三.用麦克斯韦速率分布律求平均值
1.平均速率: 平均速率: 平均速率 (1)定义:大量分子速率的算术平均值. 定义:大量分子速率的算术平均值. 定义
(2)计算:* 计算:* 计算
由平均速率定义: 由平均速率定义:
∑ v ∆N v =
i
i
N
得:
∞ vNf (v)dv ∫0 N = ∫0 vf (v)dv N 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 8kT R 8RT RT v= ∵k = ∴v = ≈1.60 . πm NA πµ µ
l A S S ω B
φ P C
由于分子的速度大小不同,分子自 由于分子的速度大小不同,分子自B 到C 所需的时 间也不同,所以并非所有通过B 盘的分子,都能通过C 间也不同,所以并非所有通过 盘的分子,都能通过 盘狭缝射到P上 设分子的速率为v 盘狭缝射到 上.设分子的速率为 ,自B 到C 所需的时 间为 t ,
5麦克斯韦速率分布
2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n
i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o
麦克斯韦速率分布
2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv
vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。
dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布函数f(v)dv表示的意义
麦克斯韦速率分布函数f(v)dv表示的意义麦克斯韦速率分布函数f(v)dv的意义是，它表示在速率v到v + dv之间的粒子数。
这里的粒子指的是用于描述物质或分子运动的微粒，它们可以是原子核、原子或分子核、电子或碳等组成的分子等。
麦克斯韦速度分布函数是用来描述物质或分子在一定温度下的速率
分布的，这个函数是由美国化学家弗兰克·麦克斯韦(Frank Maxwell)在1860年代提出的。
麦克斯韦速度分布函数还表示一个物体内部，不同粒子的速度是如何分布的。
它可以用来计算热力学参数，如温度、熵和热容，并可以用来计算物质的温度变化对动能的影响。
此外，它还可以用来计算分子碰撞，物质的混合，传热和传递等问题。
- 1 -。
7-(4-5)麦克斯韦速率分布
f (v)
T 1
T2 > T 1
T2
v
T > T2 , orT < T2 ? 1 1
vp1 = 2RT 1
vp1 vp2
2RT2
µ
vp2 =
µ
vp1 < vp2
T < T2 1
第六章 气体动理学理论 (2) 同温度下的不同种气体
f (v)
O2 , H2 ?
1
2RT
2
v
vp1 vp2
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 出现在v附近 单位速率区间内的分子数dN 附近、 出现在 附近、单位速率区间内的分子数
说出下列各式的物理意义
第六章 气体动理学理论
(4)∫ f (v)dv= ∫
v1
v2
v2
v1
∆Nv1 →v2 dN dv = Ndv N
对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率 占总分子数N的百分比 概率 概率)。 v1～v2区间内的分子数△N占总分子数 的百分比 (概率 。 占总分子数
(5)∫ Nf (v)dv = ∫
v1
v2
dN N = ∆Nv1→v2 N
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 v1～v2区间内的分子数△N。 。
一、分子速率分布函数
速率分布： 速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的 百分比为多大。 百分比为多大。
伽 耳 顿 板
第六章 气体动理学理论
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
麦克斯韦速率分布函数的物理意义速率分布函数[1]是⼀个描述分⼦运动速率分布状态的函数。
⼀个符合玻尔兹曼分布的粒⼦体系，如理想⽓体，其体系中粒⼦运动速率的分布可以⽤如下的速率分布函数来描述：通常速率分布函数也采⽤依动量和依动能分布的形式，虽然形式上有所不同但因为动量动能和速率的相关关系，这些表达⽅式本质上和依速率表⽰的速率分布函数还是⼀样的在处理某些特殊体系的情况下可能会⽤到⼆维和⼀维的速率分布函数，如固体表⾯吸附的理想⽓体就可以看做是在⼆维平⾯上运动的⼀个⼆维独⽴粒⼦体系，当处理这个体系有关分⼦运动速率的问题的时候就要⽤到⼆维速率分布函数在平衡状态下,当分⼦的相互作⽤可以忽略时,分布在任⼀速率区间v～v+△v间的分⼦数dN占总分⼦数N的⽐率（或百分⽐）为dN / N .dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此⽐率⼀般不相等.当速率区间⾜够⼩时（宏观⼩,微观⼤）,dN / N 还应与区间⼤⼩成正⽐：其中f(v)是⽓体分⼦的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分⼦数占总分⼦数的⽐率.分布函数f(v)满⾜归⼀化条件：⼤量分⼦的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热⼒学温度,m为分⼦质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律.麦克斯韦速率分布是⼤量分⼦处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.⼤量分⼦的集合从任意⾮平衡态趋于平衡态,其分⼦速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分⼦间的频繁碰撞.上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)⽰意图,曲线下⾯宽度为dv 的⼩窄条⾯积等于分布在此速率区间内的分⼦数占总分⼦数的⽐率dN/N .我们可以看到：同⼀种理想⽓体在平衡状态下,温度升⾼时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总⾯积不变.随着温度的升⾼,速率较⼤的分⼦在分⼦总数中的⽐率增⼤.同⼀温度下,分⼦质量m越⼩,曲线越宽越平坦,在分⼦总数中速率较⼤的分⼦所占⽐率越⾼.。
麦克斯韦速率分布函数的物理意义
速率分布函数[1]是一个描述分子运动速率分布状态的函数。
一个符合玻尔兹曼分布的粒子体系，如理想气体，其体系中粒子运动速率的分布可以用如下的速率分布函数来描述：通常速率分布函数也采用依动量和依动能分布的形式，虽然形式上有所不同但因为动量动能和速率的相关关系，这些表达方式本质上和依速率表示的速率分布函数还是一样的在处理某些特殊体系的情况下可能会用到二维和一维的速率分布函数，如固体表面吸附的理想气体就可以看做是在二维平面上运动的一个二维独立粒子体系，当处理这个体系有关分子运动速率的问题的时候就要用到二维速率分布函数在平衡状态下,当分子的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N .dN / N是v 的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等.当速率区间足够小时（宏观小,微观大）,dN / N 还应与区间大小成正比：其中f(v)是气体分子的速率分布函数.分布函数f(v)的物理意义是：速率在v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率.分布函数f(v)满足归一化条件：大量分子的系统处于平衡态时,可以得到速率分布函数的具体形式：式中T是热力学温度,m为分子质量,k为玻尔兹曼常数.上式就是麦克斯韦速率分布律.麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布,也是它的最概然分布.大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态,其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布,其根源在于分子间的频繁碰撞.上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图,曲线下面宽度为dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N .我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下,温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦,但曲线下的总面积不变.随着温度的升高,速率较大的分子在分子总数中的比率增大.同一温度下,分子质量m越小,曲线越宽越平坦,在分子总数中速率较大的分子所占比率越高.。
麦克斯韦气体速率分布函数
设总粒子数为N，粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z)。
(1)以dNv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数，则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dNv(x)/N。
粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同，用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率，则应有dNv(x)/N=g(v(x))dv(x)系统处于平衡态时，容器内各处粒子数密度n相同，粒子朝任何方向运动的概率相等。
因此相应于速度分量v(y),v(z)，也应有相同形式的分布函数g(v(y))，g(v(z))，使得相应的概率可表示为dNv(y)/N=g(v(y))dv(y)dNv(z)/N=g(v(z))dv(z)(2)假设上述三个概率是彼此独立的，又根据独立概率相乘的概率原理，得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x)，v(y)到v(y)+dv(y)，v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为dNv/N=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=Fdv(x)dv(y)dv(z)式中F=g(v(x))g(v(y))g(v(z))，即为速度分布函数。
(3)由于粒子向任何方向运动的概率相等，所以速度分布应与粒子的速度方向无关。
因而速度分布函数应只是速度大小v=√(v(x)²+v(y)²+v(z)²)的函数。
这样，速度分布函数就可以写成下面的形式：g(v(x))g(v(y))g(v(z))=F(v(x)²+v(y)²+v(z)²)要满足这一关系，函数g(v(x))应具有C*exp(A*v(x)^2)的形式。
因此可得F=C*exp(A*v(x)²)*C*exp(A*v(y)²)*C*exp(A*v(z)²)=C³exp(Av²)下面来定常数C及A。
麦克斯韦速率分布函数
当 x 很大时，可以 使用教科书 105 页给 出的渐近展开式进行 计算，但要注意式中 的 (x)1/2 有误，应该 改为1/2x后再计算。
七、在计算分子 通量的公式中应 用类比法的实例
类比法是一种在科学研究 中常用的逻辑推理方法。使 用类比法时，根据两类对象 之间在某些方面的相似或相 同，来推出它们在其他方面 也可能相似或相同。
由此可得：
vpf(vp)=41/2e1 =常量。
这是一条双曲线 的方程。
用麦克斯韦速率分 布函数的约化形式来 求速率分布曲线出现 极大值的点的轨迹， 似乎更简便。
x=v/vp， dx/dv=1/vp. f(v)=F(x)dx/dv
=F(x)/vp =41/2x2 exp(x2)/vp.
f(vp)=F(1)/vp =41/2e1/vp.
的函数，记为f(t)，即
f(t) = dS/dt.
(2)
这就是质点在运动中 所通过的路程对于时间 的分布函数，或者称为 时间分布函数； (2) 式 的图像就是时间分布曲 线。
f(t)表示在时间 t 附近的dt间 隔内，平均每单位时间间隔内 质点在运动中所通过的路程。 有时为了叙述的简便，在不致 引起误解的前提下，常常就说 f(t)表示在时间 t 附近的单位时 间间隔内质点在运动中所通过 的路程。
时间分布函数给出了质点 在运动过程中所通过的路程 对于时间的分布情况的具体 图像。由此可见，f(t)其实就 是质点运动在t时刻的瞬时速 率，因而 f(t)－t 这条时间分 布曲线正是力学中熟知的速 率－时间曲线。
通过以上的讨论可 以看出，热学中的速 率分布曲线与力学中 质点运动的速率－时 间曲线之间存在着颇 为相似的情况。
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
麦克斯韦速率分布律.pptx
麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(1)nf (v)dv
f (v) dN , n N
Ndv
V
nf (v)dv
dN V
表示单位体积内分布在速率区间 v 内v的 dv
分子数。
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麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度， 说明下式的物理意义：
(2)Nf (v)dv
f (v) dN Ndv
Nf (v)dv dN
表示分布在速率区间 v v 内的dv分子数。
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麦克斯韦速率分布律
f (v)为速率分布函数，n为分子数密度，
说明下式的物理意义：
(3)n v2 f (v)dv
v1
f (v)
dN
,n
N
Ndv
V
n v2 f (v)dv N N N
把这些量值代入，即得
W v＝ 1 v p 50
N＝
N
4
99 100
2
e
99 100
2
1 50
1.66%
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f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
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气体的三种统计速率
同一温度下不同种气体速率分布比较
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速
率大的分子数越多
。
m3
O
v
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麦克斯韦速度分布函数
麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数是一种物理学中使用最广泛的分布函数，它可以用来描述物体的速度分布特征。
简言之，麦克斯韦速度分布函数的作用就是根据不同的物理现象，建立并预测不同物体的速度分布。
它是一种用于描述物理现象的统计分布，比如分子运动、分子电极面等。
麦克斯韦速度分布函数可以用来研究各种相关的物理现象，比如汽油喷射压力，和半导体晶体管的量子效应，二者两者都受到该速度分布函数的影响。
此外，该分布函数也可以用来描述动力学系统中的分子碰撞，以及分子的可能传播速度。
麦克斯韦速度分布函数的数学表达式为：f(v)=4πv^3/Nexp(-v^2/2u^2)，其中N是正则化常数，v是分子速度的模，u^2是有序温度的两倍。
对于一个特定的温度T，其中的N(T)可以作为一个函数表示，可以表示为：N(T)=∫-∞∞ f(v) dv = (2πmkT/h^2)^(3/2)，其中m是分子的质量，k是Boltzmann常数，h是Planck常数。
通过分析麦克斯韦速度分布函数，它具有以下几个特点：第一，分布函数的最大值位于 v=0，其最大值为 4πN/N = 4π。
第二，分布在整个速度空间中是对称的，即 f(v)=f(-v)。
第三，当 v>0，速度分布函数从 0性增加，当 v=√2u，函数极值点出现，即 f(√2u)=4πu^3/N。
第四，当 v>√2u，函数开始下降，当 v→∞，函数最终收敛于 0 。
麦克斯韦速度分布函数在热力学中有着重要的作用，对于理解热力学系统中分子碰撞、热迁移，以及热力学平衡状态的形成，都有着重要的指导意义。
因此，麦克斯韦速度分布函数在描述和研究热力学系统中有着重要的作用。
麦克斯韦速度分布函数可以用于计算分子运动的各种参数，比如分子运动的温度、平均速度、偏度系数以及平均能量的计算等。
此外，它也可以用来研究分子运动的统计性质，因此能够更准确地描述和识别不同系统中分子运动的特征。
综上所述，麦克斯韦速度分布函数在物理学中具有重要的意义，它可以用来描述物理现象，可以计算分子运动的各种参数，也可以用来研究热力学系统的相关物理性质，从而更好地描述物质的热动力特性。
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布是描述气体分子速度分布的概率分布函数之一。
它由麦克斯韦速度分布定律提出，该定律认为在一定温度下，分子速度的分布服从麦克斯韦速率分布。
麦克斯韦速率分布的表达式为：
f(v) = (m / (2 * π * k * T))^(3/2) * 4 * π * v^2 * exp(-(m * v^2) / (2 * k * T))
其中，f(v)是速度为v的气体分子出现的概率密度，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是温度。
麦克斯韦速率分布描述了速率在不同范围内的分子数的相对比例。
麦克斯韦速率分布具有以下特点：
1. 最概然速率：在麦克斯韦速率分布曲线上，存在一个速度值，使得该速度值对应的气体分子出现的概率最高，这个速度就是最概然速率。
2. 平均速率：麦克斯韦速率分布曲线的面积下的整数倍等于总分子数，因此可以通过平均积分得到平均速率。
3. 方均根速率：方均根速率是指速率的平方取平均后开根号的值，它与麦克斯韦速率分布曲线的宽度有关。
麦克斯韦速率分布在解释气体的物理性质和进行气体动力学研究中起着重要的作用，尤其在理解气体温度、分子碰撞等方面具有较高的应用价值。
4-4麦克斯韦速率分布律
物理意义
f (v)
dS
表示在温度为 T 的衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的
o v v dv
百分比 .
v 表示速率在v v dv
dN f (v)dv dS N
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
0N
dN N
0
f
(v)dv
1
§4-4麦克斯韦速率分布律 第四章 气体动理论
1
f (v)
dN f (v)dv dS N
S
速率位于v v dv 内分子数
o
v1 v2 v
dN Nf (v)dv
速率位于
v1
v2
区间的分子数
N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
m
M
M
v 8kT 1.60 KT 1.60 RT
m
m
M
vp v v2
vp
2kT m
2RT 1.41 RT
M
M
§4-4麦克斯韦速率分布律 第四章 气体动理论
6
vp v v2
f(v)
都与 T 成正比， 与 m（或 M）成反比
vp v v2
§4-4麦克斯韦速率分布律 第四章 气体动理论
v
7
vp
2kT m
v 8kT πm
v2 3kT m
f (v)
T1 300K
f (v)
T2 1200K
O2
H2
o vp1 vp2
麦克斯韦速率分布函数
麦克斯韦速率分布函数
麦克斯韦速率分布函数（Maxwell speed distribution）是物理场论中用来描述微粒物质的一种速度分布。
它表示了物质在由统计力学所确定的不同速度级别上所占有的百分比。
它表明，物质以恒定的密度分布在越来越大的速度上，但其最高速度是有限的。
该分布首先由美国物理学家约翰·麦克斯韦提出，他认为这种物质的速度可以满足类似高斯分布的概率分布函数。
根据统计力学，该函数包含物质的速率，总能量和温度，可以描述它们在温度和速度方向上的随机运动。
麦克斯韦速率分布函数可以通过以下方程表示：
f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/2kT)。
其中，m为微粒的质量，v为微粒的速度，k是玻尔兹曼常数，T为微粒的温度。
因此根据该函数可以确定物质在温度和速度方向上的随机运动，以及物质以恒定的密度分布在不同速度上的分布情况。
7.4 麦克斯韦速率分布 玻尔兹曼分布.
相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的 几率最大。
由一级微商的特性可有:
f (v)
df v
dv
vv p
0
vp
2kT m
2RT M
v
O vp
信息学院 物理教研室
不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率 分布曲线。若气体分子的质量m1>m2 则:
f (v) O
m1 m2
2kT 2RT
m
3 2
e
mv 2 2 kT
v
2
Ndv 2kT
3、方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv v 2 3kT 3RT
0
m
M
信息学院 物理教研室
最概然速率: v p 平均速率:
2kT m
2RT M
f (v)
v 8kT 8RT
m M
方均根速率:
0
1 2
mv
2
f
v
dv
表示:
分子平均平动动能 。
信息学院 物理教研室
例题:用总分子数N、气体分子速率v 和速率分
布函数f(v)表示下列各量:
(1)速率大于v0的分子数= (2)速率大于v0的那些分子的平均速率= (3)多次观察某一分子的速率，发现其速率
大于的v0几率
答案： Nf vdv、 v0
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
显 示
屏
信息学院 物理教研室
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
麦克斯韦速率分布
3、Δv 宏观上要足够小，微观上足够大.
4、谈论速率恰好等于某一值的分子数多少，根本没有 意义.
5、对于混合气体没有统一的速率分布律，但麦克斯韦速 率分布律对处于平衡态下的混合气体的各组分分别适用.
（2）v1 → v2曲线下面积 f(v)
∫v2 f (v)dv = ΔN
v1
N
麦克斯韦速率分布
（3）整个曲线下面积
∞
∫0 f (v)dv = 1
结论：
v1
v2
v
归一化条件
在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数值 上等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分率.
（4）很小很大速率分子少
f(v)
中等速率的分子数多
麦克斯韦速率分布
最概然速率 vP
v
vP
分子速率分布在vP附近单位速率区间的相对分子数 最多，或某一分子的速率在vP附近单位速率区间内的 概率最大.
大学物理
气体动理论
第2讲 麦克斯韦速率分布
Байду номын сангаас
一、麦克斯韦分子速率分布函数
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布
设有 N = 100 个粒子，速率范围：0 → 300 m s-1
ΔN
Δv
0 →100 m ⋅ s−1
ΔN
N 50 45
20 0.2
40 35
100 → 200 m ⋅s−1 50
0.5
30 25
说明下列各式的意义：
麦克斯韦速率分布
（1） f (v)dv
dN = f (v)dv N
在v→ v+dv速率区间内分子数占总分子数的百分率.
（2） Nf (v)dv
麦克斯韦速率分布定律ΔN
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2(> μ1) μ1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
例 氦气的速率分布曲线如图所示。
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况； (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。
解 (2) v p
2RT M
RT 2 103
1、速率分布函数 f(v)
设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f (v) dN Ndv
f(v)
称为速率分布函数
分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率
讨论 分子束中的速率分布和容器中的是否相同？
2、 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下，分子速率分布函数
df (v ) 0 dv vvp
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
2. 平均速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf (v
)dv
v
v f (v )dv
8kT 1.60
RT
0
π
M
3. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v
)dv
3kT
0
μ
说明
v 2 3kT 1.73 RT
分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
(7)曲线下面的总面积, 等
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M
M
说明
(1) 一般三种速率用途各 不相同
f(v) T
·讨论速率分布一般用 v p ·讨论分子的碰撞次数用 v
·讨论分子的平均平动动 O
vp v
v
能用 v 2
v2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
例 氦气的速率分布曲线如图所示.
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
1 f (v )dv
4π (
)3
/
§6-5 麦克斯韦速率分布律
一. 分布的概念
·问题的提出
气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述。
·分布的概念
例如学生人数按年龄的分布
年龄 人数按年龄的分布 人数比率按年龄的分布
15 ~16 2000 20%
17 ~18 3000 30%
19 ~20 4000 40%
1.381023 J/K
思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
？
2. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v )dv
3kT
0
μ
3. 最概然速率
v2
3kT 1.73 RT
μ
M
df (v ) 0 dv v v p
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
2π kT
k = 1.38×10-23 J / K
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布在整个速
f(v) T
率范围内所有各个
速率间隔中的分子
数与总分子数的比
率的总和
O
vp
v
( 速率分布曲线 )
f (v )dv 1 (归一化条件)
0
·最概然速率v p
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率
·不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系
由于曲线下的面积不变,由此可见 ① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
f(v) T1
T2(> T1)
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
L v
v L
通过改变角速度 的大小，
选择速率v
(2) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间
v
L 2
v
(3) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数
三. 速率分布函数 f(v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv
区间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f(v) 称为速率分布函数
f (v) dN Ndv
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总
分子数的比率。
四. 麦克斯韦速率分布定律
1. 麦克斯韦速率分布定律
理想气体在平衡态下分子的速率分布函数
f (v ) 4 ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT ( 麦克斯韦速率分布函数 )
f(v) μ2(> μ1) μ1
O v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf
(v )dN
v
v
f
(v )dN
8kT 1.59
RT
0
π
M
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
k
R N0
8.31 6.022 1023
21~22 1000 10%
例如气体分子按速率的分布
速率 分子数按速率的分布
v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv …
ΔN1
ΔN2 …
ΔNi
…
分子数比率按速的分布 ΔN1/N ΔN2/N …
ΔNi/N
…
｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布
二. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置 2. 测量原理
v v0 的分子数与总分子数的比率为
N N
v0a
v0
2 3v0
2 3
因此，v>v0 的分子数为 ( 2N/3 )
N 2 N 3
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
例 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 (1) 。 v
解 根据平均值的定义，速率倒数的平均值为
(1)
说明
(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。
(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。
(3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。
任一速率间隔v1到v2 中分子数与总分子数的比率可表示为
N v2 f (v )dv
解 (2) v p
2RT M
RT 2 103
1000 m/s
(v p )H2
RT 103
1.41103m/s
( v 2 )H2
3RT M
1.73103m/s
f (v)
He H2
O 1000
v (m/s)
例 有N 个粒子，其速率分布函数为
f (v)
av v0 0 v v0
a
v0 v 2v0
常数 a
(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数
解 (1) 由归一化条件得
f (v )
a
v0 av dv 2v0 adv 1
0 v0
v0
1v 2
0a
v0a
1
a 2 3v 0
O v0
2v 0 v
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以
N
v1
速率分布函数满足归一化条件
0 f (v)dv 1
2. 麦克斯韦速率分布曲线
·由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N